Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm

TĨM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn này, nghiên cứu tính hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung
tâm (gọi tắt là SBFEM), phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích
ứng xử bài tốn phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao. Phương trình
chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm được thiết lập để phân tích bài tốn chịu
tải trọng bậc cao và điều kiện biên hỗn hợp. Các bài toán được khảo sát để xem xét
hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm như độ chính xác, khả năng hội tụ
so với lời giải tham khảo. Kết quả đã chứng tỏ được tính hiệu quả, chính xác của
phương pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn ở Việt Nam
đang sử dụng hiện nay.

iv


ABSTRACT
This study presented the effectiveness of Scaled boundary finite element
method (SBFEM) for analysis of the two-dimensional elasticity problem. The scaled
boundary finite element formulation is formulated within general framework
including the influence of distributed body source, mixed boundary condition,
contributions of the side face. Several examples are explored to veify the proposed
method with analytical solution. The result demonstrates its vast capapility,
computational efficiency of the proposed method. It is also effecitve numerical
method that has been using in Vietnam.

v


MỤC LỤC
TRANG
LÝ LỊCH KHOA HỌC ............................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... ii

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... iii
TÓM TẮT ĐỒ ÁN.................................................................................................... iv
ABSTRACT ................................................................................................................v
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU ............................................................................... viii
DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... ix
DANH SÁCH CÁC HÌNH .........................................................................................x
DANH SÁCH CÁC BẢNG ..................................................................................... xii
............................................................................................1
1.1. Đặt vấn đề ................................................................................................1
1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu..............................................................1
1.2.1. Tình hình nghiên cứu ngồi nước ....................................................1
1.2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước .....................................................4
1.3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................4
1.4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................5
1.5. Tính mới của đề tài ..................................................................................5
.................................................................................5
2.1. Mơ tả bài tốn ..........................................................................................6
2.2. Phương trình cơ bản bài tốn ..................................................................7
2.3. Thiết lập phương trình dạng yếu bài toán ...............................................8
...................................................9
3.1. Phương pháp phần tử biên trung tâm ....................................................10
3.2. Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm .......................................11
3.3. Phương pháp xấp xỉ các trường của bài toán ........................................13

vi


3.4. Xây dựng phương trình chủ đạo của bài tồn trong hệ tọa độ của phương
pháp SBFEM .........................................................................................................14
3.5. Lời giải cho phương trình dạng yếu ......................................................20

3.5.1 Nghiệm của phương trình vi phần thuần nhất...............................20
3.5.2 Tìm nghiệm riêng ..........................................................................22
3.5.3 Nghiệm tổng quát ..........................................................................24
3.6. Hàm dạng xấp xỉ trong phương pháp phần tử SBFEM .........................26
3.7. Lưu đồ tính tốn SBFEM bằng Matlab .................................................27
..............................................................................................28
4.1. Bài toán tấm phằng chịu tải trọng kéo phân bố đều ..............................29
4.2. Bài toán tấm phẳng chịu tải trọng phân bố đều với điều kiện biên khác
nhau .......................................................................................................................32
4.3. Bài tốn tấm phẳng có xét trọng lượng bản thân, chịu tải trọng bậc cao:
...............................................................................................................................42
..............................................................................................49
KẾT LUẬN ...............................................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................50

vii


DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
 …………………………………………………………………..Miền của bài toán
 ……………………………………………………………Miền biên của bài toán
 (x1, x2) ……………………………………...Trường ứng suất theo hai trục x1 và x2
 (x1, x2)……………………………………..Trường biến dạng theo hai trục x1 và x2
u (x1, x2) …………………………………….Trường chuyển vị theo hai trục x1 và x2
b (x1, x2) …………………………………..Trường trọng lượng theo hai trục x1 và x2
D ........................................................................................Ma trận đặc trưng vật liệu
E…………………………………………………………Mođun đàn hồi của vật liệu



…………………………………...................................Hệ số Poisson của vật liệu

K ……………………………………………………………………Ma trận độ cứng

u h ( s,  ) …………………………………Trường chuyển vị xấp xỉ theo trục s và 
U (h ) …………………………………Ma trận các giá trị chuyển vị tại nút theo trục 
W(h ) ………………………………………Ma trận xấp xỉ các trọng số dư theo trục 

B1 ………………………...Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục s
B2 ………………………...Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục 

i ………………………………………………………...Hằng số tỉ lệ phương thức
 …………………………………………………………………Véc-tơ thành phần
+ , −

…………………………………………………………..Ma trận đường chéo

C + , C − ……………………………………………….Các

viii

véc-tơ chứa hằng số bất kỳ


DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SBFEM ………………………………………..Phương pháp phần tử biên trung tâm
BEM ……………………………………………………...Phương pháp phần tử biên
SC ………………………………………….Tâm khảo sát của phương pháp SBFEM
ELM ………………………………………………………………………….Phần tử
Side face …………………………………………………….…………...Đường biên

Analytical …………………………………………………………..Lời giải giải tích

ix


DANH SÁCH CÁC HÌNH
HÌNH

TRANG

Hình 2.1 Hệ tọa độ và điều kiện biên tổng thể của bài tốn phẳng ....................6
Hình 2.2 Mơ hình

 và b trên mỗi phần tử của bài tốn phẳng .........................7

Hình 3.1 Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài tốn biên xác định ...........10
Hình 3.2 Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài tốn ...........................11
Hình 3.3. Hệ tọa độ SBFEM, tâm O, bán kính  ..............................................15
Hình 3.4 Hàm dạng và chuyển vị tương ứng cho các phần tử bậc 1, 2, 3........27
Hình 4.1. Mơ hình tấm phẳng...........................................................................29
Hình 4.2. Thiết lập phần tử tính tốn ..............................................................30
Hình 4.3. Khảo sát phương pháp SBFEM với 4 phần tử ................................30
Hình 4.4. Khảo sát phương pháp SBFEM với 8 phần tử ................................32
Hình 4.5. Khảo sát phương pháp SBFEM với 16 phần tử ...............................32
Hình 4.6. Mơ hình tấm phẳng...........................................................................33
Hình 4.7. Tâm SC bên trong (a) và tâm SC trên biên (b) của phần tử ............34
Hình 4.8. Tâm bên trong với 4 phần tử ............................................................35
Hình 4.9. Tâm bên trong với 8 phần tử ............................................................35
Hình 4.10. Tâm bên trong với 16 phần tử ........................................................36
Hình 4.11. Tâm trên biên với 2 phần tử ...........................................................36

Hình 4.12. Tâm trên biên với 4 phần tử ...........................................................37
Hình 4.13. Tâm trên biên với 8 phần tử ...........................................................37
Hình 4.14. Mơ hình phân tích các điểm trên cạnh AC .....................................39
Hình 4.15. Biểu diễn chuyển vị

u1 ..................................................................39

Hình 4.16. Biểu diễn chuyển vị

u2 ..................................................................40

Hình 4.17. Biểu diễn ứng suất

 11 ..................................................................40

Hình 4.18. Biểu diễn ứng suất

 22 ..................................................................41

x


Hình 4.19. Bài tốn tấm phẳng ........................................................................42
Hình 4.20. SBFEM phân tích bài tốn với 4 phần tử .......................................44
Hình 4.21. SBFEM phân tích bài tốn với 8 phần tử .......................................44
Hình 4.22. SBFEM phân tích bài tốn với 16 phần tử .....................................45
Hình 4.23. SBFEM phân tích bài tốn với 32 phần tử .....................................45
Hình 4.24. Kết quả chuẩn hóa chuyển vị

u1 trên cạnh AC..............................46

Hình 4.25. Kết quả chuẩn hóa chuyển vị

u2 trên cạnh AC..............................47

Hình 4.26. Kết quả chuẩn hóa ứng suất

 11 trên cạnh AC .............................47

Hình 4.27. Kết quả chuẩn hóa ứng suất

 22

xi

trên cạnh AC .............................48


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Bảng 4.1 Kết quả ứng suất tại điểm M với số phần tử (N) và số bậc tự do (DOF) ..31
Bảng 4.2 Kết quả chuyển vị tại điểm M với tâm SC ở tâm ......................................38
Bảng 4.3 Kết quả chuyển vị tại điểm M với tâm SC ở trên biên ..............................38
Bảng 4.4 Kết quả ứng suất tại điểm M với tâm SC ở tâm ........................................38
Bảng 4.5 Kết quả chuyển vị tại điểm C ....................................................................46
Bảng 4.6 Kết quả ứng suất tại điểm C ......................................................................46

xii


TỔNG QUAN

Đặt vấn đề
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số được ứng dụng rộng rãi trong
phân tích các bài toán kỹ thuật của các ngành xây dựng, cầu đường, hàng khơng, cơ
khí, cơ sinh học và các ngành khác, tính tốn theo phương pháp rời rạc hóa kết cấu
thành các phần tử liên kết với nhau tại các nút của phần tử. Tuy nhiên, đối với các kết
cấu phức tạp, có điều kiện biên hỗn hợp, chuyển vị theo nhiều phương thì phương
pháp này phân tích độ chính xác và khả năng hội tụ cịn có những hạn chế. Để khắc
phục nhược điểm trên, các nước tiên tiến trên thế giới đã phát triển phương pháp phần
tử hữu hạn theo nhiều hướng khác nhau với mục đích làm tăng tính chính xác và hội
tụ như phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM), phương pháp
phần tử biên trung tâm (Scaled Boundary Finite Element Method - SBFEM). Luận
văn này phân tích, đánh giá phương pháp phần tử biên trung tâm (SBFEM) để giải
bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao, so sánh kết quả tính
với lời giải giải tích và cách giải bằng phần mềm ngơn ngữ lập trình Matlab [1-4]. Từ
đó, rút ra kết luận về tính hiệu quả, đánh giá độ chính xác của phương pháp phần tử
biên trung tâm so với các phương pháp khác đang được áp dụng tại Việt Nam.
Tổng quan tình hình nghiên cứu
1.2.1. Tình hình nghiên cứu ngồi nước
Trên thế giới, nhiều nước tiên tiến đã nghiên cứu phương pháp phần tử biên
trung tâm để áp dụng tính tốn các bài tốn trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Năm
1999, Song và Wolf [5] đã nghiên cứu tìm lời giải cho phương pháp phần tử biên
trung tâm có xét đến trọng lượng riêng. Trong nghiên cứu này, trọng lượng riêng
được xét dưới dạng hàm đa thức dọc theo hệ tọa độ bán kính của miền xem xét. Đến
năm 2001, Wolf và Song [6] tiếp tục phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm,
thể hiện nhiều ưu điểm vượt trội. Nghiên cứu xem xét xấp xỉ phần tử trên biên của
bài toán kết hợp với tâm định vị, dẫn đến lời giải bán giải tích thu được cho bên trong

1

biên của bài toán. Phương pháp phần tử biên trung tâm không chỉ kết hợp ưu điểm
của phương pháp phần tử hữu hạn mà kết hợp ưu điểm của phương pháp phần tử biên.
Sau khi xấp xỉ trên biên, hệ phương trình vi phân tuyến tính tổng qt được thiết lập
trong hệ tọa độ của phương pháp phần tử biên trung tâm. Từ đó, hệ phương trình vi
phân cấp hai được thiết lập với biến độc lập theo phương bán kính r. Sau khi giải hệ
phương trình, lời giải bên trong biên được tìm dưới dạng giải tích.
Trong thế kỷ XXI phương pháp phần tử biên trung tâm tiếp tục được nghiên
cứu và phát triển rộng rãi hơn. Năm 2002, Deeks và Wolf [7] đã áp dụng nguyên lý
công ảo cho phương pháp phần tử biên trung tâm để giải quyết bài toán đàn hồi. Các
tác giả đã áp dụng nguyên lý công ảo truyền thống để phát triển công thức theo
phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp này như một kỹ thuật mới có thể xem
xét cả trọng lượng riêng, điều kiện biên bề mặt. Kết quả nghiên cứu đã thể hiện được
độ chính xác, hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm. Nghiên cứu được áp
dụng để giải cả cho bài toán biên cố định và bài tốn biên vơ hạn. Cũng trong năm
2002, Deeks và Wolf [8] đã phát tiển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân
tích ứng xứng cho bài tốn có miền vơ cực mà khơng cần giới hạn miền biên vơ cực.
Phương trình vi phân tổng thể được giải và lời giải giải tích thu được theo phương
bán kính của miền vô cực. Đến năm 2004, Deeks [9] tiếp tục phát triển phương pháp
phần tử biên trung tâm giải bài toán biến dạng tĩnh. Tác giả đưa ra kỹ thuật để xử lý
điều kiện biên chuyển vị trên đường bề mặt (side faces). Tiếp theo đó, năm 2014 He
và các cộng sự [10] đã áp dụng chuỗi Fourier như hàm dạng để xấp xỉ phần tử trên
biên của phương pháp phần tử biên trung tâm. Các tác giả đã áp dụng kỹ thuật này để
giải bài toán truyền nhiệt trong không gian hai chiều. Kết quả đã chứng tỏ tốc độ hội
tụ và chính xác tốt hơn so với hàm dạng là đa thức. Cũng trong năm 2014, Vu và các
cộng sự [11] đã giới thiệu kỹ thuật mới để giải bài toán chịu tải tập trung bằng phương
pháp phần tử biên trung tâm, nhóm nghiên cứu đã áp dụng phương trình chủ đạo quan
hệ giữa ứng suất và chuyển vị. Từ đó lời giải thu được trên lời giải của phương trình
chủ đạo và miền thơng thường. Điểm kỳ dị tại vị trí lực tập trung được xấp xỉ bằng
lời giải chủ đạo và miền thông thường. Các ví dụ đã chứng tỏ được kỹ thuật mới này

2


hiệu quả, đơn giản và kết quả chính xác cao khi sử dụng trong phương pháp phần tử
biên trung tâm để phân tích bài tốn chịu lực tập trung.
Những năm tiếp theo, phương pháp này đã được nghiên cứu rộng rãi. Như năm
2015, Sun và các cộng sự [12] đã phát triển phần tử đa giác dựa trên phương pháp
phần tử biên trung tâm để phân tích bài tốn nứt hai chiều. Trường chuyển vị và ứng
suất được mơ hình bằng phương pháp phần tử biên trung tâm bằng lời giải bán giải
tích. Dựa vào tiêu chuẩn phá hoại, nghiên cứu để dự đoán vết nứt ban đầu trên hệ số
tập trung ứng suất. Năm 2016, Jun và các cộng sự [13] đã giới thiệu mơ hình bán giải
tích để phân tích dầm thép liên hợp bằng phương pháp phần tử biên trung tâm. Nhóm
nghiên cứu đã sử dụng SBFEM để phân tích dầm liên hợp như kết cấu thành mỏng
và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tiết diện dầm được xem xét như tấm nhiều lớp
và mặt cắt ngang tiết diện dầm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết Timonsenko. Nghiên
cứu đã chứng tỏ được kết quả tốt hơn so với phương pháp khác. Tiếp đến năm 2017,
Krome. F và Gravenkamp [14] đã giới thiệu công thức bán giải tích để mơ phỏng và
phân tích kết cấu có hình học dạng cung trịn bằng phương pháp phần tử biên trung
tâm. Trong nghiên cứu này, các tác giả đã chọn tâm của phương pháp SBFEM dựa
trên hệ tọa độ trụ hay tròn trên một đường bao và di chuyển dọc theo hướng của tâm.
Kết quả nghiên cứu trong phân tích bài tốn đàn hồi tuyến tính đã chứng tỏ được hiệu
quả và độ chính xác cao so với phương pháp phân tử hữu hạn cơ bản. Phương pháp
phần tử biên trung tâm đã được nhiều tác giả nghiên cứu và áp dụng trong các lĩnh
vực khác nhau: bài toán đàn hồi, các bài toán kết cấu địa kỹ thuật, bài tốn phân tích
nứt cho vật liệu hai lớp, bài tốn truyền nhiệt, bài tốn truyền sóng [15-21].
Và gần đây nhất là năm 2019, Rungamornrat và Chung [22] đã nghiên cứu tính
hữu dụng và chính xác của phương pháp phần tử biên trung tâm với biên chính xác
để phân tích bài tốn tuyến tính hai chiều đa trường. Các tác giả đã phát triển công
thức phần tử biên trung tâm một cách tổng quát để giải bài toán đa trường cho cả biên
cố định và vô hạn. Nghiên cứu xem xét giải quyết các điều kiện tải trọng bản thân,

điều kiện biên hỗn hợp một cách duy nhất. Ngoài ra, các tác giả đã xem xét các đặc
trưng hình học dạng trịn như phần tử chính xác khi xấp xỉ trên đường biên của phần

3


tử biên trung tâm. Hàm dạng xấp xỉ cơ bản đã được nghiên cứu đồng thời để so sánh
tính hiệu quả của đường biên chính xác. Kết quả nghiên cứu đã chứng tỏ được độ hội
tụ và hiệu quả so với phần tử tuyến tính tiêu chuẩn. Năm 2019, Zhang và các cộng sự
[23] nghiên cứu áp dụng phần tử biên trung tâm trong mơ hình phá hoại khơng cục
bộ (nonlocal). Kết quả đã có thể chứng tỏ được những ưu điểm của phương pháp
SBFEM. Dolling và các cộng sự [24] phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm
trong bài tốn phân tích tấm vật liệu nhiều lớp có xem xét đến ảnh hưởng của ứng
suất tại bề mặt tiếp xúc giữa các lớp. Kết quả nghiên cứu thể hiện độ chính xác, hiệu
quả của phương pháp SBFEM so với lời giải giải tích. Năm 2020, Jia và các cộng sự
[25] đã nghiên cứu lý thuyết phần tử bậc cao trong mơ hình tính tốn của phương
pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài tốn hai chiều, ba chiều.
1.2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước
Phương pháp phần tử hữu hạn đã được nghiên cứu và phát triển ở Việt Nam từ
những năm 70 đến nay đã được áp dụng rộng rãi để giải các bài toán phức tạp trong
nhiều lĩnh vực như cơ khí, xây dựng,…Tuy nhiên, các nước tiên tiến trên thế giới đã
phát triển phương pháp phần tử hữu hạn theo quan niệm tính tốn mới làm tăng tốc
độ hội tụ và chính xác, đó là phương pháp phần tử biên trung tâm mà ở Việt Nam đến
nay chưa được nghiên cứu rộng rãi.
Hiện nay, ở Việt Nam có Nguyen Van Chung [26] đã và đang nghiên cứu, phát
triển phương pháp phần tử biên trung tâm, tạo tiền đề cho sự phát triển và ứng dụng
rộng rãi phương pháp này. Tác giả đã phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm
để phân tích bài tốn phẳng hai chiều với đặc trưng hình học có tiết diện hình trịn.
Trong nghiên cứu này, tác giả đã giải quyết bài toán với điều kiện biên hỗn hợp, từ
đó áp dụng vào phân tích bài tốn phẳng trong lĩnh vực cơ học đất. Kết quả nghiên

cứu đã chứng tỏ được độ chính xác, tốc độ hội tụ và hiệu quả của phương pháp nghiên
cứu so với các nghiên cứu hiện hành và lời giải chính xác.
Mục đích nghiên cứu
Theo tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước, đề tài sử dụng phương pháp
phần tử biên trung tâm (SBFEM) để giải bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp

4


và tải trọng bậc cao, so sánh kết quả tính với phương pháp phần tử hữu hạn và cách
giải bằng phần mềm ngơn ngữ lập trình Matlab. Từ đó, rút ra kết luận về tính hiệu
quả, đánh giá độ chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp phần tử biên trung tâm
so với cách tính theo phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu trong và ngoài nước về phương pháp phần tử biên trung tâm.
Tìm hiểu các lý thuyết bài tốn phẳng theo phương pháp phần tử hữu hạn.
Xây dựng phương trình, lời giải bài toán theo phương pháp phần tử biên trung
tâm có biên cố định và biên vơ hạn.
Xem xét các ví dụ, giải bài tốn điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao theo
phương pháp phần tử biên trung tâm.
Tính mới của đề tài
Trình bày ưu điểm của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài
tốn phẳng với các điều kiện biên khác nhau.
Phân tích hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm khi giải bài toán chịu
tải trọng bậc cao với điều kiện biên hỗn hợp.
Phân tích tính hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phương
pháp số so với các phương pháp khác về tốc độ hội tụ, độ chính xác.

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CHO BÀI TỐN PHẲNG

5


Chương này mơ tả bài tốn tổng qt, các phương trình chủ đạo của bài tốn
thơng qua các định luật cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn [1-3]. Sau đó thiết
lập phương trình dạng yếu cho bài tốn xem xét.
Mơ tả bài tốn

n

Hình 2.1 Hệ tọa độ và điều kiện biên tổng thể của bài toán phẳng
Xét bài tốn phẳng có đặc trưng hình học, các điều kiện biên tổng thể và biểu
diễn trong hệ trục tọa độ Ox1 x2 như Hình 2.1. Bài tốn có xem xét đến trường trọng
lượng bản thân b ( x1 , x2 ) ; điều kiện biên biểu diễn qua t 0 ( x1, x2 ) ; u0 ( x1, x2 ) hoặc điều
kiện biên hỗn hợp trên biên cụ thể của bài toán. Các hàm trọng lượng bản thân, tải
trọng, điều kiện biên được biểu diễn dạng hàm đa thức bậc cao. Bài toán xem xét các
trường sau: trường chuyển vị u = u ( x1 , x2 ) ; trường biến dạng  =  ( x1 , x2 ) ; trường ứng
suất  =  ( x1 , x2 ) . Vật liệu là đồng nhất đẳng hướng, mô đun đàn hồi vật liệu E và
hệ số poison v . Trong đó véc-tơ các trường xem xét của bài toán như sau:

 : Miền bài toán xem xét.
n =  n1

n2  : Véc-tơ chỉ phương đơn vị
T

b( x1 , x2 ) = b1 ( x1 , x2 )

b2 ( x1 , x2 ) : Trọng lượng riêng
T

6


u( x1 , x2 ) = u1 ( x1 , x2 )

u2 ( x1 , x2 ) : Trường chuyển vị

ε ( x1 , x2 ) = 11 ( x1 , x2 )

12 ( x1 , x2 )  22 ( x1 , x2 )  : Trường biến dạng

T

T

 ( x1 , x2 ) = 11 ( x1 , x2 ) 12 ( x1 , x2 )  22 ( x1 , x2 )  : Trường ứng suất
T

Phương trình cơ bản bài tốn
Dựa theo các định luật cơ bản và quan hệ động học. Các phương trình cơ bản của
bài tốn trong Hình 2.1 được biểu diễn như sau:

x x

1 2

x

bx1

bx

1

2

x2

x x

2 1

x1

x

2

Hình 2.2 Mơ hình  và b trên mỗi phần tử của bài tốn phẳng
Phương trình cân bằng cơ bản của trường trọng lượng và ứng suất như sau:

LT  + b = 0

(2.1)

Trong đó:

 
 x

1
T
L =

 0


0

x2

 
x2 

 
x1 

(2.2)

Phương trình quan hệ giữa trường ứng suất và biến dạng:

 = D

(2.3)

Trong đó: D là ma trận đặc trưng vật liệu
Phương trình quan hệ trường biến dạng và chuyển vị:

7

 = Lu

(2.4)

Phương trình điều kiện biên Dirichlet trên biên  :
u

u=u

(2.5)

Phương trình điều kiện biên Newmann trên biên  :
u

t = n

(2.6)

Trong đó:

n =  n1 n2  : véc-tơ đơn vị
T

(2.7)

n1 ( x1 , x2 ) = n1 , n2 ( x1 , x2 ) = n2
Ma trận đặc trưng vật liệu D cho bài toán phẳng xem xét như sau:




1 
0 

E 
D=
 1
0 
2 
1 − 
1 − 
0 0


2 

(2.8)

Ma trận vật liệu cho bài toán biến dạng phẳng:


1 −

E
D=

(1 + )(1 − 2 ) 
 0



1 −
0




0 
1 − 2 

2 
0

(2.9)

Trong đó:
E: Mođun đàn hồi của vật liệu

v

: Hệ số Poisson của vật liệu

Thiết lập phương trình dạng yếu bài tốn
Áp dụng phương pháp trọng số dư và phương pháp tích phân từng phần với giả
thuyết Gauss-divergence [4]. Phương trình dạng yếu của bài toán được thiết lập [7].

8


Từ phương trình (2.1) lấy tích phân từng phần cho toàn miền và nhân với trọng số

w ( x1 , x2 ) = [w1 ( x1 , x2 ) w 2 ( x1 , x2 )]T trên toàn bộ  .

w



T

LT  dA +  w T bdA = 0

(2.10)



Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, lấy tích phân phần 1 của phương trình
(2.10):

 (Lw)

 (w   )  dA +  w

 dA =

T



1



T

bdA

(2.11)



Theo Gauss-divergence cho bài tốn hai chiều, thành phần (1) vế phải của phương
trình (2.11) được tính tốn bởi tích phân đường biên, phương trình (2.11) rút gọn như
sau:

 (Lw)

T

 dA =



w

T



(  n )dl +  w T bdA

(2.12)



Xem xét điều kiện biên trên đường bao phần tử phương trình (2.5), phương trình
(2.12) viết lại:

 (Lw)

T

 dA =



w



T

tdl +  w T bdA

(2.13)



Phương trình (2.13) là phương trình dạng yếu cho bài tốn tuyến tính phẳng.
Xem xét quan hệ ứng suất và biến dạng từ phương trình (2.3). Phương trình dạng yếu
được viết lại như sau:

 (Lw)  dA =  w tdl +  w bdA
T



T



 (Lw)



T

T

D(Lu)dA =



w



T

tdl +  w T bdA

(2.14)



Trong đó: t là tải trọng, điều kiện biên, lấy theo chiều dài biên của bài toán xem xét.

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG YẾU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN TRUNG TÂM

9


Chương này trình bày nội dung cơ bản của phương pháp phần tử biên trung tâm
(SBFEM). Trình bày phương pháp chuyển hệ tọa độ bài toán qua hệ tọa độ cho phần
tử biên trung tâm và phương pháp xấp xỉ phần tử biên trên đường biên (defining
curve) của phương pháp SBFEM. Sau đó áp dụng phương pháp xấp xỉ các trường của
bài tốn thơng qua hàm dạng. Tiếp theo xây dựng phương trình dạng yếu của bài tốn
trong hệ tọa độ của phương pháp SBFEM [7]. Trình bày phương pháp giải phương
trình dạng yếu để tìm trường chuyển vị của bài tốn. Từ đó, tìm nghiệm của tồn miền
và phân tích kết quả các trường biến dạng, ứng suất của bài toán.
Phương pháp phần tử biên trung tâm
Phương pháp phần tử biên trung tâm là làm rời rạc hóa miền xác định của bài
tốn, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên
kết với nhau tại các đường biên. Xem xét xấp xỉ phần tử trên biên của bài toán kết
hợp với tâm định vị. Dẫn đến lời giải bán giải tích thu được cho bên trong biên của
bài toán.

ꭥ

ꭥ

0

0

(b). Tâm trên đường biên

(a). Tâm bên trong

Hình 3.1 Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài toán biên xác định
Nội dung cơ bản của việc áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm như
Hình 3.1 cho bài tốn có miền xác định. Trước tiên, một tâm định vị O của phương
pháp SBFEM phải được xác định ở bên trong hoặc trên chu vi của bài tốn phân tích.
Điểm góc trong hệ trục tọa độ dùng để xác định vị trí tâm O của phương pháp

10


SBFEM. Chu vi của bài toán được xấp xỉ thành phần tử đường thẳng một chiều (line
elements). Đặc trưng hình học của miền bài toán được xác định theo phương bán kính
với hệ tọa độ  chạy từ tâm O đến chu vi của miền phân tích. Khi đó hệ trục tọa độ
chuyển được xác định như sau:  theo phương bán kính và s theo chu vi của miền xác
định.
Dọc theo chu vi, vị trí nút của phần tử ứng với trường chuyển vị sẽ được xác
định và xấp xỉ thơng qua các hàm dạng. Từ đó phương trình chủ đạo được thiết lập
và giải thông qua hệ trục tọa độ chuyển theo chu vi của bài toán phân tích.
Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm
Phương pháp phần tử biên trung tâm được xem xét trong bài toán phẳng, vật
liệu đồng nhất, đẳng hướng.

x2
s

Lb
b

L

S

a

rb

1 0

C
r (s)



ra



La

 =C

( x10 , x20 )

O

x1
Hình 3.2 Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài toán

Phương pháp phần tử biên trung tâm dựa trên một tập hợp tọa độ mới, được đặt theo

 và s. Ta thiết lập được mối quan hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ chuyển
(  , s) [7] như sau :

x1 = x10 +  x1 (s)
x2 = x20 +  x2 ( s)
11


(3.1)
Từ phương trình (3.1) sử dụng ma trận Jacobian:

    x1
    
 =
    x1
 s   s

x2    


   x1 


    


s   x2 

  
    x ( s)
 =  1s

 1    x1s ( s), s
  s 



(3.2)

  
x2 s ( s)   x1 


x2 s ( s), s    
 x 
 2

(3.3)

Quan hệ giữa một điểm bất kì trong hệ ( x1 , x2 ) và hệ (  , s):

  
 dx2

 x 
 1  1  ds

= 


 J  −dx1
 ds
 x2 

  
− x2 ( s)  

  


1 


x1 ( s )
   s 

(3.4)

Trong đó Jacobian tại biên (  = 1 ):

J = x1 ( s )

dx2
dx

− x2 ( s ) 1
ds
ds

(3.5)

Dựa vào các phương trình ứng suất và biến dạng phẳng ta có phương trình vi phân
diện tích:

dA = J  d ds

(3.6)

Khi đó ma trận đạo hàm L trong hệ trục tọa độ ( , s ) được triển khai như sau:
L = L1



+ L2
x1
x2

(3.7)

Thay phương trình (3.4) vào phương trình (3.7) ta được:
L=


1  


1  

1  
− x2 ( s )
+
L
−
x
(
s
)
+
x
(
s
)
L1  x2 ( s ),s

2
1
,s
1
J  

 s 

 s  


12

(3.8)


L = b1


1 
+ b2

 s

(3.9)

Trong đó:

b1 =

1
( L1 x2 ( s ), s − L 2 x1 ( s), s ) 

J 

(3.10)

b2 =

1
 −L1 x2 ( s) + L 2 x1 ( s)
J

(3.11)

Phương pháp xấp xỉ các trường của bài toán [26]
Tọa độ một điểm bất kỳ trên đường biên C ( = 1) của bài toán như hình 3.2, được
biểu diễn qua hệ tọa độ s như sau:

x = x10 + x( s )

(3.12)

Đường biên C được xấp xỉ qua hàm dạng như sau:
x

h( s )

= x10 + NG X

(3.13)

 x1h ( s )   x10 
  h ( s )  =   + NG X
 x2   x20 

(3.14)

Từ phép biến đổi tọa độ theo phương trình (3.1) và phương pháp xấp xỉ ở (3.14).
Trong hệ tọa độ chuyển của phương pháp SBFEM, trường chuyển vị xấp xỉ như sau:
m

uh = uh ( , s) =  (i ) ( s)u(hi ) ( ) = N s Uh

(3.15)

i =1

Trong đó:
Biến

u(hi ) ( ) biểu thị giá trị theo biên s = s(i ) .

N s : ma trận chứa tất cả các hàm dạng xấp xỉ cơ bản. Ví dụ hàm dạng bậc nhất, khi

đó ma trận N s viết dưới dạng:

 N 1s
N =

s

0

N 2s

0

N 1s

0

N 2s

. . . .

. . . .

Uh : là véc-tơ chứa tất cả các hàm u (hi ) ( )

13


Từ đó, áp dụng vào phương trình quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, trường ứng suất

 của bài toán được viết lại như sau:




1

 h =  h ( , s) = D(Lhu h ) = D B1U,h + B 2 U h 




(3.16)

Trong đó:
b1 =

B1 = b 2 N s ;
B2 = b2

dN s
;
ds

1
( L1 x2 ( s ), s − L 2 x1 ( s ), s ) 

J 

b2 =

1
 −L1 x2 (s) + L 2 x1 (s)
J

(3.17)

(3.18)

Tương tự, hàm trọng số dư được xấp xỉ như sau:
m

w h = w h ( , s) =  (i ) ( s)w (hi ) ( ) = N s W h

(3.19)

i =1

Trong đó:
h
Biến w (i ) ( ) biểu thị giá trị theo biên

W h : là véc-tơ chứa tất cả các hàm

s = s(i ) .

w (hi ) ( ) .

Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toán trong hệ tọa độ của phương
pháp SBFEM

14


1



s = s1

s = s2


2s

1s

O(x1,x2)
Hình 3.3. Hệ tọa độ SBFEM, tâm O, bán kính 
Bài tốn xem xét có đặc trưng hình học và biểu diễn trong hệ tọa độ của phần tử biên
trung tâm [26] như Hình 3.3. Miền của bài toán  gồm đường biên 1 và hai biên
s
s
mặt bên 1s , 2s với tâm O ( x1 , x2 ) . Theo Hình 3.3 ta có:  = 1  2  1

, áp dụng các phương trình (3.16), (3.16), (3.19) với miền của bài tốn xem xét trong
Hình 3.3, phương trình (2.14) trở thành:
s2  2

  ( Lw )
s1

T

2

s2

D(Lu) J  d ds =  w t ( s ) J ( s ) ds +  (w1s )T t1s ( ) J1 d
T

s

1

s1

1

2

s2  2

1

s1 1

(3.20)

+  (w 2s )T t 2s ( ) J 2 d +   wT bJ  d ds
Trong hệ tọa độ của phương pháp SBFEM, trường chuyển vị được xấp xỉ trong hệ
tọa độ ( , s ) bằng uh như sau:
m

u h = u h ( , s ) =  fi ( s )u h ( ) =N s U h

(3.21)

i =1

Tương tự (3.21), hàm trọng số w cũng được xấp xỉ như sau:
m

w = w ( , s ) =  fi(s)w h ( ) =N s(s)W h ( )
h

h

i=1

15

(3.22)


T

( Lw )

T

T

h
 
1  s h  
1 N s h 
s W
=  b1
+ b2
N
W
=
b
N
+
b

)  1  2  s W 
(




s



 

h
 
1  s h 
1 N s h 
s U
( Lu ) =  b1 + b 2
( N U ) =  b1N  + b2  s U 
 s 
 



(3.23)

(3.24)

Áp dụng (3.21), (3.22) vào (3.20) ta được phương trình sau:
T

h
h


1 N s
1 N s h 
s W
h 
s U
b
N
+
b
W
D
b
N
+
b
U  J  .d .ds

 1
2
2
s   1 
 s

 s





=  ( W h ) N sT t1s J1d  +  ( W h ) N sT t 2s J 2 d  +  ( W1h ) N sT t1 J1s1ds
T

T



T



(3.25)

s

+   ( W h ) N sT bJ  dsd 
T

 s

N s
B1 = b1N , B 2 = b 2
s
s

Đặt:

(3.26)

T
T

1
    ( W,h ) B1T + ( W h ) B 2T

s  

 
1
h
h 
 D  B1U , +  B 2 U  J  d ds
 


=  ( W h ) N sT t1s J1d  +  ( W h ) N sT t 2s J 2 d 
T

T



(3.27)



+  ( W1h ) N sT t1 J1s1ds +   ( W h ) N sT bJ  dsd 

T

T

 s

s



 (W )
h
,

T

s 

+  ( Wh )

T



B1T DB1U ,h J  d ds +   ( W,h ) B1T DB 2 U h Jd ds
T

s 

T

h
h
 B 2 DB1 JdsU, d +  ( W )

T



s

B

T
2

DB 2 Jds

s

=  ( W h ) N sT t1s J1d  +  ( W h ) N sT t 2s J 2 d  + ( W1h )
T

T



T



+ (W

) N

h T



sT

1



U h d

sT
 N t1 J11ds

(3.28)

s

bJds. d

s

Đặt Γ1 =  ( W,h ) B1T DB1U,h  Jd ds

(3.29)

Áp dụng tích phân từng phần với (3.29)

(3.30)

T

s 

16