Lý thuyết và bài tập xác suất thống kê có lời giải

BÀI LÀM
Câu 1:
1) Phân phối Poisson:
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ > 0. Ký hiệu X

P ( λ ) nếu

phân phối xác suất của nó có dạng:
P[X = k] =
-

=

, k = 0, 1, 2,.....

Hàm phân phối của X là:
F (x) = ∑

-

(với x

R)

Các tham số đặc trưng:
+ Kỳ vọng: E (X) = λ.
+ Phương sai: V(X) = λ.
+ Mốt:

được xác định theo công thức.
λ–1

-

λ

Chú ý: Công thức Poisson được dùng để thay thế cho công thức Bernoulli khi n lớn
(n

20 ) và p nhỏ ( p < 0,1 ). Khi đó, λ được tính theo cơng thức λ = np.

2) Phân phối chuẩn:
Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng tổng quát X
độ của nó có dạng:
f(x) =
-

√

Các tham số đặc trưng:
+ Kỳ vọng của X là E (X) =
+ Phương sai của X là V (X) =
Nếu đặt U =
E (U) =
V (U) =

thì U

N(0,1) với:

=0

V(X–

)=

=1

-

Hàm mật độ của U là: ( u ) =

-

Hàm phân phối xác suất của U là:

√

(u)=
1

√

∫

dt

N( ,

) nếu hàm mật

-

Giá trị tới hạn chuẩn mức

ký hiệu

P(U<
-

là giá trị của biến ngẫu nhiên U thỏa mãn:

)=

√

dx =

∫

Xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng (a,b).
X có hàm mật độ là:
f(x) =

Đặt t =

-

b) =

√

∫

dx

ta được:

P(aVới

nên P( a

√

(x) =

(

) = F(b) – F(a)

(

du gọi là hàm Laplace.

∫

√

)-

Chú ý:
+ (- x) = -

(x)

+ Nếu x > 5 thì (x)

(5) = 0,5.

+ Thực tế người ta còn dùng dạng khác của hàm Laplace là:
(x) =

√

∫

du

(x) = (x) +
-

Quy tắc hai xích ma và ba xích ma:
Cho X

N( ,

). Khi đó:

+ P (|

| < 2 ) = 2 (2)

0, 9544: gọi là qui tắc hai xích ma.

+ P (|

| < 3 ) = 2 (3)

0, 9973: gọi là qui tắc ba xích ma.

+ Chú ý:
Để nhận biết một biến ngẫu nhiên X có tuân theo qui luật phân phối chuẩn hay
không, ta chỉ cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn qui tắc hai xích ma và ba xích ma hay
khơng.
-

Một số chú ý:
+ Khi sử dụng qui luật phân phối nhị thức X

B(n,p), nếu n quá lớn (n

20) và p

quá nhỏ (p < 0,1) thì ta dùng qui luật phân phối Poisson để thay thế cho qui luật phân
phối nhị thức: X

P(λ) với λ = n.p

+ Khi sử dụng qui luật phân phối nhị thức X

B(n,p), nếu thỏa mãn hai điều kiện

sau thì ta dùng qui luật phân phối chuẩn để thay thế:
2


Với n > 5 và
Khi đó, X

√

|√

N( ,

Như vậy, P (X = k)

√
) với

| < 0,3
= npq, (q = 1 – p)

= n.p và
=

√

√

√

)

Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong [a,b] được tính gần đúng là:
P( a

) hay P(a

√

√

)

3) Biến ngẫu nhiên liên tục và các đặc trưng của nó:
Biến ngẫu nhiên liên tục:
-

Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của phép thử chỉ nhận một và chỉ một giá trị
của nó tùy thuộc vào sự tác động của nhân tố ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên
thường được ký hiệu: X, Y,Z,...... hoặc

-

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu giá trị của nó có thể nhận là tất cả mọi
điểm trên khoảng (a,b) nào đó, a có thể là -

và b có thể là + .

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục:
-

Kỳ vọng toán:

-

Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là f(x) thì ta gọi tích phân ∫

là kỳ

vọng của biến ngẫu nhiên X và được ký hiệu là E(X).
-

Trung vị:
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì med( X ) là giá trị thỏa mãn:
∫

-

Mốt:
, là giá trị của biến ngẫu nhiên làm cho hàm mật độ đạt cực đại nếu

Mốt, ký hiệu

là biến ngẫu nhiên liên tục.
-

Phương sai:
Gọi E

V(X) = E

là phương sai của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu là

–
–

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục: V(X) = ∫
Câu 2:

3

.


1) Số khách hàng vào siêu thị trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật
Poisson với số khách trung bình là 8 khách hàng trong 1 giờ. Tìm xác suất để trong
một giờ nào đó có hơn 8 khách vào.
Giải:
Gọi X là số khách hàng vào siêu thị trong vòng 1 giờ
và E(X)= λ = 8.

Theo giả thiết X
[

Vậy
]

2) Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân
bố xác suất như sau:

{

Tính a.
Giải:

f (x) = F’(x) = {
Theo tính chất hàm mật độ xác suất ∫
∫

∫

∫

∫

(a

=1 => a = 2

∫

3) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
{
Tính xác suất để khi thực hiện3 lần phép thử thì có khơng q 2 lần X > 0,5.
Giải:
Ta có:
P(X > 0,5) = P(0,5< X< + )
=∫

∫

∫

4


Gọi A là biến cố trong 3 lần thực hiện phép thử có khơng q 2 lần X > 0,5. Bài tốn
thỏa mãn lược đồ Bernoulli nên ta có:

4) Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án được coi là một đại lượng ngẫu nhiên phân phối
theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác
suất 0,1587 và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải:
(

P(X > 20) =


(



)

(

)

(

)

)
(1)

Tương tự:
P(X > 25) = 0,0228 =>

(2)

Từ (1) và (2) suy ra
Vậy P(X > 0) = 0,5 = 0,5 = 0,5 + 0,4987 =0,9987
5) Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn
với

tạ/ha. Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của

tạ/ha và

vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình khơng
q 0,5 tạ/ha.
Giải:
Gọi X là năng suất của thửa ruộng. Theo giả thuyết X

N(50; 3,6).

Gọi A là biến cố thửa ruộng được gặt có năng suất sai lệch so với năng suất trung
bình khơng q 0,5 tạ/ha .
P = P(A) = P(|

( )

( )

|

= P(49,5

( )
5

=

(

)

(

)


Vậy xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng
suất sai lệch so với năng suất trung bình khơng q 0,5 tạ/ha là
(

(

0,033.

6) Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại theo từng khu
vực gởi đi, máy đó có khả năng đọc 5000 bì thư trong 1 phút. Khả năng đọc sai địa
chỉ trên bìa thư là 0,04%. Biết rằng các bì thư đọc một cách độc lập.
a. Tính số bì thư trung bình máy đó đọc sai trong mỗi phút.
b. Tính số bì thư có khả năng nhiều nhất mà máy đó đọc sai trong một phút.
c. Tính xác suất để trong một phút máy đó đọc sai ít nhất 3 bì thư.
Giải:
Gọi X là số bì thư máy đó đọc sai trong một phút.
Ta có n=5000> 20 và p = 0,0004 < 0,1 nên X

P(λ) với λ = np = 2.

a. Số bì thư trung bình máy đó đọc sai trong mỗi phút là:
E(X) = λ = 2 (bì thư).
b. Số bì thư có khả năng nhiều nhất mà máy đó đọc sai trong một phút là

với

1=λ–1
Vậy

= 1 hoặc

= 2.

c. Cần tính
1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)

P (X
= 1-

–

7) Một hãng hàng không cho phép được đặt vé vượt quá chỗ ngồi. Một máy bay của
hãng có 95 chỗ ngồi và được bán với giá 300$ cho một vé. Hãng đã bán ra 100 vé
cho một chuyến bay.
a. Nếu xác suất một khách hủy chuyến là 0,05; giả sử là độc lập, xác suất để máy
bay có đủ chỗ cho tất cả khách là bao nhiêu?
b. Nếu hãng phải hồn trả 300$ tiền vé và phí phạt 400$ cho mỗi hành khách
không được bay, hỏi hãng sẽ phải trả trung bình bao nhiêu tiền cho mỗi
chuyến?
Giải:
Gọi X là số khách hủy trong 100 khách:
X

B(n = 100; p = 0,05)

 X phân phối xấp xỉ quy luật Poisson:
6


P(λ = 100.0,05 = 5)

X

a. P(X
(

=

)

b. Gọi Y là số tiền phải trả ($)
(máy bay đủ chỗ)

Y=0X

Y = 700(5 –X)  X < 5

Có (5 – X) khách khơng bay được

Bảng phân phối xác suất:
X

0

1

2

3

4

3500

2800

2100

1400

700

0

0,0067

0,0337

0,0842

0,1404

0,1755

0, 5595

Y
P
E(Y) = 614,04 ($)
8) Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:
f(x) = {

a. Xác định k.
b. Tìm mốt của X.
c. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
d. Tính P(0,4 < X <0,6).
e. Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị thuộc
khoảng (0,4 ; 0,6)

Giải:
a. Ta có ∫

∫

(1 – x)dx = 1

b. Đặt g(x) = 12
Miền khảo sát: D = (0,1)

g’(x) = 24x – 36

=0

⌈

( )

7

∫


Bảng biến thiên
x

0

2/3
+

g’(x)

0

1
-

16/9
g(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có
c. E(X) = ∫
E(

∫

suy ra V(X) =

( )

∫

d. P(0,4

e. Gọi A là biến cố X nhận giá trị trong khoảng (0,4 ; 0,6). Theo câu d ta có
p = P(A) = 0,296. Vậy xác suất để trong 3 lần thực hiện phép thử có hai lần xảy ra
biến cố A là:

9) Trọng lượng của một con gà là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng

lượng trung bình là 1kg và độ lệch chuẩn là 0.6kg. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên
một con gà thì được con có trọng lượng.
a. Nặng hơn 1,2kg.
b. Nhẹ hơn 0.9 kg.
c. Nằm trong khoảng (1,4kg ; 1,8kg).
Giải:
Gọi X là trọng lượng của con gà. Theo giả thiết:
X
a. P(X > 1,2) =
b. P( X < 0,9 ) =

(

)

= 0,5 (

)

8

) = 0,5 – 0,1293 = 0,3707.


=

( )

( )

=
c. P( 1,4 < X < 1,8 ) =
=

( )

(

)

(

)

()

10) Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 3000 sinh viên.
a. Giả sử 36000 thí sinh dự thi và xác suất thi đỗ của mỗi thí sinh là 15%. Tính
xác suất để số thí sinh trúng tuyển là không vượt quá chỉ tiêu.
b. Cần cho phép tối đa bao nhiêu thí sinh dự thi sao cho xác suất thi đỗ 15% mà
biến cố “số thí sinh trúng tuyển khơng vượt q chỉ tiêu” có xác suất khơng
nhỏ hơn 0,99.
c. Giả sử có 4260 thí sinh dự thi, xác suất để mỗi thí sinh thi đỗ là 70%. Tính xác
suất để trường đại học đó tuyển đúng chỉ tiêu cho phép.
Giải:
a. Gọi X là số thí sinh đỗ đại học. Theo giả thiết:
X
Ta có:
{
√

|√

|

√

Nên X

với
√

√
Cần tính
P( X
b. Gọi n là số thí sinh dự thi. X
Theo giả thiết:
P( X
(
Do hàm

)

đồng biến nên
ĐK: n

√

9

Kết hợp đk ta được n
Vậy số thí sinh dự thi tối đa cho phép là 19234 (thí sinh).
c. Gọi Y là số thí sinh thi đỗ vào trường đại học.
Do n =4260 lớn và p = 0,7 nên Y
Với

N(
= 29,9

√
(

Cần tính P( Y = 3000)

)

Câu 3:
1) Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình:
Cho tổng thể
. Khi đó, thủ tục kiểm định giả thiết về tham số
thực hiện như sau:
- Trường hợp 1: Nếu
đã biết:
Giả thuyết gốc:
.
√

Tiêu chuẩn kiểm định:
Miền bác bỏ:

Giả thiết

Miền bác bỏ
{

}

√

{

}

√

{

√

| |

⁄

}

Trong đó, các giá trị tới hạn
được tra bảng theo công thức P(U <
Xác suất mắc sai lầm loại II: Giả sử giá trị thực của là :
 Nếu miền bác bỏ một phía thì:
 Nếu miền bác bỏ hai phía thì:

-

Trường hợp 2: Nếu
Giả thiết gốc:

|

(
(

|

|

|

chưa biết

Tiêu chuẩn kiểm định:

√

Miền bác bỏ:
Giả thiết

Miền bác bỏ
{

√

10

}

√ )

√ )

được


{

}

√

{

| |

√

}

Trong đó, các giá trị tới hạn
được tra bảng theo công thức P(T <
Xác suất mắc sai lầm loại II: Giả sử giá trị thực của là :
 Nếu miền bác bỏ một phía thì:
 Nếu miền bác bỏ hai phía thì:

|

(
|

(

2) So sánh hai giá trị trung bình:
Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập
so sánh và : n1,n2 30
- Trường hợp 1: Nếu các phương sai
Giả thiết gốc:

|
|

√ )

√ )

Các cặp giả thiết để
đã biết

Tiêu chuẩn kiểm định:
√

Miền bác bỏ:
Cặp giả thiết

Miền bác bỏ

√
{

}

√
{

}

| |

⁄

√
{

-

}

Trong đó, các giá trị tới hạn
được tra bảng theo công thức P(U <
Trường hợp 2: nếu các phương sai
chưa biết
Giả thuyết gốc:
11

)=


Tiêu chuẩn kiểm định:
√

Miền bác bỏ:
Giả thiết

Miền bác bỏ

√
{

}

√
{

}

| |

⁄

√
{

}

3) Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ trung bình:
- Giả thuyết gốc:
.
-

Tiêu chuẩn kiểm định:

√
√

.

Giả thiết

Miền bác bỏ
{

{

√

√

}

√
√

{

}

√

√

| |

⁄

}

Câu 4:
1) Trong năm trước, trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của các con bị ở một
trại chăn ni là 380kg. Năm nay người ta áp dụng thử một chế độ chăn ni mới với
hy vọng là bị sẽ tăng trọng lượng nhanh hơn. Sau thời gian áp dụng, người ta lấy
12


ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân thu được trọng lượng trung
bình là 390kg. Với mức ý nghĩa
có thể cho rằng trọng lượng trung bình
của các con bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên hay khơng? Biết rằng trọng lượng
các con bị là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn
là 35,2kg. Tính giá trị P- value tương ứng. Nếu trọng lượng xuất chuồng trung bình
của các con bị thực sự là 395kg thì tính xác suất mắc sai lầm loại II trong kiểm định
trên.
Giải:
Gọi X là trọng lượng của các con bị của trại chăn ni. Theo giải thiết
Cặp giả thuyết cần kiểm định:

{
Tiêu chuẩn kiểm định:
√

Miền bác bỏ:
(
)
Do U
nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết . Điều này có nghĩa là trọng
lượng trung bình của các con bị trước khi xuất chuồng khơng tăng lên.
Giá trị P- value tương ứng là: P(U > 2,01)= 0,0222.
Nếu
thì xác suất mắc sai lầm loại II là:
|
|√
(
)
2) Trong thập niên 80, trọng lượng của thanh niên là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn vơi trọng lượng trung bình là 48kg. Nay để xác định lại trọng lượng ấy, người
ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên để đo trọng lượng và được trọng lượng trung bình
là 50kg và độ lệch chuẩn tổng thể
Thử xem trọng lượng trung bình thanh
niên hiện nay có thay đổi so với trước kia, với mức ý nghĩa 1%. Tính xác suất mắc
sai lầm loại II nếu trọng lượng trung bình thực sự là 51kg.
Giải:
Gọi X là trọng lượng của thanh niên. Đây là bài toán kiểm định tham số của biến
ngẫu nhiên phân phối chuẩn khi đã biết phương sai tổng thể.
Cặp giả thuyết cần kiểm định là:
{
Với n = 100;

Ta có:

ta có:
√

√

Miền bác bỏ:

13


Vì U
nên chưa có cơ sở bác bỏ
tức là trọng lượng sinh viên hiện nay không
thay đổi so với trước kia, với mức ý nghĩa 1%.
Xác suất mắc sai lầm loại II:
|
|√
(
)
3) Tại một xí nghiệp người ta xây dựng hai phương án gia công cùng một loại chi tiết.
Để đánh giá xem chi phí trung bình về ngun liệu theo hai phương án ấy có khác
nhau hay khơng, người ta tiến hành sản xuất thử và thu được các kết quả sau:
Phương án 1: 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5
Phương án 2: 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6
Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về vấn đề trên biết rằng chi phí nguyên liệu theo
cả hai phương án gia công đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với
Giải:
Gọi

là chi phí nguyên liệu theo phương án 1, 2. Theo giả thiết:
.
Cặp giả thiết kiểm định:
{
Tiêu chuẩn kiểm định:

√

√
Miền bác bỏ:

(
) (
)
Do U
nên bác bỏ giả thuyết
, nghĩa là chi phí trung bình về ngun liệu theo
hai phương án ấy có khác nhau.
4) Tỷ lệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở địa phương A là 60%. Sau một
chiến dịch quảng cáo người ta muốn đánh giá xem chiến dịch quảng cáo này có thực
sự mang lại hiệu quả khơng. Để làm điều đó, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 400
khách hàng thì thấy có 250 người tiêu dùng loại sản phẩm nói trên. Với mức ý nghĩa
0,05 hãy kết luận về hiệu quả của chiến dịch quảng cáo đó. Tìm xác suất mắc sai lầm
loại II khi tỷ lệ tiêu dùng sản phẩm thực sự là 0,65.
Giải:
Gọi p là tỷ lệ khách hàng tiêu dùng loại sản phẩm nói trên.
f=

= 0,625

Cặp giả thuyết cần kiểm định :
{
Tiêu chuẩn kiểm định:
√

√
√

√
14


Miền bác bỏ:
(

)
.
Do U
nên chưa có cơ sở bác bỏ lý thuyết . Nghĩa là chiến dịch quảng cáo
không làm tăng tỷlệ tiêu dùng sản phẩm hay nói cách khác là không hiệu quả.
Nếu tỷ lệ tiêu dùng sản phẩm thực sự là 0,65 thì xác suất mắc sai lầm loại II là:
|
|√
(
)
√
5) Tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét ở một huyện miền núi là 0,07. Trong lần kiểm tra ngẫu
nhiên 350 người thấy có 30 người mang vi trùng sốt rét. Với mức ý nghĩa 0,05, có
thể cho rằng tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét trong vùng đã tăng lên hay không?

Giải:
Gọi p là tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét
Đây là bài toán kiểm định tham số p của biến ngẫu nhiên phân phối A(p).
Cặp giả thuyết kiểm định:
{
Miền bác bỏ:
.
Ta có: n = 350 => f =
√

√
√

√

Vì U
nên ta bác bỏ
nghĩa là tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét trong vùng có tăng
lên.
6) Trọng lượng đóng bao của các bao gạo trong một kho là biến ngẫu nhiên tuân theo
quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 50kg. Nghi ngờ các bao gạo
bị đóng thiếu, người ta cân ngẫu nhiên 25 bao gạo và thu được bảng kết quả sau:
Trọng lượng các bao gạo (kg)
Số bao gạo tương ứng
48 – 48,5

2

48,5 – 49

5

49 – 49,5

10

49,5 – 50

6

50 – 50,5

2

Với mức ý nghĩa
a. Hãy kết luận về điều nghi ngờ trên.
b. Tìm xác suất mắc sai lầm loại II khi trọng lượng đóng bao trung bình thực sự là
49,5kg.
c. Tính giá trị P.
15


Giải:
a. Gọi X là trọng lượng của các bao gạo. Theo giả thiết

Cặp giả thiết cần kiểm định:
{
Tiêu chuẩn kiểm định:
√

.

Ta có:
Miền bác bỏ:

Do T
nên bác bỏ giả thuyết
và thừa nhận giả thuyết
lượng trung bình các bao gạo bị đóng thiếu.
b. Xác suất mắc sai lầm loại II:
|
|√
(
)

. Nghĩa là trọng

c. Giá trị P- value tương ứng của kiểm định ở câu a là:
7) Để kiểm nghiệm hiệu quả của một loại thuôc tẩy giun cho lợn, người ta bắt ngẫu
nhiên14 con lợn từ một trại chăn nuôi và chia thành hai nhóm.
Nhóm I (có 7 con lợn): Cho thuốc uống tẩy giun.
Nhóm II (có 7 con lợn): khơng cho uống thuốc tẩy giun.
Sau một thời gian dùng thuốc, khi giết thịt, hai nhóm lợn trên cho kết quả sau về số
giun có trong những con lợn thuộc hai nhóm như sau:
Nhóm I: 18 43 28 50 16 32 13
Nhóm II: 40 54 26 63 21 37 39
Giả sử số lượng giun có trong các con lợn thuộc mỗi nhóm tuân theo quy luật phan
phối chuẩn và phương sai không bằng nhau.
a. Với mức ý nghĩa 0,05, hãy kết luận xem loại thuốc tẩy giun nói trên có thực sự
hiệu quả hay khơng?

|
b. Tìm xác suất mắc sai lầm loại II khi biết giá trị thực sự |
Giải:
a. Gọi
là số giun có trong mỗi con lợn. Theo giả thuyết:
.
Cặp giả thuyết cần kiểm định:
{
16


Tiêu chuẩn kiểm định:

√
Ta có:

Vậy
√

Miền bác bỏ:
(

)

(

)

Do T
nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết . Điều này có nghĩa là

thuốc tẩy giun không làm giảm số lượng giun trong các con lợn hay thuốc tẩy
giun không hiệu quả.
b. Xác suất mắc sai lầm loại II:
|

|

√
(

)

8) Trọng lượng của một loại gà công nghiệp ở một trại chăn nuôi có phân phối. Trọng
lượng trung bình khi xuất chuồng năm trước là 2,8kg/con. Năm nay, người ta sử
dụng một loại thức ăn mới. Cân thử 25 con khi xuất chuồng người ta tính được trung
bình mẫu là 3,2kg và phương sai mẫu hiệu chỉnh 0,25
.
a. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận xem loại thức ăn mới có thực sự làm tăng
trọng lượng trung bình của đàn gà hay không?
b. Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg/con
thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 5%?
Giải:
Gọi X là trọng lượng của một con gà sau khi sử dụng loại thức ăn mới.
Giả thiết cho ta:
 X có phân phối chuẩn.
 n =25



= 3,2(kg).

17



a. Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng

với mức ý nghĩa

{
Vì n < 30; X có phân phối chuẩn
= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
-

Ta có:
√

√

Đặt k = n – 1 = 24. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 24 và 2
= 1,711.
Vì U = 4 > 1,711 =
nên ta bác bỏ giả thiết
nghĩa là chấp
nhận giả thiết
- Kết luận: với mức ý nghĩa 5%, loại thức ăn mới thực sự làm tăng trọng
lượng trung bình của đàn gà.
b. Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng
với mức ý nghĩa
{

Vì n < 30; X có phân phối chuẩn
chưa biết, nên ta kiểm định như sau:
-

Ta có:
√

√

Đặt k = n -1 = 24. Tra bảng phân phối student ứng với k=24 và
ta được:
Vì | |
nên ta chấp nhận giả thiết
- Kết luận: với mức ý nghĩa 5%, báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất
chuồng là 3,3kg/con là chấp nhận được.
9) Một hợp tác xã trồng thử 2 giống lúa, mỗi giống trên 30 thửa ruộng và được chăm
sóc như nhau. Cuối vụ thu hoạch ta được số liệu như sau:
Năng suất trung bình (tạ/ha)
Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh
Giống lúa 1

45

2,5

Giống lúa 2

46,5

4,0

a. Với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của hai giống lúa trên là
như nhau hay không?
18


b. Với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của giống lúa 2 cao hơn
giống lúa 1 hay không?
Giải:
Gọi X, Y(tạ/ha) lần lượt là năng suất của giống lúa 1 và 2. Khi đó:
-

-

Đối với X thì đề bài đã cho:



Đối với Y thì đề bài cho:



a. Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa
2%= 0,02:
{
Vì

-

= 30 nên ta kiểm định như sau:

=

Ta có:

√

√
-

Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm

-

Ta được:
Vì | |
nên ta chấp nhận giả thiết
Kết luận: với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của hai giống lúa trên
là như nhau.
b. Đây là bài toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa

thỏa:

{
nên ta kiểm định như sau:

Vì
-

Ta có:

√

√

19


-

Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm
)=

thỏa:

=

Ta được
= 2,06.
Vì – U = 1,7418 < 2,06 =
nên ta chấp nhận giả thiết
.
- Kết luận: với mức ý nghĩa 2%, chưa thể xem năng suất của giống lúa 2 cao
hơn giống lúa 1.
10) Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có
kết quả sau:
X/(cm)
95 – 105 105 – 115 115 – 125 125 – 135 135- 145 145- 155 155- 165
Số cây

10

10

15

30

10

10

a. Một tài liệu thống kê cũ cho rằng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên là
127cm. Hãy cho kết luận về tài liệu đó với mức ý nghĩa 1%.
b. Những cây trồng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây “cao”.
Trước đây, tỷ lệ những cây “cao” của loại cây trồng trên là 40%. Các số liệu trên
thu nhập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới. Hãy cho kết luận về kỹ thuật
mới với mức ý nghĩa 5%.
Giải:
100
110
120
130
140
150
160
10

10

15

30

Ta có:
∑
n = 100; ∑
 Kỳ vọng mẫu của X là:

10

10

15

= 1749000.

X= ∑
 Phương sai mẫu của X là:
∑
 Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:
=
.
a. Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng
nghĩa

với mức ý

{
-

Vì n
Ta có:

chưa biết, nên ta có qui tắc kiểm định như sau:
√

√
-

Tra bảng hàm giá trị Laplace để tìm
20

thỏa:

15


)=

-

=

Ta được: =2,58.
Vì | |
nên ta chấp nhận
Kết luận: với mức giá 1%, tài liệu cũ về chiều cao của giống cây trồng trên
còn phù hợp với thực tế.
b. Đây là bài toán kiểm định giả thiết tỉ lệ các cây cao với mức ý nghĩa
{

-

Ta kiểm định như sau:
√

√
-

√
√
Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm
)=

-

=

thỏa:

= 0,475

Ta được
Vì | |
nên ta chấp nhận giả thiết
Kết luận: với mức ý nghĩa 5%, phương pháp mới khơng có tác dụng làm
thay đổi tỷ lệ các cây cao.

21