75 cau TN Toa do Oxyz co loi giai

75 CÂU TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CĨ LỜI GIẢI






a
b
a
b
0
Câu 1: Gọi là góc giữa hai vectơ và , với và khác , khi đó cos  bằng



 
a
.b
a.b
 a.b
a b
 
 
 
 
a.b
a.b
a.b
a.b
A.

. B.
.
C.
.
D.
.

a  1; 2;0 
b  2;0;  1
Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ
và
, khi đó cos  bằng
2
2
2

A. 0.
B. 5 . 
C. 5 .
D. 5 .


a  1;3; 4 
b
a
Câu 3: Cho vectơ
, tìm vectơ
cùng phương với vectơ




b   2;  6;  8  .
b   2;  6;8  .
b   2;6;8  .
b  2;  6;  8  .
A.
B. 
C.
D.

a   2; 2;5  , b  0;1; 2 
Câu 4: Tích vô hướng của hai vectơ
trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
A   1; 2;3 , B  0;1;1
Câu 5: Trong không gian cho hai điểm
, độ dài đoạn AB bằng
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
 

Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
Câu 6: Trong
không
gian

 
  
  
  

xi

y
j

zk
.
xi

y
j

zk
.
x
j

yi

zk
.
xi
A.
B. 
C.

D.  y j  zk .

 
 a , b 
a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ; b2 ; b3 )
Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ
,
là một vectơ, kí hiệu
, được xác định
bằng tọa độ
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
A.
B.
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1; a1b1  a2b2  .
C.
D.



u  u1 ; u2 ; u3 
v  v1 ; v2 ; v3  u.v 0
Câu 8: Cho các vectơ
và
,
khi và chỉ khi
A. u1v1  u2v2  u3v3 1 .
B. u1  v1  u2  v2  u3  v3 0 .

C. u1v1  u2v2  u3v30 .
D. u1v2  u2 v3  u3v1  1 .

a  1;  1; 2 
Câu 9: Cho vectơ
, độ dài vectơ a là
A. 6 .
B. 2.
C.  6 .
D. 4.
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi
đó tọa độ điểm M có dạng
M  a; 0; 0  , a 0
M  0; b; 0  , b 0
M  0; 0; c  , c 0
M  a;1;1 , a 0
A.
.
B.
. C.
. D.
.
 Oxy  sao cho M không trùng với gốc tọa
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng
độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c 0 )
 0; b; a  . B.  a; b; 0  .
 0;0; c  .
 a;1;1
A.
C.

D.




b 2 a
a  0;3; 4 
Oxyz
Câu 12: Trong khơng gian
, cho
và
, khi đó tọa độ vectơ b có thể là
 0;3; 4  . B.  4;0;3 .
 2; 0;1 .
  8; 0;  6  .
A.
C.
D.



 u, v 
 bằng
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó 
 

 






u . v .sin u , v .
u . v .cos u , v .
u.v.cos u , v .
u.v.sin u, v .
A.
B.
C.
D.



  
a  1;  1; 2  , b  3;0;  1 , c   2;5;1
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
, vectơ m a  b  c có
tọa độ là

 

 

 

 


A.

 6;0;  6  .B.   6;6; 0  .

C.

 6;  6; 0  .

 0;6;  6  .
D.
A  1; 0;  3 , B  2; 4;  1 , C  2;  2; 0 

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
. Độ dài các cạnh AB, AC , BC
của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D. 21, 13, 35 .
A  1;0;  3 , B  2; 4;  1 , C  2;  2;0 
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
. Tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC là
5 2 4
 5 2 4
5

 ; ; 
 ; ; 
 ;1;  2 
5;
2;

4


.
A.  3 3 3  .
B.  3 3 3  .
C.
.
D.  2

A  1; 2;0  , B   1;1;3 , C  0;  2;5 
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
. Để 4 điểm A, B, C , D đồng
phẳng thì tọa độ điểm D là
D   2;5; 0 
D  1; 2;3 
D  1;  1; 6 
D  0; 0; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Oxyz , cho ba vecto a (1; 2; 3), b (  2; 0;1), c (  1; 0;1) . Tìm tọa độ của vectơ
Câu
 18:Trong

 khơng
 gian
n a  b  2c  3i

A.

n  6; 2;6 

.


n  6; 2;  6 


n  0; 2;6 


n   6; 2; 6 

B.
.
C.
.
D.
.
Oxyz
A
(1;0;
2),
B

(

2;1;3),
C
(3;
2;
4)
ABC
Câu 19: Trong khơng gian
, cho tam giác
có
. Tìm tọa độ trọng tâm
G của tam giác ABC
 1 
2

G  ;1;3 
G  2; ;3 
G  2;3;9 
G   6; 0; 24 
.
A.  3
B.
.
C.
.
D.  3  .
M  2;0;0  , N  0;  3;0  , P  0;0;4  .
Câu 20: Cho 3 điểm
Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q

là
Q   2;  3; 4 
Q  2;3; 4 
Q  3; 4; 2 
Q   2;  3;  4 
A.
B.
C.
D.
M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5 
Câu 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
. Để tứ giác MNPQ là hình
bình hành thì tọa độ điểm Q là
Q   6;5; 2 
Q  6;5; 2 
Q  6;  5; 2 
Q   6;  5;  2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A  1;2;0  , B  1;0;  1 , C  0;  1;2  .
Câu 22: Cho 3 điểm
Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .

C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
A   1; 2; 2  , B  0;1;3 , C   3; 4; 0 
Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
. Để tứ giác ABCD là
hình bình hành thì tọa độ điểm D là
D   4;5;  1
D  4;5;  1
D   4;  5;  1
D  4;  5;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


 


a 2; b 4
a b
0
Câu 24: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 60 và
. Khi đó
bằng
A.

8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

M  1; 2;  3
 Oxy  bằng
Câu 25: Cho điểm
, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
A. 2.
B.  3 .
C. 1.
D. 3.
M   2;5;0 
Câu 26: Cho điểm
, hình chiếu vng góc của điểm M trên trục Oy là điểm
M  2;5; 0 
M  0;  5;0 
M  0;5;0 
M   2;0;0 
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
M  1; 2;  3
 Oxy  là điểm
Câu 27: Cho điểm
, hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng
M  1; 2;0 
M  1;0;  3
M  0; 2;  3
M  1; 2;3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


M   2;5;1
Câu 28: Cho điểm
, khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A. 29 .
B. 5 .
C. 2.
D. 26 .
Câu 29: Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng
thức đúng
   

   
   
 
IA

IB

IC
.
IA

IB

CI

0.
IA

BI

IC

0.
A.
B.
C.
D. IA  IB  IC 0.






a   1;1;0  b  1;1;0  c  1;1;1
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ
;
;
. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai:


 
 
a  2.
c  3.
A. b  c.
B.
C.
D. a  b.

 Oxy  là điểm
, điểm đối xứng của M qua mặt phẳng
M  3;  2;  1
M  3; 2;1
M  3; 2; 0 
B.
.
C.
.
D.

.
M  3; 2;  1
M  a; b; c 
Câu 32: Cho điểm
, điểm
đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
4.
A. 6.
B.
C. 0.
D. 2.



0
u  1;1;1
v  0;1; m 
u
Câu 33: Cho
và
. Để góc giữa hai vectơ , v có số đo bằng 45 thì m bằng
A.  3 .
B. 2  3 .
C. 1  3 .
D. 3 .
Câu 31: Cho điểm
M  3;  2;1
A.
.

M  3; 2;  1

A  1;  2;0  , B  3;3; 2  , C   1; 2; 2  , D  3;3;1
Câu 34: Cho
. Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi
công thức nào sau đây:
  
 

1  AB, AC  . AD
1  AB, AC  . AD

h
.

h
.
3  AB. AC 
3
AB
.
AC


A.

B.
 
 
 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD
  
  
h
.
h
..
 AB. AC 
AB. AC


C.
D.
A  1;  2;0  , B  3;3; 2  , C   1; 2; 2  , D  3;3;1
Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
. Độ dài
ABC

 là
đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng
9
9
9
9
A. 7 2 .
B. 7 .

C. 2 .
D. 14 .
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9;  5) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14 



G   9; ;  30 
G  3;3; 
G
8;12;
4
G  2;3;1

.
4
4 .
.
A. 
B.
C. 
D.
.
Oxyz
A
(1;
2;1),
B

(2;

1;
2)
Câu 38: Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm M trên trục Ox và cách đều hai
điểm A, B có tọa độ là
 1 1 3
M ; ; 
 2 2 2.
A.

1

3

 1 3
M  ;0; 0 
M  ;0; 0 
M  0; ; 
2
.
2
.
 2 2 .
B.
C.
D.
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3;  1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều hai

điểm A, B có tọa độ là


3

 3 1 3
M  0;0; 
M ; ; 
2.

 2 2 2.
A.
.
B.
.
C.
D.

Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1;  2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9


35 .
A. 2 35 . B. 35 .
C. 2 35 .
 D.



a (2;  1; 2), b (3;  2;1) là
Câu 41: Tọa độ của vecto n vng góc
với
hai
vecto



n  3; 4;1
n  3; 4;  1
n   3; 4;  1
n  3;  4;  1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.


2 
   




a 2; b 5,

u

ka

b
;
v

a

2
b
.
a
b
u
v
3
Câu 42: Cho
góc giữa hai vectơ và bằng
,
Để vng góc với
k
thì bằng
6
45
6
45

.

.
.

.
45
6
A. 45 B. 6
C.
D.


u  2;  1;1 , v  m;3;  1 , w  1; 2;1
Câu 43: Cho
. Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
3
3
8
8


A. 8 .
B. 8 .
C. 3 . 
D. 3 .

 
a  1;log3 5; m  , b  3;log 5 3; 4 
a
Câu 44: Cho hai vectơ
. Với giá trị nào của m thì  b

A. m 1; m  1 .
B. m 1 .
C. m  1 .
D. m 2; m  2 .
M  0; 0; 4 

M  0; 0;  4 

Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x 5; y 11 .

B. x  5; y 11 .
C. x  11; y  5 .
D. x 11; y 5 .
Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Oxyz
Câu 47: Trong khơng gian
cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện
tích bằng
6
6
1
A. 6 .
B. 3 .
C. 2 .

D. 2 .
Câu 48: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là
bằng

 1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7; 7;5  . Diện tích của hình bình hành đó

83
83 .
A. 2 83 . B. 83 . 
D. 2 .
C.


a  1; 2;1 ; b   1;1; 2 
c  x;3 x; x  2 
a
x
Câu 49: Cho 3 vecto
và
. Tìm để 3 vectơ , b, c đồng phẳng
A. 2.
B.  1.
C.  2.
D. 1.




b


5;1;6
c   3;0;2 
a

3;

2;
4
,




Oxyz
Câu 50: Trong khơng gian
cho
,
. Tìm vectơ x sao cho
 ba vectơ

vectơ x đồng thời vng góc với a, b, c
A.

 1;0; 0  .

B.

 0; 0;1 .

C.

 0;1;0  .

D.

 0;0; 0  .

Câu
51:
Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2;  3) , C (7; 4;  2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức


CE 2 EB thì tọa độ điểm E là
 8 8
 3; ;   .
A.  3 3 

 8 8
 3; ;  .
B.  3 3 

8

 3;3;   .
3
C. 

1

 1; 2;  .

3
D. 


Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;  1) , B (2;  1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm
2
2
2
M  a; b; c 
là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P a  b  c có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2;  1) , B (2;  1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ
điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0;  3;1) .
D. D(0;3;  1) .
Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ
điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
I( ; ; )
I( ; ; )
I ( ; ; ).
I( ; ; )

3 3 3
A. 3 3 3 .
B. 3 3 3 .
C.
D. 3 3 3 .



a   1;1;0  , b  1;1;0  , c  1;1;1
Oxyz
Câu 55: Trong khơng gian
, cho 3 vectơ
. Cho hình hộp

 

OABC.OABC  thỏa mãn điều kiện OA a, OB b , OC ' c . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:
1
A. 3

2
C. 3

B. 4

D. 2

A  2;  1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1
Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm
. Cho

các mệnh đề sau:
1- Độ dài AB  2 .
2- Tam giác BCD vng tại B .
3- Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C. 1); 3).
D. 2), 1)



a   1,1, 0  ; b (1,1, 0); c  1,1,1
Oxyz
Câu 57: Trong không gian
, cho ba vectơ
. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào đúng:

6
   
cos b, c  .
a
3
A.
B.  b  c 0.


a
,

b
,
c
a
A.
đồng phẳng.
D. .b 1.

 

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B( 1;1; 2) , C ( 1;1;0) ,
D(2;  1;  2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2
.
13

B.

1
.
13

C.

13
.
2

3 13
.
D. 13

Câu 59: Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng
thức đúng


1  
1  
SI  SA  SB  SC .
SI  SA  SB  SC .
2
3
A.
B.
    
   
C. SI SA  SB  SC.
D. SI  SA  SB  SC 0.









Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(  2;1;  1) . Thể tích

của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .


0 
0


Câu 61: Cho hình chóp S . ABC có SA SB a, SC 3a, ASB CSB 60 , CSA 90 . Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A. 3 . B. 3 .
C. 3 .
D. a 3 .
A  2;5;1 , B   2;  6; 2  , C  1; 2;  1
M  m; m; m 
Câu 62: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
và điểm
,


MB  2 AC
để

đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
A
2;5;1

 , B   2;  6; 2  , C  1; 2;  1 và điểm M  m; m; m  ,
Câu 63: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
2
2
2
để MA  MB  MC đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
A   2; 2; 6  , B   3;1;8  , C   1;0;7  , D  1; 2;3
Câu 64: Cho hình chóp S . ABCD biết
. Gọi H là trung điểm của
27
CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng 2 (đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn u
cầu bài tốn. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2

I  0;1;3
I   1;0;  3 .
C.
.
D.

Câu 65: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;  1;7), B (4;5;  2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz )
tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. 2 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 66: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1;  1), B (3;0;1),C(2;  1;3) và D thuộc trục Oy .

A.

I  0;  1;  3

.

B.

I  1; 0;3

D  0; y1; 0  , D2  0; y2 ; 0 
Biết VABCD 5 và có hai điểm 1
thỏa mãn u cầu bài tốn. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 67: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A( 1; 2;4), B(3;0;  2), C(1;3;7) . Gọi D là chân


OD .
đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài

207
.
3

203
3

201
205
.
.
A.
B.
C. 3
D. 3
Câu 68: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B(5;1;  2) , C (7;9;1) . Tính
độ dài phân giác trong AD của góc A
2 74
3 74
.
.
A. 3
B. 2
C. 2 74.
D. 3 74.
Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4;  1) , B(1;4;  1) , C (2; 4;3) D(2; 2;  1) . Biết
2

2
2
2
M  x; y; z 
, để MA  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 6.
Câu 70: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1;  2) . H là trực
tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
.
.
.
.
A. 12
B. 14
C. 16
D. 15
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng
(Oxy ) và có hồnh độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các
điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:


  3  177 17  177  
  3  177 17  177  

3  177 
3  177 
B
;
;0  , C  0;0;
B
;
;0  , C  0;0;
.
.

4
2


4


4
2


4

A.
B.
  3  177 17  177  
  3  177 17  177  
3  177 
3  177 

B
;
;0  , C  0;0;
B
;
;0  , C  0;0;
.
.

4
2


4


4
2


4

C.
D.
B(3;0;8) , D( 5;  4;0) . Biết đỉnh A
Câu 72: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD
  ,
CA  CB
thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó
bằng:

A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3;  1) , B (2;3;  4) , C (3;1;  2) .
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
M  3; 0; 0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p 
Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
. Biết
0
2
2

MN  13, MON
60 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A m  2n  p bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.
Câu 75: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1;  2) . Gọi
I  a; b; c 

A. 48.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức P 15a  30b  75c
B. 50.

C. 52.
D. 46.
BẢNG ĐÁP ÁN

1.A
11.B
21.B
31.C
41.B
51.A
61.A
71.A

2.B
12.D
22.A
32.C
42.D
52.B
62.A
72.B

3.A
13.A
23.A
33.B
43.D
53.A
63.B
73.B

4.C
14.C
24.B
34.C
44.C
54.C
64.C
74.A

5.A
15.C
25.D
35.D
45.A
55.D
65.A
75.B

6.D
16.A
26.C
36.A
46.A
56.A
66.B

7.A
17.A
27.A

37.D
47.C
57.A
67.D

8.C
18.D
28.D
38.C
48.A
58.B
68.A

9.A
19.A
29.D
39.A
49.A
59.B
69.A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI







cos  bằng

a
b
a
b
0
Câu 1: Gọi
là góc giữa hai vectơ
và , với
và khác , khi đó




 
a.b
a.b
 a.b
a b
 
 
 
 
a.b
a.b
a.b
a.b
A.
.
B.
.

.
D.
.
 C.

a  1; 2;0 
b  2;0;  1
Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ
và
, khi đó cos  bằng
A. 0.

2
B. 5 .

a  1;3; 4 

Câu 3: Cho vectơ
A.


b   2;  6;  8  .

2
2

C. 5 .
D. 5 .



, tìm vectơ b cùng phương với vectơ a


b   2;  6;8  .
b   2;6;8  .
C.
 B.

a   2; 2;5  , b  0;1; 2 

Câu 4: Tích vơ hướng của hai vectơ
A. 10.
B. 13.

Câu 5: Trong không gian cho hai điểm

C. 12.

A   1; 2;3 , B  0;1;1

trong không gian bằng
D. 14.

, độ dài đoạn

AB bằng

D.



b  2;  6;  8  .

10.A
20.B
30.A
40.A
50.D
60.D
70.D


6.

C. 10.
D. 12.
 

M  x; y; z 
Oxyz
i
,
j
,
k
OM
Câu 6: Trong khơng gian
, gọi
là các vectơ đơn vị, khi đó với
bằng
  

  
   thì
  

xi

y
j

zk
.
xi

y
j

zk
.
x
j

yi

zk
.
xi
 y j  zk .
A.
C.
D.

 B.

 
 a , b 
a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1 ; b2 ; b3 )
Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ
,
là một vectơ, kí hiệu 
, được xác định bằng tọa độ
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
A.

8.

B.

A.

B.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b2  a3b3 ; a3b3 
D.



u  u1 ; u2 ; u3 
v  v1 ; v2 ; v3  u.v 0
Câu 8: Cho các vectơ

và
,
khi và chỉ khi
C.

u1v1  u2v2  u3v3 1 .
u v  u2v2  u3v3 0 .
C. 1 1

a  1;  1; 2 
A.

Câu 9: Cho vectơ

6.



a1b1 ; a1b1  a2b2  .

B.

u1  v1  u2  v2  u3  v3 0 .

D.

u1v2  u2v3  u3v1  1 .

, độ dài vectơ a là

 6.
D. 4.
Oxyz
Câu 10: Trong không gian
, cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M khơng trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M
A.

B. 2.

C.

có dạng
A.

M  a; 0; 0  , a 0

.

B.

M  0; b; 0  , b 0

.

C.

M  0; 0; c  , c 0

.

D.

M  a;1;1 , a 0

.

Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm
trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c 0 )
 0; b; a  . B.  a; b; 0  .
 0;0; c  .
 a;1;1
A.
C.
D.




b 2 a
a  0;3; 4 
Oxyz
Câu 12: Trong không gian
, cho
và
, khi đó tọa độ vectơ b có thể là
Câu 11: Trong không gian

A.

 0;3; 4  .

B.

 4;0;3 .

C.

 2; 0;1 .

D.

  8; 0;  6  .




 u, v 
 bằng
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó 
 

 





u . v .sin u , v .
u . v .cos u , v .
u.v.cos u , v .

u.v.sin u, v .
A.
B.
D.
 

 C.

 
a  1;  1; 2  , b  3;0;  1 , c   2;5;1
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
, vectơ m a  b  c có tọa độ là
 6;0;  6    6;6;0 
 6;  6; 0 
 0;6;  6 

 

A.

. B.

Câu 15: Trong không gian
giác
A.

 

.

B.

D.

. Độ dài các cạnh

11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
A  1; 0;  3 , B  2; 4;  1 , C  2;  2;0 

D.

AB, AC , BC của tam

21, 13, 35 .

. Tọa độ trọng tâm

5 2 4
 ; ; 
 5; 2; 4  .
B.  3 3 3  .
C.
A  1; 2;0  , B   1;1;3 , C  0;  2;5 

Oxyz cho ba điểm

D là
D   2;5; 0 

 

.

Oxyz cho ba điểm

5 2 4
 ; ; 
3.
A.  3 3
Câu 17: Trong không gian

.

A  1; 0;  3 , B  2; 4;  1 , C  2;  2; 0 

Oxyz cho ba điểm

ABC lần lượt là
21, 13, 37 .

Câu 16: Trong không gian
là

C.

 

G của tam giác ABC

5

 ;1;  2 
.
D.  2
A, B, C , D đồng phẳng thì tọa
. Để 4 điểm

độ điểm
A.

.
Hướng dẫn giải

B.

D  1; 2;3 

.

C.

D  1;  1; 6 

.

D.

D  0; 0; 2 

.

  
 AB, AC  . AD 0

Cách 1:Tính 
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.
Câu 18: Trong khơng gian

    
n a  b  2c  3i

Oxyz , cho ba vecto




a (1; 2; 3), b ( 2; 0;1), c ( 1; 0;1) . Tìm

tọa độ của vectơ


A.


n  6; 2;6 

.

B.


n  6; 2;  6 

.

C.


n  0; 2;6 

.

D.


n   6; 2; 6 

.

Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B ( 2;1;3), C (3; 2;4) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
Câu 19: Trong không gian
giác ABC
 1 
2

G  ;1;3 
G  2; ;3 
G  2;3;9 
G   6; 0; 24 

.
A.  3
B.
.
C.
.
D.  3  .
Câu 20: Cho 3 điểm
A.

M  2;0;0  , N  0;  3;0  , P  0;0;4  .

Q   2;  3; 4 

B.

Nếu

Q  2;3; 4 

MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là
Q  3; 4; 2 
Q   2;  3;  4 

C.
Hướng dẫn giải

D.

 x 2


 y 3
 

Q( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN QP   z  4 0
Gọi
M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7; 7;5 
Oxyz

Câu 21: Trong khơng gian tọa độ
thì tọa độ điểm
A.



. Để tứ giác

MNPQ là hình bình hành

Q là

Q   6;5; 2 

Điểm

cho ba điểm

.

B.

Q  6;5; 2 

.

Q  6;  5; 2 

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

Q   6;  5;  2 

.

Q  x; y; z 


QP  7  x;7  y;5  z 
,
 
MN QP  Q  6;5; 2 
MNPQ

MN  1; 2;3
Vì

là hình bình hành nên

Câu 22: Cho 3 điểm

A  1;2;0  , B  1;0;  1 , C  0;  1;2  .

A. tam giác có ba góc nhọn.
C. tam giác vuông đỉnh

Tam giác ABC là

B. tam giác cân đỉnh

A.

A.

D. tam giác đều.

Hướng dẫn giải

 
AB (0;  2;  1); AC (  1;  3;2) . Ta thấy AB. AC 0  ABC không vuông.


AB  AC  ABC
không cân.



Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
thì tọa độ điểm D là
A.

D   4;5;  1

Điểm



.

B.

A   1; 2; 2  , B  0;1;3 , C   3; 4; 0 

D  4;5;  1

D   4;  5;  1

.
C.
Hướng dẫn giải

. Để tứ giác

.

D.

D  4;  5;1

D  x; y; z 


DC   3  x; 4  y;  z 
,
 
AB DC  D   4;5;  1
Vì ABCD là hình bình hành nên


 


a

2;
b

4
a
b
0
Câu 24: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 60 và
. Khi đó
bằng
AB  1;  1;1

8 3  20.

A.

Ta có

Với

2 7.

C. 2
Hướng dẫn giải

5.

D.

 2  2 2
 

 
a  b  a  b  2 a b .cos a, b 4  16  8 28  a  b 2 7.

 

Câu 25: Cho điểm
A. 2.

B.

M  1; 2;  3

, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

B.  3 .

M  a; b; c   d  M ,  Oxy    c

C. 1.

D. 3.
Hướng dẫn giải

 Oxy 

bằng

ABCD là hình bình hành

2.

.


Câu 26: Cho điểm

M  2;5;0 

A.

Với

B.

M  a; b; c  

M  1; 2;0 

Với

Với

M  1; 2;  3

D.

M   2;0;0 

.

 Oxy  là điểm
M  0; 2;  3
M  1; 2;3
C.
.
D.
.

.
Hướng dẫn giải

M lên mặt phẳng  Oxy  là M 1  a; b; 0 

, khoảng cách từ điểm M đến trục

5.

B.

.

M lên trục Oy là M 1  0; b; 0 

M  1;0;  3

hình chiếu vng góc của

M   2;5;1

M  0;5; 0 

.
C.
Hướng dẫn giải

, hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng
B.

M  a; b; c  

29 .

M  0;  5;0 

hình chiếu vng góc của

.

Câu 28: Cho điểm
A.

, hình chiếu vng góc của điểm M trên trục Oy là điểm

.

Câu 27: Cho điểm
A.

M   2;5;0 

C. 2.

Ox bằng

D.
Hướng dẫn giải

26 .

M  a; b; c   d  M , Ox   b 2  c 2

Câu 29: Cho hình chóp tam giác



 
IA

IB  IC.
A.

S . ABC với I là trọng 
ABC . Đẳng thức
   tâm của đáy
    nào sau đâylà đẳng
 thứcđúng
B. IA  IB  CI 0.
C. IA  BI  IC 0. D. IA  IB  IC 0.






a   1;1;0  b  1;1;0  c  1;1;1
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ
;
;
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai:



 
 
a

2.
c  3.
b  c.
a  b.
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải


b
Vì .c 2 0.
Câu 31: Cho điểm
A.

M  3;  2;1

Với

6.

Với

B.

M  a; b; c  

B.

điểm đối xứng của

M  3; 2;  1

, điểm

4.

M  a; b; c  

M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm
M  3;  2;  1
M  3; 2;1

, điểm đối xứng của

.

Câu 32: Cho điểm
A.

M  3; 2;  1

.

D.

đối xứng của M qua trục

0.

, khi đó a  b  c bằng

D. 2.
Hướng dẫn giải

M qua trục Oy là M   a; b;  c 

 M   3; 2;1  a  b  c 0.


u  1;1;1
v  0;1; m 

Câu 33: Cho
A.

 3.

và

B.

2 3 .


0
u
. Để góc giữa hai vectơ , v có số đo bằng 45 thì m bằng
C. 1  3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải

1.0  1.1  1.m
1
cos  


2
2
3. m 1

m  1
2  m  1  3 m 2  1  
2
2
3  m  1 2  m  1
 m 2  3

Câu 34: Cho
A. 5.



A  1;  2;0  , B  3;3; 2  , C   1; 2; 2  , D  3;3;1
B. 4.

M  3; 2; 0 

M qua mặt phẳng  Oxy  là M  a; b;  c 
M  a; b; c 
Oy
C.

điểm đối xứng của

.
C.
Hướng dẫn giải

C. 3.



AB  2;5; 2  , AC   2; 4; 2  , AD  2;5;1
Tính
1   
V   AB, AC  . AD 3
6

. Thể tích của tứ diện

D. 6.
Hướng dẫn giải

ABCD bằng

.


Sử dụng Casio


AB )

AC )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ 
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
w 8 1 1 (nhập vectơ

C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính
Câu 35: Trong khơng gian
đây:

V)

Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau

 

1  AB, AC  . AD


h
.
3  AB. AC 


A.
 
 AB, AC  . AD
  
h
..
AB. AC

B.

 

1  AB, AC  . AD
h
.
3
AB. AC

 
 AB, AC  . AD
  
h
.
 AB. AC 



D.

C.

Hướng dẫn giải

Vì

VABCD

 
 AB, AC  . AD
  
1 
h
.
1 1 




 h.  AB. AC    AB, AC  . AD
 AB. AC 


3 2
6
nên

Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm

A  1;  2;0  , B  3;3; 2  , C   1; 2; 2  , D  3;3;1

. Độ dài đường cao của tứ

ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A. 7 2 .
B. 7 .
C. 2 .
D. 14 .
Hướng dẫn giải



AB  2;5; 2  , AC   2; 4; 2  , AD  2;5;1
Tính
1   
V   AB, AC  . AD 3
6
1
1 
V  B.h
B SABC   AB, AC  7 2 h d D,  ABC 



3
2
, với
,
3V
3.3
9
 h 

B 7 2 7 2
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9;  5) . Tìm tọa độ trọng tâm
G của tứ diện ABCD
18
14 



G   9; ;  30 
G  3;3; 
G  8;12; 4 
G  2;3;1
4
4 .
.
A. 
B.
.
C. 
D.
.

Oxyz
A
(1;
2;1),
B
(2;

1;
2)
Câu 38: Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa
diện

độ là

 1 1 3
M ; ; 
 2 2 2.
A.

1

M  ;0; 0 
2
.
B.

3


M  ;0; 0 
2
.
C.

 1 3
M  0; ; 
 2 2 .
D.

Hướng dẫn giải

M  Ox  M  a;0; 0 
2

2

2
2
2
2
2
2
M cách đều hai điểm A, B nên MA MB   1  a   2  1  2  a   2  1
3
 2a 3  a 
2
Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3;  1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa
Câu 39: Trong khơng gian

độ là


3

 3 1 3
M  0;0; 
M ; ; 
2.

 2 2 2.
A.
.
B.
.
C.
D.

Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 1;  2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9


35 .
A. 2 35 .
B. 35 .
C. 2 35 .
D.




a (2;  1; 2), b (3;  2;1) là
Câu 41: Tọa độ của vecto n vng góc với hai vecto




n  3; 4;1
n  3; 4;  1
n   3; 4;  1
n  3;  4;  1
M  0;0; 4 

A.

.

Câu 42: Cho


A.

M  0; 0;  4 

B.




a 2; b 5,

6
45
.
.
45 B. 6

.

C.

.

D.

.

2 
   




u

ka
 b; v a  2b. Để u vng góc với v thì k bằng
a
b

góc giữa hai vectơ
và
bằng 3 ,
6
45
.

.
6
C. 45
D.
Hướng dẫn giải


 
u.v  ka  b

 
 
2
a  2b 4k  50   2k  1 a b cos
3
 6k  45



u  2;  1;1 , v  m;3;  1 , w  1; 2;1



Câu 43: Cho

3
A. 8 .





. Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng

3

B. 8 .

8
8

C. 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
 
 
 u, v    2; m  2; m  6  ,  u , v  .w 3m  8

 
Ta có: 





8

  u , v  .w 0  m 
u, v, w đồng phẳng
3


a  1;log 3 5; m  , b  3;log 5 3; 4 





. Với giá trị nào của m thì a  b

Câu 44: Cho hai vectơ

m 2; m  2 .
m 1 .
C. m  1 .
D.
Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B (3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng
A.

m 1; m  1 .

B.

x 5; y 11 .

B.

là
A.

x  5; y 11 .



AB  1; 2;1 , AC  x  2; y  5;3 

x  11; y  5 .

C.
Hướng dẫn giải

D.

x 11; y 5 .

x 2 y 5 3



  x 5; y 11
A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương
1
2
1

Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng
dẫn
giải



BA  1;0;  1 , CA   1;  1;  1 , CB   2;  1;0 
 
BA.CA 0  tam giác vuông tại A , AB  AC .
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải



AB   1;0;1 , AC  1;1;1

1 
6

S ABC   AB. AC  
2
2
.
 1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5 

Câu 48: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là

. Diện tích của hình bình hành đó bằng


A.

2 83 .

B.

83 .

C. 83 .

D.
Hướng dẫn giải

83
2 .

A, B, C

AB  1; 2;3 , AC  6;6; 4 


2
2
S hbh   AB, AC     10   14 2    6  2 83



a  1; 2;1 ; b   1;1; 2 
c  x;3 x; x  2 

. Tìm x để 3 vectơ

A. 2.

 2.

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là



Câu 49: Cho 3 vecto

và

B.  1.

C.


a, b, c đồng phẳng

D. 1.

Hướng dẫn giải




 a, b  .c 0  x 2.
a, b, c đồng phẳng thì 






b

5;1;6
c   3;0; 2 
a

3;

2;
4
,





Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
,
. Tìm vectơ x sao cho vectơ x

a
đồng thời vng góc với , b, c
A.

 1; 0; 0  .

B.

 0; 0;1 .

C.

 0;1; 0  .

D.

 0;0; 0  .

Hướng dẫn giải


  
x

(0;0;0)
Dễ thấy chỉ có

thỏa mãn x.a  x.b  x.c 0.
Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm

E là
 8 8
 3; ;   .
A.  3 3 



B(1; 2;  3) , C (7; 4;  2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức CE 2 EB thì tọa

độ điểm

 8 8
 3; ;  .
B.  3 3 

8

 3;3;   .
3
C. 

1

 1; 2;  .
3
D. 

Hướng dẫn giải


 x 3

 
8

CE 2 EB   y  .
3

8

z 

E ( x; y; z ) , từ
3

Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;  1) , B (2;  1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là
2
2
2
đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P a  b  c có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Hướng dẫn giải

M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
 x  1  2  2
 

AM BC   y  2 3  1  M (  3;6;  1)  P 44.
 z  1 3  3


.

Oxyz cho ba điểm A(1; 2;  1) , B (2;  1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là
chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D (0;1;3) .
B. D (0;3;1) .
C. D (0;  3;1) .
D. D (0;3;  1) .
Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Hướng dẫn giải


Ta có

AB  26, AC  26  tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC  D(0;1;3).

Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ
đường tròn ngoại tiếp tam giác

Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm

ABC

8 5 8
I( ; ; )
3 3 3 .
A.

5 8 8
I( ; ; )
3 3 3 .
B.

I (
C.

5 8 8
; ; ).
3 3 3

8 8 5
I( ; ; )
3 3 3 .
D.

Hướng dẫn giải

AB BC CA 3 2  ABC đều. Do đó tâm I của đường trịn ngoại tiếp ABC là trọng tâm của nó. Kết luận:
 5 8 8
I ; ; 

 3 3 3 .



a   1;1;0  , b  1;1;0  , c  1;1;1
Oxyz
Câu 55: Trong không gian
, cho 3 vectơ
. Cho hình hộp OABC.OABC  thỏa mãn


 

điều kiện OA a , OB b , OC ' c . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:
1
2
A. 3
B. 4
C. 3
D. 2
Ta có:

giải


 Hướng dẫn



OA a,  A(  1;1;0), OB b  B(1;1;0),OC ' c  C '(1;1;1)

 
 





V

OA
OABC .O ' A ' B ' C '
AB OC  C (2;0;0)  CC ' (  1;1;1) OO '
 , OB  OO '
A  2;  1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1
Oxyz

Câu 56: Trong không gian với hệ trục
sau:

cho tọa độ 4 điểm

. Cho các mệnh đề

Câu 57: Độ dài AB  2 .
Câu 58: Tam giác BCD vuông tại

B.
Câu 59: Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).

B. 3).
Câu 60: Trong không gian
đúng:

C. 1); 3).

Oxyz , cho ba vectơ

D. 2), 1)




a   1,1, 0  ; b (1,1, 0); c  1,1,1


6
cos b, c  .
3
A.

a
A. , b, c đồng phẳng.

 

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

   
a

B.  b  c 0.

a
D. .b 1.
Hướng dẫn giải



b.c
cos(b, c )   
b.c
Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ
dài đường cao

Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B( 1;1; 2) , C ( 1;1;0) , D(2;  1;  2) . Độ

AH của tứ diện ABCD bằng:

2
.
A. 13

1
.
B. 13

13
.
C. 2

3 13
.
D. 13

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức

  
 AB, AC  . AD
1
  
h

.
13
AB. AC

Câu 62: Cho hình chóp tam giác S . ABC với

I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng





1  
SI  SA  SB  SC .
2
A.

   
C. SI SA  SB  SC .





SI 

B.

1  
SA  SB  SC .
3





    
D. SI  SA  SB  SC 0.

Hướng dẫn giải
 
SA  AI 
 
       
SB  BI   3SI SA  SB  SB  AI  BI  CI
 


SC  CI 
    
 1 
ABC  AI  BI  CI 0  SI  SA  SB  SC .
3
Vì I là trọng tâm tam giác
Câu 63: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1), D(  2;1;  1) . Thể tích của tứ diện
ABCD bằng
3
1
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .


SI

SI

SI







Thể tích tứ diện:

VABCD



Hướng dẫn giải

1  
  AB, AC  . AD
6

0 
0


S . ABC có SA SB a, SC 3a, ASB CSB 60 , CSA 90 . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng

Câu 64: Cho hình chóp

a 15
3 .
A.

a 5
B. 3 .

a 7
C. 3 .

Áp dụng cơng thức tổng qt: Cho hình chóp S . ABC có

là trọng tâm tam giác ABC, khi đó

SG 

D. a
Hướng dẫn giải

3.



 , CSA
 . Gọi G
SA a, SB b, SC c và có ASB  , BSC

1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc
3

Chứng minh:



1  
SA  SB  SC
3
Ta có:
  
  2   2 
 2  

 
2   
SA  SB  SC SA  SB  SC  2SA.SB  2SA.SC  2SB.SC
SG 









SG 
Khi đó

1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc 
3
SG 

Áp dụng cơng thức trên ta tính được

a 15
3

A  2;5;1 , B   2;  6; 2  , C  1; 2;  1
M  m; m; m 
Câu 65: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
và điểm

, để




MB  2 AC

A. 2.



đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
B. 3 .
C. 1.

D. 4.
Hướng dẫn giải


AC   1;  3;  2  , MB   2  m;  6  m; 2  m 
 
2
2
MB  2 AC  m 2  m 2   m  6   3m2  12 m  36  3  m  2   24
 
MB  2 AC
m 2

Để

nhỏ nhất thì

A  2;5;1 , B   2;  6; 2  , C  1; 2;  1
M  m; m; m 
Câu 66: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
và điểm
, để

MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.
Hướng dẫn giải





MA  2  m;5  m;1  m  , MB   2  m;  6  m; 2  m  , MC  1  m; 2  m;  1  m 
2

MA2  MB 2  MC 2  3m 2  24m  20 28  3  m  4  28
Để

MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m 4

S . ABCD biết A   2; 2; 6  , B   3;1;8  , C   1;0;7  , D  1; 2;3 . Gọi H là trung điểm của CD,
27
SH   ABCD 
S ,S
. Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng 2 (đvtt) thì có hai điểm 1 2 thỏa mãn u cầu bài tốn. Tìm tọa

Câu 67: Cho hình chóp

I của S1S2
I  0;  1;  3

độ trung điểm
A.

.

B.

I  1; 0;3

I  0;1;3

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

I   1; 0;  3 .




 1
3 3
AB   1;  1; 2  , AC  1;  2;1  S ABC   AB, AC  
2
2
Ta có
9 3



S ABCD 3S ABC 
DC   2;  2; 4  , AB   1;  1; 2   DC 2. AB  ABCD
2
là hình thang và
1
VS . ABCD  SH .S ABCD  SH 3 3
3
Vì
CD  H  0;1;5 
Lại có H là trung điểm của


 
S  a; b; c   SH   a;1  b;5  c   SH k  AB, AC  k  3;3;3  3k ;3k ;3k 
Gọi


2

2

2

k  9k  9k  k 1
Suy ra 3 3  9

+) Với
+) Với
Suy ra

k 1  SH  3;3;3  S   3;  2; 2 

k  1  SH   3;  3;  3  S  3; 4;8 

I  0;1;3

Oxyz , cho hai điểm A(2;  1;7), B(4;5;  2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M .
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. 2 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 68: Trong không gian

Hướng dẫn giải

(Oyz ) tại điểm M  M (0; y; z )
Đường
 thẳng AB cắt mặt phẳng

 MA (2;  1  y;7  z ), MB (4;5  y;  2  z )
2 k .4

1
 1  y k  5  y   k 
2



7

z

k

2

z



Từ MA k MB ta có hệ
Câu 69: Trong khơng gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1;  1), B (3;0;1), C(2;  1;3) và D thuộc trục Oy . Biết

VABCD 5 và có hai điểm D1  0; y1; 0  , D2  0; y2 ; 0  thỏa mãn u cầu bài tốn. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.

B. 1 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

D  Oy  D (0; y;0)



AB  1;  1; 2  , AD   2; y  1;1 , AC  0;  2; 4 

Ta có:

 
  
1
  AB. AC   0;  4;  2    AB. AC  . AD  4 y  2 VABCD 5   4 y  2 5  y  7; y 8
6
 D1  0;  7;0  , D2  0;8; 0   y1  y2 1


Câu 70: Trong khơng gian
trong của góc

Gọi

A . Tính độ dài

207
.
3

A.

Oxyz , cho tam giác ABC có A( 1; 2;4), B(3;0;  2), C(1;3;7) . Gọi D là chân đường phân giác

OD .

B.

203
3

201
.
3

C.

D.
Hướng dẫn giải

205
.
3

D  x; y; z 

DB AB 2 14


2
DC AC
14
5

3  x  2  1  x 
 x 3




DB  2 DC   y  2  3  y 
  y 2

 z 4
  2  z  2  7  z 


Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên

205
5

D  ; 2; 4   OD 

3

Suy ra  3
Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B(5;1;  2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân
Câu 71: Trong khơng gian với hệ toạ độ
giác trong

AD của góc A

2 74
.
3
A.

3 74
.
2
B.

C.

2 74.

D.

3 74.

Hướng dẫn giải

D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .



DB AB 1
17 11
2 74

  DC  2DB  D ( ; ;  1)  AD 
.
AC 2
3 3
3
Ta có DC
Câu 72: Trong không gian với hệ toạ độ
để MA

2

A. 7.

Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4;  1) , B(1; 4;  1) , C (2; 4;3) D(2; 2;  1) . Biết M  x; y; z  ,

 MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z bằng
B. 8.
C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn giải

 7 14 

G  ; ;0 
.
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có:  3 3
Ta có:

MA2  MB 2  MC 2  MD 2 4MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2

 7 14 
G  ; ;0   x  y  z 7

 GA  GB  GC  GD . Dấu bằng xảy ra khi M   3 3
.
2

2

2

2

Câu 73: Trong không gian với hệ trục tọa độ

ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
.
A. 12

Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1;  2) . H là trực tâm tam giác

870

.
B. 14

870
.
C. 16
Hướng dẫn giải

H ( x; y; z ) là trực tâm của ABC  BH  AC , CH  AB, H  ( ABC )

870
.
D. 15


 
 BH . AC 0
  
 CH . AB 0





  AB , AC  . AH 0

2
29
1


 x  ; y  ; z 
15
15
3


870
 2 29 1 
H  ; ;    OH 
15 .
 15 15 3 


Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy ) và có hồnh độ
dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
  3  177 17  177  
3  177 
B
;
;0  , C  0;0;
.

4
2


4

A.
Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ

  3  177 17  177  
3  177 
B
;
;0  , C  0;0;
.

4
2


4

B.
  3  177 17  177  
3  177 
B
;
;0  , C  0;0;
.
4
2
 
4

C. 
  3  177 17  177  
3  177 
B

;
;0  , C  0;0;
.
4
2
 
4

D. 
Hướng dẫn giải
Giả sử

B ( x; y; 0)  (Oxy ), C (0;0; z )  Oz .



 AH  BC
 
CH  AB
  
H là trực tâm của tam giác ABC   AB, AC , AH đồng phẳng


 AH .BC 0
  
CH . AB 0
  
  AB, AH  . AC 0
 

 x  z 0

2x  y  7 0
 3  177
17  177
3  177
;y
;z 
3x  3 y  yz  z 0 x 
4
2
4
 

  3  177 17  177  
3  177 
B
;
;0  , C  0;0;
.
4
2
 
4

 
Câu 75: Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D( 5;  4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt
 

CA  CB

phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó
A.

5 10.

B.

6 10.

bằng:

C.

10 6.

D.

10 5.

Hướng dẫn giải
Ta có trung điểm BD là

I (  1;  2; 4) , BD 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b;0) .

 AB 2  AD 2

2
2

2
2
2
2

 2 1
  (a  3)  b  8 (a  5)  (b  4)
2
2
2
 AI  BD 
(a  1)  (b  2)  4 36
2

ABCD là hình vng  
17

 a  5

b 4  2a
a 1
 17  14 
b   14


A ;
;0 

2
2

5  A(1; 2; 0) hoặc  5 5
(a  1)  (6  2a ) 20
 (loại). Với A(1; 2;0) 
b 2 hoặc 
C ( 3;  6;8) .


Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3;  1) , B (2;3;  4) , C (3;1;  2) . Bán kính đường

trịn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A.

9  2 6.

B.

9  3 6.

C.

9  3 6.

D.

9  2 6.

Hướng dẫn giải
Ta có

AC 2  BC 2 9  9  AB 2  tam giác ABC vuông tại C .

1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
r


9  3 6
1
p
3
2

3

3
 AB  BC  CA 
2
Suy ra:
Câu 77: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho ba điểm M  3; 0; 0  , N  m, n, 0  , P  0; 0; p  . Biết


MN  13, MON
600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A m  2n 2  p 2 bằng

A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.



 
OM  3;0;0  , ON  m; n;0  
  
OM .ON  OM . ON cos 600 
MN 

 m  3

2

Hướng dẫn giải

OM .ON 3m
 
OM .ON
1
 
 
OM . ON 2

m
m2  n2



1
2

 n 2  13

m 2; n 2 3
  
1
 OM , ON  .OP 6 3 p  V  6 3 p 3  p  3


6
Vậy A 2  2.12  3 29.
Suy ra

Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1;  2) . Gọi I  a; b; c  là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức P 15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.
Câu 78: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Hướng dẫn giải

I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  AI BI CI , I  ( ABC )
 AI 2 BI 2


 CI 2 BI 2
14
61
1

 14 61 1 
  

x

;
y

;
z


I

 ; ;    P 50.
15
30
3
  AB, AC  AI 0

 15 30 3 