Một số bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học toán ở trường trung học phổ

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ

3

I. Lý do chọn đề tài

3

II. Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và
tính mới của đề tài

4

1. Mục đích nghiên cứu

4

2. Phương pháp nghiên cứu

5

3. Đối tượng nghiên cứu

5

4. Tính mới của đề tài

5

Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

6

I. Cơ sở khoa học

6

1. Cơ sở lý luận

6

1.1. Khái niệm về năng lực

6

1.2. Năng lực tốn học là gì?

6

1.3. Khái niệm năng lực mơ hình hóa tốn học

8

2. Cơ sở thực tiễn

10

II. Một số bài tập có nội dụng thực tiễn được “mơ hình hóa tốn
học” để giải

11

1. Bài tập về mệnh đề tập hợp

11

2. Bài tập về ứng dụng bất đẳng thức Côsi

15

3. Bài tập ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài
tốn kinh tế

17

4. Bài tập ứng dụng Tổ hợp - Xác suất

21

5. Bài tập ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân

23

6. Bài tập ứng dụng đạo hàm, tích phân trong những tình huống
thực tiễn được mơ hình hóa tốn học

25

7. Bài tập về bài toán “lãi kép”

31

III. Thực nghiệm sư phạm

37


1. Mục đích thực nghiệm

37

2. Nội dung thực nghiệm

37

3. Tổ chức thực nghiệm

37

4. Đánh giá kết quả thực nghiệm

38

Phần III. KẾT LUẬN

39

1. Ý nghĩa của đề tài

39

2. Kiến nghị, đề xuất

39

3. Kết luận khoa học

40

2


Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
- Nghị quyết số 29 NQ/TW, ngày 04 tháng 11 năm 2013 “Về đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa
trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc
tế” đã khẳng định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng
của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập
nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên
lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại
khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền
thơng trong dạy và học”.
- Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố
cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng lực mơ hình học tốn học, năng
lực giải quyết vấn đề tốn học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các
cơng cụ và phương tiện học tốn; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ
hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo
dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các
mơn học khác và giữa tốn học với đời sống thực tiễn”.
- Về phương pháp dạy học Toán: Thực hiện dạy học phù hợp với tiến trình
nhận thức của học sinh (đi từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó); Quán triệt tinh
thần “lấy người học làm trung tâm”, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức
học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; Tổ chức quá trình dạy học theo
hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải
quyết vấn đề; Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học
tích cực, kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo với việc vận dụng các phương pháp, kĩ
thuật dạy học truyền thống; Kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt
động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.
- Về đánh giá kết quả giáo dục mơn Tốn: Mục tiêu đánh giá là cung cấp
thơng tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của
học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học để điều chỉnh các hoạt động dạy
học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục mơn
Tốn nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. Việc đánh giá thường xuyên do
giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên các môn
học khác, của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ,
trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh, đi liền với tiến trình hoạt động học
tập của học sinh, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học
3


sinh. Việc đánh giá định kì là đánh giá kết quả giáo dục sau một giai đoạn học tập.

Kết quả đánh giá định kì được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, cơng nhận
thành tích cho người học theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Khuyến khích
vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại quá trình thực
hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan, tự luận, kiểm tra viết, bài tập thực hành,
các dự án học tập, thực hiện nhiệm vụ thực tiễn,...); đồng thời hướng dẫn giáo viên
lựa chọn các phương pháp, công cụ đánh giá phù hợp với từng thành phần năng lực
toán học.
- Hiện nay trong các kỳ thi như học sinh giỏi trường, học sinh giỏi tỉnh và kỳ thi
tốt nghiệp THPT thường có câu về phần liên hệ với thực tiễn ở mức độ trung bình khá
và khá nên học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản là giải được thơng qua việc “Mơ
hình hóa toán học”.
- Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách
giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách
đúng mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa mơn Tốn và các tài liệu
tham khảo về Tốn thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài tốn trong
nội bộ Tốn học; số lượng ví dụ, bài tập Tốn có nội dung thực tế trong các sách
giáo khoa Đại số THPT và Giải tích để học sinh học và rèn luyện cịn rất ít. Một
vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các giáo viên
không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán
học vào thực tiễn chỉ dạy theo cách “Thi cái gì học cái đó” mà theo Nguyễn Cảnh
Tồn đó là kiểu dạy Toán ''xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
- Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành đổi mới đồng bộ phương pháp dạy
học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực
người học. Đặc biệt là phát triển năng lực tốn học, trong đó có năng lực “Mơ hình
hóa tốn học”.
Vì những lí do trên tác giả chọn đề tài: “Một số bài tập có nội dung thực
tiễn trong dạy học Tốn ở trường Trung học phổ thơng giúp học sinh phát triển
năng lực mơ hình hóa tốn học”
II. Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và tính
mới của đề tài

1. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh biết sử dụng toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn,
các bài tốn có nội dung thực tiễn và kỹ thuật mơ hình hóa tốn học tình huống
thực tiễn.
- Rèn luyện cho các em khả năng biết vận dụng các kiến thức đã học về toán
học trong chương trình trung học phổ thơng để giải quyết một số tình
huống thực tiễn đời sống hàng ngày thường gặp.
4


- Hình thành dần cho các em một thói quen biết đặt (giải quyết) những vấn
đề cuộc sống dưới góc độ toán học với câu hỏi: Nguồn gốc của bài tốn (hay tình
huống thực tiễn, bài tốn thực tiễn) xuất phát từ đâu ? Vận dụng kiến thức nào để
giải quyết nó?
- Từng bước tạo ra niềm đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em
học sinh khi gặp các bài tốn có nội dung thực tiễn, các tình huống trong cuộc sống
hàng ngày liên quan đến kiến thức toán học để giải quyết.
- Rất nhiều tình huống trong thực tiễn, chương trình khuyến mãi, dự đoán tối
ưu trong sản xuất, kinh doanh, trong thi đấu thể thao… đều liên quan đến kiến thức
toán học trong chương trình trung học phổ thơng mà chúng ta cần giúp các em biết
dùng nó để phân biệt được mặt tốt, mặt không tốt để các em biết làm những việc có
ích cho gia đình và xã hội. Từ đó góp phần giáo dục kỹ năng sống cho các em và
giáo dục cộng đồng.
2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên
quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
- Điều tra quan sát: Thực trạng về khả năng mơ hình hóa tốn học của học
sinh trung học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và
hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

3. Đối tượng nghiên cứu
- Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12 Ban cơ bản.
- Một số bài tốn có nội dung thực tiễn về tập hợp; bất đẳng thức Cô si; hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn; tổ hợp, xác suất; đạo hàm, tích phân; bài tốn lãi kép.
4. Tính mới của đề tài
- Góp phần thực hiện thành cơng đổi mới chương trình phổ thơng 2018 về
phát triển năng lực toán học cho học sinh, đặc biệt là năng lực “Mơ hình hóa Tốn
học”
- Giúp giáo viên hiểu được tầm quan trọng của Toán học với thực tiễn.
- Giúp học sinh thấy được mối quan hệ tương hổ giữa toán học với thực tiễn
và ngược lại.
- Góp phần vào dạy học Stem, đánh giá theo Pisa.
- Sáng kiến có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Tốn
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn ở trường trung học phổ
thơng.

5


Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Cơ sở khoa học:
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Khái niệm năng lực:
Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ vào các tố
chất và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các
kinh nghiệm, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,
... thực hiện đạt kết quả các hoạt động trong những điều kiện cụ thể.
Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 đã xác định mục tiêu hình thành và
phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi bao gồm các năng lực chung và các
năng lực đặc thù. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt

lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động
nghề nghiệp. Năng lực đặc thù là những năng lực được hình thành và phát triển
trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các
loại hình hoạt động, cơng việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho
những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu của một hoạt động như toán học,
âm nhạc, mĩ thuật, thể thao...
- Các năng lực chung được hình thành, phát triển thơng qua các môn học và
hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;
- Các năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một
số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngơn ngữ, năng lực tính
tốn, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ
và năng lực thể chất.
1.2. Năng lực tốn học là gì?
Năng lực Tốn học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên
cứu toán học và năng lực học tập toán học.
Như vậy, năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được các
yêu cầu của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo
trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện
ngang nhau.
Năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận tốn
học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng
lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán.
Mỗi một thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các
tiêu chí, chỉ báo. Điều này có độ phức tạp cao và được minh hoạ trong bảng dưới
đây:
6


Các thành tố của

năng lực tốn học

Các tiêu chí, chỉ báo
- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hố, khái quát
hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch.

Năng lực tư duy và
lập luận toán học

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí
trước khi kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn
đề về phương diện tốn học.
- Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm cơng thức,
phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mơ tả các tình
huống đặt ra trong các bài toán thực tế.
- Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được
thiết lập.
- Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm cơng thức,
phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mơ tả các tình
huống đặt ra trong các bài tốn thực tế.

Năng lực mơ hình
hố tốn học

- Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được
thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế
và cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết không phù
hợp.

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng
toán học.

Năng lực giải quyết
vấn đề toán học

- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải
quyết vấn đề.
- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng tốn học tương
thích (bao gồm các cơng cụ và thuật toán) để giải quyết
vấn đề đặt ra.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề
tương tự.

Năng lực giao tiếp
toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thơng tin
tốn học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản
tốn học hay do người khác nói hoặc viết ra.
- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội
dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác
với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ,
7


chính xác).
- Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ
cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,...) kết
hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình

thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng
toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với
người khác.
- Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức
bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông
thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là
phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho
việc học toán.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các cơng cụ và
phương tiện học tốn, đặc biệt là phương tiện khoa học
cơng nghệ để tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề
tốn học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).

Năng lực sử dụng
công cụ, phương tiện - Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những cơng cụ,
học tốn
phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí.
1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học:
- Để sử dụng kiến thức và kĩ năng toán vào việc giải quyết một vấn đề của
thực tiễn, người ta phải trải qua các bước của q trình mơ hình hóa tốn học - q
trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngồi tốn học thành vấn đề của tốn học, rồi
sử dụng các cơng cụ tốn để tìm câu trả lời cho vấn đề được đặt ra ban đầu.
- Xác định được mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu,
đồ thị,...) cho tình huống xuất hiện trong bài tốn thực tiễn.
- Giải quyết được những vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được
mô hình nếu cách giải quyết khơng phù hợp.
1.3.1. Hệ thống và mơ hình
Hệ thống là một tập hợp các phần tử với những tác động qua lại giữa chúng,
mà những tác động này phải tuân theo một số nguyên lí hay quy tắc nào đó đặc

trưng cho hệ thống này.
Mơ hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu
trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ
thống này.
8


Người ta thường sử dụng khái niệm mơ hình với hai nghĩa khác nhau.
Theo nghĩa thứ nhất, mơ hình là một bản sao, một ví dụ, có những tính chất
đặc trưng cho sự vật gốc mà mơ hình đó biểu diễn. Với nghĩa này thì các khối cầu,
chóp, nón (cụ thể, vật chất) được sử dụng trong dạy học hình học là những mơ hình
của các khái niệm hình cầu, hình chóp, hình nón.
Theo nghĩa thứ hai thì mơ hình là một biểu diễn cho các phần quan trọng của
một hệ thống (có sẵn hoặc sắp được xây dựng) với mục đích nghiên cứu hệ thống
đó. Nói cách khác, mơ hình là cái thu được từ việc diễn đạt theo một ngơn ngữ nào
đó các đặc trưng chủ yếu của một tình huống, một hệ thống mà người ta cần
nghiên cứu. Cách biểu diễn này tuân theo một tập hợp các quy tắc nào đó. Khi các
quy tắc ấy là quy tắc tốn học thì một mơ hình tốn học đã được tạo ra.
1.3.2. Mơ hình hóa tốn học
Mơ hình tốn học: Một mơ hình tốn học là một cấu trúc tốn học mơ tả gần
đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mơ hình tốn học bao gồm các đối
tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó.
Mơ hình hố tốn học: Để vận dụng kiến thức tốn học vào việc giải quyết
những tình huống của thực tiễn, người ta phải tốn học hóa tình huống đó, tức là
xây dựng một mơ hình tốn học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống.
Q trình này được gọi là mơ hình hố tốn học. Một vài cấu trúc tốn học cơ bản
có thể dùng để mơ hình hố là các đồ thị, phương trình (cơng thức) hoặc hệ
phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật tốn. Mơ hình hố
tốn học cho phép học sinh kết nối tốn học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra
khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn,

phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.
1.3.3. Quy trình mơ hình hố tốn học
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng
nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo, có thể đưa
vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tưởng hóa, đơn giản hóa vấn đề để
từ đó tạo ra một mơ hình thực tế của tình huống (mơ hình trung gian).
Bước 2: Mơ hình thực tế được tốn học hóa, tức là được thơng dịch sang
ngơn ngữ tốn học để dẫn đến một mơ hình tốn học của tình huống ban đầu.
Chúng ta nên lưu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mơ hình
tốn học khác nhau, việc xác định, đưa ra mơ hình phụ thuộc vào việc chúng ta
đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các cơng cụ tốn học để khảo sát và giải quyết bài tốn
hình thành ở Bước 2. Căn cứ vào mơ hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây
dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong Bước 3. Ở
đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với
9


vấn đề thực tế. Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho người
thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh. Đây cũng là
bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mơ hình được xem xét, thảo luận.
Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đốn kết quả. Đây là một bước địi hỏi
người thực hiện cần có kinh nghiệm sử dụng ngơn ngữ để trình bày những ý
tưởng toán học. Ở đây, chúng ta sẽ phản ánh được chất lượng tư duy của
người thực hiện. Các báo cáo nên bao gồm các tài liệu về quá trình tiến hành,
cũng như các dự đoán và câu trả lời cuối cùng.
Trên đây là năm bước của q trình mơ hình hóa tốn học, lưu ý rằng có
nhiều biến thể của quy trình này. Ở Bước 4, có thể xảy ra một trong hai khả năng:
+ Khả năng thứ nhất: Mô hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tế.

Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mơ hình tốn học đã xây dựng, các
thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được.
+ Khả năng thứ hai: Mơ hình và kết quả khơng phù hợp với thực tế. Lúc này
phải tìm ngun nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, người
ta phải kiểm tra lại các thuật tốn, các quy trình, các tính tốn đã sử dụng. Ở đây,
người ta tạm chấp nhận rằng mơ hình tốn học (và cũng có nghĩa là mơ hình trung
gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.
- Mơ hình tốn học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì phải
xây dựng lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mơ hình trung gian đã xây
dựng, nhưng phải xem xét lại mơ hình tốn học đã lựa chọn.
- Mơ hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế
không ? Nếu khơng thì cần phải rà sốt lại bước một xem có yếu tố, quy luật nào bị
bỏ sót khơng.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong năm 2006, sách giáo khoa (SGK) lại lần nữa chỉnh lý, đổi mới. Sự
thay đổi chủ yếu trong SGK là đổi mới phương pháp, cố gắng quán triệt phương
châm: lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động của học sinh, giảm lý
thuyết kinh viện, tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến thức. Vai trị
của mơn tốn vẫn chưa được làm rõ. Các bài toán gắn liền với đời sống chưa
nhiều. Như vậy, có thể thấy rằng quan điểm chỉ đạo xun suốt q trình dạy học ở
trường phổ thơng được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách giáo dục
mơn tốn đã được qn triệt. Tuy nhiên, việc qn triệt quan điểm này chưa thực
sự toàn diện và cân đối. Thực tế thì sách giáo khoa tốn hiện nay đã có những đổi
mới lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền tốn học với thực tiễn
đã có những quan tâm nhất định. Điều này được thể hiện các bài toán gắn liền với
thực tiễn có bổ sung nhưng số lượng hạn chế, chỉ mang tính chất giới thiệu, những
10

bài tốn mang tính chất “đánh đố” được cắt bỏ. Phân trình độ của các em theo 2
hướng (nâng cao và chuẩn) để phù hợp với các đối tượng, các vùng miền.
Chương trình thì giảm tải nhưng phần kiến thức về phép tính lũy thừa, mũ
và lơgarirt theo chúng tơi tính thực tiễn phần này cần quan tâm hơn nữa vì sách
giáo khoa vẫn chưa làm nổi bật vai trị quan trọng của nó. Cần phải đưa các bài
tốn thực tế nhiều hơn ở phần đọc thêm để các em có thể tự nghiên cứu dưới sự
hướng dẫn của giáo viên. Làm như vậy thì góp phần giúp học sinh củng cố và hồn
thiện kiến thức có những hiểu biết thơng thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, các
em có điều kiện lựa chọn hướng phát triển là phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục
học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống.
Chương trình sách giáo khoa mới sau 2018, bản dự thảo của Bộ Giáo dục và
Đào tạo công bố ngày 19 tháng 01 năm 2018, rất vui là đã có chương trình mơn
Tốn ở từng cấp cũng dành thời lượng thích đáng để tiến hành các hoạt động thực
hành và trải nghiệm toán học cho học sinh chẳng hạn như: Tiến hành các đề tài,
các dự án học tập về Toán, đặc biệt là các đề tài và các dự án về ứng dụng Toán
học trong thực tiễn; tổ chức các trị chơi tốn học, câu lạc bộ tốn học, diễn đàn,
hội thảo, cuộc thi về Toán; ra báo tường (hoặc nội san) về Toán; tham quan các cơ
sở đào tạo và nghiên cứu Toán học, giao lưu với học sinh có khả năng và u thích
mơn Tốn,... Những hoạt động đó sẽ giúp học sinh vận dụng những tri thức, kiến
thức, kĩ năng, thái độ đã được tích luỹ từ giáo dục toán học và những kinh nghiệm
của bản thân vào thực tiễn cuộc sống một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh
năng lực tổ chức và quản lí hoạt động, năng lực tự nhận thức và tích cực hoá bản
thân; giúp học sinh bước đầu xác định được năng lực, sở trường của bản thân nhằm
định hướng và lựa chọn nghề nghiệp; tạo dựng một số năng lực cơ bản cho người
lao động tương lai và người cơng dân có trách nhiệm.
II. Một số bài tập có nội dung thực tiễn “được mơ hình hóa tốn học” để
giải
1. Bài tập về mệnh đề tập hợp
1.1. Bài tập 1. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương,
Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được:

+) Số ngày mưa: 10 ngày;
+) Số ngày có gió: 8 ngày;
+) Số ngày lạnh: 6 ngày;
+) Số ngày mưa và gió: 5 ngày;
+) Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày;
+) Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày;

B

A
10

5

8
1

4
6

3
C

+) Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày.
Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh)?
11


Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Vấn đề đặt ra là cần xác định được có bao nhiêu ngày thời tiết xấu ( có gió,

mưa hay lạnh) tại một địa phương khi thống kê được số liệu ngày mưa, gió, lạnh.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:
Số ngày thời tiết xấu được xác định dựa vào số ngày mưa; ngày có gió; ngày
lạnh; ngày mưa và có gió; ngày mưa và lạnh; ngày lạnh và có gió; và ngày mưa,
lạnh và có gió.
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
Để thuận tiện trong việc tính tốn, ta kí hiệu tập hợp các ngày mưa là A, tập
hợp các ngày có gió là B, tập hợp các ngày lạnh là C.
Vấn đề được chuyển về bài toán:
“Xác định số phần tử của tập hợp E  A  B  C ( kí hiệu là n  E ). Biết
n A  10,n B
A  B C  1  
 8,n
 C  6,n
  A B  5,n
 A C 4,nB C  3,n
 
”. Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Số ngày chỉ mưa: n  A   n  A  B   n  A  C   n  A  B  C   10 5  4 1 
2.
Số ngày chỉ có gió: n  B   n  A  B   n  B  C   n  A  B  C  
8  5  3 1  1 .
Số ngày chỉ lạnh: n C   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C   6  4  3 1 
0.
Số ngày mưa và có gió nhưng khơng lạnh: n  A  B   n  A  B  C   5 1  4
.
Số ngày mưa và lạnh nhưng không
 C13
 .n  A  B  C   4 1  3
2 1có

0 gió:
4  3n2A1
.
Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơcóhình
xáclạnh
địnhnhưng
số ngày
thời mưa:
tiết xấu
chính
với
Số ngày
gió và
khơng
n hồn
B  C tồn
 n
A  Bxác
C
 3bài
1 tốn
 2 thực
tiễn.
.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Vậy số ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh) là:
Số ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh) là:
2 1 0  4  3  2 1  13 .

Qua các tính tốn ta thấy số liệu khớp với các số liệu dự đoán của Trung tâm
dự báo. Bằng việc áp dụng các phép toán tổ hợp vào bài toán thực tiễn, và sử dụng
biểu đồ Ven ta thấy việc dự đoán dễ dàng hơn.
1.2. Bài tập 2. Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số
thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như sau:
+) Về mơn Tốn: 48 thí sinh;
12


+) Về mơn Vật lý: 37 thí sinh;

B(37)

+) Về mơn Văn: 42 thí sinh;

A(48)
x

a

+) Về mơn Tốn hoặc mơn Vật lý: 75 thí sinh;

b
4

+) Về mơn Tốn hoặc mơn Văn: 76 thí sinh;

y

z

+) Về mơn Vật lý hoặc mơn Văn: 66 thí sinh;

c

+) Về cả 3 mơn: 4 thí sinh.
Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:

C(42)

- Một mơn?
- Hai mơn?
- Ít nhất một mơn?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Vấn đề đặt ra là trong một kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, cần xác định được có
bao nhiêu học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 mơn (mơn Tốn, mơn Vật lý, mơn
Văn), đạt danh hiệu xuất sắc về 2 mơn (Tốn và Vật lý, Toán và Văn, hay Vật lý
và Văn), đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 mơn (Tốn, Vật lý hay Văn) khi biết số
lượng học sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn hoặc cả hai môn hoặc cả ba môn.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:
Việc xác định số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 môn, 2 môn hay 3
môn dựa vào các số liệu học sinh đạt danh hiệu xuất sắc đã được thống kê ở trên.
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
Để đơn giản trong việc tính tốn, ta gọi tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu
xuất sắc về mơn Tốn là T, tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Vật
lý là L, tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về mơn Văn là V.
Vấn đề được chuyển qua bài toán:
Biết:
n T  48,n L  37,n
V  42,n

75,n T V  
 
 T  L  

        4
76,n L V
66,n T L V

Tính số học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về 1 mơn, 2 mơn, ít nhất 1 mơn ?
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Giải quyết bài toán theo hướng 1:
Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Toán và Vật lý là:
   .
n T  L  n 
T n L 
n T L 
37 75 10
  xuất sắc về mơn Tốn và48Văn
Số học sinh đạt danh hiệu
là:
n T  V   n 
T n V 
n T V   





.
48 42 76 14

13


Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Vật lý và Văn là:
n L  V  n L n V 
n L V   





.
Số học sinh đạt danh hiệu
xuất sắc chỉ mơn Tốn:

37 42 66 13
n T  n T
 L n T V n T  L  V  48
 10 14 4  28.

Số học sinh đạt danh
hiệu xuất sắc chỉ môn Vật lý:
n L  n T
 L n L V n T  L  V       .
37 10 13 4 18

Số học sinh đạt danh
hiệu xuất sắc chỉ môn Văn:
n V  n T

 V n L V n T  L  V       .
42 14 13 4 19


Vậy:

+ Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 môn là: 281819  65 (học sinh).
+ Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 2 môn là:
n T V n L V 3.n T L V 10  14  13  3.4  25
(học sinh)
           
+ Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn là:

2
8 18 29101413 2.4  94(học sinh)
n T

L

Giải quyết bài toán theo hướng 2:

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học sinh xuất sắc về mơn Tốn, mơn
Vật Lý, mơn Văn.
Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh chỉ đạt danh hiệu xuất sắc một mơn về mơn
Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn.
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai mơn về mơn
Tốn và mơn Vật Lý, môn Vật Lý và môn Văn, môn Văn và mơn Tốn.
Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau:
  28
a  x  z 4 48

b  x  y  4 
a
A(48)

b  18
37
c y z 4 42
 
 c 19
    
x  6
a  b  x  y  z 
71

a  c  x  y  z 
y  9

z  10
72
Vậy có: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 mơn
bcxyz
62 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 mơn

B(37)
x

a

b
4

y

z
c
C(42)

94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 mơn.

14


Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định số phần tử của một tập hợp như trên là phù hợp và chính
xác với bài tốn thực tế.
Giải theo hướng 1 hay hướng 2 đòi hỏi học sinh cần hiểu và nắm vững các
kiến thức về tập hợp, đặc biệt là các phép toán về tập hợp và suy luận tốn học,
mang tính chất tổng hợp. Hướng 1 là trực tiếp còn hướng 2 là gián tiếp.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Vậy có: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 mơn
25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 mơn
94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 mơn.
Qua việc áp dụng các phép toán Tổ hợp và biểu đồ Ven, việc tính tốn trở
nên đơn giản hơn.
2. Bài tập về ứng dụng bất đẳng thức Côsi
2.1. Bài tập 1. Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trước phải có
dạng như thế nào để chiều dài hàng rào của nó là ít nhất?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Vấn đề đặt ra là quy hoạch cánh đồng hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất với
diện tích đã cho trước. Các số liệu chính: chiều dài, chiều rộng cánh đồng.

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:
+ Chu vi cánh đồng hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài, chiều rộng của cánh
đồng.
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
Vấn đề được chuyển về bài toán: “ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng
diện tích, hình chữ nhật nào có chu vi nhỏ nhất”
Gọi x, y  x  0, y  0  lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cánh đồng.
Diện tích của cánh đồng là: S  xy không đổi.
Chu vi của cánh đồng là: P  2  x  y .
Bây giờ ta có bài tốn: Xác định x, y để tổng x  y nhỏ nhất biết tích xy khơng
đổi.
Bước 3. Giải quyết vấn đề tốn học:
Áp dụng BĐT Cơ si để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x  y  2 xy  2 S .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  S .
Vậy tổng x  y nhỏ nhất bằng 2 S khi và chỉ khi x  y  S .
15


Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định chiều dài của hàng rào là hồn tồn chính xác và phù hợp
với bài toán thực tế.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Ta đi đến kết luận: “ Trong các tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình
vng có chu vi nhỏ nhất”.
2.2. Bài tập 2. Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho
trước phải có dạng như thế nào để diện tích của nó là lớn nhất?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:

Vấn đề đặt ra là quy hoạch cánh đồng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
với diện tích đã cho trước. Các số liệu chính: chiều dài, chiều rộng cánh đồng.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:
Diện tích cánh đồng hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài, chiều rộng của
cánh đồng.
Bước 2. Xây dựng mô hình tốn học:
Vấn đề được chuyển về bài tốn: “ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng
chu vi, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất”
Gọi x, y  x  0, y  0  lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cánh đồng.
Chu vi của cánh đồng là: P  2  x  y  khơng đổi.
Diện tích của cánh đồng là: S  xy .
Bây giờ ta có bài tốn: Xác định x, y để tích xy lớn nhất biết tổng x  y khơng
đổi.
Bước 3. Giải quyết vấn đề tốn học:
Áp dụng BĐT Cosi để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xy P
P2
 , do đó xy 
.
2
4
16
P
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  .
4
2
P
P
Vậy tích xy lớn nhất bằng
khi và chỉ khi x  y  .

16
4
xy 

Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định diện tích của hình chữ nhật như trên là hồn tồn chính
xác phù hợp với bài tốn thực tế.
16


Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải
Ta đi đến kết luận: “ Trong các tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vng
có diện tích lớn nhất”.
Nhận xét:
+ Bài tốn tương tự: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật
liệu cho trước là a mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn
để làm một cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình chữ
nhật sao cho có diện tích lớn nhất?
x
y

Như vậy, việc lồng ghép, thay thế bài tốn có nội dung thực tiễn vào Chủ đề
Bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cũng như ứng dụng kiến
thức Toán học để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn.
3. Bài tập ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán
kinh tế
3.1. Bài tập 1. Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm
loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản
phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng.
Nhà máy có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại

sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Tình huống đặt ra là: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, biết số
nguyên liệu, thời gian tạo ra một sản phẩm và giá thành mỗi loại sản phẩm. Khi
nhà máy có số lượng nguyên liệu và thời gian tạo ra 2 sảm phẩm. Nhà máy nên sản
xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu để có lãi cao nhất ?
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
+ Số lượng ngun liệu, thời gian tạo ra một sản phẩm.
+ Giá thành một loại sản phẩm.
+ Tổng số nguyên liệu
+ Tổng thời gian để tạo ra hai sản phẩm.
+ Sản xuất mỗi loại bao nhiêu để lãi nhiều nhất ?
Tình huống được chuyển thành bài toán:
17


Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg
nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần
4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng.
Nhà máy có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại
sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Gọi x,y( x,y  0 ) lần lượt là số sản phẩm loại I, loại II.
2x  4 y  200
Khi đó bài tốn đưa về tìm x  0 , y  0 thoả mãn hệ 
sao
3
0x  15y  1200
cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất.
x  0

y  0

Một cách tương đương là, tìm x, y thoả mãn hệ 
x  2 y  100

2x  y  80
sao cho L  4x  3 y đạt giá trị lớn nhất.
Trên Hình vẽ ta ký hiệu C(0; 50),
y

D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80),
I là giao điểm của CE và DF.
Dễ thấy toạ độ của I là (20; 40),
miền nghiệm của hệ bất phương trình

C

F

là miền tứ giác OCID (kể cả biên).

50
40

Khi đó L đạt giá trị lớn nhất tại một

B

80

I

trong các đỉnh của tứ giác OCID,
suy ra L đạt giá trị lớn nhất tại I.

D
O

A 20

40

E x
100

Vậy khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất.
Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định số lượng mỗi loại sản phẩm như trên là hoàn tồn chính
xác phù hợp với bài tốn thực tế.
Bước 5. Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Vậy khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất. Tức là nhà máy sản xuất sản
phẩm loại I là 20, sản phẩm loại II là 40.
Trong khi sản xuất, người ta đều hướng tới mô hình tối ưu nhất để có thể sản
xuất mức sản phẩm tối thiểu với mức lời cao nhất. Cùng với sự phát triển của khoa
học, người ta có thể mơ hình hóa tốn học các bài tốn kinh tế, nghĩa là biểu thị
các mục tiêu, yêu cầu cần đạt hay các điều kiện cần thỏa mãn bằng ngơn ngữ Tốn
học đưa về bài tốn quy hoạch tuyến tính để tìm ra lời giải tối ưu nhất.
18

3.2. Bài tập 2. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng
hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một
chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe
hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu
MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê
bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Tình huống thực tế: Cơng ty cần thuê xe vận chuyển người và hàng hóa. Nơi
thuê xe có hai hãng xe, mỗi loại xe của một hãng chở được số người và hàng hóa
cụ thể. Cơng ty cần thuê xe mỗi hãng bao nhiêu chiếc để chi phí thấp nhất khi biết
tiền thuê một xe của mỗi hãng ?
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
+ Cần vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa.
+ Mỗi xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng.
+ Mỗi xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng.
+ Giá tiền thuê một xe MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là
3 triệu đồng.
+ Thuê xe mỗi hãng bao nhiêu chiếc để chi phí thấp nhất ?
Từ tình huống chuyển thành bài tốn thực tế: Một cơng ty cần th xe
vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu
MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở
20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn
hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là
3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Bây giờ ta có bài tốn: Tìm x,y( x , y   ) thõa mãn
0  x  10
0  y  9


2 x  y  14


2 x  5 y  30
để T = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Trước hết ta hãy đặt Bài toán thành hệ bất phương trình
Gọi x,y( x , y   )lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê
Từ bài toán ta được hệ bất phương trình
19


y

0  x  10
0  y  9




10y

140
20x


0,6x  1,5 y  9

0  x  10

0  y  9
(*)


2x

y

14


2x  5 y  30
Tổng chi phí T( x,y )  4x
  3 y (triệu đồng)
Thực chất của Bài tốn này là tìm x,y ngun
khơng âm thoả mãn hệ (*) sao cho T( x,y ) nhỏ nhất.

14
B

A
9
6
I
O

C
7

10

x
15

Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC.
Khi đó T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác IABC, suy ra T
đạt giá trị nhỏ nhất tại I(5; 4) hay x = 5, y = 4. Như vậy thuê 5 xe hiệu
MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất.
Trong những bài toán như trên, việc vận dụng kiến thức Tốn học để giải
chúng là khơng q khó khăn - khi học sinh đã nắm tương đối vững các kiến thức
về Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, một khó khăn là lời văn hơi
dài rất có thể sẽ ảnh hưởng đến thời lượng trên lớp. Để khắc phục khó khăn này,
giáo viên có thể in sẵn đề, và khi dùng thì phát cho học sinh mỗi nhóm một đề
hoặc dùng Bảng phụ đã chuẩn bị sẵn để học sinh tự ghi trong quá trình hướng dẫn
và giải chúng.
Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định số lượng mỗi loại xe như trên là hoàn tồn chính xác phù
hợp với bài tốn thực tế.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
T đạt giá trị nhỏ nhất tại I(5; 4) hay x = 5, y = 4. Như vậy thuê 5 xe hiệu
MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất.
Cũng giống như bài toán 3.1, bài tốn thực tiễn trên áp dụng mơ hình bài tốn
quy hoạch tuyến tính để tìm ra đáp án tối ưu nhất. Với việc ràng buộc 2 biến trong
4 bất phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn ta xác định được số lượng mỗi loại xe
để có mức chi phí vận tải thấp nhất.
4. Bài tập ứng dụng Tổ hợp – Xác suất.
4.1. Bài tập 1. Bạn Anh vào một nhà hàng, Anh muốn chọn một món ăn
khai vị trong 3 món khai vị, một món chính trong 6 món chính, một món tráng
miệng trong 4 loại hoa quả tráng miệng và một loại nước uống trong 5 loại nước
uống của quán. Hỏi Anh có bao nhiêu cách chọn một thực đơn.

20

Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Tình huống đặt ra là: Bạn Anh vào một nhà hàng để ăn. Hỏi bạn Anh có bao
nhiêu cách chọn một thực đơn gồm một món khai vị, một món chính, một món
tráng miệng và một loại nước uống.
Bước 2. Xây dựng mô hình tốn học:
- Chọn một món khai vị, chẳng hạn chọn 1 món từ 3 món khai vị.
- Chọn một món chính, chẳng hạn chọn 1 món chính từ 6 món chính.
- Chọn một món tráng miệng, chẳng hạn chọn 1 món tráng miệng từ 4 món
tráng miệng.
- Chọn một loại nước uống, chẳng hạn chọn 1 loại nước uống từ 5 loại nước
uống .
- Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn gồm một món khai vị, một món
chính, một món tráng miệng và một loại nước uống
Từ tình huống đưa về bài toán thực tế: Bạn Anh vào một nhà hàng, Anh
muốn chọn một món ăn khai vị trong 3 món khai vị, 1 món chính trong 6 món
chính, một món tráng miệng trong 4 loại hoa quả tráng miệng và một loại nước
uống trong 5 loại nước uống của quán. Hỏi Anh có bao nhiêu cách chọn một thực
đơn.
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Hành động 1: Chọn món khai vị.
Chọn 1 món khai vị có 3 cách chọn.
Hành động 2: Chọn món chính.
Chọn 1 món chính từ 6 món chính có 6 cách chọn.
Hành động 3: Chọn món tráng miệng.
Chọn 1 món tráng miệng từ 4 món có 4 cách chọn.
Hành động 4: Chọn nước uống.
Chọn 1 loại nước uống từ 5 loại nước uống có 5 cách chọn.
Vậy áp dụng quy tắc nhân có 3.6.4.5  360 cách chọn thực đơn.

Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình xác định cách chọn thực đơn như trên hồn tồn chính xác. Giúp
học sinh hiểu và rèn luyện việc sử dụng quy tắc nhân thơng qua tình huống gần gủi
trong cuộc sống.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Vậy áp dụng quy tắc nhân có 3.6.4.5  360 cách chọn thực đơn.
21


Thực đơn chính là cơ sở để khách hàng lựa chọn các loại tiệc, các món ăn
cho mình. Thơng qua việc áp dụng quy tắc nhân, khách hàng có thể dễ dàng xác
định được số lượng các cách chọn thực đơn. Căn cứ vào đó xác định được khả
năng phục vụ trong khách sạn, nhà hàng, đưa ra lựa chọn phù hợp với mục đích
của bản thân, gia đình, cơ quan.
4.2. Bài tập 2. Kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2020 tại điểm thi
Trường THPT Tương Dương 1 có 14 phịng thi trong đó có 10 phịng thi có 24 thí
sinh và 4 phịng thi có 25 thí sinh. Một phóng viên chọn ngẫu nhiên 14 thí sinh
trong số các thí sinh dự thi để phỏng vấn. Tính xác suất để trong 14 thí sinh được
phỏng vấn ở 14 phịng thi khác nhau.
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Tình huống đặt ra là: Phóng viên phóng vấn các thí sinh tại một điểm thi tốt
nghiệp trung học phổ thơng, số thí sinh được phỏng vấn bằng số phịng thi. Tìm
xác suất để mỗi thí sinh được phỏng vấn ở các phịng thi khác nhau (hai thí sinh
bất kỳ khơng ở cùng một phịng thi).
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
- Kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông: Chẳng hạn điểm thi Trường THPT
Tương Dương 1.
- Số lượng phòng thi: Chẳng hạn 14 phòng thi.
- Số thí sinh mỗi phịng: Chẳng hạn từ phịng 1 đến phịng 10 có 24 thí sinh,
từ phịng 11 đến phịng 14 có 25 thí sinh.

- Số lượng học sinh được phỏng vấn, chẳng hạn 14.
- Tìm xác suất để trong 14 thí sinh được phỏng vấn ở 14 phịng thi khác
nhau.
Từ tình huống ta cáo bài tốn thực tế: Kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm 2020 tại điểm thi Trường THPT Tương Dương 1 có 14 phịng thi trong đó có
10 phịng thi có 24 thí sinh và 4 phịng thi có 25 thí sinh. Một phóng viên chọn
ngẫu nhiên 14 thí sinh trong số các thí sinh dự thi để phỏng vấn. Tính xác suất để
trong 14 thí sinh được phỏng vấn ở 14 phịng thi khác nhau.
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Tổng số thí sinh của điểm thi là 10.24  4.25  340 thí sinh.
Phép thử: Chọn ngẫu nhiên 14 thí sinh từ 340 thí sinh nên số phần tử của

C14
khơng gian mẫu là: n   
340
Gọi A là biến cố “14 thí sinh được chọn phỏng vấn ở 14 phịng thi khác
nhau” Khi đó n A 2410.25 4
n A  2410 .254
 1,027.105
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là P A   
14
C340
n 
22


Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình tính xác suất của biến cố theo cách tính xác suất cổ điển như trên
hồn tồn chính xác.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.

n A  2410 .254
 1,027.105
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là P A   
14
C340
n 
Kết quả là một giá trị gần đúng.
Từ việc xác định được xác suất 14 thí sinh được chọn phóng vấn ở 14 phịng
thi khác nhau, ta thấy được mức độ khách quan của việc phỏng vấn. Áp dụng các
công thức Tổ hợp – Xác suất, ta tính được xác suất phỏng vấn. Nếu kết quả càng
lớn, mức khách quan càng cao.
5. Bài tập ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân
Bài tập: Sinh nhật của An vào ngày 1 tháng 5. Bạn ấy muốn mua một chiếc
máy ảnh giá 712000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn ấy quyết
định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 1 tháng 1 của năm đó, sau đó cứ liên tục ngày
sau cao hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến sinh nhật của mình An có đủ tiền mua
q khơng ?
Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế:
Tình huống thực tế: Bạn An muốn biết đến sinh nhật của mình bạn ấy có đủ
tiền để mua q sinh nhật cho chính mình là chiếc máy ảnh hay không sau 4 tháng
bỏ heo ( từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 1 tháng 5). Biết giá của chiếc máy ảnh là
712000 đồng. Ngày đầu tiên bạn bỏ vào ống heo 100 đồng, sau đó liên tục ngày
sau cao hơn ngày trước 100 đồng.
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học:
- Bỏ vào ngày đầu tiên (ngày 1 tháng 1): 100 đ.
- Cứ mỗi ngày sau bỏ vào ống heo nhiều hơn ngày kề trước 100 đ.
- Số tiền đến ngày 1 tháng 5 là bao nhiêu ?
- Giá trị món quà: 712000đ
- Đến ngày (1 tháng 5) mua món q xem có đủ tiền khơng ?
Từ tình huống thực tế ta có bài tốn: Sinh nhật của An vào ngày 1 tháng

5. Bạn ấy muốn mua một chiếc máy ảnh giá 712000 đồng để làm quà sinh nhật
cho chính mình. Bạn ấy quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 1 tháng 1 của
năm đó, sau đó cứ liên tục ngày sau cao hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến sinh
nhật của mình An có đủ tiền mua q khơng ?
Thực chất là bài tốn: Cho cấp số cộng có u1  100,d  100 . Tính tổng của
120 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho ?
23


Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học:
Từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 1 tháng 5 số ngày có ít nhất là:
31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày).
Số tiền bỏ ống của An mỗi ngày tăng theo cấp số cộng với công sai bằng 100
đồng, số hạng đầu bằng 100. Do đó tổng số tiền có được của An đến ngày 1 tháng
5 là:
120
120.121.10
(2.100 (120 
 726000
0
2 1)100)
đồng.
2
Vậy An có đủ tiền mua quà sinh nhật cho mình.
Bước 4. Thẩm định mơ hình:
Mơ hình tính số tiền theo cách tính tổng của 120 số hạng đầu của một cấp số
cộng như trên hồn tồn chính xác. Giúp học sinh thấy được những ứng dụng thiết
thực của cấp số cộng vào đời sống hằng ngày.
Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải.
Tổng số tiền có được của An đến ngày 1 tháng 5 được tính theo tổng của 120 số

hạng đầu có cơng sai và số hạng đầu bằng 100 là:
120
120.121.10
(2.100 (120 
 726000đồng.
0
2 1)100)
2
Vậy An có đủ tiền mua quà sinh nhật cho mình.
Qua việc ứng dụng cấp số cộng vào tính tốn, An có thể dễ dàng tính được số
tiền mình tiết kiệm của mình có đủ hay khơng. Sau đó có thể thay đổi mức tiết
kiệm phù hợp để đến ngày 1 tháng 5 sẽ đủ tiền để mua quà sinh nhật cho chính
mình.
Nhận xét: Đề thi tham khảo (kỳ thi đánh giá năng lực học sinh trung học
phổ thông) của Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội (số 1/2021) có câu 10: Một
người làm việc cho một cơng ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương
thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước 200 ngàn đồng.
Hỏi theo hợp đồng tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu ?
A. 7,0 triệu

B. 7,3 triệu

C. 7,4 triệu

D. 7,2 triệu

Ta chuyển về bài tốn: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 6000000 và
cơng sai d  200000 . Tìm số hạng thứ 7 của cấp số cộng đã cho ?
Ta có ngay u 7  u1  6d  7200000 . Suy ra đáp án D.
24

6. Bài tập ứng dụng đạo hàm, tích phân trong những tình huống thực
tiễn được mơ hình hóa tốn học
6.1. Bài tập 1:
Nhà máy bia tốn ít nhất bao nhiêu lượng nhơm để sản xuất một lon bia có
thể tích 300ml (1ml = 1cm3).

Bước 1. Xây dựng mơ hình thực tế
Vấn đề đặt ra là thiết kế lon có thể tích 330 ml nhưng sử dụng lượng nhơm ít
nhất cho mỗi lon. Các số liệu chính: lon, kích cỡ, lượng nhơm ít nhất, thể tích 330
ml.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:
+ Hình dạng, kích cỡ của lon phụ thuộc vào việc lựa chọn mơ hình thường được
sử dụng với các biến số tương ứng.
+ Lượng nhôm tương ứng với bề mặt của lon được thiết kế phụ thuộc vào diện
tích của bề mặt đó.
+ Thể tích của lon được thiết kế phụ thuộc vào việc chọn hình dạng và các kích
cỡ ở trên.
Bước 2. Xây dựng mơ hình tốn học
Người ta thường sử dụng hình trụ để thiết kế lon, vì vậy ở đây ta sử dụng
hình trụ làm mơ hình cho việc giải quyết bài tốn này. Lúc đó ta phải tìm bán kính
của đáy lon và chiều cao của lon để trả lời câu hỏi đặt ra.
Vấn đề được chuyển về bài tốn:
“Tìm bán kính và chiều cao của hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất biết thể
tích khối trụ là 330 ml”.
Để thuận tiện trong việc tính tốn sau này, ta lấy đơn vị cm để tính bán kính và
chiều cao của lon và làm trịn đến hàng phần chục.
25