Tài liệu Chương hai: Ứng dụng biến đổi z phân tích hệ xử lý số docx

Ch ng haiươ
ng d ng bi n i ứ ụ ế đổ z
phân tích h x lý s ệ ử ố
Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài toán phân tích hệ xử lý số trong miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các
bài toán được dễ dàng hơn, người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền biến số khác. Biến đổi Laplace
được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số sử dụng biến đổi Z.
2.1 phép bi n i ế đổ z
Phép bi n i ế đổ Z c s d ng cho các dãy s . Bi n i đượ ử ụ ố ế đổ Z thu n chuy n các dãy bi n s nguyên ậ để ể ế ố n th nhà
h m bi n s ph c à ế ố ứ z, bi n i ế đổ Z ng c chuy n các h m bi n s ph c ượ để ể à ế ố ứ z th nh dãy bi n s nguyên à ế ố n.
2.1.1 Biến đổi Z thuận
2.1.1a Biến đổi Z hai phía
nh ngh a :Đị ĩ Bi n i ế đổ Z hai phía c a dãy ủ x(n) l chu i l y th a c a bi n s ph c à ỗ ũ ừ ủ ế ố ứ z :
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX ).()(
[2.1-1]
Mi n xác nh c a h m ề đị ủ à X(z) l các giá tr c a à ị ủ z chu i để ỗ [2.1-1] h i t .ộ ụ
Dãy x(n) c g i l h m g c, còn đượ ọ à à ố X(z) c g i l h m nh đượ ọ à à ả Z. Bi n i ế đổ Z hai phía th ng c g i v n t tườ đượ ọ ắ ắ
l bi n i à ế đổ Z. Chu i ỗ [2.1-1] l bi u th c bi n i à ể ứ ế đổ Z thu n v c ký hi u nh sau :ậ à đượ ệ ư
)()]([ znxZT
X
=
[2.1-2]
Hay :
)()( znx X
ZT

→
[2.1-3]
( ZT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh : à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Z - Transform).
Ví d ụ 2.1 : Hãy xác nh bi n i đị ế đổ Z hai phía c a các dãy sau :ủ
a.
)(n
δ
b.
)( kn −
δ
c.
)( kn +
δ
d.
}{)( 1,5,2,3 −
↑
=nx

e.
)(nu
f.
)( 3−nu
g.
)( 3+nu
h.
)( nu −
Gi i :ả a.
∑
∞
−∞=

−
==
n
n
znnZT
1
).()]([
δδ
[2.1-4]
Chu i ỗ [2.1-4] h i t v i m i ộ ụ ớ ọ z, nên
)]([ nZT
δ
xác nh v i m i đị ớ ọ z.
b.
k
n
n
zznnZT
kk
−
∞
−∞=
−
=−=−
∑
).()]([
δδ
[2.1-5]
Chu i ỗ [2.1-5] h i t v i m i ộ ụ ớ ọ z > 0, nên
)]([ knZT

−
δ
xác nh v i m i đị ớ ọ z > 0.
c.
k
n
n
zznnZT
kk
=+=+
∑
∞
−∞=
−
).()]([
δδ
[2.1-6]
Chu i ỗ [2.1-6] h i t v i m i ộ ụ ớ ọ z < ∞, nên
)]([
k
nZT
+
δ
xác nh v i m i đị ớ ọ z < ∞.
d.
211
2
1
).().()( 523
−−

−=
−
∞
−∞=
−
+−+===
∑∑
zzzznxznxz
n
n
n
n
X

H m à X(z) xác nh trong mi n đị ề 0 < z < ∞.
e.
)(
)(
).()]([
1
1
1
1
0
−
====
−
∞
=
−

∞
−∞=
−
−
∑∑
z
z
z
zznunuZT
n
n
n
n
[2.1-7]
Dãy nhân qu vô h n ả ạ
)(nu
có bi n i ế đổ Z b ng ằ ∞ t i ạ z = 1
f.
)(
)(
).()]([
1
1
1
33
2
3
0
)3(
3

−
=
−
===−=−
−
∞
=
+−
∞
=
−
∞
−∞=
−
∑∑∑
zz
z
z
zzzznunuZT
m
m
n
n
n
n
Ta ã i bi n, t đ đổ ế đặ
⇒=− mn )( 3
)( 3+= mn
v khi à
3

=
n
thì
0
=
m
Dãy nhân qu vô h n ả ạ
)( 3−nu
có bi n i ế đổ Z b ng ằ ∞ t i ạ z = 1 v à z = 0
g.
)()(
).()]([
11
33
4
3
0
)3(
3
−
=
−
===+=+
∑∑∑
∞
=
−−
∞
−=
−

∞
−∞=
−
z
z
z
z
zzzznunuZT
m
m
n
n
n
n
67
Ta ã i bi n, t đ đổ ế đặ
⇒=+ mn )( 3
)( 3−= mn
v khià
3
−=
n
thì
0
=
m
Dãy không nhân qu ả
)3( +nu
có bi n i ế đổ Z b ng ằ ∞ t i ạ z = 1 v à z = ∞
h.

)(
).().().()]([
1
1
00
0
z
zzmuznuznunuZT
m
m
m
m
n
n
n
n
−
===−=−=−
∑∑∑∑
∞
=
∞
=−∞=
−
∞
−∞=
−
Ta ã i bi n, t đ đổ ế đặ
⇒=− mn
khi

∞−=n
thì
∞=m
Dãy ph n nhân qu vô h nả ả ạ
)( nu −
có bi n i ế đổ Z b ng ằ ∞ t i ạ z = 1
2.1.1b Biến đổi Z một phía
nh ngh a :Đị ĩ Bi n i ế đổ Z m t phía c a dãy ộ ủ x(n) l chu i l y th a c a bi n s ph c à ỗ ũ ừ ủ ế ố ứ z :
∑
∞
=
−
=
0
1
).()(
n
n
znxzX
[2.1-8]
Mi n xác nh c a h m ề đị ủ à
)(
1
zX
l các giá tr c a à ị ủ z chu i để ỗ [2.1-8] h i t .ộ ụ
Bi n i ế đổ Z m t phía c l y theo t ng v i ộ đượ ấ ổ ớ n bi n thiên t ế ừ 0 n đế ∞. Chu i ỗ [2.1-8] l bi u th c c a bi n i à ể ứ ủ ế đổ Z
m t phía thu n v c ký hi u nh sau :ộ ậ à đượ ệ ư
)()]([
11
znxZT X=

[2.1-9]
Hay :
)()(
1
1
znx X
ZT
→
[2.1-10]
Ví d ụ 2.2 : Hãy xác nh bi n i đị ế đổ Z m t phía c a các dãy ví d ộ ủ ở ụ 2.1 v so sánh k t qu v i bi n i à ế ả ớ ế đổ Z hai phía
t ng ng. ươ ứ
a.
)(n
δ
b.
)( kn −
δ
c.
)( kn +
δ
d.
}{)( 1,5,2,3 −
↑
=nx

e.
)(nu
f.
)( 3−nu
g.

)( 3+nu
h.
)( nu −
Gi i :ả a.
∑
∞
=
−
==
0
1
1
).()]([
n
n
znnZT
δδ
Dãy nhân qu ả
)(n
δ
có bi n i ế đổ Z m t phía gi ng bi n i ộ ố ế đổ Z hai phía.
b.
k
n
n
zznnZT
kk
−
∞
=

−
=−=−
∑
0
1
).()]([
δδ
Dãy nhân qu ả
)( kn −
δ
có bi n i ế đổ Z m t phía gi ng bi n i ộ ố ế đổ Z hai phía.
c.
00
00
1
.).()]([
==+=+
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
n
n
n
n
zznnZT
kk

δδ
Dãy ph n nhân qu ả ả
)( kn +
δ
có bi n i ế đổ Z m t phía luôn b ng ộ ằ 0.
d.
21
2
00
1
.).().()( 52
−−
=
−
∞
=
−
+−===
∑∑
zzznxznxz
n
n
n
n
X

Dãy không nhân qu ả
)(nx
có bi n i ế đổ Z m t phía khác bi n i ộ ế đổ Z hai phía
e.

1
1
1
1
00
1
).()]([
−
====
−
∞
=
−
∞
=
−
−
∑∑
z
z
z
zznunuZT
n
n
n
n
Dãy nhân qu ả
)(nu
có bi n i ế đổ Z m t phía gi ng bi n i ộ ố ế đổ Z hai phía.
f.

)1
1
1
33
(
).()]([
2
3
0
3
30
1
−
=
−
===−=−
−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
−
∑∑∑
zz
z
z

zzzznunuZT
m
m
n
n
n
n
Dãy nhân qu ả
)( 3−nu
có bi n i ế đổ Z m t phía gi ng bi n i ộ ố ế đổ Z hai phía.
g.
1
33
00
1
).()]([
−
==+=+
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
z
z
zznunuZT
n
n

n
n
Dãy không nhân qu ả
)( 3+nu
có bi n i ế đổ Z m t phía khác hai phía.ộ
h.
00
00
1
.).()]([ ==−=−
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
n
n
n
n
zznunuZT
Dãy ph n nhân qu vô h nả ả ạ
)( nu −
có bi n i ế đổ Z m t phía luôn b ng ộ ằ 0.
Nh v y, các dãy nhân qu có ư ậ ả bi n i ế đổ Z m t phía ộ v à hai phía gi ng nhau, các dãy không nhân qu có ố ả bi nế
i đổ Z m t phía ộ v à hai phía khác nhau, các dãy ph n nhân qu có ả ả bi n i ế đổ Z m t phía b ng khôngộ ằ .
2.1.1c Miền hội tụ của biến đổi Z
nh ngh a :Đị ĩ T p h p t t c các giá tr c a bi n s ph c ậ ợ ấ ả ị ủ ế ố ứ z m t i ó các chu i à ạ đ ỗ [2.1-1] v à [2.1-8] h i tộ ụ
c g i l mi n h i t c a bi n i đượ ọ à ề ộ ụ ủ ế đổ Z.

68
Mi n h i t c a bi n i ề ộ ụ ủ ế đổ Z c ký hi u l : đượ ệ à RC[X(z)] ho c ặ RC
(RC l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh : à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Region of Convergence)
Có th th y ngay r ng các dãy ể ấ ằ x(n) h u h n có bi n i ữ ạ ế đổ Z l chu i h u h n nên s h i t trên to n b m tà ỗ ữ ạ ẽ ộ ụ à ộ ặ
ph ng ẳ z, tr hai i m |ừ đ ể z|= ∞ v à z = 0 l ph i xét c th : à ả ụ ể
])([)(
N
nxZTzX =
có
∞<< ||:)]( 0[ zzXRC
Xét tr ng h p ườ ợ x(n) l dãy không nhân qu vô h n xác nh trong kho ng (à ả ạ đị ả - ∞ , ∞), bi n i ế đổ Z hai phía c aủ
x(n) theo [2.1-1] l :à
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX ).()(
[2.1-11]
tìm mi n h i t c a chu i Để ề ộ ụ ủ ỗ [2.1-11], c n s d ng tiêu chu n h i t c aầ ử ụ ẩ ộ ụ ủ Cauchy c phát bi u nh sau :đượ ể ư
Tiêu chu n h i t Cauchy :ẩ ộ ụ Xét chu i s vô h n :ỗ ố ạ
∑
∞
=0
)(
n
nx
[2.1-12]

N u ế
lnx
n
n
=
∞→
1
)(lim
, thì chu i ỗ [2.1-12] h i t khiộ ụ l < 1 , phân k khiỳ l > 1.
s d ng tiêu chu n h i t Để ử ụ ẩ ộ ụ Cauchy xác nh mi n h i t c a chu i đị ề ộ ụ ủ ỗ [2.1-11], ph i tách ả
)(zX
th nh hai chu ià ỗ
nh sau :ư
)()().().()(
21
0
1
zzznxznxz XXX
n
n
n
n
+=+=
∑∑
∞
=
−
−
−∞=
−

Trong ó :đ
)().().()( 0
01
1
xznxznxz
n
n
n
n
X −==
∑∑
−∞=
−
−
−∞=
−
[2.1-13]
v :à
∑
∞
=
−
=
0
2
).()(
n
n
znxzX
Theo tiêu chu n ẩ Cauchy, chu i ỗ

)(
2
zX
s h i t n u th a mãn i u ki n :ẽ ộ ụ ế ỏ đ ề ệ
1|)(|lim.||1.)(lim
1
1
1
<⇒<
∞→
−−
∞→
n
n
n
n
n
nxzznx
N u t n t i s ế ồ ạ ố
−
x
R
h u h n :ữ ạ để
∞<=
−
∞→
x
n
n
R

nx
1
)(lim
[2.1-14]
Thì :
1||
1
<
−
−
z
x
R
Khi ó chu i đ ỗ
)(
2
zX
s h i t v i m i ẽ ộ ụ ớ ọ z tho mãn i u ki n :ả đ ề ệ
−
>
x
R
z ||
[2.1-15]
tìm mi n h i t c a Để ề ộ ụ ủ
)(
1
zX
, i bi n t đổ ế đặ
nm −=

thì chu i ỗ [2.1-13] c ađượ đư v d ng :ề ạ
)().()( 0
0
1
xzmxz
m
m
X −−=
∑
∞
=
N u ế x(0) h u h n thì chu i ữ ạ ỗ
)(
1
zX
s h i t n u th a mãn i u ki n :ẽ ộ ụ ế ỏ đ ề ệ
1|)(|lim.||1.)(lim
11
<−⇒<−
∞→∞→
m
m
m
m
m
mxzzmx
N u t n t i s ế ồ ạ ố
+
x
R

h u h n :ữ ạ để
∞<=−
+
∞→
x
m
m
R
mx
1
1
)(lim
Thì :
1||
1
<
+
z
x
R
, trong ó : đ
m
m
x
mx
R
1
)(lim
1
−

=
∞→
+

Hay tr v bi n ở ề ế n :
n
n
x
nxR
1
)(lim
∞−→
+
=
[2.1-16]
Khi ó chu i đ ỗ
)(
1
zX
s h i t v i m i ẽ ộ ụ ớ ọ z tho mãn i u ki n :ả đ ề ệ
+
<
x
R
z ||
[2.1-17]
)]([ zRC X
l giao các mi n h i t c a à ề ộ ụ ủ
)(
1

zX
theo [2.1-17] v à
)(
2
zX
theo [2.1-15] : N u ế
+−
<
xx
RR
thì
+−
<<
xx
RRX zzRC ||)]([ :
.
69
Nh v yư ậ , dãy không nhân qu vô h n ả ạ x(n) có
)]([)( nxZTz
X
=
v i mi n h i t ớ ề ộ ụ l hình v nh tròn trên m tà à ặ
ph ng ph c, có tâm l g c t a , bán kính trong ẳ ứ à ố ọ độ
−
x
R
, bán kính ngo i à
+x
R
nh hình ư ở 2.1a . Các bán kính h i tộ ụ

−
x
R
v à
+x
R
c xác nh theo đượ đị [2.1-14] v à [2.1-16] t ng ng. N u ươ ứ ế
−
x
R
không h u h n ho c ữ ạ ặ
+−
≥
xx
RR
thì
)(zX
không xác nh v i m i đị ớ ọ z, nên trong tr ng h p ó dãy không nhân qu ườ ợ đ ả x(n) không có bi n i ế đổ Z.
a. Dãy không nhân quả. b. Dãy nhân quả. c. Dãy phản nhân quả.
Hình 2.1 : Miền hội tụ của biến đổi Z.
Khi x(n) l dãy nhân qu thì bi n i à ả ế đổ Z c a nó có th nh ph n ủ à ầ
0)(
1
=zX
, nên
)()(
2
zz XX =
, do ó mi n h iđ ề ộ
t c a ụ ủ

)(zX
l mi n h i t c aà ề ộ ụ ủ
)(
2
zX
theo [2.1-15], nên
−
>
x
RXRC zz ||:)]([
, ó l mi n n m ngo i vòng tròn tâm đ à ề ằ à ở
g c t a , ng kính ố ọ độ đườ
−
x
R
nh hình ư ở 2.1b. Bán kính h i t ộ ụ
−
x
R
c xác nh theo đượ đị [2.1-14]. N u ế
∞=
−
x
R
thì
)(zX
không xác nh v i m i đị ớ ọ z, nên trong tr ng h p ó dãy nhân qu ườ ợ đ ả x(n) không có bi n i ế đổ Z.
Khi x(n) l dãy ph n nhân qu thì bi n i à ả ả ế đổ Z c a nó có ủ
0)(
2

=zX
, nên
)()(
1
zz XX =
, do ó mi n h i t c ađ ề ộ ụ ủ
)(zX
l mi n h i t c aà ề ộ ụ ủ
)(
1
zX
theo [2.1-17], nên
+
<
x
RXRC zz ||:)]([
, ó l mi n n m trong vòng tròn tâm g c t ađ à ề ằ ở ố ọ
, ng kính độ đườ
+x
R
nh ư hình ở 2.1c . Bán kính h i t ộ ụ
+x
R
c xác nh theo đượ đị [2.1-16]. N u ế
0=
+x
R
thì
)(zX
không

xác nh v i m i đị ớ ọ z, nên trong tr ng h p ó dãy ph n nhân qu ườ ợ đ ả ả x(n) không có bi n i ế đổ Z.
Bi n i ế đổ Z m t phía có d ng gi ng v i bi n i ộ ạ ố ớ ế đổ Z hai phía c a các dãy nhân qu , do ó mi n h i t c a bi nủ ả đ ề ộ ụ ủ ế
i đổ Z m t phía l :ộ à

−
>
x
RXRC zz ||:])(
1
[

ó l mi n n m ngo i vòng tròn tâm l g c t a , ng kính Đ à ề ằ à à ố ọ độ đườ
−
x
R
nh hình ư ở 2.2b. Bán kính h i t ộ ụ
−
x
R
c xác nh theo đượ đị [2.1-14].
Ví d ụ 2.3 : Hãy xác nh đị
)(z
i
X
v à
)]([ z
i
XRC
c a các dãy ủ
)(nx

i
sau :
a.
)()(
31
nrectnx =
e.
)()(
5
nuanx
n
−=
b.
)()(
32
nrectnx −=
f.
)()( 2
6
+= nuanx
n
c.
)()( 1
33
+= nrectnx
g.
)()( 2
7
+−= nuanx
n

d.
)()(
4
nuanx
n
=
h.
n
anx =)(
8
Gi i : ả a.
2
21
2
0
0
31
1
1
1).()(
z
z
zzzzznrectz
n
n
n
n
X ++=++===
−−
=

−
∞
−∞=
−
∑∑
Dãy nhân qu h u h n ả ữ ạ
)(
3
nre c t
có ZT v i ớ
0[ ||:)](
1
>zzXRC
b.
1
201
0
2
2
32
).()( ++=++==−=
∑∑
−=
−
∞
−∞=
−
zzzzzzznrectz
n
n

n
n
X
Dãy ph n nhân qu h u h n ả ả ữ ạ
)(
3
nrect −
có ZT v i ớ
∞<||:)](
2
[ zzXRC
c.
z
zzzzzznrectz
n
n
n
n
X
1
11
10
1
1
1
33
).()( ++=++==+=
−
−=
−

∞
−∞=
−
∑∑
Dãy không nhân qu h u h n ả ữ ạ
)( 1
3
+nrect
có ZT v i ớ
∞<< ||:)]( 0[
3
zzXRC
d.
)(
).(
).().()(
1
0
1
0
4
1
1
az
z
za
zazaznuaz
n
n
n

nn
n
nn
X
−
=
−
====
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
−∞=
−
∑∑∑
V y :ậ
)(
).(
)]([
1
1
1
az
z
za
nuaZT

n
−
=
−
=
−
[2.1-18]
70
Theo [2.1-14] , bán kính h i t ộ ụ
||||lim
1
aa
n
n
n
x
R
==
∞→
−
, v y ậ dãy nhân qu vô h nả ạ
)(nua
n
có ZT v iớ
||||:)](
4
[ azzXRC >
e.
∑∑
−∞=

−
∞
−∞=
−
=−=
0
5
).()(
n
nn
n
nn
zaznuazX

i bi n, t Đổ ế đặ n = - m ⇒ - n = m v khi à n = - ∞ thì m = ∞ nh n c : ậ đượ
)(
)(
)()(
1
0
1
0
5
1
1
za
a
za
zazaz
m

m
m
mm
X
−
=
−
===
−
∞
=
−
∞
=
−
∑∑
Theo [2.1-16] , bán kính h i t ộ ụ
||||lim
1
aa
n
n
n
x
R
==
∞−→
+
, v y ậ dãy ph n nhân qu vô h n ả ả ạ
)( nua

n
−
có ZT v iớ
||||:)](
5
[ azzXRC <
f.
∑∑∑
∞
=
−−−
∞
−=
−
∞
−∞=
−
++==+=
0
122
2
6
).()(
2
n
nn
n
nn
n
nn

zazazazaznuaz
X
)(
)(
)()(
2
3
2
2
4
122
6
aza
z
az
z
a
z
a
z
zzazaz
XX
−
=
−
++=++=
−−
Theo [2.1-14] v à [2.1-16], xác nh c dãy không nhân qu vô h nđị đượ ả ạ
)( 2+nua
n

v i ớ
),[ 2 ∞−∈n
có ZT v iớ
∞<< ||||:)](
6
[
zaz
XRC
h.
)()()(
45
0
0
00
8
1
zzzazazazaz
XXX
n
nn
n
nn
n
nn
++−=++−==
∑∑∑
∞
=
−
−∞=

−−
∞
−∞=
−
S d ng k t qu c a các câu d v e , dãy không nhân qu vô h n ử ụ ế ả ủ à ả ạ
n
anx =)(
8
có ZT v i ớ
|| a
xx
RR
==
−+
, nên
nó không có bi n i ế đổ Z .
Mi n h i t c a ề ộ ụ ủ bi n i ế đổ Z c t ng k t b ng đượ ổ ế ở ả 2.1 trang 114.
2.1.1d Hàm X(z) dạng phân thức hữu tỷ
Vì bi n i ế đổ Z l chu i l y th a c a à ỗ ũ ừ ủ z nên có th bi n i h m ể ế đổ à X(z) về d ng phân th c h u t : ạ ứ ữ ỷ

) (
) (
)(
)(
)(
2
2
1
1
2

2
1
10
1
.
.
N
N
M
M
zazaza
zbzbzbb
z
z
z
A
D
B
AX
−
−
++++
++++
==
−−
−−
[2.1-19]
Ho c :ặ
) (
) (

)(
)(
.)(
1
1
1
1
1
10
)(
NN
NN
MN
MM
MM
azazaz
zbzbzbzbA
z
z
Az
D
B
X
++++
++++
==
−
−
−
−

−
[2.1-20]
Trong ó đ A v à các h s ệ ố a
r
, b
k
l các à h ng sằ ố th cự .
Ph ng trình ươ B(z) = 0 có M nghi m l ệ à z
0
k
v t i à ạ z = z
0
k
thì X(z) = 0, nên các i m đ ể z
0
k

c g i l không i mđượ ọ à đ ể
c a h m ủ à X(z).
a th c m u Đ ứ ở ẫ D(z) có h s ệ ố a
0
= 1 c g i l a th c c tr ng c a đượ ọ à đ ứ đặ ư ủ X(z). Ph ng trình c tr ng ươ đặ ư D(z) = 0
có N nghi m l ệ à z
pr
v t i à ạ z = z
pr
thì X(z) = ∞, do ó các i m đ đ ể z
pr

c g i l c c i m c a đượ ọ à ự đ ể ủ X(z).

Ngo i ra, ph thu c v oà ụ ộ à
quan h gi a ệ ữ N v à M, h m à X(z)
còn có th có m t không i mể ộ đ ể
ho c c c i m t i ặ ự đ ể ạ z = 0.
Trên m t ph ng ph c, cácặ ẳ ứ
không i m đ ể z
0
k
c a h m ủ à X(z)
c ký hi u b ng d u khuyênđượ ệ ằ ấ
tròn nh “ ỏ o “ còn các c c i mự đ ể
z
pr
c ký hi u b ng d u g chđượ ệ ằ ấ ạ
chéo nh “ ỏ x “ nh trên hình ư 2.2.
Theo các không i m đ ể z
0
k
Hình 2.2 : Không và cực của X(z).
v c c i m à ự đ ể z
pr

c a ủ X(z), có th a phân th c h u t ể đư ứ ữ ỷ [2.1-20] v d ng :ề ạ
)) ()((
).) ()((
)(
)(
.)(
21
00201

)(
N
MN
M
ppp
zzzzzz
zzzzzzzA
z
z
Az
D
B
X
−−−
−−−
==
−
[2.1-21]
Các c c i m ự đ ể z
pr

c a h m ủ à X(z) có ý ngh a r t quan tr ng i v i vi c phân tích h x lý s trong mi n ĩ ấ ọ đố ớ ệ ệ ử ố ề Z.
2.1.2 Biến đổi Z ngược
71
N u bi n i ế ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] cho phép tìm h m nh à ả X(z) t dãy g c ừ ố x(n), thì bi n i ế đổ Z ng c cho phép tìmượ
dãy g c ố x(n) t h m nh ừ à ả X(z).
tìm bi u th c c a bi n i Để ể ứ ủ ế đổ Z ng c, xu t phát t bi u th c c a bi n i ượ ấ ừ ể ứ ủ ế đổ Z thu n ậ [2.1-1] :
∑
∞
−∞=

−
=
n
n
znxz
X
)()(
[2.1-22]
Nhân c hai v c a ả ế ủ [2.1-22] v i th a s ớ ừ ố
π
2
)1(
jz
m−
, r i l y tích phân theo chi u d ng trên ng cong kín ồ ấ ề ươ đườ C
n m trong mi n h i t c a ằ ề ộ ụ ủ X(z) v bao quanh g c t a , nh n c :à ố ọ độ ậ đượ
∫
∑
∫
−−
∞
−∞=
−
=
C
mn
n
C
m
dzzznx

j
dzzz
j
X
)1()1(
)()(
2
1
2
1
ππ
[2.1-23]
Vì tích phân [2.1-23] l y trong mi m h i t c a chu i ấ ề ộ ụ ủ ỗ [2.1-22], nên có th i v trí c a d u t ngể đổ ị ủ ấ ổ
và d u tích phân v ph i c a ấ ở ế ả ủ [2.1-23] :

∫
∑
∫
−+−
∞
−∞=
−
=
C
mn
n
C
m
dzz
j

nxdzzz
j
X
)1()1(
2
1
2
1
)()(
ππ
[2.1-24]
Theo nh lý đị Cauchy v tích phân theo chi u d ng trên ng cong khép kín ề ề ươ đườ C bao quanh g c t a trongố ọ độ
m t ph ng ph c có : ặ ẳ ứ



≠
=
=
∫
−
00
01
2
1
)1(
kkhi
kkhi
dzz
j

C
k
π
Do ó t t c các s h ng c a chu i v ph i c a đ ấ ả ố ạ ủ ỗ ở ế ả ủ [2.1-24] u b ng không, tr m t s h ng ng v i đề ằ ừ ộ ố ạ ứ ớ m = n là
b ng ằ
)(nx
, nên t ừ [2.1-24] có :
∫
−
=
C
n
dzzz
j
nx
X
)1(
)(
1
)(
2
π
[2.1-25]
Tích phân [2.1-25] chính là bi u th c c a phép bi n i ể ứ ủ ế đổ Z ng c, nó c ký hi u nh sau :ượ đượ ệ ư
)()]([ nxzIZT X =
[2.1-26]
hay :
)()( nxz
IZT
X →

[2.1-27]
( IZT l ch vi t t t c a thu t ng ti ng Anh : à ữ ế ắ ủ ậ ữ ế Invertse Z Transform).
Tính tr c ti p tích phân ự ế [2.1-25] l khá ph c t p, vì th th ng s d ng các ph ng pháp gián ti p tìmà ứ ạ ế ườ ử ụ ươ ế để
bi n i ế đổ Z ng c. ượ
Khi ng d ng bi n i ứ ụ ế đổ Z gi i các b i toán phân tích v t ng h p h x lý s , c n s d ng bi n i để ả à à ổ ợ ệ ử ố ầ ử ụ ế đổ Z
thu n chuy n dãy ậ để ể x(n) sang mi n bi n s ề ế ố Z. Sau khi th c hi n nh ng bi n i c n thi t trong mi n ự ệ ữ ế đổ ầ ế ề Z, c n s d ngầ ử ụ
bi n i ế đổ Z ng c nh n c k t qu trong mi n th i gian.ượ để ậ đượ ế ả ề ờ
72