Chuyen De BDHSG Toan 8

Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

CHUYEN DE 1: PHEP NHAN DA THUC & CAC HANG DANG THUC DANG NHO
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Rút gọn bằng cách thay số bằng chữ
1
1 272

2

3

2316 41

4

317 111. 317 111 317.111
1
3
1 . 650
4

3

315

105

|

651

3-

105

651

315.651

—

3.

999994.999999.999992 — 999996.99999 1.999998

4.

444443 444448 44444] — 444445 444440 444447

5

=

4

3

2015

2011)

+

2013

1
2
2015 2013

6033
2013.2015

Gial:
1. Đặt "¬.....
111

1
pat =a:
=p
*

315

651

Dat 999994 =a

Dat 44443=a

x

Aa

RY NS

317

1

1

2013

2015

Bai 2: Tinh gia tri cua cac biểu thức:

l. A=6+5 +5 +5 '+..+59+ 597
2. B=10+92+9'+91+..,+9s +07
5997

3..C

5“

_

+ 2)-10.5”

—]

4

4.

D=x”-2016x”+2016x—2016x'”

5...

E=

6.

F=x°—50x°

7.

A=127? +146.127 +737

8.

A=98,23 -(# -1)(18# +1)

+....+2016x? -2016x+2016

x”- 2000x” +2006x° - 2000x° +...+ 2000x” - 2000x+ 2000

+50x* —50x° +50x”? —50x+50

véi x =49

Trang 1

với x=2015

với x=1999


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8
Q,

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

A=-1?4+2°-3° +4 —5° 4+...—997 +1007

10. A= 20? +187 +167 +...4.4° +2? ~(19° 417° +...43°+1)

11. A=(3+1)(3*
+1)(3* +1)(3° +1)(3'° +1)
12.A=1?-2? +32 - 4? +...— 2004? + 20057

13. A=(2+1)(2? +1)(2* +1)...(2% +1)

14. A=(5+1)(5° +1)...(9°™ +1)-5°
Bài 3: Cho x- y=7. Tính giá trị của biểu thức A=x?—2xy+ y°—5x+5y+6

Bài 4: Cho x+ y=1. Tính giá trị của biểu thức A= 3(x° + y?)-2(2° + y°)

Bài 5: Cho x+ y =101. Tính giá trị của biểu thức

A=x#x`-3x)+3xˆy+3xy”+ y`—3y”—6xy+3x+3y+ 2017

Bai 6: Cho x+ y=1. Tinh gia tri cua biéu thie A=x°+y°? + 3xy(x° + y’)+6x7y? (x+y)

Bài 7:Cho x+y=2;x?+ y? =10. Tính giá trị cia biéu thite x +y°
Bài §:Cho

x+y=z;x?+ y? =b. Tính giá trị của biểu thức x + y`

Bài 9: Cho x+ y=1. Tính giá trị của biểu thức x` + y`+3xy

Bài 10: Cho x- y=1. Tính giá trị của biêu thức x°~ y`—3xy
Bai 11: Cho x+ y=z:xy=b. Tính giá trị của biểu thức sau theo a và b
a

x+y

Bai 12: Cho

b.

x+y

C.

a+b+c=9;a°
+b? +c’ =53. Tinh ab+bc+ca

Bài 13: Tính giá tri cua at +b* +c*. Biét atb+c=0 va
a.

at+b+c

=1

b.

a’ +b’ +c? =2

Bài 14: Cho x- y=7. Tính giá trị của biểu thức
a.

b.

x(x+2)+y(y-=2)-2w+17

x'(x+])-y (y-1)+xy-3(x- y+I)—§?7

Bài 15: Tính nhanh

Trang 2

x+y"

d.

x+y


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

1. A=123(123+154)+77°

2. B=3%—(27'+1)(9°
-1)
3. C=85° +75° + 65° +55? — 45° — 35° — 25? — 15°
4.

D=

135° +130.135+65°
2
2
135ˆ-65

Bài 16: Rút gọn:

a. A=2"'42.2" 8.2" —16.2"

d.

(a+b+c) —(a—b—c) —4ac

œ

(a +b? +e) -(@ _p? -e}

(atb+c) —(a+b) -(b+e} -(c+a)y

rh

©

Ỷ
b. B=(3""—2,2")(3""!+2.2")—3"? +(8.2"°

.

(a+b+c) +(a—b+c) +(at+b-c) +(-a+b+c)

Bai 17: Rut gon (x+a)(x+b)(x+c). Biét a+b+c =6;ab+ be + ca =—6; abc = -60
Dang 2: So sanh
Bai 18: So sénh A va B

\

A= 24(5° +1)(5* +1)....(5'° +1) và B=5”
A =999994.999999,999992 — 999996.99999 1.999998 va
B= 444443.444448 .444441- 444445.444440.444447
va B=

+ 2) —10.5”% _—1
4

A= 2003.2005 và 8 = 20047

EÐ

A= (341)(3° +1)(3* +1)(3° +1)(3" +1) và ø=5 5-1

m

A=12(5°+1)(5° +1).....(5””+1) và 8=5”5~—I

9ø

A=123456787.123456789 và B =123456788?

A=2011.2013+ 2012.2014 và B = 20127 +2013” —2

CS

m®Y

597 5”

A=6+5 +3+..+5””+5””“

A--—~

x+y

va B=

x -y

5

x+y

2

> VỚI X>y>0

Dạng 3: Chứng mình đăng thức
Bài 19: Chứng minh rằng
Trang 3


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8
a.

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

(xe 42° y+ay? + y’)(x-y)=x*-y"

b.

(xt y+z)

=e 4+y 42? +2xyt 2yzt2xz

C.

(x+y+z) =x)+y)+z2+3(x+y)(y+z)(2++)

d.

x+y`+z`—3yz =(x+ y+z)(# + y) + z —xy— yz— xe}

Bài 20: Chứng minh rằng : Nếu —a =<" == e thi (x°+y?+2)(a? +b? +c?) =(ax+by+ez)

Bài 21: Chứng minh rằng : Nếu (x°+ y? + z”)(a°+bŠ +e°)=(ax+by+cz)” thì ^a =2 =2Cc
Bai 22:
a.

Cho P=(x+y) +(y+z) +(z+x)

va O=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y). Chung

minh rang néu P=Q thi x=y=z.
b. Chứng minh rằng néu a+b+c=Othi a+b? +c =3abe

c.

Cho z+b+c=2p. Chứng minh rang 2be+b? +c? -a? =4p(p—a)

Bai 23: Chimg minh rang
a.

(z —b° ) +(2ab) = (a

b.

(a? +b*)(c? +d) =(ac+bd) +(ad —be)’

c.

+b° )

10007 +1003ˆ +10057 +1006ˆ = 1001” +1002 + 1004” +10077

Bài 24: Chứng minh rằng
a.

(a? —b’)(c? —d*) =(ac+bd) —(ad +be)’

b.

2(a’ +b’ +c’ -3abe) =(a+b+e)| (a—b)’ +(b-c) +(c-a) |

C.

(a+b)(b+ec)(c+a)+4abe=c(a+b} +b(a+e} +a(c+b}

Bài 25:
1. Cho x “+ yÏ+z” =xy+ yz++xz. Chứng minh rằng X=y=Z
2.

Cho

(a—b} +(b-c) +(c-a) +4(ab+be+ca)=4(a? +b* +c’)

Chung minh

3. Cho a+b+c+d=0. Ching minh a’ +b’ +c’ +d* =3(ab-cd)(c+d)
4.

Cho

a+b+c=0.

Ching minh

a*+b° +c? = 3abe

Bài 26: Cho z+ø+c=0. Chứng minh rang a‘ +b* +c*. Bang mdi biéu thir sau:
Trang 4

a=b=c


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8
a.

2(ab’ +b°c? + ca’)

b.

2(ab+be+ca)y

C.

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

(a? +b? +¢? )

2

Bài 27: Chứng minh rằng z=»=c. Nếu có một trong các điều kiện sau:
a.

a°+b ˆ+c °=ab+bc+ca

b.

(a+b+c)

=3(a? +b’ +c’)

Cc.

(a+b+c}

=3(ab+bc + ca)

Bài 28: Cho z+ø+c=0. Chứng minh rằng M=N=P với
a.

M =a(a+b)(a+c)

b.

N=b(b+c)(b+a)

on

P=c(ct+a)(c+b)

Bai 29: Cho x+ y+z=0;xy+ yz+xz=0. Chung minh rang x=y=z
Bài 30: Cho x+ y=a+b;x°+y° =a’ +b°. Chung minh x°+y =a°+b°
x+y=ứa

Bài 31: Cho 4 x?+

y

y?=ø» chứng 8 minh rằng8 z—3ab+2c

x'+ y° =C

Bai 32: Chimg minh rang

a. a+b’ =(a+b) —3ab(a+b)
b.

a+b

+c =3abe =(a+b+c)(a’ +b +c? - ab—be-ca)

Từ đó suy ra kết quả
a.

Nếu a`+b°+c` =3abe thì at+b+c=0

b. Cho L+++*=0. Tính A=+
abe

a

b

hoặc a=b=ec

¿4

c

c. Cho a? +b +c? =3abe. Tinh z=[+z [r2 l+Š]
Cc

a

với abc #0

Bài 33: Chứng minh rang 3599 viết dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1.
Trang 5


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

Dang 4: Tim x

®S mm

wr

Bai 34: Viét cdc biéu thtrc sau dudi dang tong cia hai binh phuong:
x =4x+5+y

+2y

2.

2a°+2ab—2ax+x°
+b°

2x° + y* —2xy+10x+25

4.

x°-2x+y°+6y+10

a’ +2ab+5b° +4b+1

6.

x°4+10x+26+ y?+2y

2x°+2y

8.

4x°+4x+10+6y+y*

x +13-6x° +4y+y

10. -6x+9x° -8y+4y?

ewe mm a2 —

Bai 35: Tim x, y, z biét rang
x +4y°—2x+4y+2=0

2.

x +xy+y =0

xˆ+2y°+2xy-2x+2=0

4.

x -4x+5+y

x*+y +zÏ =xy+yz+xz

Ó.

xˆ+2y +2xy-2y+I=0

2x2+2y “+z”+2xy+2xz+2yz+2x+4y+5=0

8.

5x +3y +z”`-4x+6xy+4z+6

+2y=0

2x2+2yÏ+zˆ+2xy+2xz+2yz+10x+6y+34=0

Dạng 5: Chứng mình chia hết

eo ao

oe

Bài 36: Chứng minh răng :
352% _ 352%
43? + 43”
27° +9° chia
24949!

chịa hết
chia hét
hét cho
chia hết

cho 17.
cho 11
4
cho 7

(2m—3)(3n—2)—(3m—2)(2n—3) chia hết cho 5

Bài 37: Cho

A=5x+2y;B=9x+7y

a. Tính 7A-2B
b. Chứng minh rằng nếu x, y thỏa mãn A chia hết cho 17 thì B cũng chia hết cho 17
Dựng 6: Đa thức dong nhất
Bài 38: Cho đa thức x° —2x° +3x-4

a.. Viết đa thức dưới dạng đa thức của biến y với y=x-l
b. Viết đa thức dưới dạng đa thức của bién z voi z=

Bai 39: Tim hé sé a, b, c
Trang 6

x+1

a


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

a.

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

2x? (ax? +2bx+ 4c) = 6x* —20x° -8x° với mọi x

b.

(ax+b)(x —Cx+ 2)= x`++x”—2 VỚI mỌI x.

Dạng 7: Các bài toán GTLN, GTNN
Bài 40: Chứng minh răng các biêu thức sau có giá trị dương với mọi giá tri cua x:
1l.

xˆ-6x+10

2.

x -8x+19

3.

3x

A.

x 4x41

5.

(x-3)(x-5)+44

6.

x+y? -8x4+4y431

7.

| 22 y3

8.

An

9.

eaexst

-Ó6x+5

3

10,2

3

+43

16

Bài 41: Chứng minh răng các biêu thức sau có gia tri 4m voi moi x:
l.

-x?+4x-5

2.

-x`-6x+10

—x

4.

-x °+3x—23

6.

—x2k^x—1

+x-—Il

—1>2+x~3
4

3

Bài 42: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
l.

A=-4x7-4x-—l

3. A=-3x2 42x-1
—_

5.

A=—4x°

7.

9,

3x2

_

A=-x

+I0x-30

4. A=-2x°-2x-3
6.

-x

A=-x7-x-l

8.

A=-2x

A=-x +5x

10. A =—4x? —4x

11.A=-2x°

+12x-7

2.

+8x-15

+6x-l15

12. A=3x?

+6x_-8
+9x

13.A=3-6x-x°

14. A=-2x°

+5x

15.A=—-9x° -184+24x

16. A=-2x° — y* —2xy+4x+2y4+5

17. A=2x+12y+6z-x
—4y? —z°-18

Bai 43: Tìm giá trị nhỏ nhất:
l.

A=x`-4x+7

2.

A=2x+3x+4

3.

A=3x +5x

4.

Ĩ.

A=x +4x+09

A=x -4x+y -Ñy+6

7.

A=10x °+30x+100

8.

A= (x+1)(x- 3)(x+2)(x+6)

3.

A=(x-l)(x+2)(x+3)(x+6)

9. A=(x-2)(x+2)

10.A=(x+2)(x—1)(x+5)(x+8)

Trang 7


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

11. A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

12.A=x* —2x° +3x° —4x+2016

13. A=2x° +4y* +4xy4+2x+4y+9

14. A=x* -6x° +10

15.A=x°-2x° 4+2x°-2x4+2

16.A=x*
—4x° +6x° —4x4+5

17. A=m’? —4mp +5 p* +10m—22p+28

18. A=(x+1) +(x-3)

Dạng 6: Các dạng toán khác
Bài 44: Chứng minh răng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng của hai bình phương
x°+2(x+1ÿ +3(x+2} +4(x+3)
Bài 45:

a. Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 62. Tìm

ba sơ đó.
b. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết răng tổng các tích từng cặp của hai trong ba số đó bằng
191.

Bài 46: Chứng minh rằng các biêu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
A= (x" + 1)(x" — 2)-x"” (4

-*}+ 2017

CHUYEN DE II: PHAN TICH DA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Dang 1: Phan tich da thitc thanh nhân tử
Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
Cách 1: Đặt nhân tử chung
Cách 2: Dùng hằng đẳng thức
Cách 3: Nhóm hạng tử
Cách 4: Tách hạng tử
Cách 5: Thêm bớt hạng tử

Cách 6: Đặt ân phụ
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. 10x?+y?—1lxy
2.

2x `+3x”+3x+I

Trang 8


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

3.

x +x +IH

4.

3x

5.

x -x

Ĩ.

3xÌ-7x7+l17x-5

7.

x’ +2015x* + 2014x + 2015

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

-8x+4
-4

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Phối hợp nhiều phương pháp)
1.

a"? +a”

2.

-5x"y+l5x'y

3. x(2x-7)-4x+14

4. 2x)+3xÌ+2x+3

5.

x'z+xX yz—xX z”—xyzŸ

6.

x°+(a+b)xy+aby’

ab(x? + y’)+xy(a° +0")

8.

(xy +ab) +(ay—bx)

a’ (b-c)+b’ (c—a)+c’ (a—-b)

10.15x* —10x* y+ y?

7.

9.

11.-16a*b® — 24a°b° —9a°b*

12. 4bp°?c? -(P? +c -a’)

13. (a? +b’ -5) -4(ab+2)

14. (4x? —3x-18) —(4x” +3x)

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Tách hạng tử )
l.

x”-6x+3

4. 4p”-36p+56
7.

x -5x ` -l4x

2.

a -5a+l4

3.

2m

5.

0x +6x-8

Ó.

x -7xy+y”

8.

x

9.

a’ +4a’?-5

yz+5xyz —l4yz

°+10m+8

10. x +4x° —29x+ 24

I1.x'`-7x-6

13.3x° + 22xy+4x4+8y4+7y? +1

12.x'+2x+x +x+l

14. °° +6x? +11x+6

15.12x* +5x—12y*

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử băng cách thêm bớt hạng tử:
1.

a +a

4.
7.

+]

2.

a’ +64

3.

a +4b*

x°+4

5.

64x° 41

6.

81x*+1

x +x +T

8.

x+x+I

9,

x +x +]

10.x+x!+I

11.x+x+l

14.a° +a +1
Bài 5: Phân tích thành nhân tử băng cách thêm bớt hạng tử:
13. x7 — 4x7 +4x-1

l.

xy(x-y)+yz(y—z)+xz(£—*)

2. ab(a+b)—bc(b+c)+ac(a—c)
3.

a(b+c)(b? -)+b(c+a)(e?

4.

(a+b)(a° -b’)+(b+c)(b° =c?)+(c+a)(c? -đ?)

5

(b—c)

.

a’)

+(c-a) +(a—b}

Trang 9

12.xẺ+x'+I

15.a“+aŸb+b°

—12y+10xy—3


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

6. a(b’-c’)+b(c? -a’)+c(a@ -b’)

7. a’ (b’ —c?)+b* (c? -a*)+c° (a’ -b’)
8. z(b?—c?)+b(c°—a?)+ec(a°—b°)
9.

(a+b+c)(ab+be+ca)—abe

10. a(a+ 2b)’ —b(b+2a)
ll.a@

+b? +c —3abc

12.(a+b+c)
-a* —b* -c’
13.(x-y)} +(y-z} +Œ@-x}
14.a`—b`+c`+3abc

15.a°—b°—c°—3abe

—

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (Đặt biến phụ)

.- (x'+x} +4#)+4x—-12

2. (x)+4x+8) +3x(x?+4x+8)+23
3. (x-y} +4(x-y)-12

4. (x? +x) +3(2+x)+2
5. (x? +x4I1)(x° +.x4+2)-12

6. 6x4 -11x? +3
Bai 8: Phan tich thanh nhan tu ( Phuong phap doan nghiém )
1l.

2x -5x

4.
7.

+8x-3

2.

x -4x-8x+8

3.

6x —x* —486x4+81

x +4x°+4x+l

5.

x -5x

6.

x-5x

x`+3x +6x+4

8.

2x `-12x °+17x-2

0.

x+x

+8x-4

10. x° +.2x° +3x4+2

11.3x° —3x* +3x-1

13. x* —2x° +3x° —2x4+1

14. x* +.6x° +17x° -—6x+4+1

+3x-—9
+4

12.3x°—14x”+4x+3

1.

(x+1)(x+2)(+3)(x+4)—24

3.

(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20

5.

(x? +x+1)(x°

+3x+1)+x

1. (a°+b°—5) —4(ab+2}

œ| | tk

Bài 9: Phân tích thành nhân tử:

Trang 10

x(x+1)(x+2)(x+3)+1
(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)—-20
(x7 +4x+8)

+3x(27

+4x+8)+2x”


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

s [ 4abed +(a? +b?) +(c? +4) -4[cd (a? +b) +.ab(c’ +4)
Dạng 2: Chứng mình dăng thức
Bài 10: Cho (x+ y+z)(x
yz +xz)y+
= xyz. Chứng minh rằng x

2013

+

yor

2013

+z

2013

=(x+y+z}

013

Dạng 3: Chứng mình chia hết
Bai 11:

I.

Chứng minh rằng nếu x+y+z:6 thì A=(x+y)(y+z)(x+z)-2ayz:6

2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì ta có (4n+ 3)" — 25:8
Dạng 4: Một số dạng tốn khác

Bài 12: Chứng minh răng với mọi x,yeZ thì ta có (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+ y° là số chính
phương.

Bài 13: Cho 7 =(z—1)(z—3)(?—4)(£—6)+9
a. Chứng minh 7 >0 với mỌọi f
b. T là số chính phương với mọi t

Bài 14: Tìm bộ ba số nguyên (x;y;z) thỏa mãn : x` + y`+3xyz=z” =(2x+2y)

Bài 15: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A =m`+2n?—3
a. Là hợp số

b. Băng 2013
Bài 16: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức ø =n*—n”—6n?+7nm—21 là số nguyên tô.

Bài 17: Chứng minh rằng tổng của tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với số 16 là số chính
phương.

Bài 18: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x+z)(x—2)—7=(x+b)(x+e)
Bài 19: Cho a, b, c là ba số khác

0 thỏa mãn điều kiện zø°+bÌ+c°Ằ =3abc và a+b+c+0. Tính giá

trị của biểu thức 1 = (+2 )(142 1]
Cc

a

Bài 20: Tìm sơ tu nhién n dé gia tri cua biêu thức sau là một sô nguyên tô
Trang 11


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8
a.

A=nằ-4n

b.

B=n’?—-6n’? +9n-2

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

+4n—]

Bai 21: Cho a, b, c thoa man dang thức :

4+1

2b

2

+i
2

;c +1

2

2

Tính giá trị của biểu thức Q=ø

2013

+b“

2014

“+c

2015

Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn

g@meaogs

3x-l3= y(x-3)

x+y=xy
xy—x+2(y—1)=13
y(x-2)+3x+6=2
xy+3x-2y-7=0

xy-x+5y—-7=0
2x +xy—y °—5x+4y—13=0

Trang 12


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

CHUYEN DE 3: CHIA DA THUC
Bài 1: Cho da thitc B=6x"*y°-19x"* y°z và đơn thức C =4x*y"!. Hay xac dinh gid tri của số tự

nhién n dé B chia hét cho C.

Bài 2: Xác định các số hữu tỉ p va q dé da thitc x° + px+q chia hét cho x? -2x-3
Bài 3: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biêu thức 2w`—7n? +13n+2 chia hết cho các giá

trị của biểu thức 2ø—1

Bài 4: Đa thức f(x) nếu chia cho x—2 được số dư bằng 3, nếu chia cho x-3 thì được số dư băng

4. Tìm dư của phép chia f(x) cho (x—2)(x-3)
Bài 5: Xác định hệ số a để
a.

18x?+a

chia hết cho 2x—3

b.

x*+ax*

c.

2x°+ax+5

+1

chia hét cho

x7 -2x+4+1

chia cho x+3 du 41

Bài 6: Xác định a, b để
FT

2x*+ax?+b

Oo

ax’ +bx+12 chia hét cho (x-1)(x+2)

>

2x°—3x?+ax+b chia hết cho x?+x+2
chia hết cho x?—x+3

x +ax+b

chia cho x-2 thi du 12 va chia cho x+1 thi du -6

Bài 7: Tìm a, b, ¢ dé ax’ +bx’ +c chia hết cho x-2 và chia cho +? —1 thì dư là 2x+5
Bài 8: Tìm số dư của phép chia đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2015 chia cho đa thức
+“ +8x+10

Bài 9: tìm các số a, b, c, d để x'+ax°+øx?+cx+d chia cho (x—2):(x—1);(x+1):(x+2) đều có số
dư là 2012.
Bài 10: Chứng minh rằng x° + y°—z°+3xyz chia hết cho x+ y—z. Tìm thương của phép chia.

Bài 11: Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0; P(3)=0; P(5)=0. Chứng

minh răng đa thức Q=P(-2) + 7 P(6) chia hết cho 28.

Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x—2du 24, f(x) chia
cho x?-4 được thương là -5+x và còn dư.

Bài 13: Cho đa thức f(x) các phần dư trong các phép chia f{x) cho x và x-1 lần lượt là 1 và 2.

Hãy tìm phân dư của f(x) chia cho x(x-1)

Trang 13


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

Bai 14: Tim sé du phép chia (x+2)(x+4)(x+5)(x+7)+2017 chia cho x7 +9x+10
Bai 15: Tim tap hop s6 nguyén x dé gid tri cla da thttc x°+3x-5 chia hét cho giá trị của đa thức
x +2

Bai 16: Da thurc P(x) khi chia cho x-1 thì dư 3. khi chia cho x-2 thì dư 7, cịn khi chia cho

(x-1)(x-2) được thương là x”-3 và còn dư. Xác định đa thức P(x).
Bài 17: Tìm các hăng s6 a, b, c sao cho ax? +bx? +c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi du la
x+5

Bai 18: Chimg minh rang
] . x? +x'°+1 chia hét cho x°+x'° +1
2 . _x =x -x"® chia hét cho x -—x+1

3. x°~10x+9 chia hết cho (x-1)
4 . 8x"~9x*+1 chia hết cho (x-1ÿ

2

Bài 19: Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) với
f (x) = xe

ea

g(x) =x +x+x

tt

tl 4]

+..+x+I

Bài 20: Chứng minh răng đa thức (x+y)”+(x- y)” chia hết cho x°+ y’
Bài 21: chứng minh răng với mọi số tự nhiên n ta có :
a. (x+1)”—x?””—2x—1 chia hết cho x(x+1)(2x+1)
b.

C.

+x2+2x?””° +1

chia hết cho

(x+ iy” + (x-1)"”

(x+ ly

chia hét cho x? +1

Bai 22: Ching minh rang với mọi s6 ty nhién n thi (x"-1)(x"*"'-1) chia hét cho (x+1)(x-1)’
Bai 23: Chimg minh rang
a.

x"”+x'“+1

chia hệt cho x””+x" +1

b.

f(x)= (x7 +x+1)- +(x —x+l)- chia hết cho x? — x

Trang 14


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

CHUYEN DE 4: PHAN THUC DAI SO
Bai 1: Cho biéu thirc
1

A=

a —1

—¬.3

2a+b_

2a

2x

|

`-b+2a-afb

4a+2b

2

ab+ab

a

3

a. Rut gon A

b. Tinh gid tri cla A biét 4a2 + b* = Sab vaa>b>0O

Bài 2: Cho biêu thức
P=

a
ab+b

b

++

ab—a

a+b

77

ab

a. Rut gon P.

b. Có giá trị nào của a và b để P = 0?

c. Tính giá trị của P biệt a và b thỏa mãn:
3a?
+ 3b = 10ab
và a>b >0

a`—4a”—a+4
Bài 3: Cho biểu thức ”=_—————————
a —Ta

+14a—-8

a. Rut gon P
b. Tim gia tri nguyén cua a dé P nguyén.
,
Bai 4: Cho biéu thức

l-x
A = (i=

- x}

1-x
Ee

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính giá trị của biểu thức A tại x = lS.
c.

Tìm giá trị của x để A < 0.
bˆ+c -a"

Bài 5: Cho x = ———~-::

ay

2bc

OA

_ a —(b-cy
y = ——"

sợ

(b+c)`-a7

Tính giá trị của P=x+y+xy

Bài 6: Cho biêu thức
A=

salxt*eazalenl

(x +1)

X

X

+2x+Ïl\x

XI

X

a. Thu gon A
Trang 15

voi

x khac -1 va 1.


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

b. Tìm các giá trị của x để A<1
c. Tìm các giá trị ngun của x đề Acó giá trị nguyên

Bai 7: Cho biêu thức
l
A=|=+

G

3

=

x

+

lsẽ~

1

=

a. Rut gon A.

b. Timx dé A <-1.
c. Với giá trị nào của x thì A nhan gia tri nguyên.
Bài 8:

Cho biểu thức :
x
x

-4x

6

1

10—x°

6-3x

x+2

x+2

a) Rut gonp.

b) Tính giá trị của biểu thite p khi |x|==
c) Voi gia tri nao cua x thì p = 7
d) Tìm giá trị ngun của x để p có giá trị nguyên .
Bài 9:

Cho biểu thức:
P=

2x—3
5
4xˆ-l2x+5

+

2x—8
5
13x-2x°-20

—

3
2x-1/)

-21+2x-8§xf
:
5
4x°+4x-3

a) Rut gon P
`"...
,
b) Tinh gid tri cua P khi |]

=

1

5

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
đ) Tìm x thỏa mãn P > 0.

Bài 10:
Trang l6

+]


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

Cho biOu thøc:
2

An
x-ÓÚx
x

(Vx#0;x# +6 )

na

+6x/

l2x/

+12

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x=————

9+4^2/5

Bài 11:
Cho biéu thức:

P==—+——
a—a

+

a -3a+2

Ị

+

a -5a+6

]

a -7a+l2

+

Ị
a`-9a+20

a. Rut gon P
b. Tính giá trị cua P biét a’ -a°+2=0
Bai 2: Cho biéu thuc
Q=

K=

2x—1

a.

a

—

Ax

:

2x+1)

"
VỚI

4x+2

xz0,x#+C

1

Rút gọn Q

b. Tìm x để Q<0

Bài 2: 2 điểm
2

,

Cho biêu thức

Ẫ

4-4

2

`

2-x

+

1

x+2)

Ì

1

"

VỚI xz+2

x+2

a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của x để P nhận giá trị là số nguyên dương.
Bài 2:

Cho biêu thức A =

3
x—l

+

2
x+l

——=

x3

xế -Ì]

VỚI xz+]

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tim tat cả các sô nguyên x đê A nhận gia tri nguyên

CHUYỂN ĐÈ 5: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Các phương pháp :
Trang 17


Chun đề bơi dưỡng HSƠ tốn 8

1.

GV: Lé Van Tuan THCS Phong Khé

Phuong pháp khử ân để tìm nghiệm nguyên

2. Thu gọn tập nghiệm dựa vào điều kiện các ân

3. Phương pháp giản ước cho ước số chung
4. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

xy+3x+2y=6
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x?— y? =2017

Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau khơng có nghiệm ngun
a.

x°—y? =2010

b.

xf+yf+z?=1000

Bài 4: Tìm nghiệm ngun của phương trình
4x+5y=

2012

TAM

YY

I+x+x+x
` =y'

8.

9,

xt — yt 4 2442x727?
4+3x° +427 4+1=0
xi+x°—y?+y+10=0

1H2H3H..4x!=y?

Vx +

Lil
x

y=9

y

5(x+yt+z+1t)+15 = 2xyzt

x°4+3y2 +97? =9xyz

10.3'+4'=5
11.2'+2?+2? =512

12.Jx+Vx =y
Bài 5: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

Trang 18