Tài liệu Chuyên đề bất đẳng thức Cauchy doc

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 1



M
M
Ụ
Ụ
C
C


L
L
Ụ
Ụ
C
C






M
M
Ụ
Ụ
C
C

L
L
Ụ
Ụ
C
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1


M
M
Ở
Ở


Đ
Đ
Ầ
Ầ

U
U
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2


N
N
Ộ
Ộ
I
I


D
D
U
U

N
N
G
G
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3




I
I
.
.


Ứ
Ứ
n
n
g
g

d
d
ụ
ụ
n
n
g
g


c
c
ủ
ủ
a
a


B
B
Đ
Đ
T
T


C
C
ơ
ơ

s
s
i
i


t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


c
c
h
h
ứ
ứ
n
n
g
g

m
m
i
i
n
n
h
h


B
B
Đ
Đ
T
T
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4

I
I
I
I
.
.


M
M
ộ
ộ
t
t


s
s
ố
ố


k
k
ỹ
ỹ

t
t
h
h
u
u
ậ
ậ
t
t


s
s
ử
ử


d
d
ụ
ụ
n
n
g
g

B
B
Đ
Đ
T
T


C
C
ơ
ơ
s
s
i
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
9
9






1
1
.
.


K
K
ỹ
ỹ


t
t

h
h
u
u
ậ
ậ
t
t


c
c
h
h
ọ
ọ
n
n


đ
đ
i
i
ể
ể
m
m

r
r
ơ
ơ
i
i


t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


c
c
/
/
m
m


c
c

á
á
c
c


B
B
Đ
Đ
T
T


c
c
ó
ó


đ
đ
i
i
ề
ề
u
u

k
k
i
i
ệ
ệ
n
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
9
9






2
2
.
.


K
K
ỹ
ỹ


t
t
h
h
u
u

ậ
ậ
t
t


t
t
á
á
c
c
h
h
-
-
g
g
h
h
é
é
p
p


C
C
ơ
ơ

s
s
i
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
1
1
3
3




I
I
I
I
I
I
.
.


Ứ
Ứ
n
n
g
g

d
d
ụ
ụ
n
n
g
g


c
c
ủ
ủ
a
a


B
B
Đ
Đ
T
T


C
C
ơ
ơ

s
s
i
i


t
t
r
r
o
o
n
n
g
g


b
b
à
à
i
i


t
t
o
o

á
á
n
n


M
M
a
a
x
x
-
-
M
M
i
i
n
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
5
5


K
K
Ế
Ế

T
T


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
0
0


T
T
À
À
I
I


L
L

I
I
Ệ
Ệ
U
U


T
T
H
H
A
A
M
M


K
K
H
H
Ả
Ả
O
O
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
1
1




Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 2



M
M
Ở

Ở


Đ
Đ
Ầ
Ầ
U
U





Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Tốn học.
Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Tốn học lớn, và cũng từ đó
nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Tốn học nổi tiếng
được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó nổi bật
hơn cả mà chúng khơng thể khơng nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Cơsi),
bởi vì BĐT Cơsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng
thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Tốn học cũng như trong nhiều lĩnh
vực khoa học tự nhiên khác.
Trong chương trình Tốn học phổ thơng, vấn đề bất đẳng thức được xem là
một nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu
hết chúng ta đều e ngại và khơng thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên, bài
tốn bất đẳng thức lại là một bài tốn hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG
cũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài
tốn BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay
sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và khơng còn e ngại vấn đề này
nhiều tốn học cũng như những người làm tốn đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và

hình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Cơsi, tơi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật
chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép
Cơsi”. Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất
nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn. Với mong muốn
trao đổi kiến thức chun mơn cũng như kinh nghiệm học tốn và dạy tốn cùng
đồng nghiệp, trong chun đề “Bất đẳng thức Cơsi và ứng dụng” này, tơi trình
bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuật
đó qua các ví dụ và bài tốn. Hy vọng đây là một tài liệu chun mơn có giá trị.






Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 3



N
N
Ộ
Ộ
I
I


D
D

U
U
N
N
G
G




 Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Cơsi cho hai số khơng âm:
Định lý 1: Cho hai số thực khơng âm a và b, ta có: 2
2
a b
ab

 (1)
Đẳng thức xảy ra
a b
 

(Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản). BĐT (1) còn có nhiều cách
biểu diễn khác như sau:
2 2
2
2 2
2
2 (2)
( )
(3)

2
(4)
2
a b ab
a b
a b
a b
ab
 

 

 

 
 

 BĐT Cơsi cho ba số khơng âm:
Định lí 2: Với ba số thực khơng âm a, b và c ta có:
3
(5)
3
a b c
abc
 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c
 

Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách. Sau đây là một số cách chứng
minh sáng tạo
Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số khơng âm
( , )
a b
và
3
( , )
c abc
ta được:
3 3
3 3
3
3
2 2
4 . 4
3
3
3
a b c abc ab c abc
ab c abc abc
a b c abc
a b c
abc
    
 
 
 
 

   
 
 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c
 


Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Cơsi cho bốn số a, b, c, d khơng âm.
Ta có
4
( ) ( ) 2 ( )( )
2 2 .2 4
a b c d a b c d a b c d
ab cd abcd
         
 

4
(*)
4
a b c d
abcd
  
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c d

  

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 4

Bây giờ, ta đặt
3
a b c
d
 
 . Ta có
4
4 4
4 3
3
4
3 3
4( )
4
3 3 3 3
3 3 3 3
a b c a b c
a b c abc
a b c a b c a b c a b c
abc abc
a b c a b c a b c a b c
abc abc abc
   
   
       

   
       
   
     
   
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c
 

 Tổng qt: Cho n số thực khơng âm
1 2
, , , .
n
a a a
Ta có
1 2
1 2
(6)
n
n
n
a a a
a a a
n
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2
n
a a a
  
.
(BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n).
 Một số chú ý khi sử dụng BĐT Cơsi:
i) Khi áp dụng BĐT Cơsi thì các số phải khơng âm.
ii) BĐT Cơsi thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh
có tổng và tích.
iii) Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau.

S
S
A
A
U
U


Đ
Đ
Â
Â
Y
Y


CHÚ
CHÚ

N
N
G
G


T
T
A
A


XÉ
XÉ
T
T


M
M
Ộ
Ộ
T
T


S
S
Ố Ứ
Ố Ứ

N
N
G
G


DỤ
DỤ
N
N
G
G


CỦ
CỦ
A
A


B
B
Đ
Đ
T
T


C
C

Ơ
Ơ
S
S
I
I



I. Ứng dụng của BĐT Cơsi trong chứng minh BĐT.
 Ví dụ 1: Cho hai số thực khơng âm a và b. Chứng minh:
( )( 1) 4
a b ab ab
  

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có:

2
1 2
a b ab
ab ab

 


 


. Suy ra
( )( 1) 2 .2 4

a b ab ab ab ab
    .
Đẳng thức xảy ra
1.
1
a b
a b
ab


   




 Ví dụ 2: Cho hai số thực khơng âm a và b. Chứng minh:
1 1
( ) 4.
a b
a b
 
  
 
 

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có:

2
1 1 2
a b ab

a b
ab

 


 


. Suy ra
1 1 2
( ) 2 . 4
a b ab
a b
ab
 
   
 
 
.
Đẳng thức xảy ra
.
a b
 

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 5

Nhận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau:
1 1 4

(I)
a b a b
 

hoặc
1 1 1 1
(I')
4a b a b
 
 
 

 
. Các BĐT này có rất nhiều ứng dụng trong việc chứng minh
các BĐT. Sau đây chúng ta xét một số ứng dụng đó:
 Bài tốn 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
    
 
  
 

Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có:
1 1 4 4 4
2 ( )
p a p b p a p b p a b c

    
      

Tương tự, ta cũng có:
1 1 4
p b p c a
 
 
và
1 1 4
p c p a b
  
 

Cộng các BĐT này vế theo vế, ta được:
1 1 1 1 1 1
2 4
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
p a p b p c a b c
 
 
    
 
 
  
 
 
 

     
 
  
 

Đẳng thức xảy ra
1 1 1
a b c
p a p b p c
       
  
đều (đpcm).
 Bài tốn 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2
a b b c c a a b c a b c a b c
    
        

Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có:
1 1 4 2
3 2 2 4 2 2
a b a b c a b c a b c
  
      

Tương tự, ta có:
1 1 2
3 2 2
b c a b c a b c

 
    
và
1 1 2
3 2 2
c a a b c a b c
 
    

Cộng ba BĐT trên ta có đpcm.
 Bài tốn 1.3: Cho
, , 0.
x y z

Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4
x y z x y z x y z x y z
 
    
 
     
 

Giải. Áp dụng BĐT (I’) ta có:
1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 ( ) ( ) 4 16
x y z x y x z x y x z x y z
   
     

   
      
   

Tương tự ta có:
1 1 1 2 1
2 16
x y z x y z
 
  
 
 
 
và
1 1 1 1 2
2 16
x y z x y z
 
  
 
 
 

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 6

Cộng các BĐT này ta được:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.
x y z
 

 Bài tốn 1.4: Cho a, b dương và
1.
a b
 
Chứng minh:
2 2
1
1 1 3
a b
a b
 
 

Giải. Ta có
2 2
1 1 1 1 1 1
( 2)
1 1 1 1 1 1
1 1
1
1 1
a b
VT a b
a a b b a b
a b
 

        
     
   
 

Mặt khác, theo BĐT (I’) ta có:
1 1 4 4
1 1 2 3
a b a b
  
   

Do đó,
4 1
1
3 3
VT
    
Đẳng thức xảy ra
1
2
a b
  
(đpcm).
 Ví dụ 3: Cho
, , 0.
a b c

Chứng minh rằng:
1 1 1

( ) 9.
a b c
a b c
 
    
 
 

Giải. Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có:
3
3
3
3
3
1 1 1 1
( ) 3 .3 9
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
a b c
abc
a b c
abc

  

 
      


 
  
 



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
a b c
 

Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau:
1 1 1 9
(II)
a b c a b c
  
 

hoặc
1 1 1 1 1
(II')
9a b c a b c
 
  
 
 
 
.
Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng qt thành BĐT sau:
“Cho n số thực dương

1 2
, , , .
n
a a a
Ta có
2
1 2 1 2
1 1 1
(III)
n n
n
a a a a a a
    
  
. Đẳng thức xảy ra
1 2
.
n
a a a
    
”
Bất đẳng thức (III) được sử dụng nhiều trong các bài tốn chứng minh BĐT.
Sau đây là một số ứng dụng của nó.
 Bài tốn 1.5: Cho ba số thực dương
, , .
a b c
Chứng minh rằng:
3
2
a b c

b c c a a b
  
  

1 1 1 1 4 4 4
2 2 2 16
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
 
    
 
     
 
 
     
 
     
 
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 7

Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương. Có nhiều cách để
chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Cơsi.
Cách 1: Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng minh như sau:

 
1 1 1 3
1 1 1

( ) 3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2
a b c
VT
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
b c c a a b
     
      
     
  
     
 
     
 
  
 
 
        
 
  
 

Do đó áp dụng BĐT (II) cho ba số
, ,
a b b c c a

  
ta có
1 3
9 3
2 2
VT
   

Đẳng thức xảy ra
.
a b b c c a a b c
       
BĐT được chứng minh.
Cách 2: Đặt
, ,
X b c Y c a Z a b
     
. Lúc đó ta có:
o
1
( )
2
a b c X Y Z
    

o ; ;
2 2 2
Y Z X Z X Y X Y Z
a b c
     

  
Do đó
1
3
2
X Y Z X Z Y
VT
Y X X Z Y Z
 
     
      
     
 
     
 
. Mà theo BĐT Cơsi ta
có
2, , 0.
x y
x y
y x
   

Suy ra
1 3
(2 2 2 3)
2 2
VT
    
(đpcm).

 Bài tốn 1.6: Cho
, , 0
a b c

và
1.
a b c
  
Chứng minh rằng:
3
1 1 1 4
a b c
a b c
   
  

Giải. Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1 1
a b c
VT
a b c a b c
     
 
      
 
     
 

Áp dụng BĐT (II) ta có:
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
a b c a b c
    
     

Do đó
9 3
3
4 4
VT
   
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
a b c
   

Nhận xét: Bài tốn trên là một trường hợp đặc biệt của bài tốn tổng qt sau:
“Cho n số thực dương
1 2
, , ,
n
a a a
và
1
1
n
i

i
a



. Khi đó, ta có:
1 2
1 2
1 1 1 1
n
n
a a a n
a a a n
    
   
”
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 8

BĐT này được chứng minh theo cách của bài tốn trên kết hợp với việc sử
dụng BĐT (III).
 Bài tốn 1.7: Cho ba số dương a, b, c sao cho
2 2 2
3
a b c
  
. Chứng minh
rằng:
1 1 1 3
1 1 1 2

ab bc ca
  
  

Giải. Ta có
2 2 2
3.
ab bc ca a b c
     
Áp dụng BĐT (II), ta có:
2 2 2
1 1 1 9 9 9 3
1 1 1 3 3 3 3 2
ab bc ca ab bc ca a b c
     
         

Bất đửng thức được chứng minh.
 Bài tốn 1.8: Cho x, y, z là ba số dương và
1
x y z
  
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
     

Giải. Trước hết ta có
2
2
1 1 1
( )VT x y z
x y z
 
     
 
 
(Hd: Sử dụng pp
véctơ)
Do đó
2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
( ) 81( ) 80( )
1 1 1
18( ) 80( ) 162 80 82
VT x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
   
              
   
   
 

          
 
 

Suy ra
82
VT 
. Đẳng thức xảy ra khi
1
3
x y z
   

 Bài tốn 1.9: Cho
, , 0
a b c

và
1.
a b c
  
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
30.
a b c ab bc ca
   
 

Giải. Áp dụng BĐT (II), ta có:

1 1 1 9
.
ab bc ca ab bc ca
  
 

Suy ra
2 2 2
2 2 2
1 9
1 1 1 7
VT
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
 
   
   
       

Mặt khác, ta có:
2
1 1 7
( ) 21
3 3
ab bc ca a b c
ab bc ca
       
 

Tiếp tục áp dụng BĐT (II), ta có:

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 9

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 9
2( )
1 1 1 9
9
( )
a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca a b c
  
          
    
       

Do đó
9 21 30
VT
  
. Đẳng thức xảy ra
1
3
a b c
    

II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cơsi trong chứng minh BĐT.
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện.
 Bài tốn 2.1: Cho a, là các số dương sao cho

1.
a b
 
Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a)
2 2
1
2
a b
 
, b)
4 4
1
8
a b
 
, c)
8 8
1
128
a b 
Giải. Các BĐT này có thể chứng minh như sau:
a) Áp dụng BĐT (2), ta có:
2
2 2
( ) 1
2 2
a b
a b


  

b) Áp dụng BĐT (2) hai lần liên tiếp, ta có:
2
2
2 2 2
4 4
( )
( ) 1
2
2 2 8
a b
a b
a b

 
 

 
   

c) Áp dụng BĐT ở b), ta có:
 
2
2
4 4
8 8
1
1

8
2 2 128
a b
a b
 
 

 
   
Nhận xét:
 Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng qt sau:
“Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
2 2
2 1
1
2
n n
n
a b

  , với mọi
*
n


”
BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n.
 Nếu thay giả thiết
1
a b

 
bằng giả thiết
a b

 
, ta có các BĐT sau:
a’)
2
2 2
2
a b

  b’)
4
4 4
8
a b

  c’)
8
8 8
128
a b

 
Và, ta cũng có BĐT tổng qt sau:
2
2 2
2 1
2

n
n n
n
a b


 

 Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trường
hợp số mũ của a và b là số chẵn. Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa
1
a b
 
, ta hãy xét các BĐT sau:
a)
3 3
1
4
a b
 
b)
5 5
1
16
a b
 
c)
9 9
1
256

a b 
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 10

Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
.
a b

Do đó nếu
1
a b
 
thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi
1
2
a b
 
. Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau:
a) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:

3 3
3
3 3
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 1

3 .
2 2 4
1 3 1
4 ( ) 6.
2 4 2
1 1 1
3 .
2 2 4
1 1
2
2 4
a a
a b a b
b b
a b

   
  

   
    
   
     

   
   
   

  
   


   

 
   
 
 

Đẳng thức xảy ra
1
2
a b
   

b) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:
5 5 5 5 4
5
5 4
5 5
5 5 5 5 4
5
5 5 5
5 5 5 5
1 1 1 1 1
5 .
2 2 2 2 2
1 1
8. 5( )
2 2
1 1 1 1 1

5 .
2 2 2 2 2
1 1 1
8. 10. 2
2 2 2
a a
a b a b
b b
a b a b

         
    

         
          
   
    

   
   
         

    
         

         

     
       
     

     
1
16

Đẳng thức xảy ra
1
2
a b
  
.
c) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:
9
9 8
9
9 8
8
9 9
9
9 8
9
8
9 9 9
9 9 9 9
1 1 1
9 .
2 2 2
1 1
16. 9( )
2 2
1 1 1

9 .
2 2 2
1 1 1 1
16. 18. 2
2 2 2 256
ht
ht
a a
a b a b
b b
a b a b

     
   

     
     


   
    

   
   

     
   
      
     



     
       
     
     



Đẳng thức xảy ra
1
2
a b
   

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 11

Tổng qt: Ta có bài tốn sau: “Cho a và b là hai số thực dương và
a b

 
. Khi
đó ta có
*
1 1
( )
. Hay , .
2 2
n n
n n n n

n n
a b
a b a b n

 

     

Đẳng thức xảy ra
2
a b

  
”
Chứng minh.

1
1
( 1)
1
( 1)
.
2 2 2
2( 1). ( )
2 2
.
2 2 2
2( 1). 2 .
2 2
n

n n
n
n n
n ht
n n
n
n n
n
n ht
n n
n n n
a na
a b n n a b
b nb
a b n n a
  
 
  
 






     
   

     
     



   
     

   
   

     
   
     

     


   
      
   
   


1
2
2 2
n
n
n
n
b
 


 
 
 
 

 Bây giờ ta thử tăng thêm một biến ở vế trái. Khi đó
với
, , 0; .
a b c a b c

   

Ta hãy xét cá BĐT sau:
a)
2 2 2
a b c A
  
b)
3 3 3
a b c B
  
c)
n n n
a b c N
  

Với kĩ thuật tương tự như trên ta hồn tồn có thể chỉ ra được
2
3

1
3
9
3
n
n
A
B
N

















 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng qt thành một bài tốn lớn:
Bài tốn: Cho k số thực dương
1 2
, , ,

k
a a a
thỏa
1 2
.
k
a a a

   
Chứng
minh rằng:
1 2
1
n
n n n
k
n
a a a
k


    . Hay
1 2 1 2
n
n n n
k n
a a a a a a
k k
       
 


 
 
với mọi
*
.
n


Đẳng thức xảy ra khi
nào?
Chứng minh.
Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 12

1
1 1
( 1)
1
2 2
( 1)
1
( 1)
.
.
.
n n n
n
n ht

n n n
n
n ht
n n n
n
k k
n ht
a na
k k k
a na
k k k
a na
k k k
  
  
  







     
    

     
     




     

    
     

     


   

     

    
     

     




1
1 1
1 2
1
1 1
( 1). .
( 1).
n n
k k

n
i i
i i
n n n
n
k k
n n n n n
i i k
n
i i
a k n n a
k k
a k n kn a a a a k
k k k k
 
   

 

 
   
   
   
   

     
           
     
     
 

 

Hay
*
1 2 1 2
, .
n n
n n n
k k
a a a a a a
n
k k k

    
   
   
   
   

(IV)
Đẳng thức xảy ra
1 2 k
a a a
k

    
.
BĐT (IV) được sử dụng rất nhiều trong chứng minh các BĐT.

2. Kĩ thuật tách-ghép Cơsi.

 Bài tốn 2.2: Cho
, , 0.
a b c

Chứng minh rằng:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a c
 
  
  

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:
2 2
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
 
   
 

Tương tự, ta có:
2 2
&
.
4 4
b c a c a b

b c
c a a b
 
   
 

Cộng các BĐT trên ta được:
2 2 2
2 2 2
2
2
a b c a b c
a b c
b c c a a c
a b c a b c
b c c a a c
 
     
  
 
   
  

Đẳng thức xảy ra
.
a b c
  

Nhận xét:
 Trong bài tốn trên, tại sao chúng ta lại ghép

2
?
4
a b c
b c



Mục đích của
việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì VP của BĐT là một biểu thức
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 13

khơng chứa biến ở mẫu. Nhưng tại sao lại ghép
2
a
b c

với
4
b c

chứ khơng
phải là hay
2
b c
b c

 ,…điều này xuất phát từ điều kiện để BĐT xảy ra đó
là

.
a b c
 

 Nếu
1
abc

thì
3
a b c
  
nên BĐT trở thành
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a c
  
  

 Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng minh BĐT.
 Bài tốn 2.3: Cho
, , 0 & 1.
a b c abc
 
Chứng minh rằng
3 3 3
3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4

a b c
a b b c c a
  
     

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số thực dương ta có:
3 3
3
1 1 1 1 3
3
( 1)( 1) 8 8 ( 1)( 1) 8 8 4
a a b a a b a
a b a b
   
   
   

Tương tự ta có:
3
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
b b c b
b c
 
  
 
và
3
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4

c c a c
c a
 
  
 

Cộng ba BĐT ta được:
3 3 3
3 3 3
3
3 3
( )
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4
2( ) 3 2.3 3 3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4 4
a b c a b c
a b c
a b b c c a
a b c a b c abc
a b b c c a
  
     
     
   
     
     

Đẳng thức xảy ra
.
a b c

  

 Bài tốn 2.4: Cho
, , 0.
a b c

Chứng minh rằng:
4 4 4
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
  
  

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi ta cho bốn số dương ta có:
4 4
4
2 2
4 2
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
a b b c a a b b c a
a
b c a b c a
 
       
 

Tương tự, ta có:

4 4
4
2 2
4 4
4
2 2
4 2 ;
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
4 2 .
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
b c c a b b c c a b
b
c a b c a b
c a a b c c a a b c
c
a b c a b c
 
       
 
 
       
 

Cộng các BĐT trên ta được:
2( )
2 2
a b c a b c
VT a b c a b c VT
   
        

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 14

4 4 4
2 2 2
Hay
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
  
  
. Đẳng thức xảy ra
.
a b c
  

 Bài tốn 2.5: Cho
, , 0
x y z

và
1
xyz

. Chứng minh rằng:
3 3 3
x y z x y z
    

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số thực khơng âm, ta có:
3 3
3
1 1 3. 3
x x x
   
. Tương tự ta có:
3 3 3 3
3
3
1 1 3. 3 & 1 1 3. 3
y y y z z z
       

Cộng các BĐT này ta được:
3 3 3
6 3( )
x y z x y z
     

Mặt khác:
3
3 3 2( ) 6
x y z xyz x y z
       

Do đó
3 3 3
3 3 3
3 3 3

6 3( )
6 2( )
.
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
     
         
     

Đẳng thức xảy ra
1.
x y z
   

Nhận xét:
 Xuất phát từ
3
3
x x

nên ta áp dụng BĐT Cơsi cho ba số có dạng
3
x a a
 
.
Do đẳng thức xảy ra khi
1
x y z
  

nên
1.
a


 Tổng qt, ta có bài tốn sau:
“Cho k số thực
1 2
, , ,
k
a a a
khơng âm và có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1 2 1 2
, .
m m m n n n
k k
a a a a a a m n
          
”
Giải. Với mỗi
1,
i k

. Ta áp dụng BĐT Cơsi cho m số, gồm n số
m
i
a
và
( )
m n


số 1, ta có:
( )
( ) 1 1 .
m m m mn n
m
i i i i i
m n
n
na m n a a m a ma

         


. Cho i chạy từ 1 đến
k rồi lấy tổng hai vế các BĐT đó, ta được:
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )( )
m m m n n n n n n
k k k
n a a a k m n n a a a m n a a a
               

Mà
1 2 1 2 1 2
. ( )( ) ( )
n n n n n n n n n
k
k k k
a a a k a a a k m n a a a m n k

             
Do đó
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
m m m n n n
k k
m m m n n n
k k
n a a a n a a a
a a a a a a
     
         

Đẳng thức xảy ra
1 2
1.
k
a a a
     
BĐT được chứng minh.
 Bài tốn 2.6: Cho a, b và c là ba số dương sao cho
1
abc

. Chứng minh
rằng:
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 15

1 1 1 27
1 1 1 8
a b c
a b c
     
     
     
  
     

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có:

1 1
1
1 3
4 1
3 3 3 1 2
4 4 2
a
a
a a
a a
a


 



  




 


. Tương tự ta có:

1 3 1 3
&
1 2 1 2
b b c c
b c
   
 
. Nhân các BĐT này vế theo vế, ta được:
1 1 1 27 27
1 1 1 8 8
a b c abc
a b c
     
      
     
  
     

Đẳng thức xảy ra
1.
a b c
   

BĐT được chứng minh.
III. Ứng dụng của BĐT Cơsi trong bài tốn Max-Min.
 Bài tốn 3.1: Cho ba số dương x, y, z thỏa
1.
x y z
  
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
A x y z
x y z
     

Giải. Theo BĐT Cơsi ta có:

1 1 1 1 1
1 1
9
8 1 1 1
8
9
x y z
x y z x y z
x y z
 
       
 
 
 
 

   
 
 

Và
1 2 1 2 1 2
, ,
9 3 9 3 9 3
x y z
x y z
      
Từ đó ta có:
1 1 1 8 1 1 1 2 2 2
8 10
9 9 9 9 3 3 3
A x y z
x y z x y z
   
   
             
   
   
   
   

Đẳng thức xảy ra
1
3
x y z
   

Vậy
min
10
A

đạt được khi
1
3
x y z
   

 Bài tốn 3.2: Cho ba số dương x, y, z thỏa
1.
xyz

Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3 3 3 3
3 3
1 1
1
x y y z
z x
P
xy yz zx
   
 
  

Giải. Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có:
3 3
3 3 3 3
3
1
3
1 3 3
x y
x y x y xy
xy
xy
 
     
. Tương tự, ta có:
3 3
3 3
1
3 1 3
,
y z
z x
yz zx
yz zx
 
 
 

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 16

Cộng các BĐT trên ta được:
3 3 3 3
3 3
3
3
1 1
1 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3.
x y y z
z x
P
xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx xyz
   
 
     
    

Đẳng thức xảy ra
1.
x y z
   

Vậy
min
3 3
P  đạt được khi
1.

x y z
  

 Bài tốn 3.3: Cho ba số
, ,
x y z
thỏa
0.
x y z
  
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3 4 3 4 3 4
x y z
A
     

Giải. Ta có
84 4
3 4 1 1 1 4 4 4 3 4 4 4 2 4
x x x x x x
         
Tương tự ta có:
8 8
3 4 2 4 , 3 4 2 4
y y z z
   
.
Do đó



3
8 8 8 8 8 8
3
8
3 4 3 4 3 4 2 4 4 4 6 4 4 4
6 4 6
x y z x y z x y z
x y z 
          
 

Đẳng thức xảy ra
0.
x y z
   

Vậy
min
6
A

đạt được khi
0.
x y z
  

 Bài tốn 3.4: Cho
, 0.
x y


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
9
(1 ) 1 1
y
B x
x
y
 
 
   
 
 
 
 
 

Giải. Ta có
3 3
4 4
3 3 3
3 2
6
4
4
3
1 1 4 , 1 1 4 ,
3 3 3 3 3 3 3 3
9 3 3 3 3 9 3

1 1 4 1 16
x x x x y y y y y
x
x x x x x
y
y y y y y y
           
   
        
   
   
   

Do đó ta có
2
3 3 6
4
3 3 3 3
9 3
(1 ) 1 1 256 256
3 3
y x y
B x
x x y
y
 
 
       
 
 

 
 
 

Vậy
min
256
B

khi
3
9
x
y





.
 Bài tốn 3.5: Cho ba số dương x, y, z thỏa
3
4
x y z
  
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
3
3 3
3 3 3

P x y y z z x
     

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 17

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
3
3
3
3 1 1 1
( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
3 1 1 1
( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
3 1 1 1
( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
x y
x y x y
y z
y z y z
z x
z x z x
  
    
  
    
  

    

Suy ra
 
3
3 3
1
3 3 3 4( ) 6 3
3
P x y y z z x x y z
          
.
Đẳng thức xảy ra
1
4
x y z
    
Vậy
ax
3
m
P

đạt được khi
1
4
x y z
   

 Bài tốn 3.6: Cho

, ,
x y z
là ba số dương thỏa
1.
xyz

Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
Q
x y z y z x z x y
  
  

Giải. Đặt
1 1 1
, ,a b c
x y z
  
. Ta có
, , 0
a b c

và
1.
abc


Khi đó
2 2 2
a b c
Q
b c c a a b
   
  
Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
2 2 2
, ,
4 4 4
a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
  
     
  

Cộng các BĐT này ta được
3
3 3
2 2 2 2
a b c a b c abc
Q a b c Q
   
       

Đẳng thức xảy ra
1 1.
a b c x y z

       

Vậy
min
3
2
Q

đạt được khi
1.
x y z
  

 Bài tốn 3.7: Cho x, y, z là ba số dương và
6
x y z
  
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
x y z
S
y z z x x y
  
  

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
3 3
3
3 3

3
3 3
3
2 3 2 3 ,
2 2
2 3 2 3 ,
2 2
2 3 2 3
2 2
x y z x y z
x
y z y z
y z x y z x
y
z x z x
z x y z x y
z
x y x y
 
     
 
 
     
 
 
     
 

Cộng các BĐT trên ta có:
6 3( ) 2( ) 6 6

S x y z x y z S x y z
            

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 18

Đẳng thức xảy ra
2.
x y z
   

Vậy
min
6
S

đạt được khi
2.
x y z
  

 Bài tốn 3.8: Cho x, y, z dương thỏa
2 2 2
12
a b c
  
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
1 1 1

K
ab bc ca
  
  

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
1 1 2 1 1 2 1 1 2
, ,
1 25 5 1 25 5 1 25 5
ab bc ca
ab bc ca
  
      
  

Và
2 2 2
.
a b c ab bc ca
    
Do đó
2 2 2
3 6 3 6
25 25 5 25 25 5
3 12 6 3
25 25 5 5
ab bc ca a b c
K K
K K
   

      
     

Vậy
min
3
5
K

đạt được khi
2.
a b c
  

 Bài tốn 3.9: Cho x, y là các số dương thỏa
5
4
x y
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
4 1
4
S
x y
 

Giải. Ta có

5

5
4 1 1 1 1 1 1 1 5
5
4 4 . . . .4
. . . .4
5.5 25
5
4 4( )
S
x y x x x x y x x x x y
x x x x y
x x x x y x y
        
  
    

Tức là
5
S

. Đẳng thức xảy ra
4 1
5 1
4 4
x y x
x y y
 
 
 
 

 
  
 
 

Vậy
min
5
S

đạt được khi
1
1
4
x
y








 Bài tốn 3.10: Cho a, b, c là ba số dương thỏa
2 2 2
1.
a b c
  
Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức:
bc ac ab
A
a b c
  
Giải. Ta có
2 2 2
2 2 2 2
2( )
bc ac ab
A a b c
a b c
     
     
     
     
.
Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 19

2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 , 2 , 2
bc ac ac ab ab bc
c a b
a b b c c a
           
     
           

           

Cộng các BĐT này ta được:
2 2 2
2 2 2
bc ac ab
a b c
a b c
     
    
     
     

Suy ra
2 2 2 2
3( ) 3 3
A a b c A      . Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c  

Vậy
min
3.
A 
 Bài tốn 3.11: Cho ba số a, b, c dương thỏa
6.
a b c
  
Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
1 1 1K
a b c
   
   
   
   

Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương ta có:
3 3 3
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
, ,
8 8 4 8 8 4 8 8 4
a a b b c c
         . Do đó


3 3 3
1 3 1 1 3 1 1 3 1
1 1 , 1 1 , 1 1
4 4 4
a a b b c c
     
        
     
     
. Nhân ba BĐT thức
này ta được:

27 1 1 1
1 1 1
64
K
a b c
   
   
   
   
. Tiếp tục áp dụng BĐT Cơsi ta có:

3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 ,1 3 ,1 3
2 2 4 2 2 4 2 2 4
a a a b b b c c c
              
Suy ra
3
27 27 27.27.3 27.27.3 729
64 64.4( ) 64.4.6 512
4
K
a b c
abc
    
 
. Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
2.

a b c
  

Kết luận:
min
729
512
K  đạt được khi
2.
a b c
  



Hết
Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 20


K
K
Ế
Ế
T
T


L
L
U

U
Ậ
Ậ
N
N




Trong chun đề này, chúng ta đã đi nghiên cứu và sử dụng hai kỹ thuật đặc
sắc trong chứng minh BĐT và ứng dụng của nó trong bài tốn Max-Min đại số.
Như chúng ta đã biết, BĐT Cơsi là một BĐT khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng
rộng rãi của nó. Ngồi việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại
số, BĐT Cơsi còn được sử dụng trong các các bài chứng minh BĐT lượng giác hay
các bài tốn cực trị Hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên
trong chun đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến.
BĐT là một nội dung Tốn học khá rộng, càng đi sâu chúng ta càng thấy
được sự thú vị cũng như cảm nhận được ngày càng rõ sự phức tạp của nó. Mặc dù
đã cố gắng rất nhiều nhưng nhũng gì được đề cập trong chun đề này chắc chắn
còn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân thành của q thầy cơ và các
bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chun đề được hồn
thiện hơn.

Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng”
MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 21



T
T

À
À
I
I


L
L
I
I
Ệ
Ệ
U
U


T
T
H
H
A
A
M
M


K
K
H
H

Ả
Ả
O
O





[1]. Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài tốn Bất đẳng thức, NXB Trẻ, 1996.
[2]. Nguyễn Vũ Thanh, Bất đẳng thức và GTLN-GTNN, NXB Tổng hợp
Đồng Tháp, 1994.
[3]. Nguyễn Tất Thu, Chun đề GTLN và GTNN, Trường THPT Lê Hồng
Phong, Đồng Nai.
[4]. Nguyễn Phú Khánh, Một số phương pháp chứng minh BĐT, website