Bài toán vận dụng cao chủ đề 1 KHẢO sát hàm số ỨNG DỤNG có lời giải file word

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG
3
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y = x − mx + 5 , m là tham số. Hỏi hàm số đã
cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y = x 6 − mx + 5
Suy ra: y ′ =

3x5
x

3

−m=

3x5 − m x
x

TH1: m = 0 . Ta có: y ′ =

và hàm số không có đạo hàm tại x = 0 .

3

5 x5
x

3

3

= 0 vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại

x =0.

x

−∞

+∞

0

−

y′

+

y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
x > 0
m
3

5
⇔
x
=
TH2: m > 0 . Ta có: y ′ = 0 ⇔ 3 x = m x ⇔  5
3
3
3 x = mx
Bảng biến thiên
x

y′

−∞

m
3

0

−

−

0

+∞
+

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị.
x < 0
m
3
5
⇔ x=− −
TH3: m < 0 . Ta có: y ′ = 0 ⇔ 3x = m x ⇔  5
3
3
3 x = − mx


x

y′

−∞

− −

m
3

−

0

+

+∞

0

+

y
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m
Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m > 0 , ta có thể chọn m là một số dương
(như m = 3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m = −3 để làm sẽ cho
lời giải nhanh hơn.
Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y =

2 x + 2017
(1) . Mệnh đề nào dưới đây là
x +1

đúng?
A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận
đứng là đường thẳng x = −1.
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = −2, y = 2
và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và
không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận
đứng là các đường thẳng x = −1, x = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số y =

2 x + 2017
(1) có tập xác định là ¡ , nên đồ thị không có tiệm cận
x +1

đứng
2 x + 2017
2 x + 2017
= 2; lim
= −2 , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
x →+∞
x →−∞
x +1
x +1
lim

là các đường thẳng y = −2, y = 2 .
Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y = x 3 + x 2 + mx − 1 nằm bên phải trục tung.
1
1
A. Không tồn tại m .B. 0 < m < .
C. m < .
D. m < 0 .
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.


Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y ′ = 0 có hai

nghiệm

phân

biệt

3 x 2 + 2 x + m = 0 (1) có

hai

nghiệm

phân

biệt

1
∆′ = 1 − 3m > 0 ⇔ m < .
3
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT là hoành độ hai điểm cực trị.

2

x
+
x
=
−
< 0 (2)
CĐ

CT

3
Theo định lí Viet ta có 
, trong đó xCĐ < xCT vì hệ số của x3
 x .x = m (3)
 CĐ CT 3
lớn hơn 0.
Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: xCT > 0 ,
kết hợp (2) và (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ xCĐ .xCT =

m
< 0 ⇔ m < 0.
3

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) có nghiệm thực
2

khi và chỉ khi:
3
A. −6 ≤ m ≤ − .
2

B. −1 ≤ m ≤ 3 .

C. m ≥ 3 .

1
3
D. − ≤ m ≤ .

4
4

Hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính bỏ túi.

x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ mx 4 − x 3 + ( 2m − 1) x 2 − x + m = 0
2

Chọn m = 3 phương trình trở thành 3 x 4 − x3 + 5 x 2 − x + 3 = 0 (không có nghiệm
thực) nên loại đáp án B, C.
Chọn m = −6 phương trình trở thành −6 x 4 − x 3 − 13 x 2 − x − 6 = 0 (không có nghiệm
thực) nên loại đáp án A.
Kiểm tra với m = 0 phương trình trở thành − x 3 − x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 nên chọn đáp
án D.
Tự luận
Ta có x 3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) ⇔ m =
2

Xét hàm số y =

x3 + x 2 + x
(1)
x4 + 2 x2 + 1

x3 + x 2 + x
xác định trên ¡ .
x4 + 2 x2 + 1

y′ =

(x

( 3x
=
=

2

3

+ x 2 + x ) ′ ( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x3 + x 2 + x ) ( x 4 + 2 x 2 + 1) ′

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

2

+ 2 x + 1) ( x 4 + 2 x 2 + 1) − ( x3 + x 2 + x ) ( 4 x 3 + 4 x )

(x

4

+ 2 x 2 + 1)

2

− x 6 − 2 x5 − x 4 + x 2 + 2 x + 1

( x + 2 x + 1)
( − x + 1) ( x + 2 x + 1)
=
( x + 2 x + 1)
4

4

2

2

2

4

2

2

x = 1
y ′ = 0 ⇔ ( − x 4 + 1) ( x 2 + 2 x + 1) = 0 ⇔ 
 x = −1
Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

x3 + x 2 + x
y= 4
x + 2x2 + 1

⇔

−1
3
≤m≤ .
4
4

Chọn đáp án D.
Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f ( x ) =

f ( a ) + f ( b − 2 ) có giá trị bằng
A. 1 .

B. 2 .

C.

1
4

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: b − 2 = 1 − a
f ( a) =

9a
91− a
3
;
f
b
−
2
=
f
1
−
a
=
=
(
)
(
)
a
1− a
3+9
3+ 9
3 + 9a

9x
, x ∈ R . Nếu a + b = 3 thì
3 + 9x

D.

3
.
4


⇒ f ( a ) + f ( b − 2) =

9a
3
+
=1
a
3 + 9 3 + 9a

Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số y = x3 + 3x 2 + mx + m − 2 nằm về hai phía so với trục hoành?
A. m > 3 .
B. −1 < m < 2 .
C. m < 3 .
D. 2 < m < 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y ′ = 3 x 2 + 6 x + m .
Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y ′ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt.
Do đó ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 .
Gọi x1 , x2 là điểm cực trị của hàm số và y1 , y2 là các giá trị cực trị tương
ứng.
1  2

2
1

3
2
Ta có: y = x + 3x + mx + m − 2 = y ′.  x + ÷+  m − 2 ÷x + m − 2 nên y1 = k ( x1 + 1) ,
3  3
3
3


y2 = k ( x2 + 1) .
Yêu

cầu

bài

⇔ y1. y2 < 0 ⇔ k 2 ( x1 + 1) ( x2 + 1) < 0 ⇔ x1 x2 + x1 + x2 + 1 < 0 ⇔

toán

m
− 2 +1< 0 ⇔ m < 3 .
3

Vậy m < 3 thỏa mãn bài toán.
Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx + 2 cắt đường tròn tâm
I ( 1;1) , bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác

IAB đạt giá trị lớn nhất.
2± 3
1± 3
A. m =
.
B. m =
.
2
2

C. m =

2± 5
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y′ = 3 x 2 − 3m nên y ′ = 0 ⇔ x 2 = m .
Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 2 có hai điểm cực trị khi và
chỉ khi m > 0 .
Ta có y = x3 − 3mx + 2 =

1
1
x ( 3x 2 − 3m ) − 2mx + 2 = x. y ′ − 2mx + 2 .
3
3

D. m =

2± 3
.
3


Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx + 2 có
phương trình ∆ : y = −2mx + 2
1
1
1
Ta có: S ∆IAB = .IA.IB.sin ·AIB = sin ·AIB ≤
2
2
2
Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng
Gọi H là trung điểm AB ta có: IH =
Mà d( I ,∆ ) =

1
khi sin ·AIB = 1 ⇔ AI ⊥ BI .
2

1
2
AB =
= d( I ,∆ )
2
2

2m + 1 − 2
4m 2 + 1

Suy

d( I ,∆ ) =

ra:

⇔ 8m 2 − 16m + 2 = 0 ⇔ m =

2m + 1 − 2
4m 2 + 1

=

2
⇔ 4m − 2 = 2 ( 4m 2 + 1)
2

2± 3
.
2

Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng
2x +1
y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x +1

AB = 2 3 .
A. m = 4 ± 10 .

B. m = 4 ± 3 .

C. m = 2 ± 3 .

D. m = 2 ± 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hoành

độ

giao

điểm

là

nghiệm

PT:

2
2x +1
 f ( x ) = x + ( m − 2 ) x + m − 2 = 0
= x + m −1 ⇔ 
.

x +1
 x ≠ −1

Đường thẳng y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1 , hay
∆ > 0
m 2 − 8m + 12 > 0
m < 2

⇔
⇔


 f ( −1) ≠ 0
m > 6
1 ≠ 0


( *)

.

 x1 + x2 = 2 − m
Khi đó, gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 , ta có 
 x1 x2 = m − 2
(Viète).
Giả sử A ( x1 ; x1 + m − 1) , B ( x2 ; x2 + m − 1) ⇒ AB = 2 x2 − x1 .


Theo giả thiết AB = 2 3 ⇔ 2 x2 − x1 = 2 3 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 6 ⇔ m 2 − 8m + 6 = 0

2

⇔ m = 4 ± 10

Kết hợp với điều kiện ( *) ta được m = 4 ± 10 .
Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy ≤ 4 y − 1 .Giá trị
6 ( 2x + y )
x + 2y
+ ln
nhỏ nhất của P =
là a + ln b . Giá trị của tích ab là
x
y
A. 45 .
B. 81 .
C. 108 .
D. 115 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

x, y dương ta có: xy ≤ 4 y − 1 ⇔ xy + 1 ≤ 4 y ≤ 4 y 2 + 1 ⇔ 0 <
Có P = 12 + 6

Đặt t =

x

y
+ ln  + 2 ÷ .
x

y


x
, điều kiện: 0 < t ≤ 4 thì
y

6
P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + 2 )
t
f ′( t ) = −

6
1
t 2 − 6t − 12
+
=
t2 t + 2
t 2 ( t + 2)

t = 3 + 21
f ′( t ) = 0 ⇔ 
t = 3 − 21

t
4

0

f ′( t ) −

P = f ( t)
27
+ ln 6
2
Từ BBT suy ra GTNN ( P ) =
⇒a=

27
, b = 6 ⇒ ab = 81 .
2

27
+ ln 6 khi t = 4
2

x
≤4 .
y


Câu 10:

(CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu
nghiệm thực trong [ −5π ; 2017π ] ?
A. vô nghiệm.
B. 2017 .
C. 2022 .
D. 2023 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

Ta có hàm số y = 2017sin x − sin x − 2 − cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .
Xét hàm số y = 2017sin x − sin x − 2 − cos 2 x trên [ 0; 2π ] .
Ta có

sin x 
= cos x.  2017sin x.ln 2017 − 1 −
÷
2 2 − cos 2 x
1 + sin 2 x 

π
3π
Do vậy trên [ 0; 2π ] , y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = ∨ x =
.
2
2
1
π 
 3π 
y  ÷ = 2017 − 1 − 2 > 0 ; y  ÷ =
−1− 2 < 0
2
 2  2017
Bảng biến thiên
x
π
3π
0
2π
2

2
−
+
+
y′
0
0
0
y′ = cos x.2017sin x.ln 2017 − cos x −

π
y ÷
 23π 
y  ÷
 2

y

2sin x.cos x

0

Vậy trên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có đúng ba nghiệm phân biệt.

Ta có y ( π ) = 0 , nên trên [ 0; 2π ] phương trình 2017 sin x = sin x + 2 − cos 2 x có ba nghiệm
phân biệt là 0, π , 2π .
Suy ra trên [ −5π ; 2017π ] phương trình có đúng 2017 − ( −5 ) + 1 = 2023 nghiệm.