Tài liệu Lý thuyết điều khiển tự động_ Chương 3 pdf

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email:
Homepage: />Môn học
Môn học
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
KHẢO SÁT
KHẢO SÁT
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
Chương 3
Chương 3
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
ỉ Khái niệm ổn đònh
ỉ Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Ø Điều kiện cần
Ø Tiêu chuẩn Routh
Ø Tiêu chuẩn Hurwitz
ỉ Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Ø Khái niệm về QĐNS
Ø Phương pháp vẽ QĐNS
Ø Xét ổn đònh dùng QĐNS
ỉ Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
Ø Khái niệm về đặc tính tần số
Ø Đặc tính tần số của các khâu cơ bản
Ø Đặc tính tần số của hệ thống tự động

Ø Tiêu chuẩn ổn đònh Bode
Ø Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist
Nội dung chương 3
Nội dung chương 3
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 4
Khaùi nieäm oån ñònh
Khaùi nieäm oån ñònh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Khái niệm ổn đònh
Khái niệm ổn đònh
Đònh nghóa ổn đònh BIBO
Đònh nghóa ổn đònh BIBO
Hệ thống
r(t)
c(t)
ỉ Hệ thống được gọi là ổn đònh BIBO (Bounded Input Bounded
Output) nếu đáp ứng của hệ bò chặn khi tín hiệu vào bò chặn.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Thí dụ minh họa khái niệm ổn đònh
Thí dụ minh họa khái niệm ổn đònh
HT ổn đònh HT không ổn đònh
HT ở biên
giới ổn đònh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
ỉ Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:
Khái niệm ổn đònh
Khái niệm ổn đònh
Cực và zero
Cực và zero
nn

nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG
++++
++++
==
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
K
K
nn
nn
asasasasA ++++=
−

−
1
1
10
)( K
mm
mm
bsbsbsbsB ++++=
−
−
1
1
10
)( K
ỉ Đặt: mẫu số hàm truyền
tử số hàm truyền
ỉ
Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương
trình
B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là z
i
,
i =1,2,…m.
ỉ Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của
phương trình
A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký
hiệu là p
i
, i =1,2,…m.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8

Khái niệm ổn đònh
Khái niệm ổn đònh
ỉ Giản đồ cực – zero là đồ thò biểu diễn vò trí các cực và các zero
của hệ thống trong mặt phẳng phức.
Giản đồ cực
Giản đồ cực
-
-
zero
zero
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Khái niệm ổn đònh
Khái niệm ổn đònh
ỉ Tính ổn đònh của hệ thống phụ thuộc vào vò trí các cực.
ỉ Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực
đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống
ổn đònh.
ỉ Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực
còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn đònh.
ỉ Hệ thống có
ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một
cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống
không ổn đònh.
Điều kiện ổn đònh
Điều kiện ổn đònh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Khái niệm ổn đònh
Khái niệm ổn đònh
ỉ Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0
ỉ Đa thức đặc trưng: đa thức A(s)

Phương trình đặc trưng (PTĐT)
Phương trình đặc trưng (PTĐT)
0)()(1
=
+ sHsG
Hệ thống hồi tiếp
Phương trình đặc trưng
Hệ thống mô tả bằng PTTT



=
+
=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
B
Ax
x
&
Phương trình đặc trưng
(
)
0det
=
−
A

I
s
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
ỉ Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của phương
trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Điều kiện cần
Điều kiện cần
Ø Không ổn đònh
Ø Không ổn đònh
Ø Chưa kết luận được
0123
23
=
+−+ sss
0352
24
=
+++ sss
01254
234
=
+
+
++ ssss
ỉ Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
ỉ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Qui tắc thành lập bảng Routh
Qui tắc thành lập bảng Routh
0
1
1
10
=++++
−
−
nn
nn
asasasa K
ỉ Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước
tiên ta thành lập
bảng Routh theo qui tắc:
Ø Bảng Routh có n+1 hàng.
Ø Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.
Ø Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
Ø Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo
công thức:
1,11,2
.
+−+−
−
=
jiijiij

ccc
α
1,1
1,2
−
−
=
i
i
i
c
c
α
với
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Dạng bảng Routh
Dạng bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
ỉ Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả các phần tử
nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương
. Số lần đổi dấu của các
phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình
đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức.
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Phát biểu tiêu chuẩn
Phát biểu tiêu chuẩn
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
ỉ Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí dụ 1
Thí dụ 1
01254
234
=
+
+
+
+
ssss
ỉ Giải: Bảng Routh
ỉ Kết luận: Hệ thống ổn đònh do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng
Routh đều dương.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
ỉ Xét tính ổn đònh của hệ thống có sơ đồ khối:
Thí dụ 2
Thí dụ 2
)5)(3(
50
)(
2
+++
=
ssss
sG

2
1
)(
+
=
s
sH
ỉ Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
0)().(1
=
+ s
H
sG
0
)2(
1
.
)5)(3(
50
1
2
=
++++
+
sssss
⇔
050)2)(5)(3(
2
=+++++ sssss
⇔

0503031166
2345
=
+
+
+
+
+ sssss
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 2 (tt)
Thí dụ 2 (tt)
ỉ Bảng Routh
ỉ Kết luận: Hệ thống không ổn đònh do tất cả các phần tử ở cột 1
bảng Routh đổi dấu 2 lần.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
ỉ Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn đònh:
Thí dụ 3
Thí dụ 3
)2)(1(
)(
2
+++
=
ssss
K

sG
ỉ Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
0)(1
=
+ s
G
⇔
0
)2)(1(
1
2
=
+++
+
ssss
K
⇔
0233
234
=
+
+
++
K
ssss
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí dụ 3 (tt)
Thí dụ 3 (tt)

ỉ Bảng Routh
ỉ Điều kiện để hệ thống ổn đònh:





>
>−
0
0
7
9
2
K
K
9
14
0 << K
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trường hợp đặc biệt 1
Trường hợp đặc biệt 1
ỉ Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ
số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi
số
ε
dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
ỉ Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí dụ 4
Thí dụ 4
ỉ Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên
phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải
mặt phẳng phức, do đó
hệ thống không ổn đònh .
03842
234
=
+
+
+
+
ssss
ỉ Giải:
Bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trường hợp đặc biệt 2
Trường hợp đặc biệt 2
ỉ Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
Ø Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất
cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A
0
(s).

Ø Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
các hệ số chính là các hệ số của đa thức
dA
0
(s)/ds, sau đó quá
trình tính toán tiếp tục.
ỉ Chú ý
: Nghiệm của đa thức phụ A
0
(s) cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
ỉ Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí dụ 5
Thí dụ 5
047884
2345
=
+
+
+
+
+
sssss
ỉ Giải: Bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh

ỉ Đa thức phụ:
Thí dụ 5 (tt)
Thí dụ 5 (tt)
ỉ Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình
đặc trưng):
ỉ Kết luận:
Ø Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc
trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Ø Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.
Ø Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.
Hệ thống ở biên giới ổn đònh
44)(
2
0
+= ssA
08
)(
0
+= s
ds
sdA
⇒
044)(
2
0
=+= ssA
j
s
±
=

⇔