Phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả bằng Hàm hệ thống

2.4. phân tích hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến
Nhân Quả bằng Hàm hệ thống H(z)
2.4.1 hàm hệ thống H(z)
2.4.1a Định nghĩa : Hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Z của đặc tính xung h(n) :
∑
∞
=
−
==
0
).()]([)(
n
n
znhnhZTzH
[2.4-1]
với
−
>
h
RHRC zz ||:)]([
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ được tính theo tích chập [1.5-7] :
h(n)*x(n)ny
=
)(
Có thể tìm được :
)]([)( nxZTz
X
=
và
)]([)( nhZTzH =
Do đó, theo tính chất tích chập của biến đổi Z có :

)().()](*)()([)( zznhnxnyZTz HXY ===
[2.4-2]
Từ đó suy ra :
)(
)(
)(
z
z
z
X
Y
H
=
[2.4-3]
Theo [2.4-3] , hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là tỷ số của phản ứng Y(z) và tác động X(z), do đó hàm
hệ thống H(z) còn được gọi là hàm truyền đạt Z của hệ xử lý số TTBBNQ.
Biểu thức [2.4-3] cho phép tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết tác động X(z) và phản ứng
Y(z), còn biểu thức [2.4-2] cho phép tìm phản ứng Y(z) và y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết hàm hệ thống H(z) và tác
động X(z).
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ , nhận được đặc tính xung h(n) của hệ :
)]([)( zIZTnh H=
với
−
>
h
RHRC zz ||:)]([
[2.4-4]
Từ quan hệ vào ra [2.4-2], có thể mô tả hệ xử lý số TTBBNQ theo sơ đồ khối trên hình 2.3, do đó hàm hệ thống
H(z) đặc trưng cho cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số trong miền Z.
Hình 2.3 : Sơ đồ khối hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z).

2.4.1b Tìm hàm hệ thống H(z) từ phương trình sai phân
Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng tổng quát bậc N :
∑∑
==
−=−
MN
k
k
r
r
k
nxbrnya
00
)()(
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :






−=






−
∑∑

==
MN
k
k
r
r
k
nxbZTrnyaZT
00
)()(
Theo tính chất tuyến tính và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được :
∑∑
=
−
=
−
=
MN
k
k
k
r
r
r
zzbzza
XY
00
)()(
Suy ra :
)(

0
)(
0
)(
0
0
)(
)(
)(
MN
N
N
M
M
N
M
z
za
zb
za
zb
z
z
z
r
r
r
k
k
k

r
r
r
k
k
k
X
Y
H
−
=
−
=
−
=
−
=
−
∑
∑
∑
∑
===
[2.4-5]
Có thể biểu diễn hàm hệ thống H(z) qua N cực điểm
pk
z
của nó :
)(....))((
)...(

)(
)(
)(
210
1
10
)(
N
M
MMMN
ppp
zzzzzza
bzbzbz
z
z
z
X
Y
H
−−−
++
−
+
==
−
[2.4-6]
ở đây cần lưu ý rằng, để tìm đúng H(z) thì phương trình đặc trưng
0
)( =z
D

phải có hệ số
1
0
=a
, vì thế nếu
1
0
≠a
thì
phải nhóm
0
a
ra ngoài.
Lấy biến đổi Z ngược biểu thức [2.4-6] với
]max[||:)]([
pk
zzzHRC >
, nhận được đặc tính xung h(n) của hệ :
95
H(z)
X(z) Y(z)






==
)(
)(

)]([)(
zX
zY
IZTzIZTnh
H
[2.4-7]
Ví dụ 2.22 : Cho hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân :
)()()()()(
1322142
−−=−+−− nxnxnynyny
Hãy xác định hàm hệ thống H(z) và đặc tính xung h(n) của hệ.
Giải : Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên :
)()()()()(
121
3242 zzzzzzzz XXYYY
−−−
−=+−
Hay :
))(())((
121
31242
−−−
−=+− zzzzz XY
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(

)(
)(
122
3
122
3
242
31
222
1
21
1
+−
−
=
+−
−
=
+−
==
−
−
−−
−
−
zz
zz
zzz
zz
zz

z
z
z
z
X
Y
H
Vậy hàm hệ thống là :
22
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
12
3
122
3
−
−
=
+−
−
==
z
zz
zz
zz

z
z
z
X
Y
H
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H(z), tìm được đặc tính xung h(n) :






−
−
==
2
)(
)(
)]([)(
12
3
z
zz
IZTzIZTnh H
với
1[ ||:)]( >zzHRC
Để tìm h(n), phân tích hàm :
2
21

2
)(
)(
)(
)()(
1
1
12
3
−
+
−
=
−
=
−
z
z
z
z
z
z
CC
H
Trong đó :
1
2
31
1
12

13
2
2
2
2
)(
))((
−=
−
=⇒
=
−
−−
= CC
z
z
zz
2
1
1
12
13
1
2
2
1
)(
))((
=⇒
=







−
−−
= CC
z
z
zz
dz
d
Vậy :
22
)(
)(
)(
)()(
1
1
12
1
12
3
−
−
−
=

−
=
−
z
z
z
z
z
zH

2
)(
)(
)(
1
12
1
−
−
−
=⇒
z
z
z
z
zH
Với
1[ ||:)]( >zzHRC
, theo bảng 2.3 tìm được đặc tính xung h(n) :
)(.)()( 5,0 nunnunh −=

Hay :
)().()( 5,0 nunnh −=
2.4.1c Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số qua biến đổi Z
Khi biết đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ và tác động x(n), có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ xử lý
số theo tích chập :
h(n)*x(n)ny
=
)(
Các phương pháp tính trực tiếp tích chập đã được trình bầy ở chương một đều khá phức tạp, và trong nhiều trường
hợp không thể tìm được biểu thức của phản ứng y(n). Có thể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ dễ dàng hơn
bằng cách tính tích chập qua biến đổi Z, các bước thực hiện như sau :
1- Tìm các biến đổi Z thuận :
)]([)( nxZTz
X
=
và
)]([)( nhZTzH =
2- Từ đó xác định được :
)().()( zzz HXY =
3- Tìm biến đổi Z ngược :
)]().([)]([)( zzIZTzIZTny HXY ==
Trong đa số các trường hợp, hàm hệ thống H(z) và tác động X(z) có dạng phân thức hữu tỷ :
)(
)(
)(
z
z
z
A
B

H
=
và
)(
)(
)(
z
z
z
Q
P
X =
Do đó phản ứng Y(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là :
)().(
)().(
)().()(
zz
zz
zzz
QA
PB
HXY ==
Trước hết xét trường hợp hàm hệ thống H(z) có N cực điểm đơn z
pk
là nghiệm của phương trình đặc trưng
0)( =zA
, còn tác động X(z) có m cực điểm đơn z
pi
là nghiệm của phương trình đặc trưng
0)( =zQ

, trong đó các cực z
pk
≠
z
pi
với mọi k và i. Đồng thời, các cực điểm của hàm hệ thống H(z) không bị loại trừ bởi các không điểm của tác động X(z)
và ngược lại. Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ , phân tích hàm :
∑∑
==
−
+
−
=
m
i
pi
k
n
k
pk
k
zzzzz
z
QA
Y
10
)()(
)(
96
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả, nên với

],max[||:)]([
pipk
zzzzYRC >
, nhận được y(n)
là tổng của hai thành phần :
)()(..)(
0
10
nynyzzny
p
m
i
n
pik
n
k
n
pkk
QA
+=+=
∑∑
==
[2.4-8]
Trong đó dao động tự do :
∑
=
=
n
k
n

pkk
zny
A
0
0
.)(
[2.4-9]
Thành phần dao động tự do y
0
(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z), tức là phụ thuộc vào cấu
trúc của hệ xử lý số.
Còn dao động cưỡng bức :
∑
=
=
m
k
n
pikp
zny
Q
1
.)(
[2.4-10]
Thành phần dao động cưỡng bức y
p
(n) của y(n) phụ thuộc vào các cực của tác động X(z), tức là phụ thuộc vào
dạng của tác động x(n).
Giá trị của các hệ số A
k

và Q
k
được xác định theo [2.3-17], chúng phụ thuộc vào cả hàm hệ thống H(z) lẫn tác động
X(z).
Trong trường hợp hàm hệ thống H(z) hoặc tác động X(z) có các cực bội thì phải phân tích Y(z) theo biểu thức [2.3-
21] , với các hệ số được xác định theo [2.3-24]. Tương tự như trên, phản ứng y(n) cũng là tổng của hai thành phần dao
động tự do và dao động cưỡng bức :
)()()(
0
nynyny
p
+=
[2.4-11]
Nếu một số cực điểm của hàm hệ thống H(z) bị loại trừ bởi các không điểm của tác động X(z) (hoặc
ngược lại), thì thành phần dao động tự do (hoặc dao động cưỡng bức) sẽ mất bớt các số hạng tương ứng.
Ví dụ 2.23 : Cho hệ xử lý số có đặc tính xung
)()(
1
3
−=
nrectnh
và tác động
)(.)(
2
nunx
n
=
, tìm phản ứng y(n) và xác
định tính ổn định của hệ.
Giải : Theo bảng 2.3 tìm được các biến đổi Z thuận :

)(
)](.[)]([)(
2
2
−
===
z
z
nuZTnxZTz
n
X
3
2
3
3
)(
)(
)]([)(
1
1
1
z
zz
zz
z
nhZTzH
++
=
−
−

==
Phản ứng :
)(
)()(
.
)(
)().()(
2
11
2
2
2
3
2
−
++
=
++
−
==
zz
zz
z
zz
z
z
zzz HXY
Không điểm z
01
= 0 của tác động X(z) đã hạ bậc cực bội z

p1
= 0 của hàm hệ thống H(z), do đó dao động tự do y
0
(n)
sẽ bớt đi một số hạng.
Phản ứng của hệ là :






−
++
==
)(
)(
)]([)(
2
1
2
2
zz
zz
IZTzIZTny Y
Để tìm y(n), phân tích Y(z) thành tổng của các phân thức :

)(
)(
)(

)(
2
2
1
3
3
2
21
3
2
−
+++=
−
++
=
z
zz
z
zz
zz
z
z B
C
CC
Y
[2.4-12]
Trong đó, các hệ số C
1
, C
2

, C
3
phụ thuộc vào cực bội bậc 3 của hàm hệ thống H(z) tại z
p1
= 0 , hệ số B phụ thuộc
vào cực đơn của tác động X(z) tại z
p2
= 2 . Tính các hệ số của [2.4-12] :
8
7
2
122
2
2
)21
3
2
3
2
)(
)(
)((
=
++
=⇒
=
−
−++
= BB
z

zz
zzz
2
1
2
1
0
2
1
)(
)(
)(
3
3
32
3
−=
−
=⇒
=
−
++
= CC
z
zz
zzz
0
2
1
0

2
1
)(
)(
)(
)(
2
2
3
32
2
=






−
++
=⇒
=






−
++

=
z
z
zz
dz
d
z
zz
zzz
dz
d
CC
0
2
1122
2
2
2
)
)))
(
(((
=
−
−
+++−
=
z
z
zzzz

C
0
2
1242
2
22
2
)
)
(
(
=
−
−
−−−−+
=
z
z
zzzzz
C
4
3
2
3
0
2
34
2
2
2

2
2
)()(
)(
−=
−
=⇒
=
−
−−
=
−
CC
z
z
zz
97
0
2
34
00
2
1
2
2
2
2
2
2
1

)
)
)
)
(
(
(
(
===






−
−−
==






−
++
=
zzz
z
zz

dz
d
dz
d
z
zz
dz
d
C
C
0
2
3422422
4
22
1
)(
))(()()(
=
−
−−−−−−
=
z
z
zzzzz
C
4
7
16
12

2
32.242 16
)(
)).(().()(
1
4
2
1
−=
−−
=⇒
−
−−−−−
= CC
Thay giá trị của các hệ số trên vào [2.4-12] nhận được :
)(
)(
2
1
8
71
2
11
4
31
4
7
32
−
+−−−=

z
zz
zz
zY
Vậy :
)(
)(
28
71
2
11
4
3
4
7
2
−
+−−−=
z
z
z
z
zY
Vì hệ xử lý số là TTBBNQ nên phản ứng y(n) là dãy nhân quả, với
2[ ||:)]( >zzYRC
, theo bảng 2.3 nhận được :
)()(()()()()(
0
2
8

7
2
2
1
1
4
3
4
7
nynynunnnny
p
n
+=+−−−−−=
δδδ
Trong đó dao động tự do :
)()()()(
2
2
1
1
4
3
4
7
0
−−−−−=
nnnny
δδδ
Và dao động cưỡng bức :
)()(

2
8
7
nuny
n
p
=
Vì
0
)(
0
=
ny
khi
2
>
n
, nên hệ đã cho ổn định.
2.4.2 Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z)
2.4.2a Điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo H(z)
Vì các hệ xử lý số TTBB phản nhân quả và không nhân quả không có trên thực tế, nên chỉ cần xét tính ổn định
của các hệ xử lý số TTBBNQ.
Biểu thức [1.6-8] ở chương một đã đưa ra điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ trong miền thời gian rời rạc
n :
0
)(lim
=
∞→
nh
n

[2.4-13]
Vì
)]([)( zIZTnh H=
nên dựa vào [2.4-13] có thể tìm được điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm
hệ thống H(z).
Theo các cực của hàm hệ thống H(z), có thể phân tích H(z) thành tổng các phân thức, khi đó h(n) là tổng các thành
phần tương ứng. Để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định, tất cả các thành phần của h(n) đều phải thỏa mãn [2.4-13]. Theo các cực
đơn, cực bội hoặc cực phức của H(z), đặc tính xung h(n) có các dạng như sau :
Với các cực thực đơn
pk
z
, thành phần đặc tính xung
)(nh
k
được xác định theo [2.3-18] :
)(..)( nuznh
n
pkkk
B=
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] :
0
)](..[lim)(lim
==
∞→∞→
nuznh
n
pkk
n
k
n

B
Suy ra :
0
)(lim
=
∞→
n
n
pk
z
Hay :
1
||
<
pk
z
[2.4-14]
Với các cực phức liên hợp
pe
z
, thành phần đặc tính xung
)(nh
e
được xác định theo [2.3-27] :
)cos().(||)( .2
ep
n
pee
nnuznh E
ϕϕ

+=
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] :
0
)(lim
=
∞→
nh
e
n
⇒
0
||lim
=
∞→
n
n
pe
z
Hay :
1
||
<
pe
z
[2.4-15]
Với các cực thực bội
pk
z
, thành phần đặc tính xung
)(nh

k
được xác định theo [2.3-25] :
∑
=
−
−
−−−
=
q
i
in
pqiq
nuz
i
innn
nh C
1
)(
)(..
)!(
))....((
.)(
1
11
Từ điều kiện ổn định [2.4-13] :
0
)(lim
=
∞→
n

q
nh
⇒
0
)(lim
=
∞→
n
n
pq
z
Hay :
1
||
<
pq
z
[2.4-16]
Tổng hợp các biểu thức [2.4-14] , [2.4-15] và [2.4-16] , để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định theo điều kiện [2.4-13] thì
tất cả các cực
pk
z
của hàm hệ thống H(z) phải thỏa mãn điều kiện :
98
1|| <
pk
z
[2.4-17]
Điều kiện ổn định [2.4-17] của hệ xử lý số TTBBNQ có thể được phát biểu như sau : Điều kiện đủ để hệ xử lý số
TTBBNQ ổn định là tất cả các cực điểm của hàm hệ thống H(z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị |z|= 1

Hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung h(n) là dãy nhân quả, hàm hệ thống H(z) có
]max[||:)]([
pk
zzzHRC >
,
nên điều kiện ổn định [2.4-17] còn được phát biểu như sau : Điều kiện đủ để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định là vòng tròn
đơn vị |z|= 1 nằm trong miền hội tụ của hàm hệ thống H(z) .
Hình 2.4. minh họa điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ .
a.
1
|| =<
−
z
x
R
, hệ ổn định b.
1
|| =≥
−
z
x
R
, hệ không ổn định
Hình 2.4 : Điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo H(z).

Điều kiện ổn định [2.4-17] chỉ là điều kiện đủ, vì nếu hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống H(z) thỏa mãn điều
kiện [2.4-17] thì chắc chắn ổn định với mọi dạng tác động x(n). Tuy nhiên, hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống H(z)
không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17], nhưng nếu dạng của tác động x(n) làm cho X(z) có các không điểm
k
z

0
loại trừ
tất cả các cực điểm
1
|| >
pk
z
của H(z), thì hệ vẫn ổn định.
Ví dụ 2.24 : Xét hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống :
))((
)()(
)(
5,05,1.2
75,02.25,142
22
−−
=
+
=
+
=
−−
zz
z
zz
z
zz
z
zH
Vì H(z) có hai cực đơn là

5,1
1
=
p
z
và
5,0
2
=
p
z
, trong đó
15,1||
1
>=
p
z
, nên hệ đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn
định [2.4-17].
Tuy nhiên, với tác động
)()()( 1.5,1 −−= nununx
thì hệ đã cho sẽ ổn định, thật vậy :
)(
),(
)()(
)(
1
51
1
5,1

1 −
−
=
−
−
−
=
z
z
zz
z
zX
Phản ứng :
))(())((
.
)(
),(
)().()(
5,01
5,0
5,05,1.21
51
−−
=
−−−
−
==
zz
z
zz

z
z
z
zzz HXY
Để tìm phản ứng y(n) của hệ, phân tích hàm :
)()()()(
)(
5,0
1
1
1
5,01
21
−
−
−
=
−
−
−
=
zzzzz
z
AA
Y
Vậy :
)()(
)().()(
5,01 −
−

−
==
z
z
z
z
zzz HXY
Hệ xử lý số là TTBBNQ nên với
1[
||:)]( >zz
YRC
, theo bảng 2.3 nhận được :
)()()()()]([)(
0
5,0
nynynunuzIZTny
p
n
Y
−−==
=
Thành phần dao động tự do của phản ứng
)()( 5,0
0
nuny
n
−=
→ 0 khi n → ∞ , vì thế hệ đã cho ổn định, mặc dù
nó không thỏa mãn điều kiện ổn định [2.4-17]. Nguyên nhân là không điểm z
01

= 1,5 của tác động X(z) đã loại trừ cực điểm
z
p1
= 1,5 của hàm hệ thống H(z), làm cho dao động tự do y
0
(n) không còn thành phần mất ổn định ứng với
)(5,1 nu
n
.
Muốn xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo điều kiện ổn định [2.4-17], phải giải phương trình đặc trưng
D(z) = 0 để tìm tất cả các cực điểm của hàm hệ thống H(z). Giải các phương trình có bậc lớn hơn 3 là phức tạp, vì thế
người ta xây dựng các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ mà không cần giải phương trình D(z) = 0 .
2.4.2b Tiêu chuẩn ổn định Jury
Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo các hệ số của phương trình đặc
trưng D(z) = 0. Xét phương trình D(z) = 0 dưới dạng lũy thừa của
n
z
−
:
01
)1(
1
2
2
1
1
......)( =+++++=
−−−
−
−− N

N
N
N
zazazazazD
[2.4-18]
99