Tài liệu Tuyển tập các câu hỏi hàm số thi đại học qua các năm doc

 1. Chứng minh rằng hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 3x không có cực trị.
 2. Chứng minh rằng hàm số y = x
2
+ |x| có cực tiểu tại x = 1, mặc dù nó không có đạo hàm ngay
tại điểm đó.
 3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai
điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1).
 4. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
ĐS. m = 1.
 5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 −m
2
)x + m
3
−m
2

. Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai diểm cực trị của đồ thị hàm số.
ĐS. y = 2x − m
2
+ m.
 6. (B, 2002) Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2
− 9)x
2
+ 10. Tìm để m hàm số có ba điểm cực trị.
ĐS. m < −3; 0 < m < 3.
 7. (Dự bị 2002) Cho hàm số y = (x − m)
3
− 3x. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0 .
ĐS. m = −1.
 8. (Dự bị 2002) Cho hàm số y =
x
2
+ mx
1 − x
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số bằng 10?
ĐS. m = 4.
 9. (A, 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y = mx +

1
x
(m là tham số).
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
√
2
.
ĐS. m = 1.
 10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + m + 1
x + 1
(m là tham
số).
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
 11. (Dự bị 2005) Gọi (C

m
) là đồ thị của hàm số y =
x
2
+ 2mx + 1 − 3m
2
x − m
(m là tham số).
Tìm m để đồ thị (C
m
) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
ĐS. −1 < m < 1.
1
 12. Cho hàm số y =
x
2
+ mx + 3
x + 1
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
số ở về hai phía của đường thẳng (d) : 2x + y − 1 = 0.
ĐS. −3 − 4
√
3 < m < −3 + 4
√
3.
 13. (Dự bị 2004) Cho hàm số y =
x
2
− 2mx + 2

x − 1
.
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB
song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0.
ĐS. m <
3
2
.
 14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x
3
+ (1 − 2m)x
2
+ (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
ĐS. m < −1;
5
4
< m <
7
5
.
 15. Cho hàm số y = x
4
−2mx
2
+ m −1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác đều.
ĐS. m =
3
√

3.
 16. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị
tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
 17. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 3m(m + 2)x + 1. Chứng minh rằng hàm số
luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các
điểm có hoành độ dương.
ĐS. m > 0.
 18. Cho hàm số y =
x
2
− (m + 3)x + 3m + 1
x − 1
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số cùng âm.
ĐS.
1
2
< m < 1; m > 5.
 19. (A, 2007) Cho hàm số
y =
x
2

+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m
x + 2
, m là tham số. (1)
Tìm m để hàm số (5) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
ĐS. m = 0, m = −4 ±
√
24.
 20. (B, 2007) Cho hàm số
y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1 (m là tham số). (2)
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6).
b) Tìm m để hàm số (6) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (6) cách đều gốc
toạ độ.
ĐS. b) m = ±
1
2
.
 21. (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m +
m

x − 2
có đồ thị là (C
m
).
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
(b) Tìm m để đồ thị (C
m
) có các điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ
O.
 22. (Dự bị B, 2007) Cho hàm số y = −x + 1 +
m
2 − x
có đồ thị là (C
m
).
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
(b) Tìm m để đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Gọi A là điểm cực đại của (C
m
),
tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại A cắt trục tung Oy tại điểm B sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông cân.
 23. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2

− 6x + 6 = 2x − 1;
b) (Khối D, 2006)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0;
c) (x + 5)(2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x;
d) (Dự bị 2005)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4;
e)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
;
f)

√
2x
2
+ 5x + 2 − 2
√
2x
2
+ 5x − 6 = 1;
g) (Khối D, 2004)
2

x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4;
h)

x + 2
√
x − 1 +

x − 2
√
x − 1 =
x + 3
2
.
 24. Tìm m để phương trình
√

2x
2
+ mx = 3 − x có nghiệm duy nhất.
 25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
.
 26. (A, 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3
√
x − 1 + m
√
x + 1 = 2

4
√
x
2
− 1.
 27. Giải phương trình
3
√
x + 1 −
3
√
x − 1 =
6
√
x
2
− 1.
 28. (Khối B, 2006) Tìm m để phương trình
√
x
2
+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt.
 29. (Khối B, 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt:
x
2
+ 2x − 8 =

m(x − 2).
 30. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3
(a)
√
x + 3 +
√
6 − x −

(x + 3)(6 − x) = m;
(b)
√
x + 1 +
√
3 − x −

(x + 1)(3 − x) = m;
(c) x
2
−
√
4 − x
2
+ m = 0;
 31. (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình

x − 3 − 2
√
x − 4 +

x − 6
√

x − 4 + 5 = m có đúng
hai nghiệm.
 32. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình
4
√
x
2
+ 1 −
√
x = m có nghiệm.
 33. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình
4
√
x
4
− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
 34. (Dự bị 2, khối D, 2006) Giải phương trình x + 2
√
7 − x = 2
√
x − 1 +
√
−x
2
+ 8x − 7 + 1.
 35. (Dự bị, khối B, 2006) Giải phương trình
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2

√
3x
2
− 5x + 2.
 36. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4
x
− 2
x+1
+ 2(2
x
− 1) sin(2
x
+ y −1) + 2 = 0.
 37. Giải bất phương trình
a)
√
x
2
− 2x − 15 < x − 2;
b)
√
−x
2
+ 6x − 5  8 − 2x;
c)
√
8x
2
− 6x + 1 − 4x + 1  0;
d)

√
x
2
− 4x + 5 + 2x  3;
e)

(x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1);
f) (A, 2004)

2(x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
g) (x + 1)(x + 4) < 5
√
x
2
+ 5x + 28;
h) x
2
+
√
2x

2
+ 4x + 3  6 − 2x;
i) 2x
2
+
√
x
2
− 5x − 6 > 10x + 15;
j) (A, 2005)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4;
k)
√
2x + 7 −
√
5 − x 
√
3x − 2;
l)
2
x−1
+ 4x − 16
x − 2
> 4.
m) x

2
+
√
2x
2
+ 4x + 3  6 − 2x;
n) 9
x
2
−2x
− 2

1
3

2x−x
2
 3;
 38. (Dự bị A, 2007) Tìm m để bất phương trình m

√
x
2
− 2x + 2 + 1

+ x(2 − x)  0 có nghiệm
x ∈ [0; 1 +
√
3].
 39. Giải các phương trình sau

a) 3.16
x
+ 37.36
x
= 26.81
x
.
b) 3
2x
2
+6x−9
+ 4.15
x
2
+3x−5
= 3.5
2x
2
+6x−9
.
c) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
.
d) 5.2
3x−3
− 3.2

5−3x
+ 7 = 0.
e)


5 + 2
√
6

x
+


5 − 2
√
6

x
= 10.
f)


4 −
√
15

x
+



4 +
√
15

x
= (2
√
2)
x
.
g) 8.4
1/x
+ 8.4
−1/x
−54.2
1/x
−54.2
−1/x
= −101.
h) 5
3x
+ 9.5
x
+ 27(5
−3x
+ 5
−x
) = 64.
i) 1 + 3
x/2

= 2
x
.
j) 2
x−1
− 2
x
2
−x
= (x − 1)
2
.
k) 3
log
2
x
= x
2
− 1.
 40. (D, 2007) log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) + 2 log
2
1
4.2
x

− 3
= 0.
4
 41. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
3x+1
− 7.2
2x
+ 7.2
x
− 2 = 0.
 42. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log
3
(x − 1)
2
+ log
√
3
(2x − 1) = 2.
 43. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2 − log
3
x). log
9x
3 −
4
1 − log
3
x
= 1.
 44. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log
4

(x − 1) +
1
log
2x+1
4
=
1
2
+ log
2
√
x + 2.
 45. (Dự bị D, 2006) log
3
(3
x
− 1) log
3
(3
x+1
− 3) = 6.
 46. (Dự bị B, 2006) log
√
2
√
x + 1 − log
1
2
(3 − x) − log
8

(x − 1)
3
= 0.
 47. (BKHN, 2000) log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
√
2
√
4 − x + log
8
(4 + x)
3
.
 48. (Dự bị, 2002)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x − 1)
8
= log

2
(4x).
 49. (Phân viện Báo chí Tuyên truyền, 2002)
log
27
(x
2
− 5x + 6)
3
=
1
2
log
√
3

x − 1
2

+ log
9
(x − 3)
2
.
 50. (Dự bị D, 2006) 2(log
2
x + 1) log
4
x + log
2

1
4
= 0.
 51. (Dự bị A, 2006) log
x
2 + 2 log
2x
4 = log
√
2x
8.
 52. (A, 2007) 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3)  2.
 53. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (log
x
8 + log
4
x
2
) log
2
√
2x  0.
 54. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log
1/2
√

2x
2
− 3x + 1 +
1
2
log
2
(x − 1)
2

1
2
.
 55. (CĐSP Quảng Bình) log
1/2
(x − 1) + log
1/2
(x + 1) − log
1/
√
2
(7 − x) = 1.
 56. (B, 2006) log
5
(4
x
+ 144) − 4 log
5
2 < 1 + log
5

(5
x−2
+ 1).
 57. (CĐTCKT 2006) 3

log
1/2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
 58. (Dự bị B, 2003) log
1
2
x + 2 log
1
4
(x − 1) + log
2
6  0.
 59. (Dự bị, 2006) log
x+1
(−2x) > 2.
 60. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)

log
2
0,5
x + 4 log

2
√
x 
√
2(4 − log
16
x
4
).
 61. (Dự bị, 2005) 9
x
2
−2x
− 2

1
3

2x−x
2
 3.
 62. (Dự bị, 2002) log
1
2
(4
x
+ 4)  log
1
2
(2

2x+1
− 3.2
x
).
 63. (D, 2006) 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
5
 64. (A, 2006) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
 65. (B, 2007) (
√
2 − 1)
x
+ (

√
2 + 1)
x
− 2
√
2 = 0.
 66. (D, 2003) 2
x
2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
 67. (Dự bị B, 2006) 9
x
2
+x−1
− 10.3
x
2
+x−2
+ 1 = 0.
 68. (CĐSPHN, A, 2002) 4
x−
√
x
2
−5
− 12.2

x−1−
√
x
2
−5
+ 8 = 0.
 69. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 3
2x
2
+2x+1
− 28.3
x
2
+x
+ 9 = 0.
 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4
log
2
2x
− x
log
2
6
= 2.3
log
2
4x
2
.
 71. (Dự bị, 2004) log

π
4

log
2
(x +
√
2x
2
− x)

< 0.
 72. (CĐKT, 2005) Tìm tập xác định của hàm số y =

log
√
5
(x
2
−
√
5x + 2).
 73. 2.[log
121
(x − 2)]
2


log
1

11
(
√
2x − 3 − 1)

.

log
1
11
(x − 2)

.
 74. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log
1/3
(x − 1) + log
1/3
(2x + 2) + log
√
3
(4 − x) < 0.
 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log
4
(3
x
− 1). log
1
4
3
x

− 1
16

3
4
.
 76. (Dự bị, 2004)
2
x−1
+ 4x − 16
x − 2
> 4.
 77. (Dự bị, 2004) 2x
1
2
log
2
x
 2
3
2
log
2
x
.
 78. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2
(log
2
x)
2

+ x
log
2
x
 4.
 79. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 3
2x+4
+ 45.6
x
− 9.2
2x+2
 0.
 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4
x
+ 2.25
x
 7.10
x
.
 81. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9
1+
√
1−t
2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0.

 82. (Dự bị 1, B, 2003) Tìm m để phương trình 4(log
2
√
x)
2
−log
1
2
x+m = 0 có nghiệm thuộc khoảng
(0; 1).
 83. (Cao đẳng Giao thông, 2003) Tìm m để phương trình 3
4−2x
2
−2.3
2−x
2
+ 2m −3 = 0 có nghiệm.
 84. (A, 2002) Cho phương trình
log
2
3
x +

log
2
3
x + 1 − 2m − 1 = 0. (3)
(a) Giải phương trình (3) khi m = 2.
(b) Tìm m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√

3
].
 85. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
9
1+
√
1−x
2
− (a + 2).3
1+
√
1−x
2
+ 2a + 1 = 0.
6
1 Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x + y + xy = 11,
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28;
b)

x + y = 4,
(x
2

+ y
2
) (x
3
+ y
3
) = 280;
c)


x
2
+ y
2
+
√
2xy = 8
√
2,
√
x +
√
y = 4;
d)




x
y

+

y
x
=
5
2
,
x
2
+ y
2
+ xy = 21;
e)

3(
√
x +
√
y) = 4
√
xy,
xy = 9;
f) (A, 2006)

x + y −
√
xy = 3,
√
x + 1 +

√
y + 1 = 4;
g)

x
2
+ y
2
− x + y = 2,
xy + x −y = −1;
h)

x − xy −y = 1,
x
2
y + xy
2
= 6.
 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
a) (D, 2004)

√
x +
√
y = 1,
x
√
x + y
√
y = 1 − 3m;

b)

x + y + xy = m,
x
2
+ y
2
= m.
 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

x + y + xy = m + 2,
x
2
y + xy
2
= m + 1.
2 Hệ đối xứng loại hai
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

xy + x
2
= 1 + y,
xy + y
2
= 1 + x;
b)

x
3

= 3x + 8y,
y
3
= 3y + 8x;
c)

x
3
+ 1 = 2y,
y
3
+ 1 = 2x;
d)

√
x + 5 +
√
y −2 = 7,
√
y + 5 +
√
x − 2 = 7;
e)

2x + y =
3
x
2
,
2y + x =

3
y
2
;
f) (B, 2003)

3y =
y
2
+2
x
2
,
3x =
x
2
+2
y
2
.
 2. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 3
3
√
2 + 3x = 2;
b) x
3
− 6 =

3
√
x + 6.
 3. (A, 2003)



x −
1
x
= y −
1
y
,
2y = x
3
+ 1.
 4. (B, 2002)

3
√
x − y =
√
x − y,
x + y =
√
x + y + 2.
7
 5. (ĐHSP khối D, E, 2001) Cho hệ phương trình


√
x + 1 +
√
y −2 =
√
m,
√
y + 1 +
√
y −2 =
√
m.
(4)
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
 6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình



x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1,
y +

y
2

− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1.
 7. (Dự bị B, 2007) Giải hệ phương trình







x +
2xy
3
√
x
2
− 2x + 9
= x
2
+ y,
y +
2xy
3

y
2
− 2y + 9
= y
2

+ x.
 8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình





e
x
= 2007 −
y

y
2
− 1
,
e
y
= 2007 −
x
√
x
2
− 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x(x + 2)(2x + y) = 9,

x
2
+ 4x + y = 6;
b)

√
2x + y + 1 −
√
x − y = 1,
3x + 2y = 4;
c)



x + y +
x
y
= 5,
(x + y)
x
y
= 6;
d)





x + y +
1

x
+
1
y
= 5,
x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
= 9;
e)

x + y + x
2
+ y
2
= 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)

1 + x
3

y
3
= 19x
3
,
y + xy
2
= −6x
2
.
4 Hệ đẳng cấp
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

x
2
+ xy = 6,
x
2
+ y
2
= 5;
b)

2x
2
+ 3xy + y
2
= 12,
x

2
− xy + 3y
2
= 11;
c)

(x − y)
2
y = 2,
x
3
− y
3
= 19;
d)

x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
4x
2
+ 2xy + 6x −27 = 0;
 86. Giải các hệ phương trình sau:
8
a) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:






x +
1
x
+ y +
1
y
= 5,
x
3
+
1
x
3
+ y
3
+
1
y
3
= 15m − 10.
.
b) (Dự bị khối D, 2005)

√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4

c) (Dự bị khối D, 2005)

x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
d) (Khối A, 2006)

x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
(x, y ∈ R)
e) (Dự bị Khối A, 2006)

x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x −2) = y
(x, y ∈ R)
f) (Dự bị Khối A, 2006)

x

3
− 8x = y
3
+ 2y
x
3
− 3 = 3(y
2
+ 1)
(x, y ∈ R)
g) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

e
x
− e
y
= ln(1 + x) − ln(1 + y),
y −x = a.
h) (Dự bị Khối D, 2006)

x
2
− xy + y
2
= 3(x − y),
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)

2
(x, y ∈ R)
i) (Dự bị Khối D, 2006)

ln(1 + x) − ln(1 + y) = x −y,
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0.
j) (Dự bị Khối B, 2006)

(x − y)(x
2
+ y
2
) = 13,
(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
(x, y ∈ R).
k) (Dự bị, 2005)

x
2
+ y = y
2
+ x,

2
x+y
− 2
x−1
= x − y
l) (Dự bị 2002)

x − 4|x| + 3 = 0,

log
4
x −

log
2
y = 0.
 87. Giải các phương trình sau:
1) (A, 2006)
2(cos
6
x + sin
6
x) − sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
2) (A, 2007) (1 + sin
2
x) cos x + (1 + cos
2

x) sin x = 1 + sin 2x.
3) (D, 2006) cos 3 x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
4) (D, 2007)

sin
x
2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
9
5) (B, 2007) 2 sin
2
x + sin 7x − 1 = sin x.
6) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
1
2 sin x
−
1
sin 2x
= 2 cot 2x.
7) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos
2
x + 2
√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +
√
3 cos x).
8) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin

5x
2
−
π
4

− cos

x
2
−
π
4

=
√
2 cos
3x
2
.
9) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình
sin 2x
cos x
+
cos 2x

sin x
= tan x − cot x.
10) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
√
2 sin

x −
π
12

cos x = 1.
11) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
12) (Dự bị B, 2006) (2 sin
2
x − 1) tan
2
2x + 3(cos
2
x − 1) = 0.
13) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
14) (Dự bị D, 2006) cos
3
x + sin
3
x + 2 sin
2
x = 1.
15) (Dự bị D, 2006) 4 sin
3
x + 4 sin

2
x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.
16) 2 cos 2x + sin
2
x cos x + sin x cos
2
x = 2(sin x + cos x).
17) 3 − 4 sin
2
2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x).
18) 2 cos x +
1
3
cos
2
(x + π) =
8
3
+ sin 2x + 3 cos

x +
π
2

+
1
3
sin
2
x.

19) cos
2

x +
π
3

+ cos
2

x +
2π
3

=
1
2
(sin x + 1).
20) sin

3x +
π
4

= sin 2x. sin

x +
π
4


.
21) (Dự bị A, 2006) cos 3 x. cos
3
x − sin 3x sin
3
x =
2 + 3
√
2
8
.
22) (Dự bị A, 2006) 2 cos

2x −
π
6

+ 4 sin x + 1 = 0.
23) (B, 2006) cot x + sin x

1 + tan x tan
x
2

= 4.
24) (A, 2005) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.

25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
26) (D, 2005) cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.
27) (Dự bị 2005) 2
√
2 cos
3

x −
π
4


− 3 cos x − sin x = 0.
28) (Dự bị 2005) 4 sin
2
x
2
−
√
3 cos 2x = 1 + 2 cos
2

x −
3π
4

.
29) (Dự bị 2005) sin x cos 2x + cos
2
x(tan
2
x − 1) + 2 sin
3
x = 0.
30) (Dự bị 2004) 4(sin
3
x + cos
3
x) = cos x + 3 sin x.
31) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos
3
x.

32) (Dự bị 2004)
1
cos x
−
1
sin x
= 2
√
2 cos

x +
π
4

.
10
33) (Dự bị 2004) sin 2 x − 2
√
2(sin x + cos x) − 5 = 0.
34) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
1
sin 2x.
35) cos 3x − sin 2x =
√
3(cos 2x − sin 3x).

36) sin x + sin 2x =
√
3(cos x + cos 2x).
37) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
√
3 sin 4x = 2.
 88. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP .
 89. (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
 90. (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5
và


BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh rằng MB ⊥ MA
1
và tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A
1
BM).
 91. (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
◦
, các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
 92. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại
A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60
◦
. Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK là tam
giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.
 93. (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a
√
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK.
 94. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1

B
1
C
1
có đáy AB C là tam giác vuông, AB = AC =
a, AA
1
= a
√
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA
1
và BC. Chứng minh rằng
MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của khối chóp
M.A
1
BC
1
.
 95. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của đoạn AA

1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM
và B
1
C.
11
 96. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,
OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng
sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 1.
 97. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là
các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng
cos α + cos β + cos γ 
√
3.
 98. (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1

có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D;
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B
1
B, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C
1
N.
 99. (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

có cạnh bằng a. Giả sử
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD

.
a) Chứng minh rằng MN//(A


BD)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN.
 100. (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A

B

C

D

với AB =
a, BC = b, AA

= c.
a) Tính diện tích tam giác ACD

theo a, b, c.
b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D

DMN theo
a, b, c.
 101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA =
a.
√
6
2
.
 102. (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo A khoảng

cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
 103. (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng 60
◦
. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
 104. (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ (0
◦
< ϕ < 90
◦
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.
 105. (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O

, bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O

lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện O O

AB.
12
 106. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A

B

C

D


có các cạnh AB = AD = a, AA

=
a
√
3
2
và

BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A

D

và A

B

. Chứng minh
rằng AC

vuông góc với mặt phẳng (BDM N). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
 107. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
◦
. Trên
cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
a

√
3
3
. Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCMN.
 108. (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
 109. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 110. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

có cạnh bằng a và điểm K thuộc
cạnh CC

sao cho CK =
2
3
a. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập
phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
 111. (Khối B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a
√

2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

BAD = 60
◦
, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C

là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC

và song
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B

và D

. Tính thể tích khối chóp
S.AB

C

D

.
 113. Cho hình lăng trụ ABC.A

B

C


có A

.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A

A = b. Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A

BC). Tính tan α và thể tích
của khối chóp A

.BB

C

C.
 114. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a,

ABC = 120
◦
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).
 115. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy

ACB =
60
◦
, BC = a, SA = a
√
3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)

vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối tứ diện MABC.
 116. (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
và góc

ASB = 60
◦
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
13
 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
 118. (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A

B

C

D

có đáy ABCD là một hình thoi cạnh
a, góc

BAD = 60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC

. Chứng minh rằng bốn điểm B

, M, D, N
cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA


theo a để tứ giác B

MDN là hình
vuông.
 119. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2
√
6. Các
điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN
và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.
 120. Trong không gian cho hai đường thẳng
d
1
:
x
1
=
y + 1
2
=
z
1
và d
2
:

3x − z + 1 = 0,
2x + y −1 = 0.
a) Chứng minh rằng d
1
, d

2
chéo nhau và vuông góc với nhau;
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
và song song với
đường thẳng
∆ :
x − 4
1
=
y −7
4
=
z − 3
−2
.
 121. Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt
phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P ).
b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc
với mặt phẳng (P ).
 122. Cho tam giác ABC có điểm B(2; 3; −4), đường cao CH có phương trình ∆
1
:
x − 1
5
=

y −2
5
=
z
−5
và đường phân giác trong góc

A là AI có phương trình ∆
2
:
x − 5
7
=
y −3
1
=
z + 1
2
. Lập
phương trình chính tắc cạnh AC.
 123. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d
1
:
x + 1
2
=
y −1
3

=
z − 4
4
, d
2
:
x − 1
2
=
y + 2
−3
=
z − 5
1
.
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.
 124. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d
1
:
x
2
=
y −1
−1
=
z + 2
1
và d
2

:





x = −1 + 2t,
y = 1 + t,
z = 3.
14
(a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y −4z = 0 và cắt cả
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
 125. (D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng
∆ :
x − 1
−1
=
y + 2
1
=
z

2
.
(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
mặt phẳng (OAB).
(b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
 126. (B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y + 2z −3 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
 127. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18)
và mặt phẳng (P) : 2x − y + z + 1 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 128. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)
và đường thẳng (d) có phương trình




6x − 3y + 2z = 0,
6x + 3y + 2z −24 = 0
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường thẳng AB và OC.
 129. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và
mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0.
(a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
 130. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), M(0; −3; 6) và mặt
phẳng (P ) có phương trình x + 2y −9 = 0.
15
(a) Gọi (S ) là mặt cầu có tâm là điểm M và có bán kính OM. Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc
với (S ). Tìm toạ độ tiếp điểm của (P ) và (S ).
(b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa các điểm A và M, đồng thời, (Q) cắt các trục
Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC bằng 3
(đ.v.t.t.)
 131. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
x − 3
2
=
y + 2
1
=
z + 1
−1

và mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z + 2 = 0.
(a) Tìm toạ độ giao điểm M của (P ) và (d).
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc (P ) sao cho ∆ vuông góc với (d) và khoảng cách
từ M đến ∆ bằng
√
42.
 132. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z −1 = 0
và hai đường thẳng
(d
1
) :
x − 1
2
=
y −3
−3
=
z
1
, (d
2
) :
x − 5
6
=
y
4
=
z + 5
−5

.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
(b) Tìm các điểm M thuộc (d
1
) và N thuộc (d
2
) sao cho đường thẳng MN song song với (P )
và đường thẳng MN cách (P ) một khoảng bằng 2.
 133. (A, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0) , D(0; 1; 0), A

(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
(a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A

C và MN.
(b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A

C và tạo với mặt phẳng 0xy một góc α biết cos α =
1
√

6
.
 134. (B, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:
d
1
:
x
2
=
y −1
1
=
z + 1
−1
, d
2
:









x = 1 + t,
y = −1 − 2t,
z = 2 + t.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A đồng thời song song với d

1
và d
2
.
(b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d
1
và N thuộc d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
 135. (D, 2006) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng
d
1
:
x − 2
2
=
y + 2
−1
=
z − 3
1
; d
2
:
x − 1
−1
=
y −1
2
=

z + 1
1
.
(a) Tìm toạ độ điểm A

đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
16
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
 136. (Dự bị, A, 2006, dự bị 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A

B

C

có
A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A

(0; 0; 2)
(a) Chứng minh A

C vuông góc với BC

. Viết phương trình mặt phẳng (ABC


).
(b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B

C

trên mặt phẳng (ABC

).
 137. (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A

B

C

D

có các cạnh AB = AD =
a, AA

=
a
√
3
2
và góc

BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A


D

và A

B

.
Chứng minh AC

vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN.
 138. (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(α) : 3x + 2y − z + 4 = 0
và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB
(a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).
(b) Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều
gốc toạ độ O và mph (α).
 139. (Dự bị, D, 2006, dự bị 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x −3y +
11z − 26 = 0 và hai đường thẳng
d
1
:
x
−1
=
y −3
2
=
z + 1
3
,

x − 4
1
=
y
1
=
z − 3
2
.
(a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P ) đồng thời ∆ cắt cả d
1
và d
2
.
 140. (Dự bị B, 2006) Cho hai điểm A(0; 0; 4), B(2; 2; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x + y −
z + 5 = 0.
(a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P ).
(b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).
 141. Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt
phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P ).
b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc
với mặt phẳng (P ).
17

 142. Cho điểm A(1; −1; 1) và hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) có phương trình
d
1
:





x = −t,
y = −1 + 2t,
z = 3t
và d
2
:

3x + y −z + 3 = 0,
2x − y + 1 = 0.
Chứng minh rằng (d
1
), (d
2
) và A cùng nằm trong một mặt phẳng.
 143. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d

1
:
x + 1
2
=
y −1
3
=
z − 4
4
, d
2
:
x − 1
2
=
y + 2
−3
=
z − 5
1
.
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.
 144. (Dự bị khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A
thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao
BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ của các đỉnh A, B, C.
 145. (Khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y

2
− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d
sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc ngoài với
đường tròn (C ).
 146. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−
√
2 = 0
và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với
đường thẳng d.
 147. (Khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y
2
− 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ
từ M đến (C ). Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
 148. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với
A(1; −1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường
thẳng AB, BC.
 149. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),
đường cao qua đỉnh B có phương trình là x −3y −7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có
phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ B và C của tam giác.

 150. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y
2
= 1. Gọi (C

) là đường tròn có tâm I(2; 2) và cắt (C ) tại hai điểm A, B sao cho độ dài
đoạn thẳng AB bằng
√
2. Viết phương trình của đường thẳng AB.
 151. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0).
Biết phương trình các cạnh AB, AC lần lượt là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ
các đỉnh A, B, C.
18
 152. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y
2
− 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y − 1 = 0. Xác định toạ độ
các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ), biết rằng đỉnh A thuộc d.
 153. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x
2
+ y
2
− 2x + 4y + 2 = 0. Gọi (C

) là đường tròn có tâm M(5; 1), (C


) cắt (C ) tại hai điểm
A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng
√
3. Viết phương trình của đường tròn (C

).
 154. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B thuộc trục
Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác
ABC vuông tại A. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
 155. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2; −1) và các
đường thẳng
d
1
: (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d
2
: (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0.
Chứng minh rằng d
1
luôn cắt d
2
. Gọi P là giao điểm của d
1
và d
2
, tìm m sao cho tổng khoảng
cách P A + P B lớn nhất.
 156. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d :
x − 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.
 157. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm

G

4
3
;
1
3

, phương trình đường thẳng BC là x −2y −4 = 0 và phương trình đường thẳng BG
là 7x − 4y −8 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
 158. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương
trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng
√
10.
 159. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
−4x−6y−12 = 0.
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x −y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm
và R là bán kính của đường tròn (C ).
 160. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A. Biết
A(−1; 4), B(1; −4) và đường thẳng BC đi qua điểm M

2;
1
2

. Tìm toạ độ đỉnh C.
 161. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d

1
: x + y + 5 = 0, d
2
:
x +2y −7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm B thuộc d
1
và điểm C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC
có trọng tâm là điểm G(2; 0).
 162. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng
d
1
: 2x − y + 5 = 0, d
2
: x + y − 3 = 0. Viếte phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt
hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho
# »
IA = 2
# »
IB.
 163. (Cao đẳng Y tế 2006) Cho hai đường thẳng d
1
: 2x + y −1 = 0, d
2
: 2x −y + 2 = 0. Viết phương

trình đường tròn có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d
1
và d
2
.
19
 164. ((Cao đẳng MGTW 3 2006) Cho hai đường thẳng (d
1
) : x −y + 2 = 0, (d
2
) : 2x + y −5 = 0 = 0
và điểm M(−1; 4).
(a) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (d
1
), (d
2
) lần lượt tại A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
(b) Viết phương trình của đường tròn (C ) qua M và tiếp xúc với đường thẳng (d
1
) tại giao
điểm của (d
1
) và trục tung.
 165. (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giác ABC có điểm A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường
phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y −1 = 0. Hãy viết phương
trình đường thẳng BC.
 166. Cho đường tròn (C ) : x
2
+ y

2
− 4x + 6y −21 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(5; 2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) song song với đường thẳng 5x + 12y − 1 = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) vuông góc với đường thẳng 2x + 5y = 0.
 167. Cho họ đường cong (C
m
) có phương trình x
2
+ y
2
− 2(m + 1)x − 4(m − 1)y + 5 −m = 0.
a) Tìm m để (C
m
) là đường tròn.
b) Khi (C
m
) là đường tròn, xác định m để đường thẳng x − y + 2 = 0 là tiếp tuyến của (C
m
).
 168. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) A
3
x
+ C
2
x
= 14x;
b) (TN, 2006) C
4

n
+ C
5
n
= 3C
6
n+1
;
c) P
x
A
2
x
+ 72 = 6(A
2
x
+ 2P
x
);
d) C
2
n
C
n−2
n
+ 2C
2
n
C
3

n
+ C
3
n
C
n−3
n
= 100;
e) A
3
n+1
+ C
n−1
n+1
= 14(n + 1);
f)
1
2
A
2
2x
− A
2
x

6
x
C
3
x

+ 10;
g) A
3
n
+ 2C
n−2
n
 9;
 169. (Dự bị 2005) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức 2P
n
+ 6A
2
n
− P
n
A
2
n
= 12.
 170. (Dự bị 2004) Cho tập A gồm n phần tử (n  7). Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử
của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.
 171. (D, 2005)Tìm giá trị của biểu thức M =
A
4
n+1
+ 3A
3
n
(n + 1)!
,

biết rằng C
2
n+1
+ 2C
2
n+2
+ 2C
2
n+3
+ C
2
n+4
= 149.
 172. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y sao cho A
y−1
x
: A
y
x−1
: C
y
x−1
= 21 : 60 : 10.
 173. (A, 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho
C
1
2n+1
− 2.C
2
2n+1

+ 3.2
2
.C
3
2n+1
− 4.2
3
.C
4
2n+1
+ ··· + (2n + 1).2
2n
.C
2n+1
2n+1
= 2005
(C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
20
 174. (A, 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của

1
x
4
+ x
7


n
,
biết rằng C
1
2n+1
+ C
2
2n+1
+ ··· + C
n
2n+1
= 2
20
− 1.
(n nguyên dương, C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 175. (A, 2002) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Niutơn của

1
x
3
+
√
x
5


n
,
biết rằng C
n+1
n+4
− C
n
n+3
= 7(n + 3).
 176. (Dự bị D, 2005) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức (2 − 3x)
2n
, trong đó n là số
nguyên dương thoả mãn C
1
2n+1
+ C
3
2n+1
+ C
5
2n+1
+ ··· + C
2n+1
2n+1
= 1024.
 177. (D, 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
a)


3
√
x +
1
4
√
x

7
, (x > 0); b)

2
√
x +
3
4
√
x

20
, (x > 0); c)

2x
3
+
1
x
2


10
, (x = 0).
 178. (Dự bị, 2002) Giả sử n là số nguyên dương và
(1 + x)
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
k
x
k
+ ··· + a
n
x
n
.
Biết rằng tồn tại số nguyên k (1  k  n − 1) sao cho
a
k−1
2
=
a
k
9

=
a
k+1
24
, hãy tính n.
 179. (Dự bị, 2002) Gọi a
1
, a
2
, . . . , a
11
là các hệ số trong khai triển sau
(x + 1)
10
(x + 2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+ ··· + a
11
.
Tính hệ số a
5
.

 180. (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
 181. (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
 182. (Dự bị A, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Đáp số. 96 số. Tổng bằng 2599980.
 183. (ĐHSP Hà Nội, 2002) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8?
Đáp số. 37332960.
 184. (HVQHQT, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm chín chữ số khác nhau và chữ số 9 đứng ở vị trí đứng giữa?
 185. (Kinh tế Quốc dân, 2001) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,
mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 5?
21
 186. (Dự bị D, 2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm
5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 5?
 187. (Ngoại thương HCM, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau?
 188. (Dự bị D, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5
chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?
Đáp số. 360.
 189. (Cao đẳng A, 2004) Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn 3 em trong lớp trực nhật sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?
 190. (CĐSP Hà Nội, 2005) Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ.
Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất 1 học sinh
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
 191. (D, 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh
lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4

học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Đáp số. 255.
 192. (Dự bị D, 2006) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có
10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh.
Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
 193. (B, 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh chỉ
có 4 nam và 1 nữ?
Đáp số. C
3
7
.C
7
26
C
2
4
C
9
19
+ C
2
7
.C
8
26
C
3
5
C

8
18
+ C
2
7
.C
8
26
C
2
5
C
8
19
.
 194. (Dự bị, 2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?
Đáp số. 3690
 195. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung
bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu
hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả ba loại câu hỏi (khó, trung bình,
dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Đáp số. 56875.
 196. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng, số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng
20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập hợp con gồm
k phần tử của A là lớn nhất.
22
Đáp số. k = 9.
 197. (Dự bị 2004) Biết rằng (2 + x)
100

= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
100
x
100
. Chứng minh rằng a
2
< a
3
.
Với giá trị nào của k (0  k  99) thì a
k
< a
k+1
?
 198. (Dự bị 2005) Tìm k ∈ {0, 1, 2, . . . , 2005} sao cho C
k
2005
đạt giá trị lớn nhất.
 199. (Dự bị 2004) Giả sử (1+2x)
n
= a
0

+a
1
x+a
2
x
2
+···+a
n
x
n
. Biết rằng a
0
+a
1
+a
2
+···+a
n
= 729.
Tìm n và số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
, . . . , a
n
.
 200. Khai triển đa thức P (x) = (1 + 2x)
100
thành dạng a
0

+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
100
x
100
. Tìm
(a) a
45
;
(b) a
0
+ a
1
+ ··· + a
100
;
(c) a
1
+ 2a
2
+ ··· + 100a
99
;
(d) lớn nhất trong các số a
0

, a
1
, . . . , a
100
.
 201. (Dự bị A, 2007) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm bốn chữ số khác
nhau?
 202. (Dự bị A, 2007) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3, n
điểm phân biệt khác các đỉnh A, B, C, D. Tìm n, biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm
đã cho là 439.
 203. (Dự bị B, 2007) Tìm x, y ∈ N thoả mãn hệ phương trình



A
2
x
+ C
3
y
= 22,
A
3
y
+ C
2
x
= 66.
 204. (Dự bị B, 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8

trong khai triển (x
2
+2)
n
, biết A
3
n
−8C
2
n
+C
1
n
= 49.
 205. (Dự bị D, 2007) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
mỗi số ấy gồm bốn chữ số khác nhau?
5 Tóm tắt lí thuyết
1. Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là
(x − a)
2
+ (y −b)
2
= R
2
. (5)
Ngược lại mỗi phương trình có dạng (5) là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm
tâm và có bán kính bằng R.
2. Mỗi phương trình có dạng
x
2

+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0. (6)
với a
2
+ b
2
− c > 0 là phương trình của một đường tròn nhận I(a; b) làm tâm và có bán kính
R =
√
a
2
+ b
2
− c.
23
6 Bài tập
 1. Viết phương trình đường tròn (C ) trong các trường hợp sau:
(a) (C ) qua ba điểm A(2; 4), B(−1; 3), C(1; 1);
(b) (C ) qua hai điểm A(3; 1), B(−1; 3) và có tâm ở trên đường thẳng ∆ : 3x − y − 2 = 0;
(c) (C ) qua hai điểm A(1; 0), B(2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − y = 0;
(d) (C ) qua điểm M(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x−4y + 2 = 0 tại điểm N(−2; −1).
 2. (D, 2003) Cho đường tròn (C ) : (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
= 4 và đường thẳng d : x −y −1 = 0. Viết
phương trình đường tròn (C

) đối xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các

giao điểm của (C ) và (C

).
ĐS. (C

) : (x − 3)
2
+ y
2
= 4. Các giao điểm A(1; 0), B(3; 2).
 3. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−2x −4y + 3 = 0. Lập phương trình đường tròn (C

) đối xứng với
đường tròn (C ) qua đường thẳng d : x − 2 = 0.
 4. (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x−y+1−
√
2 = 0
và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với
đường thẳng d.
ĐS. x
2
+ y
2
− 2y = 0, x
2
+ y

2
− 2x = 0.
 5. (Dự bị B, 2003) Cho đường thẳng d : x −7y + 10 = 0. Viết phương trình của đường tròn có tâm
thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2).
ĐS. (x − 6)
2
+ (y + 12)
2
= 200.
 6. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−
√
3; −1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác OAB.
ĐS. Trực tâm H(
√
3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−
√
3; 1).
 7. (B, 2005) Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C tiếp xúc với trục
hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS. (x − 2)
2
+ (y −7)
2
= 49.
 8. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương
trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng
√
10.
 9. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x

2
+y
2
−4x−6y−12 = 0.
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x −y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm
và R là bán kính của đường tròn (C ).
ĐS. M
1
(−4; −5), M
2

24
5
;
63
5

.
24
 10. (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x −2y + 1 = 0
và đường thẳng d : x −y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho đường tròn
tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS. M
1
(1; 4), M
2

(−2; 1).
 11. (CĐSP Quảng Bình, 2006) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường tròn
(x − 1)
2
+ (y + 3)
2
= 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8.
ĐS. y = 0, 3x − 4y = 0.
7 Tiếp tuyến của đường tròn
7.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn
 1. Cho đường tròn (C) : (x + 2)
2
+ (y − 3)
2
= 25. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại
điểm A(−5; 7) .
 2. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−4x + y −12 = 0 và đường thẳng ∆ : x + 2y + 4 = 0. Viết phương
trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và ∆.
7.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc với
đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước
 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
+ 10x − 2y + 6 = 0 biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng 2x + y − 7 = 0.

ĐS. 2x + y −1 = 0, 2x + y + 19 = 0.
 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
− 2x + 4y = 0 biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng x − 2y + 9 = 0.
ĐS. 2x + y −5 = 0, 2x + y + 5 = 0.
 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
− 4x −6y + 1 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số
góc k = 2.
ĐS. 2x − y −1 −
√
60 = 0, 2x − y − 1 +
√
60 = 0.
7.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước
 1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
+ 2x − 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(4; 7).
ĐS. 2x − y −1 = 0, x − 2y + 10 = 0.
 2. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y

2
+ x − 3y − 3 = 0. Gọi M, N là các tiếp điểm của các tiếp tuyến
kể từ điểm A(1; −2) đến (C). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
ĐS. 3.
25