Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài toán Tin học

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG PT DTNT CẤP 2­3 VĨNH PHÚC

      BÁO CÁO KẾT QUẢ

     SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp 
hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin 
học”
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Đăng Hiệp
   Mã sáng kiến: 04.62.01

       

          
           Vĩnh Phúc, năm 2020


MỤC LỤC

                        Trang
Trang
...........................................................................................2
1. Lời giới thiệu
................................................................................................1
2. Tên sáng kiến:
..............................................................................................1
“Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn
...................
Tin học” 1
3. Tác giả sáng kiến:

.........................................................................................1
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
............................................................................1
7. Mô tả bản chất của sáng ..........................................................................
kiến:
2
7.1. Về nội dung của sáng kiến:
............................................................................2
7.1.1. Thực trạng của vấn đề mà sáng kiến cần giải
......................................
quyết.
2
7.1.2. Các giải pháp:
.........................................................................................2
Ví dụ............................................................................................................15
DAGIAC.INP.................................................................................................15
DAGIAC.OUT................................................................................................15
* Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa đa....................................................
giác lồi
15
Bài 5: Cờ vây
................................................................................................37
Bài 6: Rệp điện .........................................................................................
tử
38
Bài 7: Cắt gạch lát nền
...................................................................................39
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng
..............................................................
kiến:

40
8. Những thông tin cần được bảo mật:........................................................
không
40
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng
....................................................
kiến:
41
10. Đánh giá lợi ích thu được của sáng
...........................................................
kiến
41



Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Các bài tốn tin rất đa dạng và phong phú và thể loại, tuy nhiên để áp dụng  
và giải quyết các bài tốn này u cầu học sinh phải nắm vững về  kiến thức  
tốn học. Trong chương trình phổ  thơng, mơn Tin học được đưa vào giảng dạy 
chính khố từ  năm học 2006 ­ 2007. Lớp 11 các em sẽ  được tiếp cận với ngơn  
ngữ lập trình Pascal, một trong những ngơn ngữ lập trình được chọn giảng dạy  
khơng chỉ ở các trường THPT mà cịn được đưa vào giảng dạy ở các trường Đại  
học. Ngơn ngữ lập trình Pascal cịn được chọn là ngơn ngữ lập trình trong các kỳ 
thi OLYMPIC Tin học Quốc tế. 
Đối với người lập trình, kiến thức tối thiểu là biết được cách tổ chức cấu 
trúc dữ  liệu và nêu được thuật tốn để  giải bài tốn, phát hiện bài tốn và áp 
dụng các phương pháp giải các dạng tốn đều phải qua một q trình hình thành 

và tích luỹ. Xin nêu “Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các  
bài tốn Tin học” trong chương trình phổ thơng và nêu một số bài tốn nâng cao.
2. Tên sáng kiến: 
“Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học”
3. Tác giả sáng kiến: 
­ Họ và tên: Nguyễn Đăng Hiệp
­ Địa chỉ: Trường Phổ Thơng Dân Tộc Nội Trú Cấp 2­3 Vĩnh Phúc
­ Số điện thoại: 0975.486.964 E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:  Nguyễn Đăng Hiệp
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
Đề tài giúp học sinh tổng hợp và phát triển thuật tốn sao cho gần gũi với tư duy 
của học sinh phổ thơng.

1


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
Đây cũng là một vấn đề  mới vì: Muốn hiển thị  được một điểm  ảnh hay hoạt  
động của con chuột máy tính đúng toạ độ, các lập trình viên đã phải lập trình và 
căn đúng toạ độ cho con chuột… Như vậy các phương pháp giải quyết bài tốn 
này đã được nghiên cứu từ rất lâu, các bài tốn này được các nhà nghiên cứu về 
tốn học và lý thuyết Tin học đưa ra. Các vấn đề đưa ra là giúp học sinh sự tổng 
hợp và phát triển thuật tốn gần gũi với tư duy của mình
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Sáng kiến được áp dụng với 100 học sinh khối 11 trong trường  bắt đầu 
từ học kỳ 1 năm học 2019 ­ 2020
7. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến: 
7.1.1. Thực trạng của vấn đề mà sáng kiến cần giải quyết.
Như chúng ta đã biết lập trình trong Tin học là một phần học rất khó, địi hỏi 

nhiều đến sự  phát triển tư  duy để  tìm tìm thuật tốn và địi hỏi học sinh phải 
nắm vững kiến thức về mặt tốn học nên đa số học sinh khơng say mê với mơn 
học này. Vì vậy vai trị của giáo viên là rất quan trọng, làm thế  nào để  cho học 
sinh có hứng thú, khơng khí lớp học thoải mái. Giáo viên phải có phương pháp 
truyền đạt lơi cuốn học sinh thơng qua gợi mở, thuyết minh, giải quyết vấn  
đề… Nhưng vẫn đảm bảo thời gian, và nội dung cơ bản của giờ học.
Song do tình trạng chung hiện nay học sinh đa số  mất gốc về  mặt tốn  
học, cơ  sở  vật chất để  phục vụ  giảng dạy cịn thiếu vì vậy  ảnh hưởng rất 
nhiều đến khả năng tiếp thu và sự say mê của học sinh khi học Tin học. Cho nên  
hiệu quả giờ học khơng cao.
7.1.2. Các giải pháp:
Để  học sinh đạt được mục đích, u cầu của chuẩn kiến thức, tơi đã tìm tịi, 
nghiên cứu, hướng dẫn học sinh thảo luận một số  phương pháp hình học để 

2


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
giải quyết bài tốn. Giúp các em xây dựng được một số  thuật tốn điển hình ở 
dạng đơn giản và nâng cao. Tiết học trở  nên sinh động hơn và giáo viên khơng 
đóng vai trị là người xây dựng lý luận mà học sinh là người chủ  động để  giải 
quyết các vấn đề. 
Để giờ dạy đạt hiệu quả cao và tạo hứng thú học tập của học sinh tơi đã chuẩn 
bị các slide (bằng phần mềm Microsoft Power Point) để  trình chiếu và sử  dụng  
các phần mềm để mơ phỏng các thuật tốn.
Sau đây là một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn 
Tin học thơng qua các bài tốn điển hình dưới đây:
1­ Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng và đoạn thẳng
Bài tốn 1: Tìm vị trí tương đối của điểm M(x0; yo) so với đường thẳng đi qua 2 
điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) (với x1   x2)

Phương trình đường thẳng qua A, B là (y­y1)(x2 – x1) = (y2­y1)(x­x1)
hay là: (y2­y1)*x ­ (x2­x1)*y + y1*x2 –x1* y2 = 0.
+) Nếu (y2­y1)*x0 ­ (x2­x1)*y0 + y1*x2 –x1* y2 > 0 thì điểm M nằm phía trên cao 
hơn đường thẳng AB.
+) Nếu (y2­y1)*x0 ­ (x2­x1)*y0 + y1*x2 ­ x1* y2 < 0 thì điểm M nằm phía dưới thấp 
hơn đường thẳng AB.
Bài tốn 2: Điểm M(x0,yo) có thuộc đoạn thẳng nối 2 điểm A(x1,y1) và B(x2,y2) 
hay khơng (với x1   x2)
Điểm M(x0,yo) thuộc đoạn thẳng nối 2 điểm A(x1,y1) và B(x2,y2) (với x1 
x2) nếu thoả mãn: (y2­y1)*x0 ­ (x2­x1)*y0 + y1*x2 ­ x1* y2 = 0 và Min(x1, x2)   x0 
Max(x1, x2)
2­ Giao của các Đoạn thẳng

3


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
Bài tốn 3: Cho 2 đoạn thẳng AB và CD, toạ độ  các đầu mút là A(x 1,y1), 
B(x2,y2),   C(x3,y3)   và   D(x4,y4).   Hãy   xét   xem   hai   đoạn   thẳng   này   có   giao   nhau  
khơng. 
a) Cách 1: 
­ Tìm    giao  điểm  của 2  đường thẳng AB  và CD bằng cách  giải hệ  gồm 2  
phương trình: 
(y2­y1)*x ­ (x2­x1)*y + y1*x2 ­ x1* y2= 0 (1)
(y4­y3)*x ­ (x4­x3)*y + y3*x4 ­ x3* y4 = 0 (2)
­ Sau đó kiểm tra xem giao điểm có thuộc 2 đoạn thẳng AB và CD hay khơng
Tìm giao điểm (nếu có) của hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ  có  
phương trình lần lượt là a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2.
Bài tốn này có thể dễ dàng giải được bằng việc sử dụng phương pháp đã biết ở 
phổ thơng. Cụ thể: 

D: = a1*b2 ­ a2*b1; Dx : = c1*b2 ­ c2*b1; Dy: = a1*c2 ­ a2*c1;
If D < > 0 then Writeln (' x = ', Dx/D : 4:2, 'y = ', Dy/D: 4:2)
else If (Dx = 0) and (Dy = 0) then Writeln (' H ai đường thẳng trùng nhau’)
b) Cách 2: 
Trước hết xét bài tốn phụ: Trên mặt phẳng toạ  độ  cho tam giác ABC, đi trên 
cạnh từ A đến B rồi đến C theo chiều nào (ngược chiều kim đồng hồ hay thuận 
chiều kim đồng hồ) với giả thiết khơng có cạnh nào song song trục tung.
Ta thấy khơng mất ý nghĩa của bài tốn khi ta quay tồn bộ  tam giác một cách 
tuỳ ý. Vì vậy đầu tiên ta giả sử A là đỉnh có hồnh độ bé nhất (x2 > x1,x3 > x1) thì 
hệ số góc đường thẳng AB là: k1= (y2­ y1)/ (x2 ­ x1) 
hệ số góc đường thẳng AC là: k2= (y3­ y1)/ (x3 – x1) 
Ký hiệu  dy1 = (y2 – y1); dx1 = (x2 ­ x1) > 0
                                    dy2 = (y3 – y1); dx2 = (x3 –x1) > 0

4


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
Do đó đi trên cạnh từ  A đến B rồi đến C theo chiều ngược chiều kim đồng hồ 
khi k2 > k1 hay là dy2* dx1 > dx2 *dy1 ( mã hố là chiều +1 )
Ngược lại đi trên cạnh từ  A đến B rồi đến C theo chiều thuận chiều kim đồng 
hồ khi k2 <  k1 hay là dy2* dx1 < dx2 *dy1 ( mã hố là chiều ­1 )
Trong trường hợp A, B, C thằng hàng thì dy2* dx1 = dx2 *dy1; khi đó ta phải xem 
xét chi tiết hơn: điểm nào nằm giữa 2 điểm cịn lại? 
+ Nếu B, A, C thì dx1*dx2  < 0 hoặc dy1*dy2 < 0, góc quay từ  AB tới AC là ­180 
độ, vậy quy ước đi từ A đến B rồi đến C là thuận chiều kim đồng hồ (mã hố là  
chiều ­1)
+ Nếu A, B, C thì qua A kẻ đường thẳng nằm ngang At, gọi hình chiếu của B, C 
xuống At lần lượt là H, K thì AB2 =AH2 + BH2 < AK2 + CK2 nên dx12 +dy12 < dx22 
+ dy22, ta quy  ước chiều đi từ  A đến B rồi đến C là ngược chiều kim đồng hồ 

(mã hố là chiều +1). 
 + Nếu B, C, A thì quy ước (mã hố là chiều 0)
Uses crt;
const max = 10;
type diem = record x,y: integer end;
 doanthang = record p1,p2: diem end;
var l: array[1..2] of doanthang;
procedure nhap;
 var i: integer;
 begin
 for i:=1 to 2 do
 begin
 write('toado(x1,y1)(x2,y2)doanthu',i,': ');
 readln(l[i].p1.x,l[i].p1.y,l[i].p2.x,l[i].p2.y);
 end;

5


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 end;
function chieu(p1,p2,p3: diem): integer;
 var dx1,dx2,dy1,dy2: integer;
 begin
 dx1: = p2.x­p1.x;
 dy1: = p2.y­p1.y;
 dx2: = p3.x­p1.x;
 dy2: = p3.y­p1.y;
 if dx1*dy2>dy1*dx2 then chieu: = 1;
 if dx1*dy2

 if dx1*dy2=dy1*dx2 then
 begin
 if (dx1*dx2<0)or(dy1*dy2<0) then chieu: = ­1
 else
 if (dx1*dx1+dy1*dy1>=dx2*dx2+dy2*dy2) then chieu: = 0
 else cq: = 1;
 end;
 end;
function giaonhau(l1,l2: doanthang): boolean;
 begin
 giaonhau: = (chieu(l1.p1,l1.p2,l2.p1)*chieu(l1.p1,l1.p2,l2.p2)<=0)
 and (chieu(l2.p1,l2.p2,l1.p1)*chieu(l2.p1,l2.p2,l1.p2)<=0);
 end;
BEGIN
 clrscr;
 nhap;

6


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 if giaonhau(l[1],l[2]) then writeln('giao nhau')
 

else writeln('khong giao nhau ');

 readln;
END.
Có được điều đó là vì đoạn thẳng AB giao với đoạn thẳng CD khi và chỉ 
khi đi theo ABC ngược chiều với ABD và đi theo CDA ngược chiều với CDB

3­ Vi trí của Điểm so với Đa giác 
Bài tốn 4: Cho đa giác gồm N đỉnh d[1],d[2],...,d[n] và điểm M. Hãy xác 
định vị trí tương đối của M với miền trong của đa giác (M nằm ngồi hay nằm 
trong đa giác)
Thuật tốn: Kẻ  đoạn thẳng MN song song trục hồnh sao cho hồnh độ  của N 
lớn hơn hồnh độ  max của các hồnh độ  đỉnh đa giác. Xét giao các cạnh của đa 
giác với đoạn thẳng MN. Số  giao điểm là lẻ  thì M trong đa giác, chẵn thì M 
ngồi đa giác
Có một trở ngại là gặp những trường hợp: Đỉnh d[i+1] của cạnh nằm trên 
đoạn thẳng MN, thì cạnh d[i]­d[i+1] và cạnh d[i+1]­d[i+2] đều giao với đoạn 
MN, hoặc cạnh d[i]­d[i+1] nằm trên đoạn thẳng MN thì cả  3 cạnh d[i­1]­d[i], 
d[i]­d[i+1], d[i+1]­d[i+2] đều giao với MN nên xử lý như chương trình sau:
Ngồi ra ta cũng có thể giải bài tốn này bằng cách chia đa giác thành n­2  
tam giác rồi tính tổng diện tích của các tam giác ấy. Tuy nhiên phương pháp này 
dài dịng, ta làm cách khác như  sau: chia đa giác thành các hình thang bằng cách 
chiếu các cạnh xuống trục hồnh (hình vẽ). 
Hình   thang   được   xác   lập   bởi   cạnh   A   [i]   A[i+1]có   diện   tích   là   Abs   (S)   với  
1
S= * ( A[i ]* x − A[i + 1]* x ) * ( A[i ]* y + A[i + 1]* y )
2

7


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học

1
Vậy S = S +  ( A[i]* x − A[i + 1]* x ) * ( A[i ]* y + A[i + 1]* y ) ;   S =  Abs ( S )
2
Sau khi gán đỉnh A[n+1]:=A[1] ta tính diện tích tồn phần của đa giác như sau:

S: = 0;
For i: =1 to N do           S: = (1/2) * Abs(S); 
Chú ý :
1. Hồn tồn tương tự  ta có thể  tìm diện tích của đa giác bằng cách chiếu các  
cạnh xuống trục tung.
2. Nếu thay bước gán S: = (1/2) * abs (S) bởi S: = S/2 thì dấu của S là dương hay  
âm sẽ  cho ta biết chiều đánh số  của các đỉnh theo thứ  tự  từ  1, 2,.... N là ngược  
hay xuôi chiều kim đồng hồ.

Uses crt;
const max = 100;
 fi = 'dagiac.inp';
type diem = record x,y: integer; end;
 doanthang = record p1,p2: diem; end;

8


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
var l: array[1..2] of doanthang;
 d: array[0..max+2] of diem;
 m: diem;
 n: byte;
 maxx: integer;
function chieu(p1,p2,p3: diem): integer;
{Xac dinh chieu di tu p1­>p2­>p3}
 var dx1,dx2,dy1,dy2: integer;
 begin
 dx1: = p2.x­p1.x;
 dy1: = p2.y­p1.y;

 dx2: = p3.x­p1.x;
 dy2: = p3.y­p1.y;
 if dx1*dy2>dy1*dx2 then chieu: = 1;
 if dx1*dy2 if dx1*dy2=dy1*dx2 then
 begin
 if (dx1*dx2<0) or (dy1*dy2<0) then chieu: = ­1
 else
 if (dx1*dx1+dy1*dy1>=dx2*dx2+dy2*dy2) then chieu: = 0
 else chieu: = 1;
 end;
 end;
function giaonhau(l1,l2: doanthang): boolean;
 begin
giaonhau: = (chieu(l1.p1,l1.p2,l2.p1)*chieu(l1.p1,l1.p2,l2.p2)<=0)

9


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 and (chieu(l2.p1,l2.p2,l1.p1)*chieu(l2.p1,l2.p2,l1.p2)<=0);
 end;
procedure nhap;
 var i: integer;
 f: text;
 begin
 assign(f,fi);
 reset(f);
 readln(f,n);
 maxx: = ­maxint;

 for i:=1 to n do
 begin
 readln(f,d[i].x,d[i].y);
 if d[i].x>maxx then maxx: = d[i].x;
 end;
 readln(f,m.x,m.y);
 close(f);
 end;
function thuoc(p: diem;lp: doanthang): boolean;
 var a,b,c: real;
 function min2(a,b: real): real;
 begin
 if a end;
 function max2(a,b: real): real;
 begin

10


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 if a>b then max2: = a else max2: = b;
 end;
 begin
 a: = lp.p2.y­lp.p1.y;
 b: = lp.p1.x­lp.p2.x;
 c: = lp.p1.y*lp.p2.x­lp.p1.x*lp.p2.y;
 if (a*p.x+b*p.y+c=0) and (min2(lp.p1.x,lp.p2.x)<=p.x)
 and (max2(lp.p1.x,lp.p2.x)>=p.x) then thuoc: = true
 else thuoc: = false;

 end;
function trong(p: diem): boolean;
 var dem,i,j: integer;
 lt,lp: doanthang;
 begin
 dem: = 0;
 d[0]: = d[n];
 d[n+1]: = d[1];
 d[n+2]: = d[2];
 lt.p1: = p;
 lt.p2.y: = p.y;
 lt.p2.x: = maxx+1; 
 for i:=1 to n do
 begin
 lp.p1: = d[i];
 lp.p2: = d[i+1];
 if thuoc(p,lp) then
 begin

11


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 trong: = true;
 exit;
 end;
if giaonhau(lp,lt) and (lp.p1.y<>p.y) and (lp.p2.y<>p.y) then inc(dem);
 if giaonhau(lp,lt) and ((lp.p1.y=p.y) and (lp.p2.y=p.y))
 

and ((d[i­1].y­d[i].y)*(d[i+2].y­d[i].y)<0) 
then inc(dem);
 if giaonhau(lp,lt) and (d[i+1].y=p.y)
 

and ((d[i].y­p.y)*(d[i+2].y­p.y)<0) 

then inc(dem);
 end;
 trong: = ((dem mod 2)=1);
 end;
BEGIN
clrscr;nhap;
if trong(m) then writeln('diem m nam trong da giac ')
 else writeln('diem m o phia ngoai da giac ');
 

readln;

END.
4­ Đa giác lồi
Bài tốn 5: Kiểm tra một đa giác có là đa giác lồi hay khơng. Để  kiểm  
tra tính lồi của đa giác, với mọi cạnh nối đỉnh i ­ với đỉnh (i+1) (i từ  1 đến n,  
đỉnh n+1 coi như  đỉnh 1) mọi đỉnh j (j từ  1 đến n) và đỉnh (i+2) phải ln ln  
cùng phía so với đường thẳng chứa cạnh i­(i+1)
Uses crt;
const max = 20;
 fi= 'dg_loi.inp';

12

Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
type toado = array[1..max] of real;
var x,y : toado;
 n: word;
procedure input;
 var i  : word;
 f : text;
 begin
 assign(f,fi); reset(f);
 readln(f,n);
 for i:=1 to n do
 readln(f,x[i],y[i]);
 close(f);
 end;
function cungfia(x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4: real):boolean;
 var d1,d2: real;
 begin
 d1: = (y3­y1)*(x2­x1)­(x3­x1)*(y2­y1);
 d2: = (y4­y1)*(x2­x1)­(x4­x1)*(y2­y1);
 cungfia:=d1*d2>=0;
 end;
function dg_loi: boolean;
 var  i,j,k,l  : word;
 begin
 for i:=1 to n do
 begin
 k: = i+2;

13


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 l: = i+1;
 if k=n+1 then k: = 1;
 if l=n+1 then l: = 1;
 for j:=1 to n do
 if (j<>i) and ( not
 

cungfia(x[i],x[l],x[j],x[k],y[i],y[l],y[j],y[k]))

 then
 begin
 dg_loi: = false;
 exit;
 end;
 end;
 dg_loi: = true;
 end;
BEGIN
 clrscr;
 input;
 if dg_loi then writeln('da giac loi ')
 else writeln('da giac khong loi ');
END.
5­ Tìm đường bao lồi chứa tập điểm cho trước
Bài 6: Cho N điểm a1,a2,..., an trên mặt phẳng. Các điểm có toạ  độ 
ngun và khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Hãy viết chương trình xác định một 

đa giác khơng tự cắt có các đỉnh là một số điểm trong n điểm đã cho và chứa tất 
cả các điểm cịn lại, đồng thời có chu vi nhỏ nhất. Hãy tính diện tích đa giác này
Dữ liệu vào cho trong file DAGIAC.INP gồm n+1 dịng 

14


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
­ Dịng 1 chứa số N.
­

N dịng tiếp theo: dịng i trong n dịng này chứa toạ độ (xi,yi) của điểm ai

Dữ liệu ra ghi vào file DAGIAC.OUT: 
­ Dịng 1 ghi 3 số k, v, s với k là số đỉnh đa giác tìm được, v là chu vi và s là 
diện tích của nó.
­

Dịng i+1 (1   i   k ) ghi toạ độ của đỉnh thứ i của đa giác. 

Ghi chú: các số thực có phần thập phân có 2 số lẻ 
Ví dụ
DAGIAC.INP
5
0 1
4 4
0 4
4 0
2 2
DAGIAC.OUT

4 15.12 14.00
4 4
0 4
0 1
3

0

15


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
* Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa đa giác lồi
Trước hết cần chú ý đa giác khơng tự cắt có các đỉnh là một số điểm trong  
n điểm đã cho và chứa tất cả các điểm cịn lại, đồng thời có chu vi nhỏ nhất đó 
chính là đường bao lồi chứa các điểm đã cho mà các đỉnh của bao lồi thuộc tập  
đỉnh đã cho. 
Để tìm bao lồi này theo định nghĩa đa giác lồi, ta thực hiện như sau: 
+ Tìm 2 điểm: x0, x1 chắc chắn thuộc bao lồi: đó là 2 điểm nằm trên một 
đường thẳng d sao cho mọi điểm cịn lại đều ở cùng một phía của d. 
+ Tìm điểm tiếp theo là xi (chọn trong các điểm cịn lại chưa trong bao lồi)  
sao cho với mọi điểm j ln cùng phía với x0 so với đường thẳng qua xi, x1. 
+ Lại coi j là xi và tiếp tục tìm j mới cho đến khi khơng cịn tìm được nữa
Uses  crt;
const max  = 100;
 fi = 'baoloi.inp';
 fo = 'baoloi.out';
type toado = array[1..max] of real;
var x,y,ly : toado;
 b : array[1..1000] of boolean;

 ds: array[1..1000] of integer;
 n,top : integer;
 f : text;
procedure input;
 var i: integer;
 f : text;
 begin
 assign(f,fi);

15


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 reset(f);
 readln(f,n);
 for i:=1 to n do
 readln(f,x[i],y[i]);
 close(f);
 end;
function cungfia(x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4: real): boolean;
 var d1,d2: real;
 begin
 d1: = (y3­y1)*(x2­x1)­(x3­x1)*(y2­y1);
 d2: = (y4­y1)*(x2­x1)­(x4­x1)*(y2­y1);
 cungfia:=d1*d2>=0;
 end;
function timhaidiem(var i,j: integer): boolean;
 var k,l: integer;
 begin
 for k:=1 to n do

 for l:=1 to n do
 if (k­i)*(k­j)*(l­i)*(l­j)<>0 then
 if not cungfia(x[i],x[j],x[k],x[l],y[i],y[j],y[k],y[l]) then
 begin
 timhaidiem: = false;
 exit;
 end;
 timhaidiem: = true;
 end;

16


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
function dientich: real;
 var s,min: real;
 i,j: integer;
 begin
 ly: = y;
 min: = 10000; { tinh tien da giac doc truc oy sao cho
 da giac nam hoan toan phia tren truc ox}
 for i:=1 to top do
 if y[ds[i]] if min<0 then
 for i:=1 to top do y[ds[i]]: = y[ds[i]] ­ min;
 s: = 0;
 for i:=1 to top do
 begin
 j: = i+1;
 if i=top then j: = 1;

 s: = s+((x[ds[j]]x[ds[i]])*(y[ds[j]]+y[ds[i]]))/2;
 end;
 dientich: = abs(s);
 end;
function timk: integer; { tim diem tiep theo cua duong bao quanh }
 var  i,j,l,k: integer;
 

ok: boolean;

begin
 timk:=0;
 i: = ds[top­1];

17


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 j: = ds[top];
 for k:=1 to n do
 if not b[k] then
 begin
 ok: = false;
 for l:=1 to n do
 if (l<>k) then
 if not cungfia(x[j],x[k],x[i],x[l],y[j],y[k],y[i],y[l]) then
 begin
 ok: = true;
 break;
 end;

 if not ok then
 begin
 timk: = k;
 exit;
 end;
 end;
end;
procedure work2; { tim duong da giac loi chua tap diem da cho }
 var  i,j,k,l,t: integer;
 

min: real;

 ok: boolean;
 begin
 fillchar(b,sizeof(b),false);
 for i:=1 to n do
 begin
18


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 ok: = true;
 for j:=1 to n do
 if (j<>i) and timhaidiem(i,j) then
 begin
 ds[1]: = i;
 ds[2]: = j;
 top: = 2;
 b[i]: = true;

 b[j]: = true;
 ok: = false;
 break;
 end;
 if not ok then break;
 end;
 repeat
 k: = timk;
 if k<>0 then
 begin
 inc(top);
 ds[top] 

:= k;

 b[k] 

:= true;

 end;
 until k=0;
 end;
function chuvi: real;
 var i,j: integer;
 c: real;
19


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học
 begin

 c: = 0;
 for i:=1 to top do
 begin
 j: = i+1;
 if i=top then j: = 1;
 c: = c + sqrt(sqr(x[ds[j]]­x[ds[i]])+
 sqr(y[ds[j]]­y[ds[i]]));
 end;
 chuvi: = c;
 end;
BEGIN
 clrscr;input;
 work2;
 assign(f,fo); rewrite(f);
 writeln(f,top,' ',chuvi:8:2,' ',dientich:8:2);
 for n:=1 to top do writeln(f,x[ds[n]]:4:0,' ',ly[ds[n]]:4:0);
 close(f);
END.
* Phương pháp 2: (wrap: bọc gói) 
Trước hết chọn một điểm chắc chắn thuộc bao lồi (thí dụ  điểm có tung 
độ  nhỏ  nhất), gọi điểm này là điểm A. Kẻ  tia Ax cùng chiều dương của trục 
hồnh. Quay tia Ax xung quanh A một góc V cho đến khi chạm điểm đầu tiên 
của tập điểm đã cho, đó là điểm thuộc bao lồi. Lại gọi điểm này là A, lại tạo tia  
Ax, quay góc V1 cho đến khi chạm điểm đầu tiên của tập điểm thì điểm mới này 
lại là một điểm của bao lồi. Q trình cứ  tiếp diễn như  vậy cho đến khi điểm 
mới tìm được trùng với điểm A ban đầu.
20


Một số phương pháp hình học cơ bản để giải quyết các bài tốn Tin học

 

Chú ý rằng ln ln có V1  > = V. Mặt khác, thực chất chúng ta cũng 

khơng quay tia Ax mà “quay một cách hình thức” như sau: Ta tính tất cả các góc 
Vb tạo bởi tia Ax và tia AB (B là mọi điểm chưa thuộc bao lồi), V b nào nhỏ nhất 
sẽ được chọn làm V và điểm B tương ứng sẽ là điểm được đưa vào bao lồi.
Điều chú ý thứ hai là: Đặt dy=(yb ­ ya); dx=(xb ­ xa ), ay=|dy|, ax=|dx|
Để  tính các góc V, đáng lẽ  tính ta tính V= arctang(dy/dx ), nhưng ta thay bằng 
tính t=dy/(ax+ay) vì có thể chứng minh khi t và V dương thì t đồng biến theo V 
(V tăng thì t cũng tăng). Nhờ đó có thể xử lý tốt trong những trường hợp sau:
+ Nếu dx = 0 thì cho góc=90 độ
+ Nếu dy = 0 và dx >0 thì góc = 0 độ
+ Nếu dy = 0 và dx <0 thì cho t=90 độ và góc = 2*t = 180 độ
+ Nếu góc là tù thì góc = (2 ­ t) * 90 độ
+ Nếu góc > 180 độ thì góc = (4+t) * 90 độ ( t<0 vì trong trường hợp này dy<0)
Ngồi ra khi đọc chương trình dưới đây cũng cần lưu ý kỹ thuật dùng biến  
rất tiết kiệm bằng cách: mỗi khi được một đỉnh thuộc bao lồi thì chứa ngay vào 
phần đầu của mảng P chứa tập điểm đã cho. Cụ  thể  nếu đã được m đỉnh của 
bao lồi thì m phần tử  đầu của mảng P là những đỉnh này, để  tìm đỉnh thứ  m+1 
của bao lồi chỉ cần duyệt trên mảng P từ m+1 đến n+1 (n+1 là đỉnh 1 ). Giả sử 
tìm được đỉnh thứ m+1 của bao lồi là phần tử thứ i thì đổi chỗ phần tử thứ i này 
cho phần tử thứ m+1 của P. 
Uses crt;
const max   = 20;
 fi = 'baoloi.inp';
 fo = 'baoloi.out';
type diem = record x,y: real end;
 dagiac = array[1..max] of diem;
var p: dagiac;

21