Tài liệu Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 2 pptx

2(x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=
=2(b-d)
2
-(a
2
-c
2
)(b-d)+(a+c)
2
(b + d).
2) a, b, c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỷỏng minh :
a
b+c+1
+
b

a+c+1
+
c
a+b+1
+
(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1.
Câu II. 1) Giải phỷơng trình
sin
3
x + cos
3
x=2-sin
4
x.
2) k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng
minh rằng
k+l+m
9R
2
.
Câu III.
Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) và parabol (P) có phỷơng trìnhy=x
2
.
1) M là một điểm thuộc parabol (P), có hoành độ x
M
= a. Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn
nhất.
2) Chỷỏng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất, thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol (P).
Câu IVa.

Cho hai số nguyên dỷơng p và q khác nhau.
Tính tích phân I =
0
2
cospx cosqx dx


.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_____________________________________________________
__________
Câu I.
1) Giả sử phỷơng trình x
2
+ax+b=0cónghiệm x
1
và x
2
,phỷơng trình x
2
+cx+d=0cónghiệm x
3
và x
4
.
Chỷỏng tỏ rằng
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.1)ĐặtA=(x
1

+x
3
)(x
1
+x
4
)(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)
Ta có (x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)=
x+x(x+x)+xx=
1
2
13 4 34
-(ax
1

+b)-cx
1
+d=(d-b)-(a+c)x
1
,
(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=(d-b)-(a+c)x
2
,
dođóA=[(d-b)-(a+c)x
1
][(d-b)-(a+c)x
2
]=(d-b)
2
+ (a + c)(b - d)(x
1
+x
2
)+(a+c)
2
x
1

x
2
=
=(b-d)
2
-(a+c)(b-d)a+(a+c)
2
b.
Vai trò hai phỷơng trình là nhỷ nhau trong biểu thức của A, nên ta cũng có:
A=(b-d)
2
-(a+c)(b-d)a+(a+c)
2
b.
Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả.
2) Không giảm tổng quát có thể xem a Ê b Ê c khi đó theo bđt Côsi ta có
(a+b+1)(1 - a)(1 - b) Ê
a+b+1+1-a+1-b
3
=1






Suy ra (1 - a)(1 - b) Ê
1
a+b+1
ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê

1-c
a+b+1
Từ đó
a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c)
Ê
a
a+b+1
+
b
a+b+1
+
c
a+b+1
+
1-c
a+b+1
=1
.
Câu II.1)Tacósin
3
x + cos
3

x Ê sin
2
x + cos
2
x=1,2-sin
4
x 1.
Vậy dấu = chỉ có thể xảy ra khi ta có đồng thời
sin cos
sin
33
4
1
21
xx
x
+=
=



sinx = 1 ị x=

2
+2k (k ẻ Z).
2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thế thì
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
2k
2

+
a
2
=b +c
2
22
,
2l
2
+
b
2
2
=a
2
+c
2
,





ị k
2
+l
2
+m
2
=

3
4
(a
2
+b
2
+c
2
).
2m
2
+
c
2
2
=a
2
+b
2
Mặt khác a
2
+b
2
+c
2
=4R
2
(sin
2
A + sin

2
B + sin
2
C),
4sin
2
A + 4sin
2
B + 4sin
2
C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos
2
C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos
2
C=8+cos
2
(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]
2
Ê 9,
suy ra:
k+l+m
3
9R
4
22 2 2
.
Nh vậy:
k+l+m
3

k+l+m
3
9R
4
2
22 2 2







ị k+l+mÊ
9R
2
.
Câu III. 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a
2
, vậy
AM
2
=(x
M
-x
A
)
2
+(y
M

-y
A
)
2
=a
4
+(a-3)
2
.
Hàm f(a) =a
4
+(a-3)
2
có đạo hàm
f(a) = 4a
3
+ 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a
2
+2a+3),
suyrakhia=1,f(a) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy đoạn AM ngắn nhất khi M M(1,1).
2)VớiM(1,1)đỷờng thẳng AM có hệ số góc
k=
y-y
x-x
=-
1
2
MA
MA
.

VìPcóphỷơng trìnhy=x
2
ị y = 2x, nên tại M tiếp tuyến của P có hệ số góc k = 2, suy ra tiếp tuyến ấy vuông góc
với đỷờng thẳng AM.
_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


Câu IVa.
Xét hai trờng hợp sau :
a) p = q :
2
2
o
I cos pxdx

=



2
o
2
o
11sin2px
(1 cos 2px)dx x
222p

=+ =+ =




b) p q :
2
o
1
I [cos(p q)x cos(p q)x]dx
2

=++


2
o
1 sin(p q)x sin(p q)x
0
2pq pq


+
=+ =

+

Câu Va. Phơng trình
1
(C )
và
2
(C )
lần lợt đợc viết lại dới dạng :
222
1
(C : (x 3) y 2+=
,
222
2
(C ):(x 6) (y 3) 1+=

Vậy
1
(C )
có tâm
1
I(3,0)
, bán kính
1
R2=
,
2
(C )
có tâm
2
I(6,3)

, bán kính
2
R1=
.
Ta tìm đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
dới dạng x = m.
Từ điều kiện tiếp xúc ta có hệ :
|3 m| 2
|6 m| 1
=


=


m = 5.
Vậy đờng thẳng đúng x = 5 là đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
. Mọi đờng thẳng tiếp xúc
với
1

(C )
và
2
(C )
khác với đờng thẳng đứng đều có dạng
ax

y + b = 0
Theo điều kiện tiếp xúc, ta có
2
2
3a b
2
a1
6a 3 b
1
a1

+

=

+



+
=

+




22
(3a b) 4(a 1)
|3a b| 2|6a 3 b|


+= +

+ =+




22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +



hoặc
22

(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +





+
==



+
==



==

917 33917
a,b
88
917 33917
a,b
88

a0,b2

Vậy phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn
1
(C )
,
2
(C )
trong trờng hợp này
là :
_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


1
917 33917
(d ) : y x
88
++
=
,
2
917 33917
(d ) : y x
88

=

3
(d ) : y 2=
.
Tóm lại, ta có 4 đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
là
123
(d ),(d ),(d )
và x = 5.
Câu IVb.
1) AC'là đờng cao trong tam giác cân SAC, do đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn,
muốn vậy phải có OC < SO h > 2a.
Tứ giác AB'C'D' có các đờng chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau. Gọi K là giao điểm các
đờng chéo ấy. Ta có :
22
4ah 2dt(SAC) AC'.SC AC'. h 4a===+




22
4ah
AC'
h4a
=
+

Mặt phẳng (AB'C'D') cắt BC tại
1
B
với
1
AB // BD
,
1
AB 2a=
.
Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy
1
BAC'
là nửa tam giác đều, suy ra :
1
22
4ah
AC' AB . 3
h4a
==
+

2a 3 h 2a 3==
.
Khi đó
SO h 3OA==
, suy ra SAC là tam giác đều, vậy C' là
trung điểm của SC.
2) Hình chóp S.ABCD có thể tích :

2
14
V SO.dt(ABCD) ha
33
==
.
Tam giác SAB có cạnh
AB a 5=
và đờng cao hạ từ đỉnh S
22
4a 5h
SH
5
+
=
,
do đó có diện tích
22
a
s4a5h
2
=+
. Từ đó suy ra diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD :
S = 4s + dt (ABCD) =
222
4a 2a 4a 5h++
, thành thử :
22
3V 2ah
r

S
2a 4a 5h
==
++
.
Câu Vb.
Trớc hết ta hãy chứng minh rằng :
AB
2tg tgA tgB
2
+
+

dấu = chỉ xảy ra khi A = B. Quả vậy :
sin(A B) 2sin(A B)
tgA tgB
cosAcosB cos(A B) cos(A B)
++
+= =
++

_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


2
AB AB
4sin cos
2sin(A B) A B
22
2tg
AB
cos(A B) 1 2
2cos
2
++
++
= =
+
++

Để ý rằng kết quả này chỉ đúng với giả thiết A, B là góc nhọn, vì
khi đó :
0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A

B)

cos (A + B) + 1.

Trở về với điều kiện của bài toán :
22 2 2
AB 1
tgAtgB2tg (tgAtgB)
22
+
+= +


2
(tgA tgB) 0
tgA = tgB A = B

Câu Va.
Cho hai đỷờng tròn
(C
1
)x
2
+y
2
-6x+5=0,
(C
2
)x
2
+y
2
-12x-6y+44=0.
Xác định phỷơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đỷờng tròn trên.

Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt
nhau tại O. Đỷờng cao của hình chóp là SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần
lỷỳồt tại B, C, D.
1) Xác định h để BCD là tam giác đều.
2) Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
Câu Vb.
Hai góc nhọn A, B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
tg
2
A+tg
2
B = 2tg
2
A+B
2
.
Chỷỏng tỏ rằng ABC là một tam giác cân.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________