HAM SO HAM SO BAC NHAT VA BAC HAI Ly thuyet Bai tap co loi giai file word

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
DÌ Ă , Dạ ặ
f
Cho
. Hm s
xỏc nh trờn D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với
yÎ ¡
một và chỉ một số
.
x
 được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x .
y = f ( x)
Kí hiệu:
.
f
 D được gọi là tập xác định của hàm số .
2. Cách cho hàm số
y = f ( x)
 Cho bằng bảng
 Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức
.
y = f ( x)
f ( x)
Tập xác định của hàm số
là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức
có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
y = f ( x)

M ( x; f ( x))
Đồ thị của hàm số
xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
trên mặt
x
Ỵ
D
phẳng toạ độ với mọi
.
y = f ( x)
y = f ( x)
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số
là một đường. Khi đó ta nói
là phương
trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
f
Cho hàm số
xác định trên K .
y = f ( x)
 Hàm số
đồng biến (tăng) trên K nếu " x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )
y = f ( x)
 Hàm số
nghịch biến (giảm) trên K nếu " x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
y = f ( x)
Cho hàm số
có tập xác định D .
f ( – x) = f ( x)

f
 Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu với " x Ỵ D thì - x Ỵ D và
.
f ( – x) =- f ( x)
f
 Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu với " x Ỵ D thì - x Ỵ D và
.
Chú ý:
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
Định lý: Cho
Tịnh tiến
Tịnh tiến

( G)
( G)

( G)

là đồ thị của

y = f ( x)

và

p > 0, q > 0

lên trên q đơn vị thì được đồ thị

; ta có

y = f ( x) + q

xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị

y = f ( x) – q


Tịnh tiến
Tịnh tiến

( G)
( G)

sang trái p đơn vị thì được đồ thị

y = f ( x + p)

sang phải p đơn vị thì được đồ thị

y = f ( x – p)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.
Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa
Chú ý : Nếu P( x) là một đa thức thì:
1
* P( x) có nghĩa Û P( x) ¹ 0

*

P( x) có nghĩa Û P( x) ³ 0
1

*

P( x) có nghĩa Û P( x) > 0

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
y=
a)

x2 +1
x 2 + 3x - 4

A. D = ¡
y=
b)

B.

D = { 1; - 4}

C.

D = ¡ \{ 1; - 4}

D.

D = ¡ \{ 1; 4}

B.

D = { - 1}

C.

D = ¡ \{ - 1}

D. D = ¡

x +1

( x +1) ( x 2 + 3x + 4)

A.

D = ¡ \{ 1}

2 x2 + x +1
y= 3
x + x2 - 5x - 2
c)
ïì - 3 - 5 - 3 + 5 ïü
ï
D = ùớ 2;
;
ý

ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ
A.

ùỡ
- 3 - 2 5 - 3 + 2 5 ùỹ
ù
D = Ă \ùớ - 2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ
B.

C. D = Ă

ỡù - 3 - 5 - 3 + 5 ü
ïï
D = Ă \ùớ 2;
;
ý
ùù

ùù
2
2
ợ
ỵ
D.


y=
d)

x

(x

2

- 1) - 2 x 2
2

ïì 2 2 D = ¡ \ïí
ïï
2
ỵ
A.

7 2 2+ 7 ;
;
2

22

7 ;

ìï 2 - 7 2 + 7 - 2 2 D = ¡ \ïí
;
;
ïï
2
2
2
ỵ
B.
ïì 2 - 7 2 + 7 D = ¡ \ïí
;
;
ïï
2
2
ỵ
C.
ìï 2 - 7 2 + 7 D = ïí
;
;
ïï
2
2
ỵ
D.

22

22

2 + 7 ùỹ
ù
ý
ùù
2
ỵ

ùù
7 - 2 2 + 7ỹ
;
ý
ùù
2
ỵ
2 + 7 ùỹ
ù
ý
ùù
2
ỵ

7 ;

ùù
2+ 7ỹ
ý

ùù
2
ỵ

7 ;

Li gii:
ỡù x ạ 1
x 2 + 3x - 4 ạ 0 ùớ
ùùợ x ạ - 4
a) ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là
x + 1) ( x 2 + 3x + 4) ¹
(
b) ĐKXĐ:

D = ¡ \{ 1; - 4}

.

0Û x¹ - 1

Suy ra tập xác định của hàm số là

D = ¡ \{ - 1}

.

ïìï
x¹ 2

ï
x + x - 5x - 2 ¹ 0 ớ
ùù x ạ - 3 5
ùùợ
2
c) KX:
3

2

ỡù - 3 - 5 - 3 + 5 ü
ïï
D = Ă \ùớ 2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ.
Suy ra tp xỏc nh ca hm s là

(x
d) ĐKXĐ:

2

(

- 1) - 2 x2 ¹ 0 Û x 2 2

ìï
2± 7
ï
ìï x 2 - 2 x - 1 ¹ 0 ïï x ¹
ï
2
Û í
Û ïí
ïï x 2 + 2 x - 1 ạ 0 ùù
- 2 7
ùợ
ùù x ¹
ïỵ
2

)(

)

2 x - 1 x2 + 2x - 1 ¹ 0


Suy ra tập xác định của hàm số là
ìï 2 - 7 2 + 7 D = ¡ \ïí
;
;
ïï
2

2
ỵ

22

7 ;

ïï
2+ 7ỹ
ý
ùù
2
ỵ.

Vớ d 2: Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm số sau
y=
a)

x +1
( x - 3) 2 x - 1

A.

D = Ă \{ 3}

ộ1
D = ờ ; +Ơ
ờ
ở2
C.

y=
b)

ổ1
D =ỗ
; +Ơ
ỗ
ỗ
2
ố
D.

ử
ữ
\{ 3}
ữ
ữ
ứ

x +2
x x - 4x + 4

C.

c)

ử
ữ
\{ 3}
ữ

ữ
ứ

ử
ữ
\{ 3}
ữ
ữ
ứ

2

A.

y=

ổ1
D =ỗ
- ; +Ơ
ỗ
ỗ
2
ố
B.

D = Ă \{ 0; 2}

D = ( - 2; +¥ ) \{ 0; 2}

)

B.

D=é
ë- 2; +¥

D.

D=é
ë- 2; +¥ ) \{ 0; 2}

5- 3 x
x2 + 4x + 3

D = Ă \{ - 1}

ổ 5 5ử
D =ỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ\{ - 1}
ỗ 3 3ứ
ố
B.

ộ 5 5ự
D = ờ- ; ỳ
ờ
ở 3 3ú

û
C.

é 5 5ù
D = ê- ; ú\{ - 1}
ê
ë 3 3ú
û
D.

A.

y=
d)
A.
C.

x +4
x 2 - 16
D = ( - ¥ ; - 2) È ( 2; +¥
D= ( - 4; 4)

)

B.
D.

D = ¡ \{ - 4; 4}

D = ( - ¥ ; - 4) È ( 4; +¥

Lời giải:

)


a) KX:

ùỡù x ạ 3

ớ
ùợù 2 x - 1 > 0

ùỡù x ạ 3
ù
ớ
ùù x > 1
2
ợù

ổ1
D =ỗ
; +Ơ
ỗ
ỗ
2
ố
Suy ra tập xác định của hàm số là
ìï
x¹ 0

ïï
ïí x 2 - 4 x + 4 > 0 Û
ïï
ï x +2 0
b) KX: ùợ

ùỡù
xạ 0
ùù
2
ớ ( x - 2) > 0 Û
ïï
ïï x ³ - 2
ỵ

Suy ra tập xác định ca hm s l

c) KX:

ử
ữ
\{ 3}
ữ
ữ
ứ
.

ỡù x ạ 0
ù
ùớù x ạ 2

ùù
ùùợ x - 2

D=ộ
ở- 2; +Ơ ) \{ 0; 2}

ìï
ïï x £ 5
ìï 5 - 3 x ³ 0
ï
3
ï
Û ïí ì
Û
í 2
ïï x + 4 x + 3 ¹ 0 ïï ïï x ¹ - 1
ỵ
ïï íï
ïỵ ïỵ x ¹ - 3

.

ìï 5
ïï - £ x £ 5
ïï 3
5
3 ïìï 5
- £ x£
ï
ïí x ¹ - 1

Û í 3
3
ùù
ùù
ùù x ạ - 3
ùợ x ạ - 1
ùù
ùợ

ộ 5 5ù
D = ê- ; ú\{ - 1}
ê
ë 3 3ú
û
Suy ra tập xác định của hàm số là
.
éx > 4
x 2 - 16 > 0 Û x > 4 Û ê
êx <- 4
ë
d) ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là

D = ( - ¥ ; - 4) È ( 4; +¥

).

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau
x2 - 1
x2 + 2x + 3

3

y=
a)

A.
y=
b)

D = ( 1; +¥

)

B. D = ¡

C.

D = { 1; 3}

D.

D = ¡ \{ 1; 3}

C.

D = { 9}

D.

D = ¡ \{ 9}

x
x-

A.

x- 6

D=é
ë0; +¥

c) y = x + 2 -

)

x +3

B.

D=é
ë0; +¥ ) \{ 9}


A.

D=é
ë- 3; +¥

)

B.

D=é
ë- 2; +¥

)

C. D = ¡

D.

D=é
ë2; +¥

D.

D=é
ë- 1;1)

ìï 1
ïï
khi x ³ 1
y =í x
ïï
ïïỵ x + 1 khi x < 1
d)
A.

D = { - 1}

B. D = ¡

C.

D=é
ë- 1; +¥

)

Lời giải:
2
a) ĐKXĐ: x + 2 x + 3 ¹ 0 đúng với mọi x

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ¡ .

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại
ìï x < 1
ïí
Û
ïỵï x + 1 ³ 0

ìï x < 1
ïí
Û - 1 £ x <1
ïỵï x ³ - 1

Do đó hàm số đã cho xác định khi x ³ - 1
Suy ra tập xác định của hàm số là
y=
Ví dụ 4: Cho hàm số:

D=é
ë- 1; +¥

).

mx
x - m + 2 - 1 với m là tham số

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m
A.

D=é
ëm + 2; +¥ ) \{ m - 1}

B.

D=é
ëm - 2; +¥ ) \{ m}

C.

D=é
ë2m - 2; +¥ ) \{ 2m - 1}

D.

D=é
ëm - 2; +¥ ) \{ m - 1}

B.

m ẻ ( - Ơ ; - 1ự
ỷẩ { 2}

( 0;1)
b) Tỡm m hm s xỏc nh trờn
ổ
3ự
mẻ ỗ
- Ơ ; ỳẩ { 2}
ỗ
ỗ
2ỳ
ố
ỷ
A.

)


m ẻ ( - Ơ ;1ự
ỷẩ { 3}

C.

D.

m ẻ ( - ¥ ;1ù
ûÈ { 2}

Lời giải:
ïìï x - m + 2 0

ớ
ùù x - m + 2 ạ 1
ợ
a) KX

ùỡ x m - 2
ớù
ùùợ x ạ m - 1

Suy ra tập xác định của hàm số là
b) Hàm số xác định trên
é( 0;1) Ì
ê
ê 0;1 Ì
ê
ë( )
Vậy

D=é
ëm - 2; +¥ ) \{ m - 1}

( 0;1) Û ( 0;1) Ì

ém - 2; m - 1)
é m=2
ë
Û ê
Û
( m - 1; +¥ ) êëm - 1 £ 0

.

ém - 2; m - 1) È ( m - 1; +¥
ë

)

ém = 2
ờ
ờm Ê 1
ở

m ẻ ( - Ơ ;1ự
ỷẩ { 2} là giá trị cần tìm.
y = 2 x - 3m + 4 +

Ví dụ 5: Cho hàm số

x
x + m - 1 với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1

é 1
D = ờ- ; +Ơ
ờ
ở 2
A.

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

B.

D = Ă \{ 0}

ộ0; +Ơ
b) Tìm m để hàm số có tập xác định là ë

A.

m=

1
3

B.

é1
D = ê ; +¥

ê
ë2
C.

m=

ĐKXĐ:

é 1
D = ê- ; +¥
ê
ë 2
D.

)

2
3

C.

m=

Lời giải:
ïìï 2 x - 3m + 4 ³ 0
Û
í
ïỵï x + m - 1 ạ 0

ử

ữ
\{ 0}
ữ
ữ
ứ

ỡù
ùù x 3m - 4
ớ
2
ùù
x
ạ
1
m
ùợ

ỡù
ùù x - 1
ớ
2
ùù
x
ạ
0
a) Khi m = 1 ta có ĐKXĐ : ïỵ
é 1
D = ê- ; +Ơ
ờ
ở 2

Suy ra tp xỏc nh ca hm s l

ử
ữ
\{ 0}
÷
÷
ø

.

4
3

D. m = 1

ư
÷
\{ 0}
÷
÷
ø


b) Với
m£

Với

1- m ³

é3m - 4
3m - 4
6
D=ê
; +¥
Û m£
ê
2
5 khi đó tập xác định của hàm số là
ë 2

ư
÷
\{ 1 - m}
÷
÷
ø

6
5 khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
m>

é3m - 4
6
D=ê
; +¥
ê
2
5 khi đó tập xác định của hàm s l

ở

ử
ữ
ữ
ữ
ứ.

ộ0; +Ơ ) 3m - 4 = 0 Û m = 4
ë
2
3 (thỏa mãn)
Do đó để hàm số có tập xác định là

Vậy

m=

4
3 là giá trị cần tìm.

3. Bài tập luyện tập :
Bài 2.0. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
y=
a)

2 x- 1
x- 2

A.

.

D=é
ë1; +¥

y = x +2 b)
A.

)

D = ¡ \{ 2}

B.

C.

D=é
ë1; +¥ ) \{ 2}

D.

D = { 2}

2
x- 1 .

D = ( 1; +¥

)

D = ( - 2; +¥

B.

)

C. D = ¡

D.

D = ( 2; +¥

)

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

A. D = ¡
D = ( - ¥ ; 2)

D.

D = ¡ \{ 2}

Lời giải:

B.

D= ( 2; +¥

)

C.

. Do đó


ìï x ³ 1
ïìï x ³ 1
Û ïí
Û
í
ïï x ¹ 2 ùùợ x ạ 2
ợ
Bi 2.0: a) KX:

ỡ
ùớù x 1 ị
ùùợ x ạ 2
D=ộ
ở1; +Ơ ) \{ 2}
TX:

b) KX:

ùỡù x + 2 ³ 0

Û
í
ïỵï x - 1 > 0

ïìï x - 2
x >1 ị
ớ
ùợù x > 1

c) KX:

ổ 1ữ
ử 3
x + x +1 ạ 0 ỗ
x + ữ+ ạ 0
ỗ
ỗ
ố 2ữ
ứ 4

TX:

D = ( 1; +Ơ

)

2

2

e) ĐKXĐ:
f) TXĐ:

ìï x + 1 ³ 0
ïí
Û
ïỵï x 2 - x - 6 ¹ 0

ïìï x ³ - 1
ïï
í x¹ - 2
ù
ùùợù x ạ 3

(ỳng " x ) ị TX: D = Ă

ỡ
ùớù x - 1 ị
ùùợ x ạ 3

TXĐ:

D=é
ë- 1; +¥ ) \{ 3}

.

D = ¡ \{ 2}

Bài 2.1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = 6 - 3x A.

b)

x- 1

D = ( 1; 2)

A.

C.

ù
D=é
ë1; 3û

D.

ù
D=é
ë- 1; 2û

D = ( - 2; 2) \{ 0}

B.

ù
D=é
ë- 2; 2û

C.

ù
D=é
ë- 2; 2û\{ 0}

D.

D = ¡ \{ 0}

3x - 2 + 6x

y=

4 - 3x

c)

é2 4 ư
D=ê ; ÷
÷
÷
ê
3
3
ø
ë
A.
y = 6- x +
d)

A.

e)

ù
D=é
ë1; 2û

2- x + x+2
x

y=

y=

B.

é1 2 ö
D=ê ; ữ
ữ
ữ
ờ
3
3
ứ
ở
C.

ổ
4ử

D =ỗ
- Ơ; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
3
ố
ứ
D.

2 x +1
1+ x- 1

D = ( 1; +¥

)

2x +9

( x + 4)

é1 4 ư
D=ê ; ÷
÷
÷
ê
3
3
ø

ë
B.

x +3

B.

ù
D=é
ë1; 6û

C.

ù
D = ¡ \é
ë1; 6 û

D.

D = ( - ¥ ; 6)


A.
y=
f)

D = ¡ \{ - 4}

B.

D = ( - 3; +¥

)

C. D = ¡

D.

D = ( - 2; +¥

)

x2 - 2 x + 3
x - 3 x +2

A. D = ¡
f ( x) =
g)

B.

h)
A.
C.

)

C.

D = ¡ \{ 1; 4}

D.

D = ¡ \{ - 1; 4}

1
1-

1 + 4x

é 1 ö
D = ờ- ; 0ữ
ữ
ờ
ứ
ở 2 ữ
A.
y=

D = ( 0; +Ơ

ộ 1 ö
D = ê- ;1÷
÷
÷
ê
ë 4 ø
B.

é 1 ö

D = ê- ; 0÷
÷
ê
ø
ë 4 ÷
D.

C. D = ¡

2 x2
x2 - 3x + 2
D = ( - ¥ ;1)

B.

D = ( - ¥ ;1) È ( 2; +¥

)

D.

D = ( 2; +¥

)

D = ( 1; 2)

Lời giải:
ù
é

ù
D=é
ë1; 2 û b) D = ë- 2; 2û\{ 0}
Bài 2.1: a)

é2 4 ư
D=ê ; ÷
÷
÷
ù
ê
3
3
ø d) D = é
ë1; 6û
ë
c)

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

a) Hàm số
ém > 0
ê
êm <- 1
A. ë
y=

b) Hàm số

B. m £ - 1
x

y=

x + 2m + 2
( - 1; 0)
x- m
xác định trên

ém ³ 0
ê
êm £ - 1
C. ë

é
x - m + 1 có tập xác định là ë0; +¥

)

D. m ³ 0


A. m > 0

C. m £ 0

B. m < 0

D. m ³ 0

Lời giải:
Bài 2.2: a) ĐKXĐ: x ¹ m

(Hàm số xác định trên

ém ³ 0
1; 0) Û m Ï ( - 1; 0) Û ê
êm £ - 1
ë

ìï x 0
ùớ
ù x m
b) KX: ùợ
(*)
x mị D=ộ
ởm; +Ơ
Nu m > 0 thỡ (*)
x 0ị D=ộ
ở0; +Ơ
Nu m £ 0 thì (*)

)

nên m > 0 khơng thỏa mãn

)

Vậy m £ 0 là giá trị cần tìm.
Bài 2.3: Tìm giá trị của tham số m để:
y = x - m +1 +
a) Hàm số
A. m ³ 4

2x

- x + 2m xác định trên ( - 1; 3) .

B. m ³ 2

C. m ³ 3

D. m ³ 1

( 0; +¥ ) .
b) Hàm số y = x + m + 2 x - m + 1 xác định trên
A.

ù
mỴ é
ë0; 3û

B.

y = - x - 2m + 6 c) Hàm số
A.

ù
mỴ é
ë1; 2û

B.

ù
mỴ é
ë1; 2û

C.

ù
mỴ é
ë0;1û

D.

ù
mỴ é
ë0; 2 û

D.

ù
mỴ é
ë1; 4û

1

x + m xác định trên ( - 1; 0) .
ù
mỴ é
ë0; 2û

C.

ù
mỴ é
ë1; 3û

Lời giải:
Bài 2.3: a) m ³ 2 ,

b)

ù
mỴ é
ë0;1û

c)

ù
mỴ é
ë1; 3û

DẠNG TỐN 2: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp giải.

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.
B1: Tìm tập xác định của hàm s.
B2: Kim tra
Nu " x ẻ D ị - x Î D Chuyển qua bước ba
Nếu $x0 Î D Þ - x0 Ï D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
B3: xác định

f ( - x)

và so sánh với

f ( x)

.

Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
f ( - x0 ) ¹ f ( x0 ) , f ( - x0 ) ¹ - f ( x0 )
Nếu tồn tại một giá trị $x0 Ỵ D mà
kết luận hàm số khơng chẵn
cũng khơng lẻ.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
3

3
a) f ( x) = 3 x + 2 x

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

4
2
b) f ( x) = x + x + 1

c)

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) = x + 5 + 5 - x

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ
f ( x) = 2 + x +
d)

D.hàm số không chẳn, không lẻ

1
2- x

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số khơng chẳn, khơng lẻ
Lời giải:

a) Ta có TXĐ: D = ¡

(

3

Với mọi x Ỵ ¡ ta có - x Ỵ ¡

và

)

f (- x) = 3 ( - x) + 2 3 - x =- 3 x 3 + 2 3 x =- f ( x)

3
3
Do đó f ( x) = 3 x + 2 x là hàm số lẻ

b) Ta có TXĐ: D = ¡
f (- x) = ( - x) +
4

Với mọi x Ỵ ¡ ta có - x Î ¡

và

( - x)

2

+ 1 = x 4 + x 2 + 1 = f ( x)

4
2
Do đó f ( x) = x + x + 1 là hàm số chẵn

ïìï x + 5 ³ 0 ïìï x ³ - 5
Û í
Û - 5£ x£ 5
í

ïỵï 5 - x ³ 0 ïỵï x £ 5
c) ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ:
Với mọi
Do đó

ù
é
ù
f (- x) =
xỴ é
ë- 5; 5ûta có - x Ỵ ë- 5; 5û và

f ( x) = x + 5 + 5 - x

d) ĐKXĐ:

ïìï 2 + x ³ 0
Û
í
ïỵï 2 - x > 0

Suy ra TXĐ:
Ta có

ù
D=é
ë- 5; 5û

( - x) + 5 +

là hàm số chẵn

ïìï x ³ - 2
Û - 2 £ x <2
í
ïỵï x < 2

D=é
ë- 2; 2)

é
x0 =- 2 Ỵ é
ë- 2; 2) nhưng - x0 = 2 Ï ë- 2; 2)
f ( x) = 2 + x +

Vậy hàm số

1
2 - x không chẵn và không lẻ.

5 - ( - x) = x + 5 + 5 - x = f ( x )


Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a)

b)

f ( x) = x 4 - 4 x + 2

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) = x + 2 - x - 2
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) =
c)

x + x2 +1
x +1 - x
2

- 2x2 - 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số khơng chẳn, khơng lẻ

ïìï - 1 Khi x < 0
ï
f ( x) = ïí 0 Khi x = 0
ïï
ïïỵ 1 Khi x > 0
d)
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số khơng chẳn, khơng lẻ
Lời giải:

a) Ta có TXĐ: D = ¡
f( - 1) = 7,

( 1) =-

Ta có

ìï f( - 1) ạ
1 ị ùớ
ùù f( - 1) ạ ùợ

( 1)
( 1)

Vậy hàm số khơng chẵn và khơng lẻ
b) Ta có TXĐ: D = ¡
Với mọi x Ỵ ¡ ta có - x Ỵ ¡
Suy ra

f ( - x) = f ( x)

và

f (- x) = ( - x) + 2 - ( - x) - 2 = x - 2 - x + 2


Do đó

f ( x) = x + 2 - x - 2

c) Ta có

là hàm số chẵn.

x2 +1 > x2 = x x ị

x2 +1 - x ạ 0

vi mọi x .

Suy ra TXĐ: D = ¡
x2 +1 > x 2 = x ³ - x Þ

Mặt khác

f ( x) =

(

( x+
x +1 + x
2

x2 +1

)(

)

x +1 - x
2

Do đó

x + x2 +1
x +1 - x
2

do đó

2

Với mọi x Î ¡ ta có - x Î ¡
f ( x) =

x2 +1 + x ¹ 0

)

và

- 2 x2 - 1 = 2x x2 +1

f (- x) = 2 ( - x)

( - x)

2

+ 1 =- 2 x x 2 + 1 =- f ( x)

- 2 x2 - 1
là hàm số lẻ.

d) Ta có TXĐ: D = ¡
Dễ thấy mọi x Ỵ ¡ ta có - x Ỵ ¡
f ( - x) =- 1, f ( x) = 1 Þ f ( - x) =- f ( x)
Với mọi x > 0 ta có - x < 0 suy ra
f ( - x) = 1, f ( x) =- 1 Þ f ( - x) =- f ( x)
Với mọi x < 0 ta có - x > 0 suy ra

Và

f( - 0) =-

( 0) = 0

f ( - x) =- f ( x)
Do đó với mọi x Ỵ ¡ ta có

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại
f ( - x) =
Ta có

x 2 ( x 2 - 2) - ( 2 m2 - 2) x
x2 +1 - m


f ( - x) = f ( x)

Suy ra
Û

với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)

x 2 ( x 2 - 2) - ( 2 m 2 - 2) x
x2 +1 - m

Û 2 ( 2m2 - 2) x = 0

=

x 2 ( x 2 - 2 ) +( 2 m 2 - 2 ) x
x2 +1 - m

với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)

với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)

Û 2 m2 - 2 = 0 Û m = ±1

* Với m = 1 ta có hàm số là
ĐKXĐ :

f ( x) =

x 2 ( x 2 - 2)
x2 +1 - 1

x2 +1 ¹ 1 Û x ¹ 0

Suy ra TXĐ:

D = ¡ \{ 0}

Dễ thấy với mọi
f ( x) =

Do đó

x Ỵ ¡ \{ 0}

ta có

- x Ỵ ¡ \{ 0}

và

f ( - x ) = f ( x)

x 2 ( x 2 - 2)
x 2 + 1 - 1 là hàm số chẵn

* Với m =- 1 ta có hàm số là

f ( x) =

x 2 ( x 2 - 2)
x2 +1 +1

TXĐ: D = ¡
f ( - x) = f ( x)
Dễ thấy với mọi x Ỵ ¡ ta có - x Ỵ ¡ và
f ( x) =
Do đó

x 2 ( x 2 - 2)
x 2 + 1 + 1 là hàm số chẵn.

Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.4:: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
x3 + 5x
f ( x) = 2
x +4
a)


A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

x2 + 5
f ( x) = 2
x - 1
b)

c)

d)

e)

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) = x + 1 -

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) =

x- 5
x- 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) = 3 x 2 - 2 x + 1
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) =
f)

x3
x- 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f ( x) =
g)

1- x

x - 1 + x +1
2x - 1 + 2x +1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ


Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
D = ¡ \{ 1}

d) TXĐ:

Ta có x =- 1 Ỵ D nhưng - x = 1 Ï D
Do đó hàm số khơng chẵn và khơng lẻ
f( 1) = 2,
e) TXĐ: D = ¡ . Ta có

Suy ra

f( - 1) ¹ f( 1) ,

( - 1) ¹

-

( - 1) = 6
( 1)

Do đó hàm số khơng chẵn và khơng lẻ.

f) TXĐ:

D = ( - ¥ - 1) È ( - 1;1) È ( 1; +¥

f ( - x) =

( - x)

3

- x- 1

=-

)

nờn " x ẻ D ị - x Ỵ D

x3
=- f ( x) , " x Î D
x- 1

Vậy hàm số đã cho là hàm số l.
g) TX: D = Ă ị " x ẻ D Þ - x Ỵ D .
f (- x) =

- x - 1 + - x +1
- 2 x - 1 + - 2 x +1

= f ( x) , " x Ỵ D

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.


ïì x - 1 ¹ x + 1
x - 1 ¹ x + 1 Û ïí
Û x¹ 0
ïï x - 1 ạ - ( x +1)
ợ
h) KX:
TX:

D = Ă \{ 0} ị " x ẻ D ị - x ẻ D

f (- x) =

- x +2 + - x - 2
- x - 1 - - x +1

=- f ( x) , " x Ỵ D

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 2.5: Tìm m để hàm số:

A.

m=

1
3

y = f ( x) =

B.

m=

x ( x 2 - 2) + 2 m - 1
x - 2m +1

1
2

là hàm số chẵn.

C. m = 1

D.

m =-

1
2

Lời giải:

Bài 2.5:

m=

1
2

Bài 2.6: Cho hàm số

y = f ( x) , y = g ( x)

a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số

có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng

y = f ( x) + g ( x)

b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số

là hàm số lẻ

y = f ( x) g ( x )

là hàm số lẻ

Lời giải:
Bài 2.6: a) Ta có hàm số

y = f ( x) + g ( x )

y = f ( x) , y = g ( x )
có tập xác định D . Do hàm số
lẻ nên

" x Ỵ D ị - x ẻ D v f ( - x) =- f ( x) , g ( - x) =- g ( x) suy ra
y ( - x) = f ( - x) + g ( - x) =- é
f x + g ( x) ù
=- y ( x)
ê
ú
ë( )
û
Suy ra hàm số

y = f ( x) + g ( x )

b) Giả sử hàm số

y = f ( x)

là hàm số lẻ.

chẵn,

y = g ( x)

lẻ


Khi đó hàm số
Ta có

y = f ( x) g ( x )

có tập xác định là D nên " x ẻ D ị - x ẻ D

y ( - x) = f ( - x) g ( - x) = f ( x) é
- g x ù=- f ( x) g ( x) =- y ( x)
ê
ë ( )ú
û

Do đó hàm số

y = f ( x) g ( x)

lẻ.

Bài 2.7: a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
y = x 3 - ( m 2 - 9)x 2 + ( m + 3)x + m - 3

A. m = 3

.

B. m = 4

C. m = 1

D. m = 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng
y = x 4 - ( m 2 - 3m + 2)x 3 + m2 - 1

A. m = 3

.

B. m = 4, m = 3

C. m = 1, m = 2

D. m = 2

Lời giải:
Bài 2.7: a) Ta có TXĐ: D = ¡ Þ " x ẻ D ị - x ẻ D
th hm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ
Û f ( - x) =- f ( x) , " x Ỵ ¡ Û ( - x) - ( m2 - 9) ( - x) + ( m + 3) ( - x) + m - 3
3

2

3
2

2
ù, " x Î ¡
=- é
êx - ( m - 9)x + ( m + 3)x + m - 3û
ú
ë
2
2
Û 2( m - 9) x - 2 ( m - 3) = 0, " x Ỵ ¡

ìï m 2 - 9 = 0
Û ïí
Û m=3
ïï m - 3 = 0
ỵ
b) Ta có TXĐ: D = Ă ị " x ẻ D ị - x Ỵ D
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn
Û f ( - x) = f ( x) , " x Ỵ ¡
Û ( - x) - ( m2 - 3m + 2) ( - x) + m2 - 1 = x 4 - ( m2 - 3m + 2) x 3 + m2 - 1, " x Ỵ ¡
4

3

ém = 1
Û 2( m2 - 3m + 2)x 3 = 0, " x Ỵ ¡ Û m 2 - 3m + 2 = 0 Û ê
êm = 2
ë
 DẠNG TỐN 3. XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ
TRÊN MỘT KHOẢNG