BÀI TOÁN HAY TỪ HÌNH THANG CÂN TAM GIÁC

5 BÀI TỐN HAY TỪ HÌNH THANG CÂN &TAM GIÁC
GIỚI THIỆU: Trong phần hình học lớp 8 và nhiều bài luyện tập chúng ta ít gặp
“Hình thang cân”, nhưng hình thang cân trong thực tế có khá nhiều (Cái thang,
mặt cắt của tịa tháp…). Một số bài tập khó giải về hình tam giác nếu biết ứng
dụng tính chất hình thang sẽ thuận lợi hơn nhiều khi giải. NBS chọn 5 bài tiêu
biểu giới thiệu để các bạn tham khảo. NBS tạm gọi 3 bài đầu như “Bổ đề”
Từ định nghĩa:
(*)Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối diện
song song nhau.
(**)Hình thang cân là hình thang có:
- 2 góc ở đáy bằng nhau (C = D)
- 2 cạnh bên bằng nhau ( AC = BD)
- 2 đường chéo bằng nhau (AD =CB)
1./BÀI TỐN 1 (Bổ đề 1a)
“Trong một hình thang cân, hai đường trung trực
của 2 đáy trùng nhau”
CM: Có hình thang cân ABCD; Kéo dai 2 cạnh bên
Cho cắt nhau tại S,
 Ta có 2 tam giác cân SAB và SCD
(đương nhiên vì SCD = CDS và SAB=SBA)
- Đường cao SE của SAB vừa là trung tuyến vừa là
trung trực của AB, vừa là phân giác của S
- Đường cao SF của SCD vừa là trung tuyến vừa là
trung trực của CD, vừa là phân giác của S
 Vậy Trung trực Em của SAB trùng trung trực Fm của SCD (ĐPCM)
2/. BÀI TOÁN 2 (Bổ đề 1b)
“Trong một tứ giác, nếu hai trung trực của 2
cạnh đối nhau khơng trùng nhau thì tứ giác đó
khơng phải là hình thang cân”
CM: Thực chất Bổ đề 1b là phần đảo của 1a, tuy
nhiên chứng minh 1b không đơn giản như CM cho

1a. Hãy xét 2 trường hợp:
TH1: Giải sử
-Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn
1


AB//CD và ABNhưng khơng phải là hình thang cân, vì nếu lấy CD làm đáy cho  cân SCD 
SDC < BDC
- Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn
AB//CD và AB=CD  ABCD là hình bình hành
 Chứng tỏ nếu 2 trung trực // nhau thì khơng có hình thang cân (ĐPCM)
TH 2: Giải sử :
Tứ giác ABCD có trung trực Em cắt
trung trực Fn tại P  ta có EPF
mà nếu kéo dài AB và CD thì AB sẽ cắt
CD tại một điểm Q để AQD = EPF
(2 góc có cặp cạnh vng góc nhau)
 AB khơng // CD  ABCD khơng
phải là hình thang theo định nghĩa(*),
càng khơng thể là hình thang cân, theo
định nghĩa (**) (ĐPCM)
3/. BÀI TỐN 3 (Bổ đề 2)
Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC =BD, kèm theo:
- a/ Nếu 2 cạnh bên AD =BC thì tứ giác đó là hình thang cân
- b/ Nếu 2 góc ở đáy D =C thì tứ giác đó là hình thang cân
*CM:
a/Theo điều kiện bài tốn 2 tam giác ADC và BDC có:
AC=BD; AB=BC; DC chung ADC = BDC
A1 = B1; D2 = C2 Tứ giác ABCD nội tiếp

đường tròn D2 = B2 (chắn 2 cung AD=BC)
 AB//DC (góc so le bằng nhau).
 Theo định nghia(**)ABCD là hình thang cân (đpcm)
b/ Trên 2 đường chéo AC, BD dựng 2 đường trung trực,
2 trung trực cắt nhau tại O  O cách đều A,B, C, D ( vì
AC=BD tạo ra 4 tam giác vuông bằng nhau)
 Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn O.
A2=D2 (cùng chắn cung BC) mà A2=B2
(IAB cân) D2 =B2 AB//DC
2


 ABCD là hình thang; và vì có D = C nên:
ABCD là hình thang cân (đpcm)
4/. BÀI TỐN 4
Chứng minh rằng: Một tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó
là tam giác cân
(Đây là bài toán rất hay, đã từng được nhiều thế hệ HS (lớp 6-7 – hệ GD cũ và
các lớp 8 – 9 – hệ GD mới) trăn trở tìm khá nhiều cách CM mà cách nào cũng
phải có tìm tịi sáng tạo *. Nhân chuyên đề “hình thang cân” NBS giới thiệu 3
cách CM sau)
 Cách thứ nhất:
Từ dữ liệu ít ỏi: ABC ; có B và C là 2 góc ở đáy;
với B1=B2 , C1=C2 và BM=CN.
Dựng đường trung trực Hm của BM và Kn của CN,
2 trung trực cắt nhau tại O.
Vì BM=CN  BH=HM=CK=KN
 OM=ON=OB=OC
4 điểm B,C,M,N cùng nằm trên đường trịn tâm O
Có B1 = C1 ( cùng chắn cung MN) 2B1=2C1

Mà 2B1=ABC và 2C1=ACB
ABC=ACB  ABC cân (ĐPCM)
Biện luận: 2 trung trực Hm và Kn cắt nhau vì 2 phân giác trong ABC đã cắt
nhau.(Điều này tưởng như hiển nhiên, nhưng cần nêu)
 Cách thứ hai: (CM phản chứng )
Giải sử 1(S1) ABC có 2 đường phân giác
BM=CN; B1=B2 , C1=C2: Nhưng
B >C ,  B1>C1 và B2>C2 .
Dựng 2 đường trung trực Hm của MN
và Kn của BC, 2 trung trực cắt nhau tại P
dễ dàng CM được BMP=CNP (c.c.c)
MBP=NCP. Mà theo trung trực Kn
của BC thì B3=C3 B2 = C2.
Điều này trái với giả sử (S1) .
 Giả sử(S1) Không thể chấp nhận được; Nghĩa là khơng có B2>C2 và
khơng có B >C S1 sai (đpcm)
3


 Cách thứ ba: (CM phản chứng )
Giải sử 2(S2) ABC có 2 đường phân giác BM=CN; B1=B2 , C1=C2:
và B =C ,  B1=C1 và B2=C2. Cũng dựng 2 đường trung trực Hm
của MN và Kn của BC.
-Giải sử 3 (S3) 2 trung trực cắt nhau tại P. Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp
này khơng có B = C (xem Bài toán 2-TH1 đã CM).  Giải sử (S3) sai
- Giả sử 4 (S4): 2 trung trực song song nhau; Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp
này tứ giác MNCD cũng khơng phải là hình thang cân (Xem bài tốn 2-TH1), 
khơng cóB =C. trái với giả sử 2 (S2)
 Vây chỉ có thể 2 trung trực đó trùng nhau và MN//CD. Theo bổ đề 1a, 1b tứ
giác MNCD là hình thang cân  B = C   ABC cân (ĐPCM)

5/. BÀI TOÁN 5
Đây là bài tốn tìm chỗ sai của một chứng minh
ngụy biện. (NBS đã đọc thấy bài này ở 1 số trang
Web tốn học & tạp chí “Tốn tuổi thơ”, nhưng
chưa được đọc 1 bài giải nào có sức thuyết phục).
Đề ra là, có một chứng minh sau:
Trên đoạn thẳng AB dựng AM=BN sao cho
MAB = 90º và NBA < 90º
Nối MN và dựng hai trung trực của AB và MN.
Hai trung trực cắt nhau tại I, tạo ra các tam giác
cân IMN và IAB  IM=IN; IA =IB;
Cùng với giả thiết MA=NB
 có IMA =INB A2=B2 .1
Mặt khác do  IAB cân A1=B1.2
Từ 1 và 2  MAB =NBA (Góc vng = góc nhọn !?)
Hãy tìm ra chỗ sai của CM ngụy biện trên
Giải:
Theo Bổ đề 1b (nêu tại Bài toán 2-TH2), với cách dựng
như đề ra thì tứ giác MNBA khơng phải là hình thang
cân, khơng thể có MAB =NBA.
Sai lầm là ở cách vẽ hình.
Theo giả thiết của đề ra thì phải vẽ hình như bên:
Ta cũng có IMA =INB A2=B2. Nhưng rõ
ràng khơng có MAB =NBA
Mà MAB =NBA+NBI (ĐPCM)
4


* Chú giải thêm:
Bài toán này ( CM tam giác có 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân), NBS gặp

cách đây > 50 năm, khi học lớp 6 (chương trình PT 9 năm). Thày giáo “Đan Quế”
ra đề cho tất cả HS trường PT Lương Ngọc Quyến –Thái Nguyên với thách đố
trên tờ báo của trường “Ai giải được sẽ thưởng 1 TƠ PHỞ NĨNG” (Thời ấy tơ
phở giá trị lắm nhé !). Ấn tượng ấy làm NBS đến nay khơng qn. Nhân dịp viết
lại bài tốn này NBS phải cảm ơn những người thày tâm huyết như Thày Đan
Quế. – Chia sẻ thông tin này mong các bạn HS ngày nay thông cảm !

NBS: Phạm Huy Hoạt – 3 – 1 – 2014
( Nếu Bạn nào có lời giải khác hơn xin chia sẻ với NBS theo Email
; Bạn nào dùng lại các đề và cách giải của bài này xin
ghi rõ xuất xứ - cảm ơn!)

5