Tài liệu Các bài toán về miền nguyên và trường docx

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Phiên bản đã chỉnh sửa
TS. Trần Huyên
Ngày 27 tháng 3 năm 2005
Bài 9. Các Bài Toán Về Miền Nguyên
Và Trường
Khái niệm miền nguyên được xem như là sự tổng quát hóa trực tiếp cấu trúc của vành số
nguyên Z. Nó bao hàm hết tất cả các tính chất của vành Z, được đặt trên các phép toán trong
Z. Cụ thể là :
Định nghĩa 1 : Miền nguyên là vành X giao hoán, có đơn vị 1 = 0 (và do vậy |X| > 1) và
tích của hai phần tử khác 0 là khác 0.
Về điều kiện sau cùng của vành X "tích của hai phần tử khác 0 là khác 0" cũng thường được
phát biểu theo một ngôn ngữ khác tương đương là : Vành X "không có ước của 0" . Khái niệm
ước của 0 được xác định như sau :
Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, phần tử a = 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử b = 0 sao cho ab = 0.
Như vậy : Miền nguyên là một vành giao hoán X, có đơn vị 1 = 0 và không có ước của 0.
Do điều kiện "không có ước của 0" có thể được diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau, vì vậy
khái niệm miền nguyên ngoài hai định nghĩa được nói ở trên còn có thể xác định theo những
cách khác.
Ví dụ 1 :
Cho vành X giao hoán có đơn vị 1 = 0. Chứng minh rằng X là miền nguyên ⇔ trong X có luật
giản ước cho các phần tử a = 0 đối với phép nhân.
Giải
Cho X là miền nguyên. Khi đó với mỗi a = 0, từ đẳng thức ax = ay ta suy ra :
ax −ay = 0 ⇒ a(x −y) = 0
⇒ x −y = 0 (vì a = 0)
⇒ x = y
tức có luật giản ước cho mỗi phần tử a = 0 (nếu x − y = 0 thì a là ướ c của 0 !).
Ngược lại, nếu X là vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 và có luật giản ước cho mỗi phần tử x = 0.

1
Khi đó nếu ab = 0 thì hoặc a = 0, hoặc a = 0; nếu a = 0 thì từ ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, sau
khi giả n ước a. Vậy X không có ước của 0, tức X là miền nguyên.
Chú ý : Luật g iản ướ c cho mỗi a = 0 trong miền nguyên là một tính chất quan trọng của
miền nguyên và thường hay được sử dụng trong khá nhiều bài toán liên quan tới miền nguyên,
chẳng hạn ở ví dụ 2 dưới đây.
Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo, ta cần nhắc lại một khái niệm quan trọng khác, là khái niệm
trường.
Định nghĩa 3: Trường là vành X giao hoán có đơn vị 1 = 0 và phần tử bất kỳ x = 0 đều có
nghịch đảo x
−1
(tức xx
−1
= 1).
Hiển nhiên rằng trường là một miền nguyên và do đó tập các phần tử khác 0 của trường X (ta
kí hiệu là X
∗
) là ổn định đối với phép nhân, đồng thời lập thành nhóm giao hoán. Vì vậy ta
có thể định nghĩa trường, kế thừa các tri thức về nhóm như sau : Trường là một tập hợp X có
nhiều hơn một phần tử, trên đó xác định được hai phép toán cộng (+) và nhân (.), thỏa :
1. (X; +) lập thành nhóm giao hoán.
2. (X
∗
; .) lập thành nhóm giao hoán.
3. Luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Hiển nhiên muốn kiểm tra một tập X cho trước với các phép toán nào đó là trường chúng ta
phải tuân thủ một trong các định nghĩa nói trên.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng một miền nguyên hữu hạn là một trường.
Giải

Nếu X là miền nguyên hữu hạn thì hiển nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có luật phân phối
của phép nhân với phép cộng. Vì X là miền nguyên nên X
∗
ổn định đối với phép nhân (tích
hai phần tử khác 0 là khác 0 !). Phép toán nhân trên X là kết hợp, giao hoán nên nó cũng kết
hợp, giao hoán trên X
∗
⊂ X. Theo ví dụ 1 phép nhân trên X
∗
có luật giản ước. Vậy (X
∗
, .)
là nửa nhóm hữu hạn (do X hữu hạn) có luật giản ước nên X
∗
là nhóm và là nhóm giao hoán.
Vậy X là trường.
Cũng như trong các bài toán kiểm tra vành, để kiểm tra một miền nguyên hay một trường ta
có thể kiểm tra gián tiếp thông qua tiêu chuẩn cấu trúc con, khi đã xác định được rằng miền
nguyên hay trường cần phải kiểm tra là bộ phận của một miền nguyên hay trường đã biết.
Để ý rằng nếu X là miền nguyên còn A ⊂
v
X, thì A hiển nhiên là giao hoán và không có ước
của 0 (hai tính chất này kế thừa từ X) nên khi đó A là miền nguyên nếu A chứa đơn vị 1.
Còn X là trường thì bộ phận A = ø trong X là trường con (kí hiệu A ⊂
t
X)
⇔ ∀x, y ∈ A : x − y ∈ A
và ∀x, y ∈ A
∗
: xy

−1
∈ A
∗
.
Ví dụ 3 : Cho các tập số sau :
Z(
√
−3) = {a + b
√
−3 : a, b ∈ Z}
Q(
√
−3) = {a + b
√
−3 : a, b ∈ Q}.
Chứng minh rằng Z(
√
−3) là miền nguyên, Q(
√
−3) là trường với các phép toán cộng và nhân
thông thường các số.
2
Giải :
Để chứng tỏ Z(
√
−3) là miền nguyên, do nhận thấy rằng Z(
√
−3) là bộ phận của trường số
phức (C; +; .) nên trước hết ta chứng tỏ rằng Z(
√

−3) ⊂
v
C.
Thật vậy :
∀ a
1
+ b
1
√
−3, a
2
+ b
2
√
−3 ∈ Z(
√
−3) ta có :
• (a
1
+ b
1
√
−3) − (a
2
+ b
2
√
−3) = (a
1
− a

2
) + (b
1
− b
2
)
√
−3 ∈ Z(
√
−3)
• (a
1
+ b
1
√
−3)(a
2
+ b
2
√
−3) = (a
1
a
2
− 3b
1
b
2
) + (a
1

b
2
+ a
2
b
1
)
√
−3 ∈ Z(
√
−3)
Vậy Z(
√
−3) ⊂
v
C theo tiêu chuẩn của vành con.
Vì trường (C; +; .) là giao hoán, không có ước của 0 nên bộ phận Z(
√
−3) cũng giao hoá n,
không có ước của 0. Hơn nữa đơn vị 1 = 1 + 0
√
−3 ∈ Z(
√
−3). Vậy Z(
√
−3) là vành giao hoán
có đơn vị 1 = 0 và không có ước của 0, tức Z(
√
−3) là miền nguyên.
Để chứng tỏ Q(

√
−3) là trường, ta chỉ cần chứng tỏ Q(
√
−3) ⊂
t
C. Hiển nhiên là Q(
√
−3) = ø.
• ∀ (a
1
+ b
1
√
−3), (a
2
+ b
2
√
−3) ∈ Q(
√
−3) :
(a
1
+ b
1
√
−3) − (a
2
+ b
2

√
−3) = (a
1
− a
2
) + (b
1
− b
2
)
√
−3 ∈ Q(
√
−3)
• ∀ (a
1
+ b
1
√
−3), (a
2
+ b
2
√
−3) ∈ [Q(
√
−3)]
∗
:
a

1
+ b
1
√
−3
a
2
+ b
2
√
−3
=
(a
1
+ b
1
√
−3)(a
2
− b
2
√
−3)
a
2
2
+ 3b
2
2
=

a
1
a
2
+ 3b
1
b
2
a
2
2
+ 3b
2
2
+
a
2
b
1
− a
1
b
2
a
2
2
+ 3b
2
2
√

−3 ∈ [Q(
√
−3)]
∗
Vậy Q(
√
−3) ⊂
t
C, tức Q(
√
−3) là trường.
* Chú ỷ : Trong việc kiểm tra Q(
√
−3) ⊂
t
C ở trên khi chỉ ra thương hai phần tử khác 0 của
Q(
√
−3) là phần tử của [Q(
√
−3)]
∗
, ta đã tìm cách biểu diễn thương đó thành phần tử thuộc
Q(
√
−3) mà không cần kiểm tra tính khác 0 của thương đó, vì trong một trường đã cho trước
thì thương hai phần tử khác 0 hiển nhiên là khác 0.
Từ một miền nguyên ta có thể xây dựng nên một trường cực tiểu chứa miền nguyên đó, gọi là
trường các thương. Nếu X là miền nguyên thì Q(X), trường các thương của X, có các phần
tử được viết dưới dạng ab

−1
với a, b ∈ X, b = 0; nên để chứng minh một trường là trường các
thương của miền nguyên nào đó, thông thường ta chứng minh miền nguyê n có thể nhúng vào
trường xem như vành con của nó và mỗi phần tử của trường được biểu diễn như thương của
hai phần tử của miền nguyên.
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng trường Q(
√
−3) là trường các thương của miền nguyên Z(
√
−3)
(ở ví dụ 3 ).
Giải :
Trước hết ta có Z(
√
−3) ⊂ Q(
√
−3).
Hơn nữa nếu
q
1
+ q
2
√
−3 ∈ Q(
√
−3) thì cả q
1
=
a
1

b
1
, q
2
=
a
2
b
2
3
là các thương từ Z(
√
−3) nên chúng là các phần tử của trường các thương của Z(
√
−3). Hiển
nhiên
√
−3 = 1.
√
−3 ∈ Z(
√
−3) và thộc vào trường các thương của Z(
√
−3). Do tính ổn định
đối với các phép toán cộng và nhân của trường mà q
1
+ q
2
√
−3 là phần tử của trường các

thương của Z(
√
−3). Vậy trường Q(
√
−3), bị chứa trong trường các thương của Z(
√
−3), tuy
nhiên do tính cực tiểu của trường các thương nên nó trùng với Q(
√
−3).
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng vành Z
n
các số nguyên mod n là một trường ⇔ n là số nguyên tố.
2. Chứng minh rằng trường (Q; +; .) các số hữu tỉ không chứa trường con nào khác ngoài
bản thâ n nó. Kết luận có đúng với trường Z
p
với p là số nguyên tố hay không?
3. Cho X là vành mà các phần tử là lũy đẳng, tức ∀x ∈ X thì x
2
= x. Chứng minh rằng :
(a) x = −x, ∀x ∈ X.
(b) X là vành giao hoán.
(c) Nếu X không có ước của 0, có nhiều hơn một phần tử thì X là miền nguyên. Khi
đó X có phải là trường không?
4. Cho X là trường, e là phần tử đơn vị của X. Xét tập con
A = {ne : n ∈ Z}
Chứng minh rằng A là miền nguyên khi cấp e là vô hạn, còn A là trường khi cấp e là hữu
hạn. (cấ p e ở đây là cấp phần tử e trong nhóm cộng (X; +))
5. Cho tập các ma trận cấp hai :

M =

a b
b a

: a, b ∈ R

.
(a) Chứng minh rằng M là vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân
ma trận.
(b) Phần tử A =

a b
b a

là ước của 0 trong M ⇔ det A = 0.
(c) Tập :
K =

a 0
0 a

: a, b ∈ R

.
là trường con của vành M và nếu có một trường con T của M mà T ⊃ K thì T = K.
(d) Tập :
L =

a b

√
2
b
√
2 a

: a, b ∈ Q

.
là một trường con của M . Trường L có được tính chất tương tự như trường K ở câ u
c không ?
4