BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN đại SỐ TUYẾN TÍNH đề TÀI GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH LESLIE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM
KHOA KHOA HỌC & ỨNG DỤNG


BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 16:
GIỚI THIỆU VỀ MƠ HÌNH LESLIE
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
NGUYỄN XN MỸ
Nhóm thực hiện:
Nhóm 3 – Lớp L11


DANH SÁCH THÀNH VIÊN
Nhóm 3 – Lớp L11

STT

HỌ VÀ TÊN

MSSV

1

Nguyễn Gia Huy

2013310

2

Nguyễn Trọng Huy

2011282

3

Trần Ngọc Quang Huy

2011293

4

Võ Mai Anh Huy

2013339

5

Nguyễn Thị Lệ Huyền

2013348

6

Cao Ngân Huỳnh

2013350

7

Phạm Hoàng Khanh

2012509

8

Nguyễn Đăng Khoa

2012509

9

Trần Nguyễn Anh Khoa

2013518

10

Vương Tuấn Kiệt

2013587

11

Y Khoa Knul

2013588

12

Nguyễn Trịnh Lâm

1711899

13

Huỳnh Công Lĩnh

2013647

14

Nguyễn Thị Trúc Linh

2013637

GHI CHÚ


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU.………………………………………………...1
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Giới thiệu về ma trận Leslie.………………………............2
2. Cách thiết lập một ma trận Leslie……………….…………2
II. ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE
1. Ứng dụng thực tế của ma trận Leslie………………………...4
2. Một số ví dụ khác về ứng dụng của ma trận Leslie…………..10
III. CHƯƠNG TRÌNH MATLAB
1. Lập một bài toán cụ thể…………………………………….12

2. Những lệnh cần thiết để giải bài toán……………………….13
3. Kết quả của bài toán trên chương trình………………..........14
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………15


LỜI MỞ ĐẦU
Đại số tuyến tính là một mơn học có rất nhiều ứng dụng trong đời sống và được sử
dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật như: kinh tế,
môi trường, công nghệ máy tính, xử lý tín hiệu, đồ họa, trí tuệ nhân tạo,… Vì Đại số
tuyến tính cho phép người sử dụng mơ hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên và tính
tốn hiệu quả với các mơ hình.
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của Đại số tuyến tính phải kể đến đó là
Mơ hình ma trận Leslie, được sử dụng trong sinh thái học để mơ hình hóa sự thay
đổi của quần thể trong một khoảng thời gian.

1


I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1. Giới thiệu về Leslie:
- Trong tốn học ứng dụng, ma trận Leslie là một mơ hình biểu thị sự gia tăng dân
số rời rạc, có cấu trúc theo độ tuổi, rất phổ biến trong sinh thái dân số. Ma trận
Leslie (mơ hình Leslie) được phát minh bởi Patrick H. Leslie, là một trong những
phương pháp phổ biến nhất để mô tả sự tăng trưởng của dân số và sự phân bố dân
spps theo độ tuổi dự kiến của một quần thể nhất định. Trong quần thể đó dân số
khơng di cư, phát triển trong một môi trường không giới hạn và chỉ xét đến một
giới tính trong quần thể, thường là giới tính cái.
- Ma trận Leslie được sử dụng trong sinh thái học để mơ hình hóa những thay đổi
của quần thể sinh vật trong một khoảng thời gian. Cụ thể trong mơ hình Leslie, dân

số được chia thành các nhóm dựa trên độ tuổi. Các nhóm theo độ tuổi được thay
bằng các giai đoạn di truyền trong một mơ hình tương tự đó là mơ hình Lefkovitch,
trong mơ hình này các cá thể có thể ở chung trong một giai đoạn hoặc chuyển sang
giai đoạn tiếp theo. Tại mỗi khoảng thời gian, quần thể được biểu diễn bằng một
ma trận với mỗi phần tử tương ứng với mỗi độ tuổi sẽ cho biết số lượng cá thể hiện
có trong độ tuổi đó.

2. Cách thiết lập một ma trận Leslie:
- Để thiết lập 1 ma trận Leslie phải cần biết thông tin sau:
+ nx : Số lượng cá thể (𝐧) của mỗi lớp tuổi 𝐱
+ sx : Phần nhỏ các cá thể sống sót từ lớp tuổi x đến lớp tuổi 𝐱 + 𝟏
+ fx : Bình quân đầu người số con cái trung bình đạt được n0 được sinh ra từ
mẹ ở độ tuổi x. Chính xác hơn, nó có thể được xem như là số con cái được
tạo ra ở lớp tuổi tiếp theo bx+1 được tính theo xác suất đến lớp tuổi tiếp
theo.
- Do đó fx= sxbx+1.
- Từ những quan sát thấy rằng n0 tại thời điểm t+1 chỉ đơn giản là tổng của tất cả
con cái được sinh ra từ bước thời gian trước đó và những sinh vật sống sót đến thời
điểm t+1 là những sinh vật tại thời điểm khơng sống sót với xác suất sx, một người
nhận được nx+1 = sxnx. Khi đó, ma trận biểu diễn như sau:

2


f𝟎
n0
s𝟎
n1
𝟎
[ ⋮ ] t+1 =

𝟎
n𝛚-1
⋮
[𝟎

f𝟏
𝟎
s𝟏
𝟎
⋮
𝟎

f𝟐
𝟎
𝟎
s𝟐
⋮
𝟎

⋯ f𝛚−𝟐
⋯
𝟎
⋯
𝟎
⋯
𝟎
⋱
⋮
⋯ s𝛚−𝟐

f𝛚−𝟏
n0
𝟎
n1
𝟎
[ ⋮ ]t
𝟎
n𝛚-1
⋮
𝟎 ]

+ Trong đó ω là tuổi tối đa có thể đạt được trong quần thể.
+ Cịn có thể viết lại là : nt+1 = Lnt hoặc nt = Ltn0.
+ Với nt là vectơ tổng hợp tại thời điểm t và L.
L là ma trận Leslie.
+ Giá trị riêng của L được kí hiệu là λ, cho biết tốc độ tăng tiệm cận của dân
số (tốc độ tăng ở phân bố ổn định theo tuổi). Vector riêng tương ứng với λ
cung cấp sự phân bố tuổi ổn định, tỷ lệ cá thể của mỗi độ tuổi trong quần
thể, không đổi tại thời điểm này của sự tăng trưởng tiệm cận trừ những thay
đổi đối với tỷ lệ sống. Khi đã đạt đến phân bố tuổi ổn định, dân số tăng
trưởng theo cấp số nhân với tốc độ λ.

3


II. ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE:
1. Ứng dụng thực tế của ma trận Leslie:
* Để hình dung về ứng dụng, ta sẽ đi sâu vào phương pháp sử dụng
ma trận Leslie mơ hình hóa một quần thể sinh vật cụ thể:
ỨNG DỤNG ĐẾN QUẦN THỂ GÀ TÂY HOANG DÃ TẠI IOWA

Ở khoảng nửa phía Đơng của Hoa Kỳ, nơi gà tây hoang dã sinh sống. Tại đây,
săn gà tây mang lại hiệu quả kinh tế đáng kể ở nhiều cộng đồng nơng thơn. Nó mang
lại doanh thu lớn vì việc săn gà tây không chỉ cung cấp thực phẩm, mà còn tăng
cường sự phát triển của các ngành liên quan như chế tạo quần áo và trang thiết bị
bằng những thứ mà gà tây mang lại. Vì vậy, nâng cao kiến thức về quần thể, số lượng
gà tây là điều quan trọng để xây dựng các quy định về săn bắn và quản lý gà tây hiệu
quả.
Nhiều nghiên cứu về tỷ lệ sinh sản, tỷ lệ tử vong và tỷ lệ sống sót, và sự di
chuyển của gà tây hoang dã đã được thực hiện (Tại Dickson năm 1992). Tuy nhiên,
có rất ít mơ hình được thành lập để đánh giá quần thể gà tây. Để có sự kết hợp cụ
thể giữa tỷ lệ sống sót và tỷ lệ sinh sản, cần một mơ hình có thể cho chúng ta biết
liệu một quần thể gà tây hoang dã sẽ phát triển, suy giảm hay vẫn ổn định. Các tỷ lệ
sống rõ ràng cũng sẽ phụ thuộc vào mức độ thu hoạch. Bằng cách thay đổi mức thu
hoạch chúng ta có thể thấy sự ảnh hưởng đến quy mơ dân số và xem xét những thay
đổi đối với các quy định săn bắn và tăng cường quản lý đàn gà tây hoang dã.
Mơ hình Leslie được phát triển cho động thái quần thể của gà tây hoang dã
miền đông ở Iowa. Các thơng số được sử dụng trong mơ hình dựa trên các nghiên
cứu về gà tây hoang dã ở Iowa (Suchy et al. 1983, Dickson 1992), và đặc điểm dân
số sẽ được giải thích bằng mơ hình phân tích.

4


- Mục tiêu của nghiên cứu này hướng tới:
+ Xây dựng mơ hình dự đốn quy mơ dân số và cơ cấu tuổi gà tây hoang dã ở
Iowa trong tương lai.
+ Để thấy được ảnh hưởng của mức thu hoạch (theo phần trăm tổng dân số)
đến cơ cấu tuổi dân số và tăng trưởng.
+ Để tìm những mùa săn gà tây hoang dã thích hợp nhất.
- Cấu trúc mơ hình

+ Biểu đồ vòng đời được thể hiện như sau:

+ Độ tuổi được phân loại thành ba giai đoạn để đơn giản hóa mơ hình tính
tốn. Con non (Poults) có độ tuổi từ 0 đến 1 tuổi, con nhỏ (Yearlings) có độ
tuổi từ 1 đến 2 tuổi và con trưởng thành (Adults) có độ tuổi từ 2 tuổi trở lên.
Sinh sản xảy ra với con nhỏ và con trưởng thành. Đơn vị tính tốn là 1 năm
và chỉ có con cái được xét trong mơ hình này.
Pi : xác suất để một con cái thuộc nhóm i tại thời điểm t sẽ sống trong nhóm
i + 1 (với i= 1, 2) hoặc sẽ sống ở nhóm i với i= 3 tại thời điểm t + 1.
Fi : số con được sinh ra bởi mỗi con cái ở nhóm i từ thời điểm t đến t + 1.
+ Các biến trạng thái là số lượng con non, con nhỏ và con trưởng thành, được
kí hiệu là n1, n2 và n3. Sau đó có thiết lập như sau:

5


+ Ma trận Leslie A, một ma trận vuông bậc 3, được xác định trong mơ hình 3
giai đoạn tuổi là:

+ Để đơn giản hóa hơn, nghiên cứu này ước tính các thơng số hằng năm và bỏ
qua một số thông tin phức tạp như tỉ lệ tử vong ở các mùa khác nhau. Thơng
qua những nghiên cứu có kết quả tốt về tỉ lệ sống sót và q trình sinh sản
của gà tây hồng dã, bên cạnh đó, khơng khó để ước tính được tham số Pi, Fi
trong mơ hình này. Mơ hình Leslie vẫn được áp dụng bằng cách sử dụng các
giá trị trung bình. Ma trận Leslie ban đầu của quần thể gà tây hoang dã
Iowatrong nghiên cứu này thu được:

- Kết quả nghiên cứu
+ Tính ổn định
Wen-Ching Li đã sử dụng FORTRAN để tìm ra trị riêng và vector riêng của

ma trận Leslie A, λ 1 = 1.15; λ2,3 = -0.27±0.04i và | λ1 | = 1.15 > 1 chứng tỏ
rằng quần thể không ổn định. Trên thực tế, một số thông số sẽ dao động ngẫu
nhiên trong tình huống thực tế. Để nghiên cứu sự nhạy của mơ hình đối với

6


các giá trị tham số riêng lẻ và quản lí quần thể gà tây, tác giả sẽ thay đổi lần
lượt các giá trị tham số cho đến khi đạt được sự ổn định của quần thể.
Trường hợp 1: Tỉ lệ sinh sản của con trưởng thành ở F3 giảm từ 1.86 xuống
0.8. Ma trận Leslie thay đổi thành

Khi đó trị riêng là λ1 = 0.999; λ2 = 0.05; λ3 = -0.42; | λi | < 1. Nó ổn định về
mặt tiệm cận. Trong trường hợp này, cần phải có một sự thay đổi lớn trong F3
để có được sự ổn định.
Trường hợp 2: Tỉ lệ sống sót của P1 giảm từ 0.445 xuống 0.260. các thơng số
khác vẫn cịn các giá trị giống như trong ma trận ban đầu.

Trị riêng của mơ hình: λ1 = 0.998; λ2.3 = -0.19±0.35i và | λi | < 1. Đó là quần
thể ổn định.
Trường hợp 3: Tỉ lệ sống sót hàng năm, P2 giảm từ 0.616 xuống 0.28. Các
thông số khác giữ nguyên các giá trị như trong ma trận ban đầu. Khi đó, λ1 =
0.996; λ2 = 0.02; λ3 = -0.40.
Trường hợp 4: Tỉ lệ sống sót của người trưởng thành P3 giảm từ 0.61 xuống
0.15. Các thông số khác vẫn giữ nguyên như ma trận ban đầu. Khi đó, λ1 =
0.997; λ2.3 = -0.42±0.52i.

7

Trường hợp 5: Thật khó để có được trạng thái ổn định nếu chỉ giảm F2. | λ1 |
vẫn lớn hơn 1 khi F2 giảm xuống 0.01, quá nhỏ so với mức sinh của con nhỏ.
Trường hợp 6: thay đổi đồng thời F2 và F3. Sau đó, khi F2 giảm từ 0.88 xuống
0.40 và F3 được thay đổi từ 1.86 thành 1.13, λ1 = 0.999; λ2.3 = 0.19±0.41i.
Trường hợp này hợp lí hơn về mặt sinh học so với trường hợp 1. Có một số
cách để thay đổi giá trị của F2 và F3 trong trường hợp này.
Trong trường hợp l, 2,3,4 và 6, các giá trị tuyệt đối của λi nhỏ hơn 1. Hệ thống
đó là ổn định tiệm cận và vì phần tử đơn vị khơng phải là một trị riêng của A,
điểm gốc là điểm cân bằng duy nhất của hệ. Quần thể sẽ bị tuyệt chủng sau
một thời gian dài.Nếu phần tử đơn vị là trị riêng của A, thay vì bị tuyệt chủng,
quần thể sẽ đạt được sự phân bố tuổi ổn định, tỉ lệ với vector riêng tương ứng
của phần tử đơn vị.
+ Ảnh hưởng của thu hoạch
Thu hoạch (săn bắt) sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số ở giai đoạn con
nhỏ và giai đoạn trưởng thành và ở đàn con giai đoạn gián tiếp. Giả định rằng
chỉ có xác suất sống sót của con nhỏ và con trưởng thành là bị ảnh hưởng bởi
mức thu hoạch được xác định bằng tỷ lệ phần trăm của tổng số cá thể trong
quần thể. Chỉ có các mùa săn bắn vào mùa thu được cân nhắc vì mơ hình này
dành cho các nhóm con cái và nó thường chỉ những con đực mới có thể bị
săn bắt vào mùa xuân. Dữ liệu từ cuốn sách có tên "Gà tây hoang dã"
(Dickson 1992) cho thấy có thể giảm P2 và P3 do thu hoạch.

8


Theo mức độ thu hoạch khác nhau P2 và P3 được thay thế bằng giá trị trong
bảng. Khi đó, trị riêng đặc trung chiếm ưu thế đang giảm khi mức thu hoạch
tăng lên.

Kết quả này cho thấy ở 20% số cá thể trong quần thể bị săn bắt, quy mô

quần thể phải nhỏ hơn, nghĩa là trị riêng chi phối phải nhỏ hơn 1. Nhưng
kết quả không thể hiện được điều đó. Có thể do mơ hình q đơn giản hoặc
có vấn đề nằm ở bước khảo sát, ước tính các tham số của nghiên cứu này.
Như đã đề cập trước đây, tỉ lệ sống sót và khả năng sinh sản sẽ thay đổi
theo thời gian tùy thuộc vào nhiều yếu tố, như điều kiện thời tiết. Trong đó,
tỉ lệ sống sót Pi sẽ thay đổi nhiều so với các con khác. Vì vậy, Pi được chọn
để điều chỉnh để thực hiện một số phân tích khác. Nếu Pi thay đổi từ 0.445
thành 0.330, kết quả của mô phỏng.

Kết quả này hợp lí hơn kết quả trước. Trị riêng chi phối dưới 1 khi mức thu
hoạch là 15%.
Tổng kết
Mơ hình gà tây này rất đơn giản, trong khi đó quần thể gà tây hoang dã ở Iowa
là một hệ thống phức tạp. Có q ít tham số trong mơ hình để mô tả đứng mức độ

9


phức tạp của quần thể gà tây hoang dã. Ma trận có thể mở rộng và nhiều tham số
hơn có thể thêm vào mơ hình Leslie. Tương tác giữa các tham số có thể được khảo
sát hoặc tồn bộ tổng thể có thể chia thành nhiều giai đoạn hơn.

2. Một số ví dụ khác về ứng dụng của ma trận Leslie:
VD1: Tìm số lượng cá thể chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau M năm, chúng ta đã biết
số lượng chuột cái hiện tại, tỉ lệ sinh và tỉ lệ sống sót của chúng qua bảng sau:

Độ tuổi
Số lượng ban đầu
Tỉ lệ sống sót
Tỉ lệ sinh sản

0 đến 1 tuổi
80
0.5
0.7

1 đến 2 tuổi
40
0.8
0.6

Từ 2 đến 3 tuổi
60
0
0.8

Giải:
- Ma trận Leslie:
0.7 0.6 0.8
L = [0.5 0
0]
0 0.8 0
- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi vào thời điểm ban đầu:
80
N0 = [40]
60
- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau 1 năm là:
N1 = L.N0
0.7 0.6 0.8
 N1 = [0.5 0

0 ]x
0 0.8 0
128
 N1 = [ 40 ]
32

80
[40]
60

- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau 2 năm là:
N2 = L.N1= L2.N0

10


- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau M năm là:
NM = LM.N0

VD2: Nếu chúng ta chia một quần thể bò rừng (xét các cá thể cái) thành các loại
bê, nghé, con trưởng thành(hai tuổi trở lên) chúng ta có thể phát triển mơ hình
ma trận Leslie cho dân số sử dụng:
+ Những con trưởng thành đạt 2 tuổi sống sót thêm một năm với
xác suất 0.95 và tái sản xuất với xác suất 0.42.
+ Có 0.6 cơ hội để một con bê sống sót trở thành một con nghé.
+ Con nghé có 0.7 cơ hội sống sót đến tuổi trưởng thành.
+ Đàn bò bắt đầu với 100 con trưởng thành.
Độ tuổi
Số lượng ban đầu
Tỉ lệ sống sót

Tỷ lệ sinh sản

Bê
0
0.6
0

Nghé
0
0.7
o

Con trưởng thành
100
0.95
0.42

Giải:
- Ma trận Leslie:
0
0 0.42
(0.6 0
0 )
0 0.7 0.95
- Vì vậy, nếu một đàn bắt đầu với 100 con trưởng thành, thì đàn bị của 1 năm
sau sẽ có cấu trúc:
0
0 0.42
0
42

X1 = L.X0 = (0.6 0
0 )( 0 ) = ( 0 )
0 0.7 0.95 100
95

11


III. CHƯƠNG TRÌNH MATLAB:
1. Lập một bài tốn cụ thể:
- Người ta chia tôm sú ra làm ba loại :
+ Loại 3 là loại nhỏ từ 0 đến 1 tuổi,
+ Loại 2 là loại vừa 1 đến 2 tuổi và loại 1 là loại to từ 2 tuổi trở lên .
- Tỉ lệ sống sót của các loại 1,2 và 3 qua các năm lần lượt là 0.8, 0.7 và 0.5
- Tỉ lệ sinh con cái của loại 1 và loại 2 lần lượt là 0.4 và 0.5.
Khảo sát số lượng cá thể cái của một đàn tôm nuôi ở một vuông nuôi tôm tại Cà
Mau . Giả sử năm 2019 , đàn tơm có 10.000 con mỗi loại .
Độ tuổi
Số lượng
ban đầu
Tỷ lệ sống
sót
Tỷ lệ sinh
sản

Loại 3
(nhỏ từ 0 đến 1 tuổi)
10000

Loại 2

(vừa từ 1 đến 2 tuổi)
10000

Loại 1
(to từ 2 tuổi trở lên)
10000

0.5

0.7

0.8

0

0.5

0.4

12


2. Những lệnh cần thiết để giải bài toán:
clc;
clear all;

%Thiet lap ma tran leslei:
L=zeros(3,3); ( MA TRẬN HÀNG 3 CỘT 3)
L(1,1)=input('Nhap ti le sinh san cua loai I:');
(NHẬP SỐ LIỆU )

L(1,2)=input('Nhap ti le sinh san cua loai II:');
L(1,3)=input('Nhap ti le sinh san cua loai III:');
L(2,1)=input('Nhap ti le song sot cua loai I sang loai II:');
L(3,2)=input('Nhap ti le song sot cua loai II sang loai III:');
L(3,3)=input('Nhap ti le song sot cua loai III:');
fprintf('Ma tran Leslei la: \n');
disp(L);
(HIỂN THỊ MA TRẬN )

%Nhap ma tran gia tri dau:
( NHẬP SỐ LIỆU BAN ĐẦU CỦA TỪNG CÁ THỂ)
X0=zeros(3,1);
X0(1,1)=input('Nhap so luong con cai o loai I tai thoi diem ban dau:');
X0(2,1)=input('Nhap so luong con cai o loai II tai thoi diem ban dau:');
X0(3,1)=input('Nhap so luong con cai o loai I tai thoi diem ban dau:');
fprintf('Ma tran gia tri dau la: \n');
disp(X0)

%Tinh toan:
a=input('Nhap chu ky cua bai toan (so nam de ca the chuyen loai):'); (CHU KỲ
ĐỂ LOÀI NÀY CHUYỂN SANG LOÀI KHÁC ,vd : khoảng thời gian từ loài
1 sang loài 2 , ĐƠN VỊ LÀ NĂM )
b=input('Nhap so nam muon tinh:'); ( TÍNH SỐ NĂM THỨ T KỂ TỪ BAN
ĐẦU)
n=b/a;
X=(L^n)*X0; (CÔNG THỨC MA TRẬN LESLIE)
fprintf('Ket qua la:\n');
disp(X); (HIỂN THỊ KẾT QUẢ)

13

3. Kết quả của bài tốn trên chương trình Matlab:
* Sau khi nhập các lệnh cần thiết vào chương trình Matlab, ta được
kết quả của bài toán như sau:

14


IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
* Các tài liệu, trang web nhóm đã tham khảo trong q trình thực
hiện Bài tập lớn:
o />o APPLICATION OF LESLIE MATRIX MODELS TO WILD TURKEY
POPULATIONS by Wen-Ching Li North Carolina State University
Department of Statistics Biomathematics Graduate Program, Raleigh 1994
o Giáo trình ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC
QUỐC GIA TP.HCM

15