Tài liệu Đáp án đề thi thử môn Toán khối A trường Hồng Đức lần 2 năm 2009 doc

ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A

Câu Lời giải Điểm
I.1.(1đ) Tập xác định: . 
Giới hạn tại vô cực: .
()
lim
x
fx
→±∞
=∞∓


() ()
() ()
2
'66;'0
19;13.
fx x fx x
ff
=− + = ⇔ =±
−=− =
1.
−∞ 1
Bảng biến thiên:

x
− 1 +∞
f ’(x)

− + −

f(x)
+∞
8

0
−
−∞

Nhận xét: Hàm số nghịch biến trên hai khoảng đạt
cực tiểu tại -1, cực đại tại 1 và
(;1),(1;−∞ − +∞);
8; 0.
CT CD
ff=− =
Giao điểm với trục tung: (0;-4); với trục hoành: (-2;0) và (1;0) (điểm
cực đại).

Đồ thị như hình vẽ.
-2 -1 1
-8
-6
-4
-2
x
y
0
y

=

-
2
x
3

+

6
x

-

4



0,25










0,5

0,25
I.2.(1đ)
Ta có
()
ln ' 1 ln
x
x=+ x
a
.
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
a (a > 0) là (1 ln )( ) ln .yaxaa=+ −+

Để tiếp tuyến đi qua A, phải có

()
2(1ln)(1 ) ln
21 ln ln 10,1
aaaa
aa aa
=+ −+ ⇔
=− + ⇔ −−=

0,25



0,25


Số tiếp tuyến đi qua
A phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1).
Xét hàm số
()
ln 1
f
aaa=−−
. Ta có:

()
()
1
'1;
'0
fa
a
fa a
=−
=⇔=
1.

Bảng biến thiên của
()

f
a
:
a
0 1
+∞
f ’(a) + 0 −

f(a)

− 2
−∞ −∞

Từ bảng này ta thấy giá trị lớn nhất của f(a) là -2 nên phương trình (1)
vô nghiệm. Vậy
không có tiếp tuyến nào đi qua A.








0,5
II.1.(1đ) Vế trái có nghĩa khi và chỉ khi x > 0. Khi đó vế phải cũng có nghĩa. Dễ
thấy vế phải đơn giản bằng x.

Như vậy ta có phương trình

2
2
ln 5ln 7
ln 5ln 6
2
1
1
ln 5ln 6 0,(1)
xx
xx
xx
x
x
xx
−+
−+
=⇔
⎡
=
⎢
=⇔
⎢
−+=
⎢
⎣

Mặt khác: (1)
2
3
ln 2

ln 3
x
xe
x
x
e
⎡
⎡
==
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣
=
⎣

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
23
12 3
1, , .
x
xexe== =

0,25

0,5





0,25
II.2.(1đ) Ta có:

00
cos12 cos18 4cos15 cos 21 cos24
cos12 cos18 2(cos36 cos 6 )cos24
cos12 cos18 2cos36 cos 24 2cos 24 cos 6
cos12 cos18 cos 60 cos12 cos30 cos18
13
cos60 cos30
2
oo ooo
oo ooo
oo oo o
oo o
oo
+− =
+− + =
+− −
+−−−−
+
=− − =−

o
o
=





1,0
III(1đ)

Giả sử 3 điểm trên parabol là Hệ
số góc của đường thẳng
AB là
()()()
222
,,,,,,(Aaa Bbb Ccc a b< ).
22
ba
ab
ba
−
=+
−
, còn hệ số góc của tiếp

tuyến tại C hiển nhiên là 2c. Vậy
2
ab
c
+
=
.
Độ dài
()
()
()()
2
22
22
1AB ba b a ba ab=−+− =− ++.
Phương trình đường thẳng AB:

()()
() ()
2
2
22
0.
xa ya
abxa ya
ba
ba
a b x y ab y a b x ab
−−
=⇔+−=−

−
−
⇔+ −−=⇔=+ −

Khoảng cách từ C đến AB:

()
()
()
()
()
()
2
2
2
22
4
22
.
114
ab
ab ab
ab
ab ab
ba
h
ab ab ab
+
⎛⎞
++

⎟
⎜
−
+− −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
−
===
++ ++ ++
2
1

Diện tích tam giác ABC:


()()
()
()
()
23
2
2
11
.1.
22 8
41
ba ba

SABh ba ab
ab
−−
==−++ =
++
.


Diện tích giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB:

()
()
()
() ()
()
()
()
()
23
2
22 33
3
2
22
'
23
23
362
66
b

b
a
a
xx
S a b x ab x dx a b abx
ba ba
ab abba
ba
ba
ab ab a abb
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=+−− =+−−
⎟
∫
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
−−
.
− −− =
−
−

+−− ++ =
=+
Suy ra:
3
'4
S
S
=
.







0,5

0,5

IV(1đ)
S

C’

D
′
D C
B’

A B


S

C’
I

A
H C

(
Hình này có thể không vẽ)



0,25
Xét tam giác cân SAC (cân tại S) với H là trung điểm của AC. Rõ ràng
SH là đường cao của tam giác SAC và của cả hình chóp. Lại có
và C’ là trung điểm SC nên AC = SC, tức là tam giác SAC
là đều.
'AC SC⊥

Dễ thấy
'
'
SB SI
B
BIH
=
, trong đó I là giao điểm giữa SH và AC’. Vì I
cũng là trọng tâm tam giác SAC nên SI : IH = 2:1.
Vậy tỉ số giữa SB’
và B’B là 2.
0,25



0,5
V(1đ) Ta có

(
)
()
(
)
()
22 2 2 2
222 22
2
2
2
2
12 12
312 12 3
12
11
.
3
12 1
x
yx yxxx yx
A
xyy xy
y
x
y
x
+
−+
==

++
+−
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
−


Đặt
()
2
2
12
,0
y
tt
x
=≥ và
(
)
3
A
ft= . Khi đó

()
()
()
()

() ()
()
()
2
22
2
2
11
;
4
1
41 1
21
'
4
21 2 21
;
1 241
'021 2
2, 1
44 4 4,(2)
(2) 8 0 8.
t
ft
t
tt
t
ft
t
ttttt

tttt
ft t t
t
tt t
tt t
+−
=
+
+−++
+
=
+
+ + −+ +
==
++ ++
=⇔ +=−⇔
⎧
≥
⎪
⎨
+=−+
⎪
⎩
⇔−=⇒=
422
24
+−−


Dễ thấy bên trái điểm t = 8 thì f’(t) > 0 và bên phải thì t < 0. Ngoài ra

. Do đó, ta có bảng biến thiên sau:
()
lim 0
t
ft
→+∞
=
t
0 8
+
∞
()
'
f
t
+ 0 -

()
f
t
1/6
0 0




0,25

0,5















0,25



Từ bảng này ta thấy tập hợp giá trị của f (t) là

[
]
0;1/ 6
nên tập hợp
mọi giá trị của A là
1
0;
18
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
CHÚ Ý. Thí sinh có thể dùng bất đẳng thức để chỉ ra giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất tương ứng bằng 0 và 1/18 rồi kết luận rằng tập hợp
mọi giá trị của
A là
1
0;
18
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
Cách làm này không thật chặt chẽ vì không chỉ ra được

rằng A nhận mọi giá trị giữa 0 và 1/18 nên chỉ cho tổng cộng 0,75đ.





Phần riêng theo chương trình Chuẩn

VIa.1(1đ)
Đường thẳng
AB có phương trình Trung điểm I của cạnh
AB là giao điểm của AB với đường trung trực nên có giá trị tham số t
thoả mãn phương trình
31,
23
xt
yt
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
.
)

3(

3 1) 2(2 3) 4 0
13 13 0 1.
tt
tt
−+ −−=⇔
−=⇒=

Vậy ta có . Dễ thấy điểm B ứng với giá trị t = 2 nên có
(
2; 1I −
(
)
5;1B
.
Tiếp theo,
()(
33.2;16;IC IM==−=−
)
3

   
nên có
()
8; 4C −
.

0,5




0,5
VIa.2(1đ) Tâm I của mỗi mặt cầu như vậy phải nằm trên mặt phẳng R đi qua
chính giữa hai mặt phẳng đã cho. Dễ thấy hai toạ độ của
I phải thoả
mãn phương trình mặt phẳng
R: Mặt khác, vì khoảng
cách từ
I đến O bằng bán kính nên phải bằng nửa khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đã cho hay bằng khoảng cách giữa
P và R. Lấy một điểm
bất kỳ trên
P và tính khoảng cách tới R, ta được giá trị bằng
210xy++=.
5
5
14
=
+
.

Như vậy, chính
I phải nằm trên mặt cầu S, tâm O, bán kính 5, tức là
các toạ độ thoả mãn phương trình:
222
5.xyz++=

Như vậy, tập hợp tâm các mặt cầu đi qua
O và tiếp xúc với hai mặt
phẳng đã cho là đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S và mặt phẳng R.
Nói cách khác, đó
là tập hợp các điểm có ba toạ độ x, y, z thoả mãn
hệ phương trình:

222
210
5.
xy
xyz
⎧
++=
⎪
⎪
⎨
⎪
++=
⎪
⎩




0,5

0,5
VIIa(1đ)
Số cách lấy 6 trong 12 viên là (tức là ). Lấy 6 viên sao
cho số viên đỏ bằng số viên xanh có hai trường hợp: hoặc 3 viên đỏ, 3
6
12
C
6
12
AC=

0,5

viên xanh (không viên nào trắng) hoặc 2 viên trắng, 2 đỏ và 2 xanh.

Trường hợp thứ nhất có thể thực hiện theo cách; trường hợp thứ
hai: cách. Như vậy
33
45
CC
222
345
CCC
33 222
45 345

B
CC CCC=+ ; do đó

33 222
45 345
6
12
4.10 3.6.10 5
924 21
CC CCC
B
A
C
+
+
==
=.




0,5

Phần riêng theo chương trình Nâng cao

VIb.1(1đ)
Rút y từ phương trình của rồi thế vào phương trình của , ta được:
1
d
2

d

()
()
()
22
2
22
2
12 1
1
110
1
kx kkxk k
k
kxk x
k
−+ +−−=
−
++−=⇒=
+
0
.
⇔

Do đó
3
22
2
.

11
kk k
yk
kk
−
=+=
++


Suy ra:

()
()
()
2
2
2
22
22
2
2
24 2
22
22
12
11
1
12 4
1.
11

kk
xy
kk
k
kk k
kk
⎛⎞
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+= + =
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟

⎝⎠
++
⎝⎠
+
−++
==
++

Vậy
giao điểm của hai đường thẳng di chuyển trên đường tròn tâm
O,
bán kính bằng 1.





0,5









0,5
VIb.2(1đ)
Giả sử S có phương trình . Do

S đi qua A, B, C, D nên có:
222
222xyz axbyczd++− − − +=0

12 0
12 0
32 2 2 0
12 0.
cd
ad
abcd
bd
⎧
−+=
⎪
⎪
⎪
⎪
−+=
⎪
⎪
⎨
⎪
−−−+=
⎪
⎪
⎪
−+=
⎪
⎪

⎩
Suy ra a = b = c = ½ và d = 0. Vậy mặt cầu S có phương trình:

222
0xyzxyz++−−−=
(tâm là I( ½, ½, ½), bán kính
111 3
444 2
R =++=
).

Tiếp theo, giả sử S’ có phương trình
. Do S’ đi qua A’, B’, C’,
222
2' 2' 2' ' 0xyz axbyczd++− − − +=





0,25

D’ nên có:
1
''0
4
1
'' '0
2
22'2' '0
22'2' '0
ad
bcd
abd
bcd
⎧
⎪
⎪
−+ =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−−+ =
⎨
⎪
⎪
⎪

−−+=
⎪
⎪
⎪
⎪
−−+=
⎪
⎪
⎩
.

Suy ra
51
'' ,' ''
44
ac b d== = =
1. Vậy mặt cầu S’ có phương trình:

222
515
10
222
xyz x y z++−−−+=
.
(tâm là I’( 5/4, 1/4, 5/4), bán kính
25 1 25
'1
16 16 16
R =++−
.

Phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến:

313
10 3 3 20
222
xyz xyz
−+−=⇔−+−=.
Khoảng cách từ I tới mặt phẳng này:

313
2
1
222
.
919 219
−+−
=
++

Bán kính đường tròn giao tuyến:

22
3 1 56 14
.
476 76 19
rRd=−=−= =

0,25












0,5





VIIb(1đ) Giả sử căn bậc hai của 15 + 112i là x + yi. Khi đó:

()
2

22
22
2
2
42
215112
3136
15
15,( 0)
56
15 3136 0.(1)
xyi x y xyi i
xy
xx
xy
x
xx
+ =−+ =+ ⇔
⎧
⎪
−=
⎪
⇒− = ≠⇒
⎨
⎪
=
⎪
⎩
−−=

Đặt , thì (1) trở thành:
2
,( 0)xtt=≥

2
2
15 3136 0;
225 12544 12769 113 ;
15 113
64.
2
tt
t
−− =
Δ= + = =
+
==

Suy ra 8, 7.xy=± =±
Vậy
căn bậc hai của 15 + 112i có hai giá trị là
()
87.i±+



0,5

0,5