BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN – GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI 7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
--------*-------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN – GIẢI TÍCH 1
ĐỀ TÀI 7
TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Khoa: Kỹ thuật xây dựng
Lớp: L32
Nhóm: 7
GVHD: Huỳnh Thị Hồng Diễm

TP. HCM, tháng 01 năm 2021


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

MỤC LỤC

1 . Cơ sở lý thuyết
 Tích phân suy rộng loại 1………………………………………………………...2
 Tích phân suy rộng loại 2………………………………………………………...8
2 . Một số bài tập………………………………………………………………………..12
3 . Tên thành viên……………………………………………………………………….17

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

1 . Cơ sơ lý thuyết
Tích phân suy rộng loại 1
Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +)
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên cịn được gọi là giá trị của tích phân suy rộng

NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +)
thì:
là tích phân suy rộng loại 1

VD:

là tích phân suy rộng loại 1

2


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

ĐỊNH NGHĨA

Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tích phân vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tích phân vế phải phân kỳ là tích phân vế trái phân kỳ, khơng cần biết tích phân
cịn lại)

Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ

I=

= arctan
=

I=
Khơng có giới hạn khi b
 Phân kỳ

I=

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

 Phân kỳ

TÍCH CHẤT TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   > a
và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)

f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   ≠ 0
và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)

f, g khả tích trên [a, b],  b  a

và
hội tụ



hội tụ


hội tụ và
 phân kỳ

phân kỳ

TÍCH PHÂN HÀM KHƠNG ÂM

Cho f(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a.
Khi đó:
là hàm theo biến b
 hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.

4

NHÓM 7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1

Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Nếu f(x) ,
hội tụ thì hội tụ
phân kì thì phân kì

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2

Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Đặt: k =
•

0 k   , Cùng hội tụ hoặc phân kỳ

•

k=0

hội tụ ⇒

•

k=

phân kì ⇒

hội tụ
phân kì

Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1:
 f(x)  kg(x) 
hội tụ ⇒ bị chặn trên
 bị chặn trên
 hội tụ

 f(x) kg(x) 

5

NHÓM 7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

phân kỳ ⇒ không bị chặn trên
 không bị chặn trên
 phân kỳ

Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2:




 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1

⇒
 f(x) < g(x),
 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1

⇒
Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm
TÍCH PHÂN CƠ BẢN

với a > 0

Hội tụ 

(Nghĩa là: > 1 thì tích phân hội tụ,  1 thì tích phân phân kỳ)

6


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

Tích phân suy rộng loại 2
Điểm kỳ dị:

Cho f(x) xác định trên [a,b]\{x0}. Nếu

Ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a,b]

Tích phân suy rộng loại 2 là
Với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a,b]

7

NHÓM 7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHÓM 7

ĐỊNH NGHĨA

Cho f(x) khả tích trên [a,b - , với mọi đủ nhỏ, kỳ thị tại b

a

Nếu f kỳ dị tại a
Nếu giới hạn hữu hạn: hội tụ
Ngược lại: phân kỳ

Nếu f kỳ dị tại a và b

Nếu f kỳ dị tại x0

(vế trái hội tụ  các tích phân vế phải đều hội tụ)

Ví dụ:

kỳ dị tại x = 0
= = =Vậy tích phân trên phân kỳ

f kỳ dị tại x = 0

8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHĨM 7

=2
=0Vậy tích phân trên hội tụ

TÍCH PHÂN KHƠNG ÂM
TIÊU CHUẦN SO SÁNH 1

Cho f(x), g(x) khơng âm và khả tích trên [a,b - , , kỳ dị tại b
Nếu f(x),
hội tụ thì hội tụ
phân kỳ thì phân kỳ

TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2

Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1
Đặt k = (giới hạn tại điểm kỳ dị)
 0 Cùng hội tụ hoặc phân kỳ
 k=0

hội tụ ⇒

 k = phân kỳ ⇒

9

hội tụ
phân kỳ


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

NHĨM 7

TÍCH PHÂN CƠ BẢN

= ,

=

Hội tụ khi và chỉ khi
kỳ dị tại b

10

kỳ dị tại a


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM

2. Một số bài tập
Bài 1

11

NHÓM 7


 Phân kì
Bài 2

 Hội tụ
Bài 3


 Phân kì
Bài 4

 Hội tụ
Bài 5


 Phân kỳ

Bài 6


 Hội tụ

Bài 7


 Hội tụ
Bài 8


 Hội tụ
Bài 9

 Phân kỳ

Bài 10


u

 Hội tụ

Bài 11


 Hội tụ

Bài 12


 Phân kỳ
Bài 13

 Hội tụ

Bài 14


 Hội tụ

Bài 15


 Phân kỳ

Bài 16


 Hội tụ
Bài 17
Vẽ các miền và tính diện tích của chúng ( nếu là diện tích hữu hạn )
S = {(x,y)| x, 0}


Bài 18
S = {(x,y)| x