dethihocsinhgioitoan7

KHUNG MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
Mơn Tốn 7
Cấp độ

Nhận biết

Thơng hiểu

Vận dụng
Cấp độ thấp
Cấp độ cao

Tổng

Tên
chủ đề
1.Các bài tốn
thực hiện phép
tính
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
2.Tìm x

Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
3.Bài tốn về
tính chất dãy số
bằng nhau
Số câu

Số điểm
Tỉ lệ %
4.Vận dụng tích
chất các phép
tính để tìm a, b
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
5.Giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ
nhất
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
6.Phương pháp
chứng minh
hình học
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
7.Các dạng toán
chia hết
Số câu
Số điểm

Thứ tự thực
hiện phép
tính
2
1,25

12,5%

2
1,25
12,5%
Vận dụng
cách tìm các
đại lượng
chưa biết
1
0,75
7,5%
Vận dụng
cách tìm tỉ lệ

1
0,75
7,5%

1
1,0
10%
Vận dụng
tích chất các
phép tính để
tìm a, b
1
1,25
12,5%

1
1,0
10%

1
1,25
12,5%
Tìm giá trị lớn
nhất
1
0,75
7,5%
Vận dụng tính
được hai cạnh
bằng nhau,
trung điểm
2
2,25
22,5%

Dấu hiệu
chia hết
1
0,75

1
0,75
7,5%

2

2,25
22,5%
1
0,75


Tỉ lệ %
8.Giá trị nguyên
của biến, giá trị
của biểu thức
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
Tổng số câu
Tổng số điểm
Ti lệ %

7,5%

2
1,25
12,5%

4
3,75
37,5%

7,5%
Vận dụng tính
giá trị nguyên

của biến, giá trị
của biểu thức
2
1,5
15%
5
4,5
45%

Vận dụng tính giá
trị nguyên của
biến, giá trị của
biểu thức
1
0,5
5%
1
0,5
5%

3
2,0
20%
12
10,0
100%


PHÒNG GD&ĐT NAM TRÀ MY
TRƯỜNG PTDTBT THCS TRÀ MAI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2015-2016
Mơn: Tốn 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề:
Câu 1. (4,5 điểm)
a) Cho biểu thức: M =a+ 2ab−b . Tính giá trị của M với |a|=1,5 ; b = -0,75
b) Tìm x, biết:
2

x +2

.3

x+1

x

. 5 =10800

c) Xác định dấu của c, biết rằng 2 a3 bc trái dấu với −3 a5 b3 c 2
Câu 2. (4,5 điểm)
a) Tìm đa thức M, biết:
M + ( 5 x2−2 xy ) =6 x 2+ 9 xy − y 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=

x2 + y 2 +3
x 2+ y 2 +2

c) Tìm các số x, y, z biết rằng:

x y y z
= ; = và 2. x−3. y + z=6
3 4 3 5

Câu 3. (5,5 điểm)
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
theo 1:2:3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho: 2a +37=|b−45|+ b−45
c) Chứng minh rằng khơng có số tự nhiên n nào để n2 +2002 là số chính phương.
Câu 4. (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngồi tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE
có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vng góc với BC, DM vng góc với AH, EN vng góc với
AH.
a) Chứng minh rẳng: DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho 20 số nguyên khác 0: a1 , a2, a3, …, a20 có các tính chất sau:
* a1 là số dương.
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
* Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng: a1 . a14 +a14 . a12

HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
Hướng dẫn chấm mơn Tốn 7

Câu
Câu 1
(4,5đ)

Nội dung
a/ Ta có: |a|=1,5 ⇒a=1,5 hoặc a=−1,5
+Với a=1,5 và b=−0,75
thì M =a+ 2ab−b=1,5+2.1,5 . (−0,75 )−(−0,75)=0
+Với a=−1,5 và b=−0,75
thì M =a+ 2ab−b
¿ (−1,5 ) +2. (−1,5 ) . (−0,75 )−(−0,75 )=

b/ Ta có:

2

3

c/ Do

x +2

.3

x+1

Điểm
0,5đ
0,5đ

3
2

0,5đ

x

. 5 =10800
⟺ 2x .22 . 3x .3. 5 x =10800
2x . x x
3 . 5 ¿=900
⟺¿
x
2
⟺ 30 =30
⟺ x=2
Vậy x=2 là kết quả vừa tìm.

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

và −3 a5 b3 c 2 trái dấu nên: a ≠ 0 ; b ≠ 0; c ≠ 0

2 a bc

2 a3 bc . (−3 a5 b3 c 2 ) <0

0,5đ

⟺−6 a8 . b4 . c 3< 0 ⟺ a8 .b 4 . c 3> 0
⟺ c > 0 ⟺ c> 0 ( vì a . b > 0 với mọi a ≠ 0 ; b ≠ 0 )
3

8

4

Vậy c > 0 tức là mang dấu dương.
Câu 2
(4,5đ)

0,5đ
0,25đ
0,25đ

M =6 x 2+ 9 xy− y 2−5 x 2+ 2 xy

a/
2

¿ x +11 xy − y

0,5đ

2

0,5đ

b/

B=

x2 + y 2 +2+1
x 2+ y 2 + 2

0,25đ

x2 + y 2 +2
1
B= 2 2 + 2 2
x + y +2 x + y + 2
1
B=1+ 2 2
x + y +2

0,25đ

B đạt giá trị lớn nhất ⇔ x 2 + y 2+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 2
⇔ x=0 và y=0 Vậy giá trị lớn nhất của B là

3
2

⇔ x=0 và y=0

0,25đ
0,5đ
0,25đ

c/ Vì

x y x y
= ⇒ =
3 4 9 12


y z
y
z
= ⇒ =
3 5 12 20
x
y
=¿
=¿
⇒
9
12

z
20

⇒

2x 3 y z
= =
18 36 20

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3 y z
= =
18 36 20

¿

2 x−3 y + z 6
= =¿
18+36 +20 2

3

Suy ra:

0,5đ
0,5đ

0,5đ

2x
=3 ⟹ x=27
18
3y
=3 ⟹ y=36
36

0,5đ

z

=3⟹ z=60
20

Câu 3
(5,5đ)

a/ Gọi a, b, c là các chữ số có ba chữ số cần tìm. Khơng mất tính tổng
quát, giả sử a ≤ b ≤ c ≤ 9
Ta có: 1≤ a+b+c ≤27
Mặt khác: Số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9
Do đó: a + b + c hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27
Theo đề ta có:

a b c a+b+ c
= = =
1 2 3
6

0,5đ
0,25đ

Như vậy: a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18
Từ đó suy ra: a = 3; b = 6; c = 9.
Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, vì vậy hai số
cần tìm là: 396; 936.

0,25đ

b/ Nhận xét: Với x ≥ 0 thì |x|+ x=2 x
Với x< 0 thì |x|+ x=0 . Do đó |x|+ x luôn là số chẵn với

0,5đ

∀xϵ Z

Áp dụng nhận xét trên thì |b−45|+b−45 là số chẵn với b ϵ Z
Suy ra: 2a +37 là số chẵn ⇒2a lẻ ⇔ a=0
Khi đó: |b−45|+b−45=38
+Nếu b < 45, ta có: −( b−45 )+ b−45=38 (loại)
+Nếu b ≥ 45, ta có: 2 ( b−45 )=38 ⟺ b−45=19 ⟺ b=64 (TM)
Vậy (a;b) = (0;64)
c/ Ta có: n2 +2002=m2 với m ϵ N
Suy ra: m2−n2=2002 suy ra m và n cùng tính chẵn lẻ
+Nếu n, m cùng chẵn thì m2 và n2 cùng chia hết cho 4 suy ra
2
2
m −n chia hết cho 4, mà 2002 khơng chia hết cho 4 ( vơ lí )
+Nếu n, m cùng lẻ thì m 2 và n2 chia cho 4 dư 1
Suy ra: m2−n2 chia hết cho 4 mà 2002 khơng chia hết cho 4 ( vơ lí )
Vậy khơng có số tự nhiên n nào để n2 +2002 là số chính phương.

Câu 4
(4,5đ)

0,25đ

a/ Xét ∆ AMD và ∆ BHA có:
0
^
DMA=^

AHB=90 ; AD = AB
^
DAM = ^
ABH ( cùng phụ với góc BAH )

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ


⇒ ∆ AMD=∆ BHA
⇒ DM =AH

( cạnh huyền – góc nhọn )

0,5đ
0,5đ

b/ Chứng minh được: ∆ ANE=∆ CHA ( cạnh huyềnN – góc nhọn )
⇒ NE= AH

Suy ra: NE = AH
Gọi O là giao điểm của MN và DE
Suy ra: ∆ DMO=∆ ENO ⇒ OD=O E
Vậy MN đi qua trung điểm của DE

E

0,5đ
0,25đ

O
D

M

0,5đ
0,5đ
0,25đ

A

C
B

Câu 5
(1,0đ)

0,5đ

H

Ta có:

11+¿ a12+ a13> 0; a15 + a16 +a17 >0 ; a18+ a19+ a20 >0 ⇒a 14< 0
a1 + ( a2+ a3 +a 4 ) +…+ ( a11 + a12+ a13 ) +a14 + ( a15+ a16 +a17 ) + ( a18 +a19 +a 20) < 0; a2 +a3 +a 4 >0 ; … ; a ¿

Cũng như vậy:

( a1 + a2+ a3 ) +…+ ( a10 +a 11 +a12 ) +( a 13+ a14 ) + ( a 15+ a16+ a17 ) +( a18+ a19+ a20 ) <0
⇒ a 13+a 14< 0
Mặt khác: a12 +a13 +a 14> 0⇒ a12 >0
Từ các điều kiện a1 >0 ; a 12>0 ; a14< 0
⇒ a 1 . a14 +a 14. a12< a1 . a 12 (đpcm)

(Học sinh làm cách khác đúng đáp án vẫn được điểm tối đa.)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ