Boi duong hoc sinh gioi toan 9

Một số phơng pháp giảI phơng trình vô tỉ
1.Phơng pháp đánh giá
2
2
Ví dụ 1: Giải phơng trình. 3x 6 x  7  5 x  10 x  14 = 4 2x x2
Giải:
Vế trái :
2

2

3 x  1  4

5  x  1  9  4  9

+
=5
2
2
VÕ ph¶i : 4 – 2x –x = 5 – (x+1) ≤ 5.
VËy pt cã nghiÖm khi: vế trái = vế phải = 5.
x+ 1 = 0 x = -1.
3

Ví dụ 2: Giải phơng trình. x 2 x 1 3
Giải :
+ Điều kiện : x -1
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng tr×nh.
3
Víi x > 3 th× x  2 > 1 ; x 1 >2 nên vế trái của phơng trình lớn hơn 3.
3

Với -1 x < 3 thì x  2 < 1 ; x  1 < 2 nên vế trái của phơng trình nhỏ hơn
3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh: 3  4x + √ 4 x +1 =-16x2-8x+1 (1)
Giải
ĐK: 1 x 3 (*)

4



4

3 4 x  4 x 1



2

3  4 x  2 (3  4 x)(1  4 x)  1  4 x

4  2 (3  4 x)(1  4 x ) 4
Ta cã
⇒ √ 3 −4 x+ √ 1+4 x ≥ 2 (2)
L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã:

⇔
3 −4 x+2 √(3 − 4 x )(1+ 4 x )+1+ 4 x=4
16 x 2+8 x +1=0

¿{
⇔
3
x=
4
¿
⇔
1
x=−
√(3 4 x)(1+4 x)=0
1
4
x=
(thoả mÃn(*))
1

x=
4
4
1
x=
{
4




Vậy phơng trình đà cho cã nghiƯm lµ x=− 1
4
(1)⇔

√ 3− 4 x + √ 1+4 x =2
− 16 x2 −8 x +1=2
¿{

LuyÖn tËp


Giải các phơng trình sau:
1) 4 x 1+ 4 x2 +8 x +3=−4 x2 − 4 x
2) √ x2 2 x+5+ x 1=2
2. Phơng pháp đặt ẩn phụ
VD1:Giải phuơng trình:
1+ x + 8 x + (1+x )(8 x)=3
Giải
C1: ĐK: 1 x 8
Đặt t=√ 1+ x + √8 − x (®k t ≥ 0 )
2

⇒t =1+ x+ 8 − x+ 2 √ (1+ x )(8 − x )
t 2− 9
⇒ √ (1+ x )(8 x)=
2

Khi đó phơng trình đà cho trở thành:

Với t=3, ta cã:

t 2− 9
=3
2

2
⇔ t + 2t −15=0
⇔
t=−5
¿
t=3
¿
¿
¿
¿
¿
t+

√ 1+ x + √ 8 − x=3
⇔ 1+ x +8 − x +2 √ (1+ x)(8 − x)=9
⇔ √(1+ x )(8 x )=0

x=1

x=8
(thoả mÃn (*))






Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là:x1=-1 và x2=8
C2: ĐK: 1 x 8
Đặt

u= 1+ x
v =√ 8− x
¿{
¿

⇒
u =1+ x
v 2=8− x
¿{

( u , v ≥0 )

2

2

2

⇒ u +v =9



u + v 2=9
u+ v+ uv=3
{

2

Ta có hệ phơng trình:



(

2

6 − uv
−2 uv=9
2
6 − uv
u+ v=
2
¿{

)

⇔
uv (uv − 20)=0
6 − uv
u+v =
2
¿{

⇔
u+v ¿ −2 uv =9
¿
¿
2(u+v)+uv=6

¿
⇔
uv =0
¿
uv =20
¿
6 − uv
¿ u+ v=
2
¿
¿
¿
¿
2

⇔
¿ uv=0
u+ v=3
¿
¿
¿
uv =20
¿
¿
u+ v=−7
¿
¿
¿

(lo¹i)

Víi

¿
u+ v=3
uv =0
¿{
¿

¿
u=3
+) v =0
¿{
¿
¿
u=0
+): v =3
¿{
¿

¿
u=0
ta cã: v =3
¿{
¿

⇒
1+ x =9
8 − x=0
¿{
⇒

1+ x =0
8 x=9
{

hoặc


u=3
v =0
{


x=8



x=1

Vậy phơng trình đà cho có nghiệm: x1=1 và x2=8
VD 2: Giải phơng trình
(4 x 1) x 2 +1=2 x2 +2 x+ 1

Giải
Phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình:
(4 x 1) x 2 +1=2( x 2 +1)+2 x 1 (1)
Đặt t= x2 +1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thµnh:
(4x-1)t=2t2+2x-1 ⇔ 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)


Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có:

4 x 3 2 0, ∀ x ∈ R
4 x −1 ¿2 −8(2 x − 1)=
=

Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t1=2x-1 và t2= 1 (lo¹i)
2

⇔
⇔
2 x −1 ≥ 0
1
x≥
¿
2
Víi t1=2x-1, ta cã: √ x +1=2 x − 1
2
2 x − 1¿ 2
2
3 x 4 x=0

2
{
x +1=

1
x
2
x=0

4
4
x=
x=
3
3






Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x= 4
3

Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích
VD3: Giải phơng trình
3 2 x+ x 1=1
Giải
ĐK: x 1 (*)

u= 2 x
Đặt v = x 1 , v ≥ 0
¿{
¿
⇒
u3=2 − x
3
2
⇒ u + v =1

2
v =x 1
{
3

Khi đó ta có hệ phơng trình:

u+v =1
u3 +v 2 =1
¿{
¿

1− u ¿2=1
⇒ u 3+¿

3

2

⇔u +u −2 u=0

⇔
u=0
¿
u=1
¿
u=− 2
¿
¿
¿

¿
¿


Víi u=0, ta cã: √3 2− x=0 ⇔ x=2
Víi u=1, ta cã: √3 2− x=1
⇔ 2 − x=1
⇔ x=1
Víi u=-2, ta cã: √3 2− x=−2 ⇔2 − x=− 8 ⇔ x=10
Vậy phơng trình đà cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
2
2x2 + 3x + 2 x  3x  9 = 33 (*)

Ví dụ 4: Giải phơng trình:
Giải:

2
* 2x2 + 3x +9 + 2 x  3 x  9 - 42 = 0
2

3  27 
2 x    
2
4 
2 x 2  3x  9 (y > 0 vì 2x2 + 3x +9 =
> 0)

Đặt y =
Ta cã y2 + y – 42 = 0 (y – 6 ) ( y + 7 ) = 0
y1 = 6 ; y2 = -7 (Lo¹i)

9
Suy ra 2 x  3x  9 = 6 2x2 + 3x – 27 = 0 (x – 3)(x + 2 ) = 0
9
x1 = 3 ; x2 = - 2
2

Giải các phơng tr×nh sau:
1) x 2+ √ x +5=5

Lun tËp

x+ 1
2) ( x − 3) x −3 =− 3

√

(x − 3)( x+1)+4 ¿
3) √ x2 −3 x+ 3+ √ x2 −3 x +6=3

3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Dạng phơng trình:
Dạng 1:

f ( x )=g(x )

D¹ng 2:

√ f ( x )=√ g(x )

VD1: Giải phơng trình:
Giải

x+ 4 0
ĐK: 1 x ≥ 0
1− 2 x ≥ 0
¿{{
¿

⇔
g( x )≥ 0
f ( x)=g 2( x )
¿{
⇔
g( x) ≥ 0
f ( x)=g ( x)
¿{
√ x+ 4 − √ 1 − x=√ 1− 2 x

4 x

1
2

(*)

Với đk(*) phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình:
1 2 x + 1 x = x +4 ⇔ 1− 2 x +1 − x +√(1 −2 x)(1 − x)=x+ 4
⇔ √(1 − x )(1− 2 x )=2 x+1

⇔
2 x+1 ≥ 0
¿
2 x +1 ¿2
¿
(1− x)(1 −2 x)=¿
⇔
⇔
1
2
2 x 2 +7 x=0
{
x

x=0

1
2
x=0

x=7







x

(thoả mÃn (*))

Vậy phơng trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phơng trình
x 1+2 x 2 − √ x − 1− 2 √ x − 2=1
Gi¶i
Ta cã:
√ x −1+2 √ x −2 − √ x − 1− 2 √ x − 2=1
⇔
√2x −2+2 √ x −2+1 − √ x − 2− 2 √ x −2+1=1
√ x −2+1 ¿
√ x −2 −1 ¿2
=1
¿
¿

⇔ √¿
√¿
⇔|√ x − 2+1|−|√ x − 2− 1|=1 ⇔ √ x − 2+ 1−|√ x −2 −1|=1
√
x −2 −1 ¿2
|
|
⇔ √ x − 2= √ x − 2− 1
⇔ x − 2=¿
⇔ x −2=x −2+1 −2 √ x −2
1
1
9

⇔ √ x − 2=
⇔ x 2=
x=
2
4
4
Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x= 9
4

Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) 3+ x 6 − x=3
2) √ x(x −1)+ √ x (x +2)=2 √ x 2
3) √ 2 x 2 +8 x+ 6+ x2 1=2 x +2
4. Phơng pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
4 x+ x +5=m
Giải: Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x0 thì (-1-x0 ) cũng là nghiệm của phơng trình. Do đó để phơng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt th×
x 0=−1 − x 0

⇔

Thay x 0= 1
2

x 0=

1
2

vào phơng trình đà cho ta đợc: m=3 √ 2


Điều kiện đủ:
Với m=3 2 phơng trình đà cho trë thµnh:
√ 4 − x+ √ x +5=3 √ 2
⇔
4−x ≥0
¿
x +5 ≥ 0
√ 4 − x+ √ x +5 ¿2=18
¿
¿

⇔
x≤4
x ≥ −5
4 − x+ 2 √( 4 − x )(x +5)+ x +5=18
¿{{

⇔
⇔
⇔
−5 ≤ x ≤ 4
−5 ≤ x ≤ 4
− 5≤ x ≤ 4
4 (4 − x)( x +5)=81
2 √ (4 − x)(x +5)=9
4 x 2 +4 x+1=0

¿{
¿{
¿{
⇔
−5 ≤ x ≤ 4
1
1
⇔ x=−
x=−
2
2
¿{
VËy víi m=3 √ 2 th× phơng trình đà cho có nghiệm duy nhất

Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số