Tài liệu Kỹ thuật chọn điểm rơi AM-GM ppt

Math is thinking





A.Đặt vấn ñề
Trong việc sử dụng BĐT ñể tìm cực trị nói chung BĐT AM-GM nói riêng thì ñiểm rơi là một kĩ thuật
khá quan trọng.Gần ñây có rất nhiều tài liệu viết về pp này nhưng tôi cảm thấy chúng còn có gì ñó thiếu
tự nhiên. Do ñó bài viết này ra ñời.

B.Nội dung
Để sử dụng thành thạo pp này ta cần chú ý 1 vài ñiểm sau:
1/Các bước làm

B1:Xác ñịnh
số ñem CS và mục tiêu CS
B2:Giả dấu bằng xảy ra khi “biến=m” rồi dựa vào
mục tiêu CS tìm m
2/Nhận xét

Các biến có vai trò như nhau ( tức là khi ta tráo ñổi 2 biến thì giả thiết và BĐT không thay ñổi )thì
dấu “=” xảy ra khi chúng bằng nhau
.


C.Ví dụ và 1 số ñiều lưu ý
Vd:
Cho a,b>0 và
22
5

ab
+=
. Tìm GTNN của
36
Aab
=+

Nhận xét:
• Đây là bài toán BĐT có ñiều kiện nên ta nghĩ ngay là CS các số
36
,
ab
ñể tạo ra
22
,
ab
.
• Và từ bậc
3
a
xuống
2
a
ta CS 3 số (
3
a
,
3
a
và 1 hằng số),

6
b
xuống
2
b
ta CS 3 số (
6
b
và 2
hằng số)
• Tuy nhiên sau khi CS ñể dùng ñược giả thiết thì hệ số của
22
,
ab
và
36
,
ab
bằng nhau

→
thực chất ở trên bằng các suy luận có lý ta ñã làm B1
số ñem CS là 3 số (
3
a
,
3
a
và 1 hằng số) và 3 số (
6

b
và 2 hằng số)
mục tiêu CS là hệ số của
22
,
ab
và
36
,
ab
bằng nhau
B2:
Giả dấu bằng xảy ra khi a=m và b=n(*)
Khi ñó ta có
3332
3
aamma
++≥ (1)

66642
3
bnnnb
++≥ (2)
Dựa vào mục tiêu CS ta nhận thấy cần
• hệ số của
36
,
ab
bằng nhau
→

nhân (2) với 2 rồi cộng với (1)
→
3636242
2()233
abmnmanb
+++≥+
• hệ số của
22
,
ab
bằng nhau
→
4
33
mn
= .Mặt khác theo giả sử (*) và giả thiết ta còn có
22
5
mn
+=
→
m=2 và n=1

Lưu ý :

Bài toán trên sử dụng 1 tư tưởng CS khá ñơn giản là tận dụng giả thiết và thể hiện khả năng hạ bậc
ñặc trưng của CS.Tuy nhiên trong thực tế thì những mục tiêu CS cần ta suy luận 1 cách hợp lý và khó
hơn ví dụn rất nhiều.Để có 1 tư tưởng CS hay và hợp lý ta ñi xét các tính chất của BĐT CS
Math is thinking

• Hạ bậc: Từ
mn
aa
→ thì ta làm như sau
m
mmmnmn
aaaxxxmax
−
+++++++≥ (có n số
m
a
và m-n số
x
)
• Tính khử: thể hiện chẳng hạn như

2121
332
11
xx
xxxx
−
+=++≥+
−−
→
khử kiểu phân số

2
11(2)(12)1

(12)(2)(12)
2228
xx
xxxx
+−

−=−≤=


→
khử kiểu tích
………<Sẽ giới thiệu sau>

Còn 1 vấn ñề nữa là số ñem CS có thể là
• Hằng số:Là các số có giá trị cụ thể .Thông thường tác dụng của nó là hạ bậc
• Số ở kết luận:Là những cái gì có ở biểu thức cần tìm cực trị .Thông thường nó chỉ làm số ñem
CS trong bài toán tìm GTNN
• Số ở giả thiết: Là những cái gì có ở giả thiết.
• Số ngoại lai : Là những số ta ñưa vào ñể thỏa mãn nhu cầu sử dụng gt .Tuy nhiêm nó cần xử lý
ñược VD:Cần cm A>B ta ñưa số C vào ñể A+C>?B thì C<B (A,B,C có thể là tượng trưng cho
cả 1 biểu thức)
………< >

D.Bài tập chọn lọc
1. Cho
,,
xyzR
+
∈
và x+y+z=1. CMR:

3
4
3
xxyxyz
++≤

2. cho
[
]
0;1
x ∈ . Tìm GTLN
2424
139
Axxxx
=−++

3. Cho x,y>0 và
6
xy
+≥
.Tìm GTNN
68
23Axy
xy
=+++

4. Cho
,,
xyzR
+

∈
và x+y+z=3. Tìm GTNN A=
333
64
abc
++

5. Cho
2,9,1945
abc
≥≥≥
và a+b+c=2010. Tìm GTLN của A=abc
6. Cho xy+z+zx =-1. Tìm GTNN A=
222
58
xyz
++
7. Cho
,,
xyzR
+
∈
và xy+yz+zx =1. Tìm GTNN của A=
222
()
Aaxyz
=++

8. Cho
,,

xyzR
+
∈
và
222
(2)(1)(3)64
aabcc
++++=
. Tìm GTLN
345
abc

(lời giải sẽ ñược update trong tg sớm nhất)