Tài liệu Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) pptx

Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chun đề BĐT cauchy 1

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
AM-GM (CAUCHY)
 Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.
Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị
của các biến tướng ứng khơng bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài
tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi).
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để
tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình
xác định chúng có nghiệm.
 Một số bất đẳng thức cơ bản
 Bất đẳng thức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
12
, , ., ( 2)
n
a a a n
ta luôn có
12
12

n
n
n
a a a

a a a
n

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
12 n
a a a
.
 Một vài hệ quả quan trọng:

2
12
12
1 1 1
( ) với 0, 1,
ni
n
a a a n a i n
a a a



2
1 2 1 2
1 1 1
với 0, 1,
i
nn
n
a i n
a a a a a a




Cho
2n
số dương (
,2n Z n
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
nn
a a a b b b
ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b

Bài tốn mở đầu:
VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì
Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy.
Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài tốn như nào??
Bài 1: Cho
3a
. Tìm Min của
a
aS
1

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 2

Bình luận và lời giải :
+Sai lầm :

+Nguyên nhân :

điều này mâu thuẫn với giả thiết
3a

+Xác định điểm rơi :
Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và
3
3
10
min aS
. Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau
nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số
a
và
1
phải bằng nhau.
Với a=3 cho cặp số

+Lời giải đúng :

Đẳng thức xãy ra
3a

Bài 2: Cho
2a
.Tìm Min của
2
1
a
aS


+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số
2min2
1
.2
1
S
a
a
a
aS
1
1
2min
a
aS
9
3
13

3
11
3
a
a
3
10
3
10
9
3.81
.
9
2
9
81
9
1
MinS
a
aa
a
a
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 3

+Sai lầm :


Với a=2 thì
4
9
minS

+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu
2a
thì
4
2
8
2
a
là đánh giá
sai “
Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số
+Lời giải đúng :




Đẳng thức xãy ra
2a

Bài 3: Cho
1
0,
ba
ba
.Tìm min của
ab
abS
1


+Sai lầm :
8
4
12
4
11
2
2
a
a
4
9
8
2.7
2.8
2
8
7
8

2
8
71
.
8
2
8
71
8
1
222
a
a
a
a
aa
a
a
a
aS
4
9
Smin
4
9
8
2.61
.
8
.

8
3
8
61
88
1
3
222
a
aaa
a
aa
a
aS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 4


+Nguyên nhân :

(vô lí )
+Lời giải đúng :
Đặt

điều này dẫn đến một bài toán mới

Cho
4t
.Tìm min của

t
tS
1

Với

Ta có :


Với
4t
hay
2
1
ba
thì
4
17
minS

Lời giải bài 3:
Do
2Smin2
1
ab
abS
2
1
1
2

1
2
1
1
2min
ba
ab
ab
abS
4
2
111
2
ba
ab
t
ab
t
16
4
14
4
11
4
4
t
t
t
4
17

16
4.151
.
16
2
16
151
16
1
t
tt
t
t
t
tS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 5


nên

Đẳng thức xãy ra
2
1
ba


Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn
2

3
cba
.Tìm min




+Sai lầm :

+Nguyên nhân :

trái với giả thiết .

+Xác định điểm rơi :
2
1
4 bat
4
17
min
4
17
2
16
15
16
1
.2
16
15

16
11
2
S
ba
ab
ab
abab
ab
ab
abS
2
2
2
2
2
2
111
a
c
c
b
b
aS
23min238.3
1
.2
1
.2
1

.23
1
.
1
.
1
3
6
6
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
S
a
c
c
b
b
a
a

c
c
b
b
aS
2
3
31
111
23min cba
cba
cbaS
Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chuyên đề BĐT cauchy 6



+Lời giải đúng :





Với
2
1
cba
thì
2

173
min S
.
Bài 5: Cho a,b,c>0 và
2032 cba
.Tìm min của


16
4
4
1
4111
4
1
2
1
222
222
cba
cba
cba
2
173
3
222
2
173
)2.2.2(2
173

16
1
.173
161616
17
16
.17
16
.17
16
.17
16
1

16
1
16
1

16
1
16
1

16
1
17
15
17
5

17
5558
17
168
17
168
17
168
17
3216
2
17
3216
2
17
3216
2
16
22
2
16
22
2
16
22
2
cba
cba
cba
a

c
c
b
b
a
b
a
b
a
b
a
aa
c
cc
b
bb
aS
      
cba
cbaS
4
2
93
Trng THPT chuyờn Quang Trung GV: Nguyn Vit Hi

Chuyờn BT cauchy 7

Li gii : Ta d oỏn c S=1 ti im ri a=2 , b=3 , c=4 .S dng BT Cauchy ta cú :
(1)
M

(2)
Cng (1) v (2) v theo v c

ng thc xóy ra
4,3,2 cba


* Baứi taọp tửụng tửù:

Bi 6: Cho

Chng minh rng:


Bi 7: Cho a,b,c>0 v a=max{a,b,c} . Tỡm min ca


8
4
2
93
424
3
2
16
4
1
3
9
2

1
3
4
4
3
8
16
.2
16
6
9
.2
9
4
4
.2
4
cba
cba
c
c
b
b
a
a
c
c
c
c
b

b
b
b
a
a
a
a
5
4
3
24
2032
cba
cba
13min13 SS
8;12
0,,
bcab
cba
2
1218111
2)(
abccabcab
cbaS
3
1312
a
c
c
b

b
a
S
Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chun đề BĐT cauchy 8

Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của


Bài 10. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN của
111
2 2 2
P
x y z x y z x y z
.
Lời giải
Sai lầm 1:
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P

x y z x y z x y z x y z

10
9
MaxP

Sai lầm 2:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y z
xyz x yz xy z
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm
rơi.
2
2
10
()
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z
, tức là không tồn tại

10
( , , ) :
9
x y z D P

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
MaxP
đạt được tại
4
3
x y z
nên tách các
số
2x x x
ra cho dấu bằng xẩy ra.
CBA
CBAT
sin
1
sin
1
sin
1
sinsinsin
A
C
C
B
B
AT

2
2
2
2
2
2
cos
1
sin
cos
1
sin
cos
1
sin
Trường THPT chun Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải

Chun đề BĐT cauchy 9

Cách 1: Ta có
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z
, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z
, vậy
1MaxP

khi
4
3
x y z
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
11
2 4 . . .
2
4
x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
, mặt khác:
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
, tương tự ta có:
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z
. Dấu “=” xảy ra khi
1
4

x y z
, suy ra:
1MaxP
khi
1
4
x y z
.
Ta có thể thể mở rộng bài tốn 10. Thành bài tốn tổng qt sau.
Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
. Tìm GTLN của
111
P
x y z x y z x y z
.
Với
,, N