De cuong toan 7 ca nam

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 CẢ NĂM
CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC
BÀI 1. TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1. Số hữu tỉ
Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ

a
* Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số b với a, b∈Z và b≠0

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là Q. (x là số hữu tỉ ghi là: x
2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

¿

Q)

a
Để biểu diễn số hữu tỉ b ( a, b∈Z ; b > 0) trên trục số ta làm như sau:

1
- Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là b gọi là đơn vị mới
a
- Nếu a > 0 thì số b được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn bằng
a lần đơn vị mới

a
- Nếu a < 0 thì số b

|a|

được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn bằng

lần đơn vị mới

2 −4 7
, ,
Ví dụ: Biểu diễn các số 5 5 5

trên trục số:

- Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x
3. So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
+ Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương:

a
b
x= ; y=
m
m

( a; b; m∈Z; m>0 )

+ So sánh hai số nguyên a và b:
• Nếu a < b thì x < y
• Nếu a = b thì x = y
• Nếu a > b thì x > y

1
3

Ví dụ: So sánh −2 và −5
1 −1 −5 3 −3 −6
= = ,
= =
Ta có −2 2 10 −5 5 10
−5 −6 1
3
−5>−6 ⇒
>
⇒
>
10 10 −2 −5
Vì
- Trên trục số, nếu x < y thì điểm x ở bên trái điểm y
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
* Nhận xét


a
a
>0
b
- Số hữu tỉ b là số hữu tỉ dương
nếu a, b cùng dấu
a
a
<0
b

b
- Số hữu tỉ
là số hữu tỉ âm
nếu a, b trái dấu
a c
> ( b; d >0 ) ⇔ ad> bc ( b, d> 0 )
- Ta có: b d

( )
( )

BÀI TẬP
Bài 1. Điền các ký hiệu N, Z,Q vào …; (viết đầy đủ các trường hợp):
a) 2000

¿

……

4
b) 5

¿

−7
c) 100

……

¿

……

−671
1
¿ ……
¿ ……
d) −671
e)
6
−15
12
6 ; −18
Bài 2. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 4 ;
Bài 3. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số có cùng mẫu dương:

27
18 −151515
;
và −180
b) −45 252525
19019
−1919
−19
x 1=
; x 2=
; x3=
76076
−7676
−76

Bài 4. Cho các số hữu tỉ:
−8 −1
;
a) −70 −28

7777
và −1111

So sánh và viết tập hợp A các số hữu tỉ bằng các số trên

a
Bài 5. Cho số hữu tỉ b khác 0. Chứng minh:
a
a) Nếu a, b cùng dấu thì b là số dương
a
b) Nếu a, b trái dấu thì b là số âm
Bài 6. So sánh các số hữu tỉ sau:

−13
a) 40
−16
d) 30

12
và −40
−35
và 84

−5
b) 6 và

−5
e) 91 và

−91
104
−501
9191

−15
c) 21

−36
và 44

−11
7 3
f) 3 .7

−78
4 4
và 3 .7

Bài 7. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:

−6 −7
−40 27
; ; 0;
;
−50 33
a) −4 9

Bài 8.
a) Giả sử

a
b
x= ; y= ( a, b, m∈Z, m>0 )
m
m

x< z< y

18 4 −14 17 −14
; ;
; ;
;0
b) 19 3 37 20 33

và x < y. Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn

a c
< ( b; d >0 )
b) Chứng minh rằng: nếu b d
thì

a a+c c
<
<
b b+ d d

c) Tìm 5 số hữu tỉ x sao cho:

−4
−1
10
ii) 5

i) −1< x< 0
Bài 9. So sánh các phân số sau (khơng quy đồng mẫu hoặc tử)

z=

a+b
2m

thì ta có:


1234
a) 1235 và
−31
c) −32 và

4319
4320
31317
32327

−1234

−4321
b) 1244
và 4331
1234 .1235−1
1235. 1236−1
d) 1234 .1235
và 1235. 1236

Bài 10. Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự: với x, y, z

−37
−1
a) 946 và −8
−24
−23
d) 25
và 27
22
51
g) −67 và −152
Bài 11. Tìm
Bài 12.

¿

x< y ⇒ xQ ta có: y . Hãy so sánh:

−1987

−1984
b) −1986 và −1985
−23
−5
e) 12
và 2
−18
−23
h) 91
và 114

}

3246
−45984
c) −3247 và 45983
−33
53
f) 131 và −217

x∈Q , biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng bốn chữ số 1

−3
−3
a) Tìm phân số có mẫu bằng 10; biết rằng giá trị của nó lớn hơn 4 và nhỏ hơn 5
x 5 x+2
< <
5
b) Tìm x ¿ Z biết: 5 4
c) Tìm hai phân số có mẫu bằng 9, tử là hai số tự nhiên liên tiếp sao cho trên trục số điểm biểu diễn phân số

4
bằng 7 nằm giữa các điểm biểu diễn của hai phân số phải tìm
11
−
13
d) Tìm phân số có tử bằng 9; biết rằng giá trị của nó lớn hơn
Bài 13.

và nhỏ hơn

−

11
15

a+n
a
a) Cho a, b, n ¿ N*. So sánh b+n và b
a
c
m
x= ; y= ; z= ( b, d, n>0 )
b
d
n
b) Cho các số hữu tỉ:
. Biết ad – bc = 1 và cn – dm = 1
i) So sánh các số x; y; z

t=

a+m
b +n

ii) So sánh y với t, biết
(với b + n ≠ 0)
¿
Bài 14. Với giá trị nào của a
Z thì số hữu tỉ x: • là số dương? • là số âm? • là số không âm? • là số không
dương? • không là số dương cũng không là số âm?
a−4
a2 +9
2a+7
x= 2
x=
x=
−5
−7
a
a)
b)
c)
d)

x=

a−6
a−11

Bài 15. Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là số nguyên:

x +1
( x≠2 )
x−2
a)
x−2
D=
2x−3
d)
A=

e)

E=

LÝ THUYẾT

3x−4
2x−3

b)

B=

2x−1
( x≠−5 )
x+5

F=

x 2 −4x−4
( x≠7 )
x−7

f)
BÀI 2. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ

c)

C=

10x−9
2x−3


1. Cộng trừ hai số hữu tỉ
Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
a) Viết x; y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (qui đồng mẫu số dương)

a
b
x= ; y= ( m>0 )
m
m

b) Thực hiện phép cộng, trừ: (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu chung)

Ví dụ:

a b a+ b
x+ y= + =
m m m
6 −2 −3 2 −9 8 −1
+ = + = + =
−8 −3 4 3 12 12 12
3 −2 3 2 9 16 25
−
= + = + =
8
3
8 3 24 24 24

a b a−b
x− y= − =
m m m

( )

* Chú ý
a) Rút gọn các phân số trước khi tính
b) Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hốn, kết hợp, cộng với số 0 như trong tập hợp Z
Ví dụ:

(−4 52 + 32 )+ 4 52=(−4 25 + 4 25 )+ 32 =0+ 32 = 32

c) Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối; ký hiệu
Số đối của

x=

a
b

là

−x=−

a
b

−x

; sao cho:

x+ (−x )=0

a −a a
− = =
b b −b nên người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ trước phân số
Vậy
−3 3
3
= =−
4
Ví dụ: 4 −4
2. Cộng và trừ số thập phân
Trong thực hành khi cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân, ta thường cộng theo qui tắc cộng
hai số nguyên
Ví dụ: −3,42+1,35=−2,07

3. Tổng đại số
Một dãy các phép tính cộng, trừ các số hữu tỉ được gọi là một tổng đại số. Trong tổng đại số các số hữu tỉ,
ta có thể:
a) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng
b) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc

( −12 + 34 )−(− 45 + 56 )=− 12 + 34 + 45 − 56

Ví dụ:
4. Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Với x, y, z, t ¿ Q ta có: x + y = z – t ⇒ x + t = z – y

3
1
5x− =4x +
7
3
Ví dụ: Tìm x biết:
1 3
5x−4x= +
3 7
7 9
x= +
21 21
16
x=
21

BÀI TẬP

Bài 16. Tính:
a)
c)
e)
g)

3 −10 −6
−3 +
+
4 25 12
5
5
− +1 −2 , 25
12 18
2 3 1 1
−1 + − +2
3 4 2 6
7
1 5 2
1
−− − + +−
12
5 6 3
5

b)
d)
f)

( )

( )
7 1
1
7+ ( − +3 ) −( +5 )
12 2
12

h)

c)
d)

(

)(

)

11 5 −7 8 10
− − − +
j) 25 13 17 13 17

i)
Bài 17. Tính:
a)

2 8

4−1 −
5 3
−4 16
−0,6− −
9 15
1 1 1 1
−1+ − + −
3 9 27 81
1 16 27
14 5
+
+
− −
2 21 13
13 21

1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+. . .+
+
+
+.. .+

1 . 2 2. 3 3 . 4
1999. 2000
100 .103
b) 1 . 4 4 . 7 7 . 10
1
1
1
1
1
−
−
−
−. ..− −
2000 .1999 1999 .1998 1998 .1997
3 . 2 2 .1
−1 −1 −1 −1
−1
8 1 1 1
1 1
+ + + +.. .+
− − − −. ..− −
3 15 35 63
9999
6 2
e) 9 72 56 42
1
1
1
1
1

1− − −
−. ..−
−
2.5 5. 8 8 .11
89. 92 92 .95

f)
Bài 18. Tìm x, biết:

17
7 7
4
− x− =
+ ( 1,25−x ) =2,25
6 4
a) 6
b) 3
1
1
2x−3=x +
4x−( 2x +1 )=3− +x
2
3
c)
d)
1 1 1
1
1
2x− − − −. ..−
=7− +x

2 6 12
49 .50
50
e)

( )

Bài 19. Tìm tập hợp các số nguyên x, biết:

1 1 1
1
1 1
− + −
3 4
48 16 6
a) 2

( )

Bài 20.

(

)

b)

1 8 x
3 5

+ ≤ <1− −
4 9 36
8 6

3
a) Tính tổng các phân số lớn hơn 5 nhưng nhỏ hơn
1
b) Tính tổng các phân số lớn hơn 6 nhưng nhỏ hơn

Bài 21. Tìm các số nguyên x, y biết rằng:
a)

3 1 y
+ =
x 3 3
A=

2n−1
n−3

B=

6n +7
2n+ 3

x 1 1
− =
b) 6 y 2

Bài 22. Cho phân số

a) Tìm số ngun n để A có giá trị ngun
b) Tìm số ngun n để A có giá trị lớn nhất
Bài 23. Cho phân số
a) Tìm số nguyên n để B có giá trị ngun
b) Tìm số ngun n để B có giá trị nhỏ nhất

( )

7
10 và có mẫu là 30
2
9 và có tử là 2
3 y 1
+ =
c) 2x 6 2


Bài 24.

1 1 1
1
+ + +.. .+
11 12 13
19 . Chứng minh rằng C không phải là số nguyên
a) Cho
1 1 1
1
D=2 + + +. ..+
3 15 35
n ( n+2 ) với n∈N ¿ . Chứng minh rằng D không phải là số nguyên

b) Cho
1 1 1 2 2 2
E= + + + + +
3 4 5 7 9 11 . Chứng minh rằng E không phải là số nguyên
c) Cho
C=

[

]

Bài 25. Cho 100 số hữu tỉ bất kỳ, trong đó 3 số nào bất kỳ cũng có tổng là một số âm
a) Chứng minh rằng tổng của 100 số đó là một số âm
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều là số âm khơng?
BÀI 3. NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1. Nhân hai số hữu tỉ

a
c
x= ; y=
b
d được xác định như sau:
Tích của hai số hữu tỉ
a c ac
x. y= . =
b d bd với b, d≠0

* Chú ý:
a) Thu gọn kết quả trong quá trình nhân

b) Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm chẵn
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm lẻ
c) Khi nhân hai số thập phân, trong thực hành ta áp dụng theo qui tắc nhân hai số nguyên
Ví dụ:

−3 1
7 −3 .1 . (−7 ) 21
. .− =
=
4 2 10
4 . 2. 10 80
−0 ,12. (−1 ,25 ) . (−6 ) =−0,9
1
5
4
3 −5 . 2. (−4 ) . (−3 )
−1,25 . −1 . (−1,5 )=− .2. − . − =
=5
3
4
3
2
4.3 .2

( )

( )

( )( )

2. Tính chất của phép nhân trong Q
Trong tập hợp Q, phép nhân cũng có tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với 1 như trong tập hợp Z
* Chú ý
a)

x. 0=0. x=0, ∀ x∈Q

b) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ∀ x,y,z∈Q ; ta có:

x ( y +z )=xy +xz=yx+ zx=( y +z ) x
x ( y −z )=xy−xz=yx−zx=( y−z ) x
Áp dụng:
Đặt thừa số chung: xa−xb+xc=x ( a−b+c )
Ví dụ:

1 1 1 2 1 1 1 1 8 1
1 1 8
1
. + . 2 − = . + . − . 1= . + −1 = . 2=1
2 3 2 3 2 2 3 2 3 2
2 3 3
2

(

Tính:
3. Chia hai số hữu tỉ

)

a
c
a c a d ad
x= , y = ( y ≠0 )
x:y= : = . =
b
d
b d b c bc
Với
ta có:
−3
3
1 −3. (−1 ) 1
: (−9 )=− . − =
=
4
9
4 .9
12
Ví dụ: 4

( )

* Chú ý


( y . 1y =1)

1

a) Mỗi số hữu tỉ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là y
a,b≠0 )

a
b
. Số nghịch đảo của b là a (với

x
b) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y; Ký hiệu là y hay
x:y

−0,2
Ví dụ: Tỉ số của hai số −0,2 và 1,25 viết là 1,25 hay −0,2:1,25
c) Chia hai số thập phân:

x:y=|x|.|y| nếu x, y cùng dấu
x:y=−(|x|.|y|) nếu x, y khác dấu

4. Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số

∀ x,y∈Q; z≠0;

x+ y x y
= +
z
z z

x− y x y
= −
z

z z
và

BÀI TẬP
Bài 26. Tính:

2
−6 . − . 0,25
3
a)
1 −9
1 2
−2 .
. −1 .
5 11
14 5
c)
e)

( )
( )( )( )
(1 14 ) .(−158 )− 35 + 25 .(− 34 )

5 1 2 1 5
+2 .1 − .
g) 8 4 3 4 6
1 2 1
3
5 1
. +

.1 −
.
i) 1998 7 1998 7 1998 7
5 1 5 5 1 2
: −
+ :
−
k) 9 11 22 9 15 3

(

) (

)

b)
d)

15 −7
2
.
. −2
4 15
5

( )( )
(−5 12 ).(− 12 )− 23 .(− 23 )
8
(−0 , 125 ) . (−16 ) . (− ). (−0 ,25 )
9

f)

−

h) 4,1.3,5+4,1.7,5−4,1
j)
l)

( −23 + 37 ) : 45 +( −13 + 47 ) : 45
(13 119 : 3849 −5 112 : 3849 ) :( 4938 . 115 )

11 18 35 49 28
−23 −13 70 125
+ . − −
.
. :
30
35
54
18
48
m)
n) 39 56 23 75
2
3 193 33
7 11
2001 9
−
.
+

:
+
.
+
193 386 17 34
2001 4002 25
2
o)

(

[(

)

] [(
[ ( )]
[ ( ) ]( )
{ [ ( )]}
)

)

]

Bài 27. Tính:

7
2
4

: (−14 )− −2 : −1
13
9
9
a)
5
1
1 5 9
− − :1 . +
3
4
5 8 4
c)
1− 1: 2+ 1: 1−

e)

1
2

b)
d)

( 37 − 23 +5) :(−25218 +24 214 )

{ [ ( )] }
{ [ ( )]}

1 5 5
1 9

1 : + −−
.
5 8 3
4 4

3+2 : 1+3 : 2−1: 3+
f)

2
1−3


2

3+

2

1+
2−
g)

c)
e)
g)
i)

2

1+

1

2

1−

2
3+
1+3

1+

h)

Bài 28. Tìm x biết:
a)

2

1−

1 2
7 1
+ x+ =
10 5 20 10
2
5
7
− :x+ =−

3
8
12
2
2 1
1
x− = x −
3
5 2
3
2 1
3 1
− x− − ( 2x+1 ) =5
3 3
2 2
−

b)
d)
f)

( )
1
( 4x +1 ) (−2x + )=0
3

h)
j)

2

1−2

1 1
1
+ :x=−
3 2
5
1
1 1
3
x+2 =3 x−
2
2 2
4
1 2
x+ ( x +1 ) =0
3 5
11 7
3 61 x
− +x . = +
15 9
8 90 3

( )
1
1
5x ( 2x− )+ 2 (2x− )=0
2
2

x +2015 x +2016 x +2017 x +2018
+
=
+
5
4
3
2
k)
x +2015 x +2016 x +2017 x +2018
+
=
+
5
6
7
8
l)
Bài 29. Tìm x, biết:
a)
c)
e)

6
9
3
4
8
15 15
15

15
1
x+8 x +2 =3 x−
3x− −
−
−. ..−
=2
11
11
11 11 11
5 .8 8 .11 11.14
47 . 50 10
b)
1
1
1
1
125
3
2 11 1111 111111
+
+
+.. .+
=
x−14 :
+
+
=12
4
3 15 3535 636363

x ( x+3 ) 376 ( x∈N ¿ )
d) 1 . 4 4 . 7 7 . 10
1 1 1 1
1
1
+ + + +. . .+
=
3 6 10 15
x ( 2x+1 ) 10 ( x∈N ¿ )
1 1 1 1
2
11
+ + + +. ..+
=
15 21 28 36
x ( x +1 ) 40 ( x∈N ¿ )
5

(

)

f)
Bài 30. Đặt thừa số chung (viết tổng thành tích):
a) ab−2b−3a +6

b) ax−by−ay +bx
2

c) ax+by−ay−bx

e) ( 3a−2 ) ( 4a−3 ) −( 2−3a ) ( 3a+1 )
Bài 31. Tính nhanh:
120−(−0,5 ) . (−40 ) . (−5 ) . (−0,2 ) . 20 . 0 ,25
5+10+15+.. .+1995
a)
c)

e)

( 12 −1)( 13 −1)( 14 −1) .. .(19991 −1)
−6 6 6
+ −
7 19 31
9 9 9
− +
7 19 31

d) a −( b+c ) a+bc
f) ax+ay +az−bx−by−bz−x− y −z

5 . 18−10 . 27+15 .36
b) 10 .36−20 .54 +30 .72
1
1
1
1
−1 . −1 . −1 ... −1
2
3
4

1999
d)

( )( ) (

f)

1 1 1
1
+ −
−0 ,25+0,2
3 7 13 3
6
.
+
2 2 2
1
7
+ −
1 −0 , 875+0,7
3 7 13 6

)


1 1 1
+ −
6 51 39
1 1 1
− +

g) 8 52 68
Bài 32. Tìm các giá trị của x, biết:
a) 12x+5>4x+ 16
d) ( x+1 )( x−3 )< 0

h)

1
1
0,5+ −0,2
−0,2+0 , 125
3
7
+
0 ,75+0,5−0,3 3
−0,6+0 , 375
7

b) 6 ( x−2 )−3 ( x−1 ) >0
e)

c)

( 12 )≥0

( x−1 ) x +

x−7
<0
2

x−1
≤0 ( x≠1 )
f) x+1

Bài 33.

A=x ( x−4 ) . Với giá trị nào của x thì: A = 0; A < 0; A > 0
x−3
B=
( x≠0 )
x
b) Cho
. Với giá trị nào của x thì: B = 0; B < 0; B > 0
2
x ( x +1 )
C=
x
c) Cho
. Với giá trị nào của x thì: C = 0; C < 0; C > 0
4
−4
Bài 34. Cho hai số hữu tỉ có tổng bằng 33 và tích của chúng bằng 11 . Tính tổng các số nghịch đảo của hai
a) Cho

số đó

1
Bài 35. Viết 1999 số hữu tỉ trên một đường trịn, trong đó tích hai số cạnh nhau ln bằng 9 . Tìm các số đó
Bài 36. Có tồn tại hai số dương a và b khác nhau thỏa:

1 1
1
− =
a b a−b

a)
khơng?
Bài 37. Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho:

x+ y=xy=x:y ( y≠0 )
c) x+ y=xy=x− y=x:y ( y≠0 )
a)
Bài 38.

b)

1 1
1
+ =
a b a+ b

không?

x− y=xy=x:y ( y≠0 )
d) 2 ( x + y ) =x− y=x:y ( y ≠0 )
b)

2 2

a) Cho 3 số hữu tỉ a, b, c biết: a < b < c; a + b + c = 0 và a.b.c < 0. So sánh số x=a b c

b) Cho 4 số hữu tỉ a, b, c, d biết a < b < c < d. So sánh các số sau:
x = (a + b)(c + d)
y = (a + c)(b + d)
z = (a + d)(b + c)
Bài 39. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó bất kỳ 3 số nào cũng có tích là một số âm
a) Chứng minh rằng tích của 100 số đó là một số dương
b) Kết luận cả 100 số đó đều là số âm được không?

với số 0