Chuyên đề: Bất đẳng thức Cauchy

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY
1. Bất đẳng thức CauChy:
a) Cho
a+b
0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho
3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a +...+a
0, 0, ... , 0 . ...
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
1 2
...= = =
n
a a a

2. Ví dụ:
1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:
a)
2+ ≥
a b
b a
b)
( ) ( )
1 4+ + ≥a b ab ab
2) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc
với a, b, c không âm.
3) Chứng minh:
3 9
4
2 3 4 9+ + ≥a b c abc
4) Chứng minh:
+ + ≥ + +
xy yz zx
x y z
z x y
với x, y, z > 0
5) Chứng minh: a)
3
2
+ + ≥

+ + +
a b c
b c c a a b
với a, b, c > 0
b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a)
( )
1 1
4
 
+ + ≥
 ÷
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥

 ÷
 
a b c
a b c
c)
2 2 2
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
d)
( )
( )
2 2 2
9+ + + + ≥a b c a b c abc
e)
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
f)
4 4 4 9
2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +a b c a b c a b c a b c
g)
1 1 1
+ + ≥ + +
a b c
bc ca ab a b c
2) Cho
1 2
, ,...,

n
a a a
là các số thực dương thoả
1 2
. ... 1=
n
a a a
. Chứng minh:
( ) ( )
( )
1 2
1 1 ... 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
4) Chứng minh:
1
! ; n N
2
+
> ∈
n
n

n
5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh:
( ) ( ) ( )
8
.
729
x y y z z x xyz+ + + ≤
6) Cho
1; b 1≥ ≥a
Chứng minh rằng:
1 1− + − ≤a b b a ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh:
6+ + + + + ≤a b b c c a
8) Chứng minh
( ) ( ) ( )
8+ + + ≥x y y z z x xyz
với x, y, z > 0
9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh
1 1 1
3
2 2 2
+ + +
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
n n n
x y z
10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh
3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx

11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh
8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c
12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2
− +
+ ≥
a a
13) Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh

2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
+ + ≥
+ +x y z x y z
16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có:
3 3 2
3 17 18+ ≥x y xy
17) Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
4
5 4 3 6
1
4
+ + − −
≤
+ + +
a b c d
a b c d
với
5, 4, 3, 6a b c d> − > − > >
18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh
( )
( )
2 2 2
1 1 1 3
2
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
+ + +

 
a b c a b c
a b b c c a
19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
  
 
x y z
y z x
20) Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
¡
21) Chứng minh
8
6 >1
1

x
x
x
+
≥ ∀
−
22) Cho n số
1 2
, ,...,
n
a a a
không âm thoả
1 2
... 1+ + + =
n
a a a
. Chứng minh
1 2 1 3 1
1
. . ... .
2
−
−
+ + + ≤
n n
n
a a a a a a
23) Chứng minh
+
1

1 , 2
n
n n n
n
< + ∀ ∈ ≥¢
24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh :
1 1 1
1 1 1 64
 
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
 
x y z
25) Cho
0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z
và
1 1 1
1
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
. Chứng minh
1
8
≤xyz
26) Chứng minh:
1
1 1

1 1 ;
1
n n
n
n n
+
   
+ ≤ + ∀ ∈
 ÷  ÷
+
   
¥
27) Chứng minh
( )
+
1.3.5... 2 1
n
n n n− < ∀ ∈ ¢
28) Cho
2 2
1+ =x y
Chứng minh
2 2− ≤ + ≤x y
29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa
3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x
. Chứng minh
2 3 4
2 3 2 2 6
4 6
− + − + −

+ +
≤
xy z yz x zx y
xyz
30) Cho
( ) ( )
( ) 4 5= + −f x x x
với
4 5
− ≤ ≤
x
. Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
31) Tìm GTNN của các hàm số sau:
a)
3
( ) = +f x x
x
với x > 0 b)
1
( )
1
= +
−
f x x
x
với x > 1
32) Cho
0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x
. Tìm GTLN của
( ) ( ) ( )

3 4 2 3= − − +A y x y x
33) Tìm GTLN của biểu thức:
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
với
3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của
1 1 1
= + +
+ + +
x y z
P
x y z
(ĐHNT-1999)
35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết
, , 0a b c >
:
1.
5 5 5

3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2.
5 5 5
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
3.
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a
+ + ≥ + +
4.
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
5.
3 3 3
2 2 2

1
( )
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
6.
3 3 3
2 2 2
1
( )
4
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
7.
3 3 3
1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +

37) Cho
, ,x y z
là ba số dương thỏa mãn
1xyz =
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2005)
38) Cho
, ,x y z
là các số dương. Chứng minh rằng
4 4 4
3 3 3
1
( )
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +
+ + +
(ĐH 2006)
39) Giả sử
,x y
là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

5
4
x y+ =
. Tìm GTNN của biểu thức
4 1
4
S
x y
= +
(ĐH 2002)
40) Cho
, ,x y z
là các số dương và
1x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
(ĐH 2003)
41) Cho
, ,x y z
là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng:

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(ĐH 2005)
42) Chứng minh rằng với mọi
x
∈
¡
thì
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
(ĐH 2005)
43) Cho
, ,x y z
là các số dương thỏa mãn
1xyz =
. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
3 3
1 1
1

3 3
x y y z
z x
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
(ĐH 2005)
44) Chứng minh rằng với mọi
, 0x y >
thì
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x
y
 
 
+ + + ≥
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
(ĐH 2005)
45) Cho
, ,x y z
thỏa mãn

0x y z+ + =
. Chứng minh
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
(ĐH 2005)
46) Cho
, ,a b c
là ba số dương thỏa mãn
3
4
a b c+ + =
. Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
(ĐH 2005)
47) Cho
, ,x y z
thỏa mãn
3 3 3 1
x y z− − −
+ + =
. Chứng minh
9 9 9 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y+ + +
+ +
+ + ≥

+ + +
(ĐH 2006)
48) Tìm GTNN của hàm số
2
11 7
4 1 ( 0)
2
y x x
x
x
 
= + + + >
 ÷
 
(ĐH 2006)
49) Cho
,x y
là hai số dương thỏa mãn điều kiện
4x y+ ≥
. Tìm GTNN của biểu thức
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x
y
+ +
= +

(ĐH 2006)
50) Ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn
1 1 1
3
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥
(ĐH 2001)
51) Giả sử
x
và
y
là hai số dương và
1x y+ =
. Tìm GTNN của
1 1
x y
P
x y
= +
− −
(ĐH 2001)
52) Cho hai số thực
0, 0x y≠ ≠
thỏa mãn
2 2
( )x y xy x y xy+ = + −

. Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
(ĐH 2006)
53) Chứng minh rằng nếu
0 1y x≤ ≤ ≤
thì
1
4
x y y x− ≤
(ĐH 2006)