Tài liệu CHƯƠNG III: Vuông góc docx

BẢNG TỔNG KẾT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2
STT KHÁI NIỆM QUY TẮC,TÍNH CHẤT,CÁCH CHỨNG MINH
1
2
3
4
5
Vec tơ là đoạn thẳng định
hướng,một điểm là một
đầu,điểm kia là điểm cuối
Ba vec tơ gọi là đồng
phẳng nếu giá của chúng
cùng song song với một
mặt phẳng
Hai đường thẳng vuông
góc khi và chỉ khi góc
giữa chúng bằng 90
0
Đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng nếu nó
vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trong
mặt phẳng đó.
Liên hệ giữa quan hệ
song song và vuông góc
của đường thẳng và mặt
phẳng.
• Qui tắc ba điểm:
,AB BC AC OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
• Qui tắc hình bình hành ABCD:

AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• I là trung điểm AB:
0IA IB+ =
uur uur r
• AM là trung tuyến của tam giác ABC:
( )
1
2
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur

• G là trọng tâm tam giác ABC:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
• G là trọng tâm tứ diện ABCD:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
• Cho
, ,a b c
r r r
trong đó
,a b
r r
không cùng phương.
, ,a b c
r r r
đồng phẳng
⇔

có bộ số (m,n) duy nhất sao
cho:
c ma nb= +
r r r
.
• Nếu
, ,a b c
r r r
không đồng phẳng thì với mỗi vec
tơ
d
ur
ta tìm được bộ số (m,n,p) duy nhất sao
cho :
d ma nb pc= + +
ur r r r
•
¶
( )
¶
( )
¶
( )
¶
( )
0 0
, , ; , 90 , 90a b c d c d a b= = ⇒ =
.
•
( ), ( )a P b P a b⊥ ⇒ ⊥P

•
,a c c b a b⊥ ⇒ ⊥P
•
( )
( ), .
b
P
a P b hc a b a b
′ ′
⊂ = ⊥ ⇔ ⊥
.
•
. 0AB CD AB CD⊥ ⇔ =
uuur uuur
• Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau,cùng nằm trong mặt phẳng (P)
thì d vuông góc với (P).
• Hai mặt phẳng song song ,một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông
góc với mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song với nhau.
• Hai đường thẳng song song ,một mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng này thì cũng
vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì song song với nhau.
• Cho a//(P),đường thẳng nào vuông góc với a
thì cũng vuông góc với (P).
• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng

(không chứa đường thẳng đó)cùng vuông góc
với một đường thẳng thì chúng song song với
nhau.
BÀI TẬP LÀM THEO CHỦ ĐỀ
CHỦ ĐỀ 1: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng
minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng …,ta sử dụng các quy tắc :ba
điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường
chéo hình hộp.
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng:
1.
( )
) 2
)2
3 1
)
2 2
i AB AD AS SB SD
ii SO BA SC DB
iii SO DC AD SB SD
+ − = +
− − =
+ − = −
uuur uuur uuur uur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uur uuur
2. Tìm điểm G sao cho
GS GA GB GC GD O+ + + + =

uuur uuur uuur uuur uuur ur
Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có tâm hai đáy lần lượt là O và O
/
.Các véc tơ
, ,AB a AD b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.Hãy biểu diễn các vec tơ
, , , ,BD A C B D DO C O
′ ′ ′ ′ ′
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
theo
, ,a b c
r r r
.
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm
bất kỳ.Chứng minh rằng:

) 3
)3
a MB MC MD MG

b IA IB IC ID O
+ + =
+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
uur uur uur uur ur
Ví dụ 4: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
có tâm hai đáy lần lượt là O và O
/
.M là trung
điểm của BC,các vec tơ
, ,AB a AD b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.Hãy biểu diễn các vec tơ
, , , , ,AD O O CC BA C D O M
′ ′ ′ ′ ′ ′
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
theo
, ,a b c
r r r
,rồi suy ra các bộ ba vec tơ đồng phẳng :
( ) ( )
, , ; , ,AD O O CB BA C D O M
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
.
C.BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
.
, ,AB a AC b AA c
′
= = =
uuur r uuur r uuur r
.Gọi I là trung điểm
B
/
C
/
,K là giao điểm của A
/
I và B
/
D
/
.Hãy biểu diễn các vec tơ
, ,AI AK DK
uur uuur uuur
theo
, ,a b c
r r r
.
Bài 2:Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC.Kẻ các tia phân giác OM,ON,OP của các góc
AOB,BOC,COA.Chứng minh rằng:Nếu trong ba tia OM,ON,OP có hai tia vuông góc thì
từng cặp tia còn lại cũng vuông góc từng đôi một.
Bài 3:Cho tứ diện ABCD.Chứng minh rằng:

1)
( )
2 2 2 2
1
) . .
2
) . . .
a AB CD AD BC AC BD
b AB CD AC DB AD BC O
= + − −
+ + =
uuuruuur
uuuruuur uuuruuur uuuruuur ur
2)Nếu AB vuông góc với CD và AC vuông góc với DB thì AD vuông góc với BC.
Bài 4: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
.Một mặt phẳng cắt bốn cạnh hình hộp
AA
/
,BB
/
,CC
/
,DD
/
theo thứ tự tại M,N,P,Q.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC và
MP.Gọi G và G
/
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và MNP.Chứng minh rằng:

( ) ( )
( )
1 1
) .
2 4
1
)
3
a EF AM CP AM BN CP DQ
b GG AM BN CP
= + = + + +
′
= + +
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuur uuur
Bài 5:Trong không gian cho ba vec tơ
, ,a b c
r r r
không đồng phẳng.
a)Gọi
2 , 3 , 2 3x a b y b c z c a= − = − = −
r r r ur r r r r r
.Chứng minh ba vec tơ
, ,x y z
r ur r
đồng phẳng.
b)Chứng minh ba vec tơ
, ,la mb nb lc mc na− − −
r r r r r r
đồng phẳng.

Bài 6: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
Gọi G và G
/
lần lượt là trọng tâm các tam giác
A
/
BD và B
/
CD.
a)Chứng minh A,G,G
/
thẳng hàng và AG=GG
/
=G
/
C.
b)Tính AC
/
theo AA
/
=a,AB=b,AC=c,
·
·
·
, ,BAD DAA BAA
α β γ
′ ′
= = =

.
CHỦ ĐỀ 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một
trong hai cách sau:
• Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường
thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là
định lý cosin)
• Lấy các vec tơ
;u v
r r
cùng phương với a,b ,biểu diễn
;u v
r r
qua các vec tơ đã biết,tính
cos( , )u v
r r
rồi suy ra góc (a,b).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
·
·
·
0 / 0
60 , 120BAD BAA DAA
′
= = =

.Gọi O,O
/
là tâm hai đáy hình hộp.Tính:
·
( )
·
( )
·
( )
·
( )
, , , , , , ,A B AC AC BC B O DC DO AC
′ ′ ′ ′ ′
.
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB =AC=AD=a;BC=CD=DB=
2a
.
a)Tính
·
( )
,AC BD
b)Chứng minh rằng AB
⊥
CD,AD
⊥
BC.
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông cân ở đỉnh B,AB=a,tam giác ADC
vuông cân ở đỉnh A,BD=
3a

.Tính
·
( )
·
( )
, , ,AB DC AD BC
.
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
đáy là tam giác đều cạnh a ,
· ·
0
60BAA CAA
′ ′
= =

cạnh bên AA
/
=a.Gọi I là tâm mặt bên AA
/
B
/
B.Tính góc giữa IC
/
với AB và BC.
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a;SAB,SAC,SAD là các tam giác

vuông cân ở đỉnh A.
a)Tính
·
( )
·
( )
·
( )
·
( )
, , , , , , ,SA BC SB DC AB SD SC AD
.
b)Gọi E là điểm thuộc cạnh AD sao cho AE=b (0<b<a),(P) là mặt phẳng qua E và song
song với mặt phẳng (SAB).Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (P).
CHỦ ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một
trong hai cách sau:
• Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
• Chứng minh a//b ,b vuông góc với (P).
B.VÍ DỤ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại
C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:
a)CD
⊥
(ABC).
b)BE
⊥
(ACD).

c)EF
⊥
(ABC).
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm
tam giác BCD,chứng minh AH
⊥
(BCD).
Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA
⊥
(ABCD).Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh:
a)BD
⊥
(SAC).
b)MN
⊥
(SAB).
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có SB
⊥
(BCD).Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng
minh rằng:
a)DH
⊥
(ABC).
b)CH
⊥
(ABD).
c)CD
⊥

(ABH).
Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD.Gọi M là trung điểm của CD,H là chân
đường cao kẻ từ A của tam giác AMB.Chứng minh rằng:
a)CD
⊥
(AMB).
b)AH
⊥
(BCD).
Bài 3:Cho tứ diện ABCD có DA
⊥
(ABC).Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC
và tam giác BCD.Chứng minh rằng:
a)HK
⊥
(BCD).
b)BD
⊥
(CHK).
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều.Gọi H,I lần
lượt là trung điểm của AB và CD,cho SC=
2a
,HK
⊥
SI.Chứng minh rằng:
a)SH
⊥
(ABCD).
b)HK
⊥

(SDC).
CHỦ ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong
các cách sau:
• Chứng minh góc giữa a và b bằng 90
0
.
• Chứng minh a vuông góc với mặt phẳng chứa b.
• Chứng minh a song song với c,c vuông góc với b.
• Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
• Đưa về một mặt phẳng ,sử dụng các định lý trong hình học phẳng.
B.VÍ DỤ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện đều ABCD,AH
⊥
(BCD),M là trung điểm AH.Chứng minh rằng :
a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi.
b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông góc với nhau từng đôi.
Ví dụ 2:Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P).Trên đường
vuông góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường tròn (O) lấy điểm C,kẻ AI
⊥
SC,AK
⊥
AB.Chứng minh rằng:
a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác vuông.
b) AI
⊥
IK,IK
⊥
SB.

C BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và
B,AD=2AB=2BC.
a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b)Gọi I là trung điểm của AD chứng minh BI
⊥
SC và CI
⊥
SD.
Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC),AB=AC,I là trung điểm của BC AH
⊥
SI.Chứng minh:
a)BC
⊥
AH.
b)AH
⊥
SB.
c)SC không vuông góc với AI.
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ,SA vuông góc với đáy .Một mặt
phẳng
( )
α
qua A và vuông góc với SC tại N,cắt SB tại M,cắt SD tại P.
a)Chứng minh :AM
⊥
SB;AN
⊥

SC;AP
⊥
SD.
b)Chứng minh MP
⊥
SC;MC
⊥
AN
c)Tìm diện tích thiết diện AMNP khi SA=AB=a.
CHỦ ĐỀ 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a
/
là hình chiếu của a
trên (P).
*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P).
*Tìm giao điểm N của a và (P).
*NH chính là a
/
.
Để tính góc MNP ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN.
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A,SA vuông góc với
đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=
3a
.Tính góc giữa:
a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
b)SB,SC với mặt bên (SAD).
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A

/
B
/
C
/
,ABC là tam giác vuông
cân,AB=BC=a;B
/
A=B
/
B=B
/
C=a.Tính góc giữa B
/
B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng
(B
/
AC).
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân
tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=
2a
.Tính góc giữa:
a)DB và (ABC).
b)CD và (ABD).
c)AC và (ABD).
C.BÀI TẬP:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính
góc giữa:
a)Các cạnh bên và mặt đáy.

b)Cạnh SC và mặt bên (SAD).
c)Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC).
Bài 2:Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a và cùng tạo với đáy (ABC) các
góc bằng nhau,biết AB=AC=2BC=a.Tính góc giữa:
a)SA và mp(ABC).
SA và mp(SBC).
Bài 3:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông
góc với mặt phẳng (ABC).Trên d lấy điểm S sao cho
3
2
a
SH =
.Tính góc giữa:
a)SA với mp(ABC).
b)SC với mp(ABC).
c)SH với mp(SBC).
Bài 4:Cho hình hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có tất cả các cạnh đều bằng a,góc ABC bằng
120
0
;A
/
B=A

/
D=A
/
A.Tính góc giữa A
/
A và A
/
C
/
với mặt phẳng đáy.
CHỦ ĐỀ 6: XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
*xác định giao tuyến
∆
của (P) và (Q).
*Trên (P) tìm AI
⊥
∆
,trên (Q) tìm BI
⊥
∆
.
*
·
AIB
là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).
Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau:
*Chứng minh góc giữa chúng bằng 90
0

*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều
cạnh a,AD
3a=
.Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a)(BAD) và (CAD).
b)(ABC) và (DBC).
c)(ADC) và (BDC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=60
0
,SA vuông góc
với đáy ,SA
3a=
.Tính góc giữa các mặt phẳng:
a)(SBC) và (ABCD).
b)(SBD) và (ABCD).
c)(SBC) và (SCD).
Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy là tam giác đều cạnh
a;B
/
A=B
/
B=B

/
C=a;AA
/
3
2
a
=
.Tính góc giữa:
a)Các mặt bên và mặt đáy.
b)Mặt (AA
/
B
/
B) và mặt (BB
/
C
/
C)
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=a,góc
BAC=30
0
,SA=SB=SC=a.Tính góc giữa:
a)(SAB) và mặt đáy.
b)(SBC) và mặt đáy.
c)(SAB) và (SAC).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC =a,góc BAC=120
0
.SA
vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc:

a)Giữa (SAB) và (SAC).
b)Giữa (SBC) và (ABC),
c)Giữa (SBC) và (SAC)
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,các mặt bên là những tam giác
đều cạnh a.Tính góc
a)Giữa (SAB) và mặt đáy.
b)Giữa (SCD) và (SBC).
Bài 4:Cho hình hộp đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy là hình vuông cạnh a,cạnh bên
3AA a
′
=
.Tính góc:
a)Giữa (B
/
AC) và (ABCD).
b)Giữa (BA
/
C
/
) và (B
/
AC).

CHỦ ĐỀ 7: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP ,HÌNH LĂNG TRỤ.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Xác định thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ dựa trên quan hệ vuông góc thường dựa
trên các nguyên tắc sau:
*Mặt phẳng chứa thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng thì chứa
hai đường thẳng cắt nhau vuông góc với đường thẳng đó.
* Mặt phẳng chứa thiết diện qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì
chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
Tính diện tích thiết diện:
*Chứng minh thiết diện là những đa giác đặc biệt ,đưa ra công thức tính diện tích đa
giác đó,tính cạnh,đường cao thiết diện bằng cách xét các tam giác,thay vào công thức
diện tích.
*Dùng công thức S
/
=S cos
α
(với S là diện tích thiết diện;S
/
là diện tích hình chiếu của
thiết diện trên mặt phẳng đáy hình chóp hoặc hình lăng trụ;
α
là góc tạo bởi mặt phẳng
thiết diện và mặt phẳng đáy hình chóp,hình lăng trụ)
B.Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,cạnh AB=a,AD
vuông góc với AB và AC,AD=a.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình tứ diện
cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua B và vuông góc với AC.
b)Qua A và vuông góc với DC.
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tâm O,SA vuông góc với

đáy,SA=a,I là trung điểm của SA.Xác định và tính diện tích thiết diện:
a)Qua I và vuông góc với SA.
b)Qua O và vuông góc với AC.
c)Qua A và vuông góc với SB.
d)Qua A và vuông góc với SC
Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy là tam giác vuông cân đỉnh
B,AD=a,mặt ABB
/
A
/
là hình vuông.xác định và tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ
cắt bởi mặt phẳng qua B và vuông góc với AD
/
.Tính góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và
mặt phẳng đáy lăng trụ.
Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
.Xác định và tính diện tích thiết diện qua

AC và tạo với (ABCD) một góc 45
0
.
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,đường cao
3SO a=
.Xác
định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua AB và vuông góc với (SCD).
b)Qua O và song song với (SCD).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=a,BC=2a,tam giác SAB
đều,nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.Xác định và tính diện tích thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua S và vuông góc với AB.
b)Qua AD và vuông góc với với SB.
Bài 3:Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a,tạo với đáy góc 60
0
. Xác định và
tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng:
a)Qua BC và vuông góc với SA.
b)Qua A,vuông góc với (SBC) và song song với BC.
Bài 4:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Gọi I là trung điểm cạnh BC,H là trung điểm của
AI.Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H lấy điểm S sao cho
3SH a=
.Lấy điểm J thuộc đoạn IH sao cho IJ=m.Dựng thiết diện qua J và vuông góc với
IH.Tính diện tích thiết diện theo a và m.Tìm m để diện tích đó lớn nhất.
Bài 5:Cho hình hộp đứng ABCD.A
/
B
/

C
/
D
/
có đáy là hình thoi cạnh a,góc BAD=
60
0
,cạnh bên bằng 2a.Xác định và tính diện tích thiết diện qua B
/
và vuông góc với BD
/
.
CHỦ ĐỀ 8. KHOẢNG CÁCH
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải
xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách.
a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):
-Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H.
-Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính
khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P).
b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.
xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a.
c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn)
Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a
/
//a)Khoảng
cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b.
Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a.

Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b.
Bài toán:Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b:
-Chọn mp(P) chứa b và song song với a.
-Chọn một điểm M thuộc a,kẻ MM
/
vuông góc với (P).
-Trong (P) từ M
/
kẻ a
/
//a,cắt b tại B.
-Trong mp(a,a
/
),từ B kẻ đường thẳng song song với MM
/
cắt a tại A,suy ra AB là đoạn
vuông góc chung giữa a và b.
Việc tính độ dài đoạn thẳng đã xác định được :Đưa đoạn thẳng đó vào các tam giác,dùng
hệ thức lượng trong tam giác,tính chất hai tam giác đồng dạng
B,Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với AB và AC,tam giác ABC vuông ở
B,SA=AC=a,góc BAC=60
0
.Tính khoảng cách:
a)Từ A tới (SBC).
b)Từ B tới (SAC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhất ABCD tâm O,AB=2a,BC=a,SO
vuông góc (ABCD).Gọi I,J là trung điểm AD,BC.Tính:
a)d(BC,(SAD)).

b)d(IJ,(SAB)).
Ví dụ 3:Cho hình hộp thoi ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a,góc BAD=60
0
.Tính khoảng cách :
a)Giữa (ABCD) và (A
/
B
/
C
/
D
/
)
b)Giữa (ABB
/
A
/
) và (DCC
/
D
/
)

c)Giữa (AD
/
A
/
) và (BCC
/
D
/
).
Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.SA vuông
góc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa:
a)SA và BC.
b)SD và BC.
c)SC và BD.
d)SB và AC.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=60
0
, SA vuông
góc với đáy ,SA=a,Xác định và tính độ dài của đoạn vuông góc chung giữa:
a)SD và BC.
b)SB và AC.
C.BÀI TẬP:
Bài 1:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một,AD=a,DBC là tam
giác cân đỉnh D,mp(DBC) tạo vớ mp(ABC) góc 45
0
.Tính khoảng cách:
a)Từ B tới (ADC),từ C tới (ADB).
b)Từ A tới (DBC).
Bài 2:Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,AD
⊥

(ABC),AB=a và
AD=h.Gọi I,J là trung điểm AB,DC.
a)Tính IJ.
b)Tìm mối liên hệ giữa a và h để IJ là đoạn vuông góc chung của AB,DC.
Bài 3:Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông ADEF nằm trên hai mặt phẳng vuông
góc,AB=2a,AD=a.Tính khoảng cách:
a)Từ A tới (BCEF).
b)Giữa AF và (DEB).
c)Giữa AC và EB.
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,SAB là tam giác đều,
(SAB)
⊥
(ABCD),H là trung điểm AB.Tính khoảng cách:
a)Từ H tới (SCD).
b)Giữa BC và (SAD).
c)Giữa AB và SD,dựng đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng này.
Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thoi ABCD tâm O,cạnh a,góc BAD=60
0
,SA
⊥
(ABCD),SA=a.Tính khoảng cách:
a)Từ A tới (SDC).
b)Từ O tới (SDC).
c)Giữa SC và BD.
Bài 6:Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/
C
/

D
/
tâm đáy là O,O
/
.Xác định đoạn vuông góc
chung giữa:
a)OO
/
và CD
/
.
b)BD và CD
/
.
c)BO
/
và CD
/
.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1:Cho đường thẳng a
/
nằm trong mp(P),đường thẳng a vuông góc với mp(P) tại
điểm I không thuộc a
/
.Trên a lấy điểm A cố định không trùng với I.Hai điểm B,C di
động trên a
/
sao cho mp(B,a)
⊥

(C,a).Vẽ các đường cao AA
/
,BB
/
,CC
/
của tam giác
ABC.Chứng minh:
a)AB
2
+AC
2
-BC
2
không đổi.
b)Tích A
/
B.A
/
C không đổi.
c)Trực tâm tam giác ABC cố định.
d)B
/
C
/
thuộc một đường tròn cố định.
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông ở A và
B;AD=2BC=2BD=2a,SA=a,SA
⊥
(ABCD).

a)Chứng minh (SCD)
⊥
(SAC).
b)Tính góc (AB,SC).
c)Tính d(A,(SBD)).
d)Tính d(SD,BC).
Ví dụ 3:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a tạo với đáy góc 60
0
.
a)Tính góc giữa mặt bên với đáy.
b)Tính d(SA,BC).
c)Tính diện tích thiết diện qua A và
⊥
SC.
Ví dụ 4:Cho hình chóp đều S.ABC tâm O,cạnh bên bằng a,đường cao bằng h.Tính:
a)Diện tích thiết diện qua A và vuông góc với BC.
b)d(O,(SBC)).
c)d(BO,SA)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên (SAB),(SAD) vuông
góc với đáy ,các mặt bên (SBC),(SCD) cùng tạo với đáy góc 60
0
.
a)Chứng minh góc SBA bằng góc SDA bằng 60
0
.
b)Chứng minh (SAC)
⊥
(SBD).
c)Gọi M,N là trung điểm BC,CD.Xác định thiết diện hình chóp đi qua M,N và song song
với SC.Tính diện tích thiết diện.

Ví dụ 6:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,góc
BAD bằng 60
0
.Gọi M là trung điểm cạnh AA
/
và N là trung điểm cạnh CC
/
.Chứng minh
rằng bốn điểm B
/
,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng .Hãy tính độ dài cạnh AA
/
theo a để
tứ giác B
/
MND là hình vuông.
BÀI TẬP:
Bài 1:Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/
C

/
D
/
có cạnh a.Hai điểm M,N chuyển động trên
hai đoạn thẳng BD,B
/
A tương ứng sao cho BM=B
/
N=t.Gọi
,
α β
lần lượt là các góc tạo
bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B
/
A.
a)Tính độ dài đoạn MN theo a và y.Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b)Tính
,
α β
khi độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
c)Trong trường hợp tổng quát ,chứng minh hệ thức :
2 2
1
cos cos
2
α β
+ =
.
Bài 2:Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến l.Trên l lấy
đoạn AB=a.Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với l và nằm trong (P) lấy điểm M sao

cho AM=b.Trên nửa đường thẳng Bt vuông góc với l và nằm trong mp(Q) lấy điểm N
sao cho
2
a
BN
b
=
.
a)Tính khoảng cách từ A đến mp(BMN) theo a,b.
b)Tính MN theo a,b .Với giá trị nào của b thì MN có độ dài nhỏ nhất?Tính độ dài đó.
Bài 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,SA vuông góc với
(ABC),SA=h.
a)Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
b)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,H là trực tâm tam giác SBC.Chứng
minh OH vuông góc (SBC).
Bài 4:Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=
2a
,SC vuông góc với (ABC),tam giác
ABC vuông tại A,điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a).
a)Tính độ dài đoạn MN.
b)Tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất,chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
Bài 5:Cho đường tròn (O) đường kính AB nằm trong mp(P).Gọi C là một điểm thuộc
(O).Từ A kẻ đường thẳng
∆
vuông góc với mp(P),trên
∆
lấy điểm S,nối SB,SC.Mp(Q)
đi qua A và vuông góc với SD,cắt SC tại M.Tìm tập hợp điểm M khi:
a)Điểm C chạy trên đường tròn (O).

b)Điểm S chạy trên đường thẳng
∆
.
Bài 6:Cho hình vuông ABCD,từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với
(ABCD).Từ M trên Ax,dựng đường thẳng vuông góc với (MCB),cắt (ABCD) tại
R.Đường thẳng qua M vuông góc với (MCD) cắt ABCD tại S.
a)Chứng minh A,B,R thẳng hàng và A,D,S thẳng hàng.
b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn RS khi M di chuyển trên Ax.
c)Gọi H là chân đường cao kẻ từ A trong tam giác AMJ.Chứng minh AH là đường cao
của tứ diện ARMS và H là trực tâm MRS.
Bài 7:Cho hình chữ nhất ABCD cạnh AB=a,AD=b nằm trên mp(P).Trên tia Ax,Cy cùng
vuông góc với (P) và nằm cùng phía với (P) lấy các điểm M,N sao cho AM=x,CN=y.
a)Tính góc tạo bởi các mp(BDM),(CDN) với (P).
b)Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các mp (BDM) và (CDN) vuông góc với
nhau là:
2 2
2 2
.
.
a b
x y
a b
=
+
.
Bài 8:Cho hình vuông ABCD tâm O,tia Ax vuông góc với (ABCD).Gọi S là điểm di
động trên Ax và E di động trên AD.I là trung điểm SB,tìm quỹ tích I
/
là hình chiếu của I
trên CE.

Bài 9:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a .Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy .Gọi H là trung điểm AB,M là điểm di động trên cạnh
BC.
a)Chứng minh SH vuông góc với (ABCD).
b)Tìm quỹ tích các hình chiếu của S lên DM.
c)Đặt CM=x.Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x.
Bài 10:Cho ABC là tam giác cân đỉnh A,cạnh bên a,góc BAC=120
0
.Điểm S di động
trong không gian ở về một phía của mp(ABC) sao cho SA=a,góc SAB=60
0
.
a)Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).Chứng minh H thuộc một đường thẳng cố định
và S thuộc một đường tròn cố định.Tính bán kính đường tròn đó.
b)Chứng minh rằng khi độ dài SH đạt giá trị lớn nhất thì mp(SAB) vuông góc với
mp(ABC),khi đó hãy tính SC.
c)Khi SBC là tam giác vuông tại S,tính
·
( )
( )
, ; ,( )SA AC d A SBC
.Hết