SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mơn tốn là mơn khoa học tự nhiên, đây là mơn học khó dạy, khó học, mà
tốn cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại, hay bỏ bài
tập dạng này. Vì thế tơi viết đề tài này nhằm giúp học sinh hệ thống kiến thức và
phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng
phương pháp giải bài toán cực trị một cách nhanh chóng và có hiệu quả. Qua đó
giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập.
2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi
toán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải viết đề tài
phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số.
Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong q trình tìm tịi lời giải giúp học
sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng
tạo cho học sinh.
Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm
bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng
tốn cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt mơn
tốn và các mơn khoa học khác.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số).
4. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Khuôn khổ nghiên cứu:Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần
đại số) chương trình THCS.
-Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn.
-Thời gian: năm học 2013-2014; 2014-2015.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị.

- Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9.
- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
II. PHẦN NỘI DUNG
1.CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hay
Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán như vậy
gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng tốn cực
trị. Vì nội dung về bài tốn cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên trong đề tài
này tơi chỉ đề cập đến dạng tốn cực trị (phần đại số).
2. THỰC TRẠNG :
2.1. Thuận lợi -khó khăn:
-Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7 đã
có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm cho học
sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tơi khá tâm đắc với đề tài .
-Khó khăn: Bài tốn cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và
phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học sinh
thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách bài tập
cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị...
2.2. Thành cơng - hạn chế :
-Thành cơng: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng toán
cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt hơn rất
nhiều. Đó chính là sự thành cơng mà đề tài mang lại.
-Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học sinh
yếu kém.
2.3 Mặt mạnh - mặt yếu:
-Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn giản
đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc dễ hiểu.
-Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tơi cịn

hạn chế nên viết đề tài khá lâu.
2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố .
Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học sinh
thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước giáo
viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn.


-Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc học
tốt mơn tốn cũng như các mơn học khác.
-Ngồi ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi giải.
Do đó tơi thấy sự cần thiết viết đề tài này.
2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề:
Qua đề tài này để giúp học sinh tìm ra được cách giải và có lời giải hồn hảo
về dạng tốn cực trị. Học sinh giải các dạng toán từ dễ đến khó vì thế tơi sắp xếp
cách giải các dạng tốn từ lớp 7, lớp 8 sau đó đến lớp 9.
Trứớc hết ta cần hiểu rõ tốn cực trị là gì ? Ta hiểu khái niệm là:
Cho biểu thức
+ Với mọi

ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức
được kí hiệu
. Nếu thõa mãn hai điều kiện sau:
hay

để

được xác định thì

(m là hằng số)
+ Tồn tại

sao cho

2. Cho biểu thức

(2)
ta nói n là giá trị nhỏ nhất (GTNN)

của biểu thức
sau :
+ Với mọi

được kí hiệu
hay

để

. Nếu thõa mãn hai điều kiện

được xác định thì

( n là hằng số )
+ Tồn tại

(1)

(3)1.

sao cho

(4)

Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất
Maximus (Max) là lớn nhất.
Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau :
Phần 1. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 7.
Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI
Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối.
Ta có :


Và lưu ý :
Thường thì nhữngbài tốn dạng này đầu đề bài thường cho giá trị m, n là hằng
số khơng đổi. Nên học sinh rất dễ tìm ra kết quả của bài toán cực trị.
Ở lớp 7 các em làm quen dần với dạng toán cực trị, để sau này các em lên lớp
trên tiếp cận nhanh với dạng tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Ví dụ 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a)
b)
Giải
a. Do

với mọi x
. Dấu

Vậy GTNN của A là 2015 khi

xảy ra khi

hay

.

.

Với ví dụ b tơi sẽ hướng dẫn học sinh dùng kí hiệu tốn học để trình bày bài làm.
Do

. Dấu

xảy ra khi

.
Vậy

.

Ví dụ 2. Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a)
b)
Giải
a) Do

Dấu
.

Vậy

.

xảy ra khi


b) Do

. Dấu

xảy ra khi

.
Vậy

.

* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức
a)
b)
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
a)
b)
Đối với biểu thức có 2 hay nhiều giá trị tuyệt đối thì giải bài tốn cực trị như thế
nào? Vấn đề đặt ra ở đâu? Học sinh cần nắm vững kiến thức về giá trị tuyệt đối, tôi
xin trình bày dạng 2.
Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ HAI GIÁ TRI TUYỆT ĐỐI
Để giải quyết vấn đề này, học sinh nắm vững tính chất. Với mọi x, y thuộc R thì:
Dấu

xảy ra khi

( tức là x, y cùng dấu )

Ví dụ 3. Tìm GTNN của các biểu thức sau :

Giải


a) Ta có
Vậy
b.

khi
Tương tự như trên học sinh trình bày cách giải. Kết quả :

Ví dụ 4. Tìm GTLN của biểu thức sau :
Giải
Ta có
Vậy

khi

* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức
a)
b)
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức
a)
b)
Phần 2. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 8.

Sau khi học xong phần những hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần cho học
sinh rèn luyện giải các bài tốn cực trị.
Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THƯC DẠNG NGUYÊN
1. Tìm GTNN (min) của biểu thức
Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng
Vì

. Dấu ‘ = ’ xảy ra khi

( k là hằng số )
.


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi

hay

Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức
Giải
Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số
Ta có
Vì
Vậy
2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức
Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng
Vì

( k là hằng số)
. Dấu ‘ = ’ xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là k khi

hay

Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức
Giải
Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số
Ta có
Vì
Vậy
3.Tìm GTLN, GTNN của đa thức cao hơn bậc hai
Phương pháp giải : Ta có thể đặt ẩn phụ, hoặc biến đổi đưa về dạng 1, 2.
Ví dụ 3. Tìm GTNN của
Giải

.


Đặt

thì

Vậy
* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức
a)
b)
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức

2.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nhiều biến

Phương pháp giải : Tìm GTLN, GTNN lưu ý hằng đẳng thức

Ví dụ 4. Tìm x, y sao cho
Giải
Ta có

Vậy
Ví dụ 5. Tìm GTLN của biểu thức
Giải
Ta có

có GTNN


Vậy
Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CĨ ĐIỀU KIỆN RÀNG
BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Thường để giải những bài toán dạng này, ta cần hướng dẫn cho học sinh biến
đổi biểu thức mới có chứa biến biểu thức ta tìm GTLN ; GTNN.
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức

biết

Giải
Ta sử dụng điều kiện để rút gọn biểu thức A

Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối vớ x
Thay y = 1 – x vào biểu thức A
Ta có

Vậy
Ví dụ 2. Cho 2 số x, y thõa mãn
Giải
Từ
Ta có

thế vào B

. Tìm GTNN của


Vậy GTNN của B là 3 khi y=1, x=1
Ví dụ 3. Cho các số x, y, z thõa mãn

. Tìm GTLN của biểu thức

Giải
Từ

thay vào C

Ta có

Vậy GTLN của C là 3 khi x=1, y=1, z=1
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Cho

thõa mãn

. Tìm GTLN của

Bài 2. Cho x, y là hai số dương thõa mãn x + y = 100. Tìm GTNN của biểu thức

Bài 3. Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

Bài 4. Cho a, b là hai số dương thõa mãn 3a + 5b = 12. Tìm GTLN của M = a.b
Bài 5. Cho x, y là hai số dương có tích

. Tìm GTNN của biểu thức

Bài 6. Cho x, y, z là các số không âm thõa mãn đồng thức 3x + 2z = 51 và z + 5y
= 21.
Tìm GTLN của biểu thức G = x + y + z
Dạng 3. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
*Chú ý : Đối với hai mệnh đề sau:


1. Nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau.
2. Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau.

Chứng minh mệnh đề trên. Ta sử dụng bất đẳng thức
* Nếu hai số a và b có tổng a + b = S ( hằng số ) thì từ

ta có

do đó
* Nếu hai số a và b có tích

( hằng số ) thì a + b nhỏ nhất khi

nhỏ

nhất do đó

Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức

.

Giải
Để giải bài toán này ta thấy các biểu thức
và
đổi ( bằng 22 ) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

Khi đó
Vậy
Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức

(với x > 1)

Giải
Ta có

( do x > 1 )

có tổng khơng


Hai số

và
là hai số dương có tích khơng đổi (bằng 900) nên tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi

Khi đó
Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức

(với x > 0)

Giải
Biến đổi biểu thức R
Ta có

(do x > 0)

Hai số và
là hai số dương có tích khơng đổi (bằng 36) nên tổng của chúng
nhỏ nhất khi và chỉ khi

Do đó
* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức

(với x > 0)
(với x > 0)

Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức
Trên đây là một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8.
Phần 3. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9
Việc giải bài tốn tìm GTLN, GTNN là một bài tốn khó cần nhiều phương
pháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề bài, mà người giải phải
năng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết bài toán. Sau đây là
một số phương pháp dành cho học sinh lớp 9.
Dạng 1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CĨ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA
BIỂU THỨC
1.

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Ta ln có :
(với a > 0)
( với a > 0 )
2. Bất đẳng thức cô -si ( cauchy ) cho các số không âm


Nếu a, b là các số khơng âm thì



Nếu a, b, c là các số khơng âm thì

Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức

. Dấu

khi a = b

. Dấu

khi a = b = c

(với x > 1)

Giải
Vì x > 1 nên x – 1 và
khơng âm

Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 =

là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số


Vậy
Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức

( với x > 0)

Giải
Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương.
Biến đổi biểu thức
Dấu‘ =’ xảy ra khi

=

Vậy
Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức
)

( với

Giải
Rút gọn
Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức cơsi cho từng cặp số
và 2;

và 3

Ta có

Vậy
Ví dụ 4. Tìm GTNN của biểu thức

và 1;


Giải
Các biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức, do đó

Mà
Dấu ‘ = ’ xảy ra khi
Vậy
* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Cho biết x + y = 4. Tìm GTLN của biểu thức
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức
Bài 4. Cho x, y >0 và

(với x, y > 0 và

)

. Tìm GTNN của biểu thức

Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức
Dạng 2. ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI
Đổi biến để tìm cực trị là một trong những cách giải hay để chúng ta tìm cực trị
mới nhanh, dễ dàng cho học sinh tiếp cận, sau đây là một số ví dụ.
Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Biết

,

Giải
Để giải bài toán cần biến đổi biểu thức
Và ta có:


Đặt t = xy do đó
* Tìm GTNN của A

Vậy

khi đó xy = 2 và

Nên x và y là nghiệm của phương trình

* Tìm GTLN của A

Ta có
Ta có

Cịn

Vậy

do

nên

và

nên

tức là

Ví dụ 2. Với a>1, b>1. Tìm GTNN của biểu thức
Giải
Đặt
Ta có :


Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cơ-si:
Nên

;

.Vậy

Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức
Giải
Đặt

ta có a>0 ; b>0

Ta có :
Vậy

khi đó

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức

biết
với x > y > 0

Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức

với

Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức

với

Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
Giải

Để giải bài toán này ta xét điều kiện xác định của y
Ta có :

do đó TXĐ là

Phương trình ( 1) biến đổi về dạng( có ẩn là x)

(1)


(2)
* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2)
* Trường hợp 2 : Với

Đến đây ta thấy

khi đó phương trình (2) có ngiệm khi và chỉ khi

vậy

Ta có

vậy

Giải bài tốn này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương trình
bậc hai. Coi y là tham số, x là ẩn số.
Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của hàm
số. Đoạn

là tập giá trị của hàm số.

Ví dụ 2. Cho hàm số

(1). Tìm GTNN, GTLN của y

Giải
Vì

nên TXĐ là

Do đó y có nghiệm khi phương trình (1) theo ẩn x có nghiệm
(2)
* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) có nghiệm x = 0
* Trường hợp 2 : Với
tức là
Với

vậy
vậy

khi đó phương trình (2) có ngiệm, điều kiện cần và đủ


Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và giải
quyết nhiều bài tốn khó về cực trị.
* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Phần 4. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ


Sai lầm khi khơng chú ý đến điều kiện

Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức
Cách giải sai :
Biến đổi biểu thức
Vậy GTNN của A là
Cách giải đúng : Vì

khi

(vơ lí)

và

nên

với

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0
Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải sai :
Phân thức B có tử khơng đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ
nhất.
Ta có
Do đó GTNN của

là 2 khi

. Vậy


Phân tích sai lầm : Tuy đáp số bài tốn không sai nhưng lập luận sai khi khẳng
định phân thức B có tử khơng đổi nên B đạt GTLN khi mẫu nhỏ nhất. Mà phải đưa
ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.
Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải sai :
Phân thức C có tử khơng đổi nên C có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ
nhất.
Mà

nên

Điều này khơng đúng vì



khơng phải là giá trị lớn nhất. Chẳng hạn x = 6 thì

Những sai lầm trong phương pháp giải bài tốn cực trị khi sử dụng bất đẳng
thức cơ-si

Ví dụ 4. Cho a>0 ; b> 0 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải sai :
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số khơng âm, ta có :
( 1)
( 2)
Do đó

Vậy
Phân tích sai lầm : Ở ( 1), ( 2) dấu đẳng thức ra khi x = a và x = b như vậy bài tốn
địi hỏi a = b nếu
thì khơng có được
Lời giải đúng : Ta thực hiện phép tính và tính các hằng số


Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số

và

. Ta có

Nên

Vậy
Khi giải bài tốn cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm khơng đáng có.
Nên tơi xin nhấn mạnh một số sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý thêm.
Ngoài ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải tốn cực trị thì tơi xin đưa
ra phương pháp giải tốn cực trị bằng máy tính bỏ túi.
Phần 5. GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Giáo viên nên sử dụng máy tính fx-570VN PLUS, máy tính này có nhiều
chức năng mới. Ta có thể vận dụng để giải bài tốn cực trị.
Ví dụ 1. Cho hàm số
A( làm tròn 4 chữ số thập phân)

( 1). Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Giải
Đặt

x, cịn y là tham số

( 2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn
( 3)

* Trường hợp 1 : Với y = 0 khi đó phương trình ( 3) có nghiệm
* Trường hợp 2 : Với

khi đó phương trình ( 3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ

tức là
Ấn trên máy

Kết quả

(INEQ)


Vậy

Ví dụ 2. Cho hàm số

(1). Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B

Giải
Đặt
tham số

(2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn x, y là
(3)

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (3) có nghiệm
* Trường hợp 2 : Với

khi đó phương trình (3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ

tức là
Ấn trên máy

(INEQ)

Kết quả
Vậy

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số


Tóm lại để giải được các bài tập trên, học sinh phải nắm chắc cơng thức
nghiệm phương trình bậc hai và giải bất phương trình bậc hai bằng máy tính thành
thạo.
3. Giải pháp, biện pháp :
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :
Học sinh nhận thức được giải toán cực trị khơng hề khó nếu chúng ta biết sử
dụng đúng phương pháp và suy luận tốt thì sẽ gặt hái thành công nhất định.
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :
-Nội dung các dạng toán cực trị.
-Phương pháp giải mỗi dạng toán.

-Các bài tập mẫu cho từng dạng.
-Bài tập tự rèn cho học sinh.
3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp.
Giúp học sinh phân loại và vận dụng tốt các phương pháp giải tốn cực trị
(phần đại số) một cách nhanh chóng có hiệu quả .Pháp huy tính tích cực học tập
trong mỗi học sinh.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ chặc chẻ với nhau, các bài tốn
cực trị địi hỏi học sinh nắm vững chắc các kiến thức về cực trị từ thấp đến cao ,từ
đơn giản đến phức tạp,vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi ,từ lý thuyết đến
thực hành.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học :
Bằng cách kiểm tra trên phiếu học tập của học sinh, qua các lần kiểm tra chất
lượng bài làm có nhiều khã quan hơn.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học.
Qua nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi chất lượng học
tập của học sinh càng ngày nâng cao hơn qua kết quả khảo nghiệm.
Năm học 2013-2014: kiểm tra 20 HS trên trung bình 12 em đạt 60%
Năm học 2014-2015: kiểm tra 20 HS trên trung bình 15 em đạt 75%
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:


Trong thực tế giảng dạy, khi áp dụng phương pháp giải dạng toán cực trị, học
sinh nắm vững kiến thức và học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này.
Dựa vào kết quả trên ta có thể thấy học sinh nắm vững kiến thức về giải toán
cực trị ngày càng khả quan hơn.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mơn tốn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ để hướng dẫn học sinh giải bài tốn cực trị một
cách có hiệu quả và đạt kết quả tốt. Để bài viết của tôi hồn chỉnh hơn và giúp học

sinh học tốt, tơi rất mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để tơi dạy thành công
hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị: Đối với lãnh đạo các cấp:
Tạo điều kiện thuận lợi và thời gian cho giáo viên được mở rộng, nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Thường xuyên tổ chức, triển khai chuyên đề cụ thể
những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao để chúng tôi học hỏi.
Đray Sáp, ngày 16 tháng 2 năm 2016
Người viết
Phạm Thị Nga


NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)
TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT TÊN TÀI LIỆU
01

Sách giáo khoa, sách bài tập 7;8; 9.

02

Sách BDHSG 7;8;9

TÁC GIẢ

Trần Thị Vân Anh