BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN – GIẢI TÍCH 1 đề TÀI 7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
--------*-------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN – GIẢI TÍCH 1
ĐỀ TÀI 7
TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Khoa: Kỹ thuật xây dựng
Lớp: L32
Nhóm: 7
GVHD: Huỳnh Thị Hồng Diễm

TP. HCM, tháng 01 năm 2021


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

MỤC LỤC

1 . Cơ sở lý thuyết
 Tích phân suy rộng loại 1………………………………………………………...2
 Tích phân suy rộng loại 2………………………………………………………...8
2 . Một số bài tập………………………………………………………………………..12
3 . Tên thành viên……………………………………………………………………….17

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

1 . Cơ sơ lý thuyết
Tích phân suy rộng loại 1
Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a
b

+∞

∫ f (x )dx=blim
∫ f ( x) dx
→+∞
a

a

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +)
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên cịn được gọi là giá trị của tích phân suy rộng

NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +)
thì:
+∞

là tích phân suy rộng loại 1

∫ f ( x ) dx
a

VD:
+∞

+∞

0

−2

dx
∫ sinx
x

∫ x 2 +dxx+1

+∞

+∞

0

0

x
dx

∫ sinx

là tích phân suy rộng loại 1

x+1
dx
∫ x 2 +2
x−3

2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

ĐỊNH NGHĨA

b

b

lim ∫ f ( x )dx
∫ f (x) dx= a→
∞
a

−∞

+∞

a

+∞

∫ f (x) dx= ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx
−∞

−∞

a

Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tích phân vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tích phân vế phải phân kỳ là tích phân vế trái phân kỳ, khơng cần biết tích phân
cịn lại)

Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ

+∞

I=∫
0

dx
2
1+ x

b

φ (b)=∫
0

b →+∞
→

dx
= arctan x| b=arctan b
2
0
1+ x

π
2

+∞

=∫
0

dx
1+ x 2

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

b

+∞

I = ∫ cosx dx

φ ( b )=∫ cosx dx=sinb

0

0

Khơng có giới hạn khi b →+∞
 Phân kỳ

+∞

I=∫
e

b

φ (b)=∫
e

lnx
x

ln b

lnx
1
=∫ tdt= [ln 2 b−1]
x
2
1

b →+∞ +∞
→

 Phân kỳ

TÍCH CHẤT TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   > a
+∞

+∞

∫ f ( x ) dx

và

a

∫ f ( x ) dx
a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)

f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   ≠ 0
+∞

∫ f ( x ) dx
a

+∞

và

∫ αf (x )dx
a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)

4


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

f, g khả tích trên [a, b],  b  a
+∞



+∞

∫ f ( x ) dx

và

a

∫ g (x)dx

hội tụ

a

+∞



∫ ( f +g)dx

hội tụ

a

+∞



+∞

∫ f ( x ) dx

hội tụ và

a

∫ g (x)dx

phân kỳ

a

+∞



∫ ( f +g)dx

phân kỳ

a

TÍCH PHÂN HÀM KHƠNG ÂM

Cho f(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a.
Khi đó:
b

φ (b)=∫ f (x)dx

là hàm theo biến b

a

 φ (b) hội tụ khi và chỉ khi φ (b) bị chặn trên.

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1

Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Nếu f(x) ≤ kg(x ), ∀ x ≥ α ≥ a
+∞

+∞

∫ g ( x)dx hội tụ thì ∫ f ( x ) dx hội tụ
a

+∞

a

+∞

∫ f ( x ) dx phân kì thì ∫ g (x)dx phân kì
a

a

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2

5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Đặt: k = lim

x→+∞

f ( x)
g( x )
+∞

•

0 k  

+∞

∫ f ( x ) dx, ∫ g ( x)dx
a

+∞

•

k=0

+∞

∫ g ( x ) dx hội tụ  ⇒ ∫ f ( x ) dx
a

k=

hội tụ

a

+∞

•

Cùng hội tụ hoặc phân kỳ

a

+∞

∫ g ( x ) dx
a

phân kì ⇒ ∫ f ( x ) dx

phân kì

a

Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1:
 f(x)  kg(x)  φ f (b) ≤ k φ g (b)

+∞

∫ g (x)dx hội tụ ⇒ φ g (b)bị chặn trên
a

 φ f (b) bị chặn trên
+∞



∫ f ( x ) dx

hội tụ

a

 f(x) ≤ kg(x)  φ f (b) ≤ k φ g (b)
+∞

∫ f ( x ) dx

phân kỳ ⇒ φ f (b) không bị chặn trên

a

 φ g (b) không bị chặn trên
+∞



∫ g ( x)dx

phân kỳ

a

6


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2:
lim

x→+∞

f ( x)
=K ≠0 , ∞
g( x )

f (x)
K
−K < , ∀ x >α
g(x)
2



|

|



K
3K
g( x )< f ( x )<
g ( x), ∀ x >α
2
2

 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1

lim

x→+∞

f (x)
f (x )
=0 ⇒
<1 , ∀ x> α
g(x )
g ( x)

 f(x) < g(x), ∀ x> α
 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1
lim

x→+∞

f ( x)
g(x )
=∞ ⇒ lim
=0
g( x )
x→+∞ f (x)

Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm
TÍCH PHÂN CƠ BẢN

+∞

với a > 0
∫ dx
α
a x

Hội tụ  α >1

(Nghĩa là: α > 1 thì tích phân hội tụ, α  1 thì tích phân phân kỳ)

7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHĨM 7

Tích phân suy rộng loại 2
Điểm kỳ dị:

Cho f(x) xác định trên [a,b]\{x0}. Nếu
lim f ( x )=∞

x→ x ±
0

Ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a,b]

b

Tích phân suy rộng loại 2 là ∫ f ( x )dx
a

Với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a,b]

8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

ĐỊNH NGHĨA

Cho f(x) khả tích trên [a,b - ε ¿, với mọi ε > 0 đủ nhỏ, kỳ thị tại b

b

f ( x )dx=
a∫
a

lim

¿¿

b

ε →0

+¿

∫ f (x)dx
a+ ε

b

Nếu f kỳ dị tại a

∫ f ( x )dx= ε →0limf (x)dx ¿ ¿
+¿

a

b

Nếu giới hạn hữu hạn: ∫ f ( x )dx hội tụ

a

Ngược lại: phân kỳ

Nếu f kỳ dị tại a và b
b

c

b

∫ f ( x )dx=∫ f (x )dx +∫ f ( x)dx
a

a

c

Nếu f kỳ dị tại x0 ∈(a , b)
b

x0

b

∫ f ( x )dx=∫ f (x )dx +∫ f ( x)dx
a

a

x0

(vế trái hội tụ  các tích phân vế phải đều hội tụ)

Ví dụ:

9


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

1

dx
∫ lnx
x

kỳ dị tại x = 0

0

1

ln 2 x 1
= ∫ lnx . d (lnx) =
= -∞
2 0
0

|

Vậy tích phân trên phân kỳ

1

dx
∫ lnx
√x

f kỳ dị tại x = 0

0

1
1
= 2√ x . ln x|0− 2 √ x dx

∫
0

x

1
= 0 - 4 √ x|0 =−4

Vậy tích phân trên hội tụ

TÍCH PHÂN KHƠNG ÂM

TIÊU CHUẦN SO SÁNH 1

Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a,b - ε ¿, ∀ ε >0 , kỳ dị tại b
Nếu f(x)≤ kg(x ), ∀ x , a ≤ x< b
b

∫ g( x) dx
a

b

hội tụ thì

∫ f ( x )dx

hội tụ

a

10


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
b

NHÓM 7

b

∫ f ( x )dx

phân kỳ thì

a

∫ g( x) dx

phân kỳ

a

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2

Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1
Đặt k =

lim

¿

f (x)
x→ b
¿
g (x)
−¿

(giới hạn tại điểm kỳ dị)
b

b

 0≠ k ≠ ∞ ∫ f (x) dx ,∫ g( x) dx Cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a

a

b

 k=0

b

∫ g( x)dx hội tụ ⇒
a

∫ f (x )dx

b



k=∞

hội tụ

a

b

∫ g( x)dx phân kỳ ⇒ ∫ f ( x )dx phân kỳ

a

a

TÍCH PHÂN CƠ BẢN

b

Iα = ∫
a

dx
,
( b−x )α

b

Jα= ∫
a

dx
( x −a)α

11


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Hội tụ khi và chỉ khi α <1
kỳ dị tại b

kỳ dị tại a

2. Một số bài tập
Bài 1

12


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHĨM 7

 Phân kì
Bài 2

 Hội tụ
Bài 3

13


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHĨM 7

 Phân kì
Bài 4

14


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

 Hội tụ
Bài 5

 Phân kỳ

15


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 6

 Hội tụ

16


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 7

 Hội tụ

17


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 8

 Hội tụ
Bài 9

 Phân kỳ

18


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 10
∞

ex

∫ e 2 x +3 dx
0

u¿ e x →du=e x dx

 Hội tụ

19


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 11

 Hội tụ

20


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 12

 Phân kỳ
Bài 13

 Hội tụ

21


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 14

 Hội tụ

22


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 15

 Phân kỳ

23


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

Bài 16

 Hội tụ
Bài 17
Vẽ các miền và tính diện tích của chúng ( nếu là diện tích hữu hạn )
S = {(x,y)| x≥ 1, 0≤ y ≤ e− x}

24