Tron bo ly thuyet on thi THPT quoc gia mon toan nam 2018

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

ÔN TẬP KIÊN THỨC ÔN THỊ THPTQG 2018

Chu dé 1: Khảo sát hàm số và các vần
dé liên quan

af (x) >0

1.Bảng các đạo hàm

+) Nếu A =0(A' =0) phương trình y=0
có nghiệm kép x,; =———

2a

X

b
———

—œ

y

+00

2a

af (x) >0

0

af (x)>0

+) Nếu A >0 (A' >0) phương trình
y =0 có hai nghiệm phân biệt

uy) =uv+uv'

" -b‡VA _ -b+vA'

(=| _uv-uv'

2a

vy
v
(sinx} =cosx — | (sinu} =u“cosu
(cosx) =—sinx

nghiém x, X
y

| (cosu) =-u'sinu

Định lý về dâu của nhị thức

y

b

——

af (x) <0

+00

af(x) >0

e - Định lý về dâu của tam thức bậc

hai y =ax” + bx +c(a# 0)
A=b

-4ae{ 0° =(b) a= 2,0'=5)
4

0

bậc hai

X, +x, =-—
a

XX) =—
a
3. Phương trinh tiép tuyén (PT?)

bậc nhất y = f(x) =ax + b(a z 0)
a
0

af (x) <0

Dinh ly vi-et: Khi phuong trình

x. tac
X¡;X; taco

2. Xét dầu biêu thức.

—œ

0

X,

ax” +bx +e= 0(a #0) có hai nghiệm

(cotx)=-—— | (cotu) =- — ¬

X

X

af (x) >0
e

(nx) =e | (ans) =
e

—oœO

, sắp x€p hai

a

2

e

PT? v6i dé thi ham so y =f (x)

tai diém M(x; y,) c6 hé sd géc là
f(x)

e

PT? voi dé thi ham s6 y =f (x)

tai diém M(x,;y,) c6 dang :
y= f"(X))(X-Xy)+Yo ,„ Vạ= f (x,)

+) Néu A <0(A’<0) phuong trình

M duoc goi la tiép diém

y =0 vo nghiém.

xạ được gọi là hoành độ của tiếp điểm

y, duoc goi la tung độ của tiếp điểm

/>
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath

+00
af (x) >0


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

f'(xạ) được gọi là hệ sơ góc của tiếp
tuyến.

e

Nêu PT

song song với đường

e©_

Nêu PTỶ vng góc với đường

thắng y=ax+b thì f(x,)=a

thắng y =ax
+ b thì f'(x,)= -e

Néu PT? tao voi truc Ox một góc

e Nếu PTỶ cắt hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác vng cân thì

f'(x,)=41

4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
e

Tìm tập xác định của hàm số

bang khơng hoặc không xác định.
e Sắp xếp x, theo thứ tự tăng dân

và lập bảng biến thiên.

Nêu các kết luận về sự đồng biến

nghịch biên của hàm sô
,
5. Quy tac 1 tim cue tri ham sơ
e

¢

Tinh f’(x) , tim cac

và lập bảng biến thiên

6. Quy tắc 2 tim cue tri cua ham s6
e

¢

,

Tim tap xac dinh

Tinh f’(x), giai phwong trinh

f'{x)= 0 và kí hiệu x, (i=1,2...n) là các
nghiệm của nó.

e

Tinh f”(x) va f"(x,)

e

Néu f"(x,)>0 thi x, là điểm

cực tiểu.

e

e_

Tìm các điểm x¡;x;;...;x,„ trên

xác định.
e
Tinh

f(a):f(x,); f(x;):...:f(x„);:f(b).
e_

Tìm số lớn nhất M và số nhỏ

nhât m trong các sơ trên. Khi đó:

M=maxf(X). m =minf(x)

trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể
lập bảng biến thiên của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết
luận. Khơng phải hàm số nào cũng có
GTLN, GTNN.
8. Đường tiệm cận

e

e

băng không hoặc không xác định.

e Sắp xếp x, theo thứ tự tăng dân

điểm cực trỊ của hàm sô.

số liên tục trên một đoạn.

Đường tiệm cân ngang: y = yạ là

y=Ÿ(x) nếu:

Tim tap xac dinh cua ham số

Tu bang bién thiên suy ra các

7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

diém x, (i=1,2...n) ma tại đó dao ham

_©

luận được về tính cực trị hàm số tai Xo

Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số

Tính đạo hàn f(x). tìm các

diém x, (i=1,2...n) ma tai đó đạo hàm

°

Chúý nếu ƒ”(xy) =0 thì ta khơng kết

(a:b) mà tại đó f'(x) =0 hoặc khơng

a thi f’(x,)=+tana

e

cực đại.

lim f(x)= yụ

x—>+œ

Duong tiém can ding:

x =x,

la

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y =f(x) néu

lim =+00

10. Tương øiao của hai đồ thị.

e

Xét hai hàm sô y= f(x) và

y=g (x)

tọa độ giao điểm của đồ thị hai

hàm sô là nghiệm của hệ phương trình.

. =f (x)
y=g(x)
e

Duong thang y =ax+b là PT”

của đồ thị hàm số y = f (x), khi va chi khi
phương trình |

f(x)=ax+b
f'(x)=a

có nghiệm.

Néu f"(x,)<0 thi x, là điểm

/>
https://sites. google. com/siteletrungkienmath

Lé Trung Kién

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

11. Các dạng đồ thị hàm số

1. Hàm số bac ba y=ax? +bx* +cx +d (a¥0):
Tap xac dinh D=R.

e Các dạng đồ thị:
a>0
y

roy

i

ya

"

O

`

.

:

LG

I

S

y

<> A’ =b’- 3ac <0

/

x

0

—)

I

oS

¬

y'` =0 vơ nghiệm

\

\

|

& A’ =b’- 3ac =0

V"

/\

wy

y` =0 có nghiệm kép

\

*

\J

=

© A’ =b’- 3ac > 0

~

y'` =0 có 2 nghiệm phân
biét

a<0
y

2. Ham số trùng phuong y =ax* +bx” +c (a#0):

Tap xac dinh D=R.

e Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
e Các dạng đồ thị:

https://www. facebook.com/letrungkienmath

https://sites. google. com/siteletrungkienmath


Lé Trung Kién

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
a>0

a<0

VÀ

VÀ

vy' =0 có 3 nghiệm
wYv

(/S⁄\

Se

wy

mm

———

eS

phân biệt
& ab<0

Och
ab>0

3. Hàm số

ya

eth

a

°

Z

Ku—S)

yt = adobe

C

^

AN

(c#0,ad—bc #0):

cx +

e Tập xác định D=

ys

v4

y' =0 chỉ có

cA

(cx+đ)

A

2

`

d

`

^

cA

A

`

a

°

e Đồ thị có một tiệm cận đứng là x=_—— và một tiệm cận ngang là y=—. Giao
Cc
Cc
điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
°

cn

^

`

^

we

https://www. facebook.com/letrungkienmath

a

x

°

`

nw

⁄

n

N

°

https://sites. google. com/siteletrungkienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 2: Mũ, Lô-ga

log, (a“) =a

1. Bảng các đạo hàm

Ina = log, a;
lgb =logb =log,, b

log, (b,b,) = log, b, + log, b,
log, lạ

U
1

I

(vx)'= ax

(ut+v)'=u'tv'

1

log, b* =alog, b

u'

2vu

log, a/b = dog. b
n

| (uv)'=u'v+v'u

(#} =e

Vv

(vu)

(ku)'=k.(u)'

log, a b= 108. Bog
log.a

Nếi

(sinx)

=COSX

(sin u) =cosu (u)

log, b=

(cos x) =-sinx | (cos u) =-sinu (u)
f

(tanx)

1

= cos x

'

cotx)

=— =_

]

(tanu)

’

= log, b, —log, b,
2

]

= nón (u)
]

cotu)'=— TT

b.log, c=log,c

,

log, a

log ,b =-Llog b,

‘
œ

4. Phương trình- Bất phương trình mũ.

f

(u)

'

a)Phương trình mũ
e

a‘ =b

Dang co ban:

(a>0,a #1)

nêu b<0 phương trình vơ nghiệm, nếu b>0
phương trình có nghiệm duy nhất x = log, b
e

Dưa về cùng cơ số

a"?) =a#?) ©f(x)= g(x)
se

Dat an phu

Dang 1: Aa’*+Ba*+C=0 dat
2. Các cơng thức lũy

a"=aa..a,a
=1 |
oo

a

at

aP

=

(ab)

a9

=a"b®

At?+Bt+C=0

.__- |

n

an =Na”

t=a*(t>0) phương trình trở thành

thừa

Dạng 2:

qa”

A.a”*+B(ab)` +C.b =0

aval =a"
(a“)

~

a

aX "`
b

bế

3. Các công thức Loogarít

log b=œ<>a”=b,
log, 1=0
log,

a’

b

=b

/>
2x

al?)
b

Dat t = Bì

x

(2 |
b

+C=0

(t>0)

Dạng 3:
A.a* +B.b*
+C =0

voi ab=1

hoac a*.b* =1 ta dat t=a* (t>0). Khido b*
e

Loogarit héa

https://sites. google. com/siteletrungkienmath

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

t=log,
x © log, a=- (x >0,x #1)

log, M=log,N

a

M=N

vàa>0azl

[|e

Với MN>0

a9 =M©>f(x) =log,M
e

Dung tinh don diéu:

Du doan nghiém cua phuong trinh, dung tinh don

điệu đê chứng minh nghiệm đó là duy nhât.
b)Bât phương trình mũ

®

a>l:a'?°>a#

e

O0
f(x)>g(x)

a)Phương trình lôgøarit

Chú ý: điều kién log, f(x) là

điệu đê chứng minh nghiệm đó là duy nhât.
b)Bắt phương trình lơgarit
a>]

e

f(x)
< g(x)
g(x)x)<© th

0O0
log, f(x) <log, a(x) c3 f(x)>
(= 809
g(x) >0

f(x) >0
a>0;azl

Dưa về cùng cơ số

log, f(x) =log, ¬
os

Dung tinh đơn điệu

Dang co ban

log, x=b@&x=a"(a>0,a#1)

e

e

Du doan nghiém cua phuong trinh, dung tinh don

log, 8, f(x)
f(x) <log,

Chiy b=a'™?

5. Phương trình- Bất phương trình lơgarít

e

Mũ hóa

®

al > ađ âf(x)
e

se.

log b=c<âb=a

f(x)

=

l.
f(x) >0

g(x

f(x) = g(x)
g(x)>0

se

Datan phu

Dang 1:

A(log, x) + B(log, x) +C =0

dat t=log,x = At*+Bt+C=0,
chu y (log, b) =log*b
Dang 2:

Alog, x+Blog,a+C =0 dat

/>
https://sites. google. com/siteletrungkienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

| tan(ax + b)dx = -*In |cos(ax + b) +C
a

1. Bảng các nguyên hàm- tích phần
e
Các nguyên hàm cơ bản
+]

[ x“dx

[co t(ax + b)dx = Tịn |sin(ax + b) +C

a

+C,a#-1aeéeR

+
atl

1

[—dx = Infx|+C.

fe

[dx=x+e,

ax

*h1x= —e**° +C
1

ax

a

ax+b

[adx=-++C

[z**”ảx =

[ cosxdx =sinx+C

[F=2k +0

x

x

alna

+C,a>0, a41

| sin xdx = -cosx +C
Í—x=
COS

(i
x°+a"

tan x+€

X

d
—
pa xX°-a
- 42a1 nf]
x+a

Í—dx=-eotx+O

sin

xX

ƒ

1X
d
a

[tan xdx = — In|cos x| +
[cotxdx

= 1 arctan > + C
a
a

= In|sin x|+ C

1,28.
1

-x

ag

2a

¢

a-x

nhang

[e*dx= e ` +C
ES
—x?

a

[ovdx ===
+C,a>0,
a4 1
Ina
e

Các nguyên hàm
[@x + b)*dx =
1

|_——d
ax+b

x

=

thường dùng

1 (ax + b)**?

a+l1

a

In|ax + b|

———
a

+C,a#-laekR

+

[cos(ax + b)dx =sin(ax +b) +C
a
[sin(ax + b)dx = _ cos(ax +b) +C
a
1

1

——_d x = —tan(ax+b)+C
cos’ (ax + b)
a
1

————dx
sin”(ax + b)

1

=-—co t(ax +b)+ CC
a

/>
= aresin—x4 C

b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì
r
b

[f(x*x= Fs)

a

= F(b)— F(a)

c) Tinh tich phan.
e
Phương pháp đôi biên sô
dạng 1

[= Jr(ols)) 09

dx

Dat t= (x) . Khi đó
b

I=[f(o(x))}o

b

—)
(a)

f(t

ay: TƠ (x) => dt =9'(x)dx
g(t)= (x) > g'(t)dt =0'(x)dx

e
Phương pháp đổi biến số
dạng 2.
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién
b

S= [Ir(&) -g(x)x.

I=[f(x)dx
a

Đặt x = 0 (t)

. Với (0 là hàm số có đạo hàm liên tục

trên |œ:B] , trong đó a = 0(œ);b = 0(B) .Khi ú

I

I= [Ê(x)& = [f[ứé]ứ'()
a2x2

â e

xX = asint

1

Â

2

b
quanh trục 0x được tính: V = xỈ f? (x) dx

a

X=——

sint

Chủ đề 4: Số phức
e_

Phuwong pháp tích phân từng phần

b

b

[udv=uv
a

a

Chu y:
g(x

fax | Podsinx |
u
dv

P(x)
Sinxdx

| dx

P(x) e*

du = f{x n

e_

e

P(x)
Cosxdx

dv

e* dx

P(x)dx

Z,=c+di

Z,Z, =(ac—bd)+(ad+be)i
Zy _ (a

Z,

e

d) Ung dung của tích phân.

ac + bd
a+b

ad—bc).

4) | (a

a’ +b 9

Nếu

a là một số thực âm thì căn

e - Các nghiệm của phương trình

ax’ +bx+c=0

hồnh,x=a; x=b (ab

(a#0) khi A<0 là:

=b#đ/|A|

s= [|f(x)x

X.;„=———.
1,2
2a

Cho hai ham số y =f(x) và

y=g (x) lién tuc trén |a: bị . Gọi D là hình phẳng

giới hạn bởi đơ thị hai hàm số đó và các đường thang

x=a, x=b. Khi đó diện tích Š của D được tính bởi cơng
thức:

/>
(Z, #0)

bậc hai của a là: +i.(|a|

Dién tich S của hình phẳng giới

hạn bởi đô thị của hàm số y =f (x) liên tục và trục

¢

Cho Z,=a+bi,

Z,+Z, =(atc)+(b+td)i

P(x)Inx

Inx

được gọi là số phức liên hợp của

Z=a+bi

P@&)cosx

P(x)

Cho số phức Z=a+bi
thì số

phức Z=a-—bi

v=[a(x)

u

e

a là phần

[Z| =a’ +b?

Nhớ

dv

Số phức Z=a+bi,

thực của Z„ b là phần ảo của Z. ¡ là số 1ˆ = —l
e_ Mô đun của số phức Z=a+ bi
được tính bởi cơng thức

b

—| vdu
a

Tha tich V của khối tròn xoay

y =f(x) trục 0x và hai đường thăng x=a, x=b xung

a +x?

2

-{fer(s)-20)

khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

a=tant

xa

° Hàm sốy = f (x)—g(x) khong
đối dấu trên đoạn [a; * thi :

hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién
Lượng giác

1.Các hăng đăng thức lượng giác cơ bản
sin? x +cos’x =
5 ,l+cot? x =
cos’x
sin? x
sin x
COS X
tanx =
cot x

=—,
tan
x cotx =1
cos x
Sinx
1+tan’x=

?

2.Công thức cộng lượng giác
sin(a +b) = sinacosb+cosasinb
tan(a+b) _ tana + tan b
1+ tanatanb

3.Công thức cung nhân đôi
sin 2a = 2sinacosa

sinasinb = 5 [cos(a —b)-cos(a +b) |
sinacosb = [sin (a—b)+sin(a+ b)|
8.Gia tri lwong giac cua cac góc liên
—Œ

=1-—2sin’a

sina

COSOL

—SInœ

sina

—cosa

—SInœ
COSOL

—cosa |

Tan

— tan œ

—tana | cota

tan œ

Cot

—cota

—cota | tana

cota

sinœ=a

la|<1 CÓ ØÓC Œ:

75 COSX =

tanx =—;;

T+o

Cos

5
l— tan“ a

+t

T
—-a
2

GTLG
Sin

2tana

Chú ý: Nếu đặt tan

=t thì ta có:

I-t
l+t

5

f(x)= g(x)+ k2n
f(x)=x-g(x)+k2m'

sinx =19x

5. Cong thirc cung nhan ba

sinx =0 <

2

2

sin 3a = 3sinaT— 4sin' a;

Cac truong hop dac biét

sinx =—l€

cos3a = 4cos” a— 3cosa

6.Cơng thức biên đơi tơng thành tích
cosa+cosb= 2sos|

2

cosa-cosb = -2sin{ 2°
2
.
.

.íf{a
sina+sinb =2sin

A
2

7
œS—

sinf(x) = sin g(x)

I—t
2t
4.Cơng thức hạ bậc
2
l+cos2a
. 5
l1—cos2a
cos’ a = ————-;,
sin’ a = ————_

at

7L

——<

Được gọi là aresina

-t

cotx =

ˆ]

cos

sin
cos

°]

=> +k2n,k eZ
x =kn,k
e Z
x=—2-+k2n,k €Z

Bảng sin các góc đặc biệt
Goc

2
2°)
2

2

7

—90°
sin

3

.
.
a Ps
2")
sina—sinb= 2eos|
sin

4

2

/>
Qóclo

7

6
30

7

-45°

v3

v2

2

2

11
0

4

-60°

=)]
2

quan.

7t— Œ

9.Phương trình sinx=a
la| > Ï phương trình vô nghiệm

COS2a = cos”a —sin” a = 2cos” a — Í

Sinx =

cosacosb = =[cos(a —b)+cos(a+ b) |

Goc

cos(a +b) = cosacosb + sin a sin b

tan 2a =

7.Công thức biến đối tích thành tổng.

NO

Chủ đề 5:

4
45

—30°

1T

3
60

https://sites. google. com/siteletrungkienmath

6

7

ul

2
2
90°

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

“Ti
2 8
2

Goc

Tt

22

10.Phuong trinh cosx=a

°

la| > Ï phương trình vơ nghiệm
i,

e

tan

cosa =a

lal <1 co goc a4

0<ơœ<7T

Goc

Được gọi là arecosa

° cosf (x) =cosg(x)

1

0

3

4

6

-60°

-45°

-307

—V/3

—]

7

7

7

6

4

3

30°

(x)=a(x)+kon

f(x)=g(x)+k2z

tt

0

_

_vả
3

45°

0

60°

tan

f (x) =-g(x)+k2n
12.Phuong trinh cotx=a
e
Đk:xzkmukeZ

e
Cac truong hop dac biét
COSX = Ì<© x =k2n,k
eZ

cosx =Ú © x =2 + kn,k €Z
COSX =—Ï © x= 7+ k2n,k

e_

Qóc|o

Goc

Z

Bảng cos các góc đặc biệt

11
6

0

os]

e

30

4

45°

217
——

3

120°

60

90°

7

135°

150

180

2

6

3

e
Goc

57
——

4

(
cotf(x)=cot g(x)
©f(x)=g(x)+km,keZ

2

3Tm
——

%1
v2
2

°

1

B2 Bol,
2
2

cota=a

duoc goi la arccota

1

3

oy
Ludnco goc a:

cot

Goc

Bang cot cac góc đặc biệt
T

7

7

7

6
307

4
4ý

3
6W

2
9W

43.

1
T

5
T

0
7

2

11.Phuong trinh tanx=a

°

Dkix#>+knk eZ

e

LncóøØóc
Œ:4+

cot

-60"
_N3

-4ấ
4

-30
-JB

tanœ=a

được gọi là arctana

xq

T

——<Œ<—
2
2

tan f(x) = tan g(x)
©f(x)=g(x)+km,keZ

e

Bang tan cac góc đặc biệt

/>
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


Lé Trung Kién

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 6: Tổ hợp xác suất

a"=aa.a,a0=1 |

1. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai

_

m

hành động. Nêu hành động này có m cách thực

a" =4a"

trùng với bât kì cách nào của hành động thứ nhât

> =a"

hiện. hành động kia có n cách thực hiện khơng

thì cơng việc đó có m + n cách thực hiện

2. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động
liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành động thứ

ao

——

ab)

8

„1

cơn

a%aP = ant

4

(a” ) — aP

~

=a“b”

7. Phép thử và biến cổ

a " av
bj
b*

nhât và ứng với môi cách do con cach thực hiện
hành động thứ hai có m.n cách hồn thành.

Kí hiệu
O

Cho tập hợp a gôm n phân tử (n >1). Mỗi két qua

A =Ø

A_ là biển cỗ không

của sự sắp xếp thứ tự n phân tử của tập hợp A

A=Q

A là biên cơ chăc chăn

3.Hodnvi

—

được gọi là một hốn vị của n phần tử đó.
Ta kí kiệu số các hốn vị của n phân tử là

P, =n(n—1)...2.1=nl

C là biến cô: “A hoặc B”
C la bién cô: “A và B7

| AvàBxung khắc

B=A=O\A | A

và B

đôi nhau

8. Xác suất của biến cỗ

của việc lấy k phân tử của tập hợp A và sắp xếp

e

chúng theo mộ thứ tự nào đó dgl mét chinh hợp

chap k cua n phan tu da cho.
Ta kí hiệu sơ các chỉnh hợp chập k của n phân tử

nl

(pon

A là biên cô

AoB=Ø__

Cho tập hợp A gồm n phân tử (n >1). Kết quả

[AY

AcQ

C=AUB
C=ARB

4. Chính hợp

a

Ngơn ngữ biến cơ
Khong gian mau

(n _ k)!

|p A)
(
—

n(A)
n(Q)

P(A): Xác suất của biến cô A.
n(A): Số phân tử của A; n(O): sô các kết quả
xay ra cua mot phép thu.

5. Tổ hợp

© P(S)=0, P(Q)=1

Ta kí hiệu 1 các tô hợp chập k của n phân tử là :

sp (A) -I_p (A)

Giải sử tập hợp A có n phân tử (n >I). Mỗi tập
con gồmk phân tử của A đợi một tổ hợp chập k
của
n phân tử ó cho.
n!

0A,B xung khac:
P(AUB)=P(A)+P(B)
o

C- = k(n)!
Cl=C"*.C*.+Ct

sô

e

â A vaB l hai biến có độc lập:
<= P(A.B) = P(A).P(B)

=C

6. Cơng thức nhị thức Niu-Tơn

(a+b) =C?a"+Cja” b+...+Cla" “b*+..,
+C" lab"! +C?b°" = S Cla"*b"
k=0
e

Nhắc lại các công thức lũy thừa

https://www. facebook.com/letrungekienmath

https://sites. google. com/siteletrungkienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 7 : Dãy số- Cấp số cộng-Cấp số nhân

d. Tổng ø số hạng đầu tiên:

1. Dãy số

a. Dãy số

S, =u, tu, t..t+u,

2

3. Cấp số nhân

Dạng khai triển: (un) = ul, M2, ... H, ô..
b. Day s tng, dóy s gim

a. nh ngha:
=Ung

đ (u„) là dãy số tăng

nw’

(ua) là cấp số nhân & un+1

vdin

© N*

n.

(q- cơng bội)

4a,

_

b. Số hạng tổng qt:

{€©In+i > I„ VỚI Vn 6 N*.
OS Un+1 — Un > Ovdi Vn € N*

H,„ = Mị .q

với n >2

u

c. Tính chất các số hạng:

© 1s 1 véi Vn EN* (un> 0).

2_—_

u nh

UW, =U,_,-U,,)

© (Un) la dãy số giảm

S„ = HHI

vdi g=1
1—

5 eT)

“Hl <1 voi ta EN* (un > 0).

l-q

u nh

c. Day sé bi chan

© (un) la day số bị chdn trén & 3M

nh

vai gel

ER: un

VvncN*.

© (un) la day số bị chặn dưới <= Am

© R: un

Yn € N*.

© (un) la day số bị chặn & 4m, M ER: ms
un
2.CAp

Vn

€ N*.

s6 c6ng

a. Định nghĩa: (u„) là cấp số cộng
OS un+1 = Un+d,

Yn N*

(d: cong sai)

b. Số hạng tổng quát:
u, =u,t+(n—ld

c. Tính chất các số hạng:
H,
+
Uy, = Aol

2

er

gs

với k >2

d. Tổng ø số hạng đầu tiên:

PS Un+1 < Un VOI Yn © N*.
BS Un+1 — Un< Ovdi Vn € N*

=m,

te

n| 2u, +(n—1)d|

: Ñ* —y>
nPu(n)

SM,

nu, +u

với

>2

với k >2

/>
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath

n-l

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 8 : Giới hạn

a. Giới hạn đặc biệt:

a. Giới hạn đặc biệt:

lim x*
x 400

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
lim | o,

n—+>+0

.
lim

lim + =0 (keZ*)

FỊ

n—->+00

n

x—>‡+œ

lim q” =0 (|a|<Ð:

nvr

n—>+o0

S=ur+uig+uig’ + ..= Ta

lim x* =
x —0
lim

x->‡+œ

+o
—œ

a

=

C
—=0
y k

0

a
—=0

0
aœ=œ

e

(Ì¿|< 1)

®

a. Giới hạn đặc biệt:

az0
4q#Z0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ

limn* = +00 (k EZ")

dinh: 2, 2, co— ca, 0.00 thi phdi tim cach khit

lim g” = +00 (¢>1)

Q

a

dang vo dinh.

b. Dinh li:

5. Hàm số liên tục
a. Hàm số liên tục tại mt im:

fg
CO

â

SL

đ

qo=

y = f(x) liộn tuc tai xo

â lim f(x)= f(%)

az0

0

a#zZ0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ

©

định: 0° —, œ—
CO

+...

œ Ú.œ thì phải tìm cách khử

,

b. Nếu y = ƒ{x) liên tục trên [a; b] va f(a). flb)< 0
thi tơn tại ít nhất một sốc e (a; b): ƒfc) = 0

dạng vô định.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số
a. Giới hạn đặc biệt:

lim x=xạ;

XX

lim c=c

XX

(c: hằng số)

b. Giới hạn một bên:

um
&

nếu k chdn
ở
3
néuk le

CO

2. Giới hạn vơ cực của dãy số

¬

c=c;

e

b. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

e

=+0;

b. Dinh li:

lim C=C

lim Vn =+œ

k

fO)=L

lim _#Œ)=

4. Giới hạn

lim \,JÁ4)E L

vô cực của
‹
hàm số

/>
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

S=41r7,V =a

Chủ đề 9: Hình học khơng gian

1. Cơng thức tính thể tích các hình:
e Cơng thức tính thể tích hình lập phương:

Chu y:

+ Để tính diện tích thể tích các hình, khối

nhiều khi ta phân chia hoặc thêm các hình, khối

V=a

e_

Cơng thức tính thể tích hình hộp

e_

Cơng thức tính thể tích khối lăng

chữ nhật: V=abc
trụ: V=Bh

đường cao)

để được hình khối mới có diện tích, thể tích dễ

tính hơn.
+ Với những bài tốn về tính thể tích khối
chop doi khi ta sử dụng định lý:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC ta

(a,b, c là ba kích thước)

(B: là diện tích đáy, h: là độ dài

lấy các điểm A’, B’, C' khi đó:

e _ Cơng thức tính thể tích khối chóp

V= =Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ dài đường
cao)
e - Hình, khối nón trịn xoay
S

Xsupc _ ĐƠ 85C

(bài tập 4 trang 25 sgk.)

Vo ape
SA.SBSC
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P).
Đặt h = d(O, (P)).
eh >r <©(P) và (S) khơng có điểm chung.

eh=r ©(P) tiếp xúc với (S).

eh kính r =Yz7— h7.

3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp

e

Mặt câu đøl nội tiêp hình đa diện

nêu mặt cầu đó tiếp xúc với tật cả các mặt của

hình đa diện, mặt cầu đøl ngoại tiếp hình đa diện
Š.ạ =7,S„ = 7Ì + m ,V= 1iorh
3

nếu tất cả các đỉnh của hình đa điện đều nằm trên
mặt câu.

Chú ý: l=h?+r?. Góc ASB được gọi là góc ở
đỉnh của hình chóp.
e

Hình, khối trụ trịn xoay

e

Một hình chóp có mặt cầu ngoại

tiếp khi và chỉ khi đáy có đường trịn ngoại tiếp,
tâm mặt câu ngoại tiếp hình chóp là giao của
đường thắng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy, vng góc với mặt phẳng đa giác đáy và

mặt phăng trung trực của một cạnh bên.
4. Các hình thường gap:
e _ Hình chóp được gọi là hình chóp

đều nêu nó có đáy là đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đáy.
e = Hinh chop cụt là hình tạo bởi

thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của
hình chóp và đáy.
Š„ = 27ml;S,, = 27rÌ + 2nrˆ;V =rˆh
Chú ý: l=h

e

Hình, khối cầu.

/>
e _ Hình chóp cụt đều là hình chóp
cụt hình thành do cắt hình chóp đều.
giác

e _ Hình tứ diện là hình chóp tam

e

Hinh tứ diện đều là hình chóp

tam giác có bốn mặt là các tam giác đều.
hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

e Hinh lang tru là hình gồm hai
đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt

phăng song song, các cạnh bên song song và bằng
nhau. Tùy theo đáy của hình lăng trụ là tam giác,
tứ giác ....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác...
e Hinh lăng trụ có đáy là hình bình
hành được gọi là hình hộp.

e

Hinh lang tru đứng là hình lăng

trụ có các cạnh bên vng góc với mặt đáy. Độ
dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

. Trước khi thực hiện chọn a và mặt phẳng (O)
ta can xem đường thắng a và (Q) đã có trong hình
chưa.
. Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt phẳng
(0) dé dung nhất.
. Nếu có sẵn đường thẳng vng góc với (P) thì
ta chỉ cần ké đường thẳng qua M và song song với
đường thăng đó.
6. Một số cơng thức tính về hình học phẳng
a. Hệ thức hượng trong tam giác vuông

e Tuy theo day cua hinh lang tru
đứng là tam giác, tứ giác... ta có hình lăng trụ
đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác...
e Hinh lang tru đứng có đáy là đa

giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.

e

Hinh lang tru đứng có đáy là

e

Hinh lang tru đứng có đáy là

a’ =b* +c’; b? =ab'}¢? =ac'

hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

1 — 1
1
rat.
ah =bc;-. h“ˆD2 _—=b'.c
prog
tye

hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật

e

Hinh lăng trụ đứng có đáy là
hình vng các mặt bên đều là hình vng được
gọi là hình lập phương.
Chú ý: Đa giác đêu là đa giác có các cạnh và các
sóc bằng nhau.
5. Các kiến thức về quan hệ vng góc

e Để chứng minh một đường thắng
vng góc với mặt phắng ta chứng minh nó vng
góc với hai đường thăng cắt nhau năm trong mặt
phẳng
e Hai mặt phẳng vng góc khi
mặt phẳng này chứa một đường thăng vng góc
với mặt phẳng kia. Hai mặt phăng vng góc thì
đường thắng nào năm trong mặt này vng góc

b. Dinh ly cosin a’ = b’ +c’ —2becosA
c. Công thức tính diện tích tam giác
S= lạh =absinC
2
2
abe

ABC là tam giác đều cạnh a thì:
;Dường cao=

/>
a\3

S=

a v3
4

2

Bán kính đường trịn ngoại tiếp: `

7. Các loại khối đa diện đều
Loat

một điểm đến một mặt phẳng
+) Đề tính khoảng cách từ một điểm M xuống
mặt phăng (P) ta thực hiện:
BI: Chọn trong (P) một đường thắng a và
dựng mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với a
B3: Dựng MH vng góc với b thì MH là
khoảng cách từ M đến (P).
+) Chu y:

d.

=ơn =Pr=jp(P=4)(pb)(p~â)

VI ỉlaAO tuyn s vuụng gúc vi mt phng kia.
e
Cách xác định khoảng cách từ

B2: Xác định giao tuyến b của (Q) và (P).

=-besin A =1sinB
2
2

|
|

Ten gor

So dinh

Si cạnh

6 mat

(3;3| | Tứdiện
dê

{

6

4

(4;3} | Lap phuong

8

l?

6

(3:4) | Bat dién déu

6

|

1

\

|

#

|2

|

#

20

(5:3} | Mười hai mặt đê
(3 5) | Hi mi mút đê

a

|

D)

https://sites. google. com/siteletrungkienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ trong
không gian
1.Các công thức véc tơ

d = (4,34, 543),

b =(b;b;;Ð).

á+b =(a +bi;a, +b.;a, +b,)
ka = k(,3d,;4,)= (ka, ;ka,;
ka, )(k € R)
a, =),

Phuong trinh

3 =,

x+y? +2° —2ax—2by—2cz
+d =0 là phươn trình

mặt câu tam I(a;b;c), ban kính

sẽ cùng nang

R=Va +b +c-d

AKER:

eNéu: M la trung điểm

AB=(x,
—

M

VÁ

TXp

x

2

_ YA TYn.

M

2

Z,+Zp

=

là trọng tâm của tam

—XA›Yp— YA›^p —ZA)

XA

X..=

AB, G

thì ta có:

"2

Xa

G =
YG

ZA

°

tXgtXe

3

_ YA TYs TÝc
3

Z.+Zp +Ze

=—

3

2. Biéu thirc toạ độ của tích vơ hướng
sa=

(đi; đ›; 3 ), b=

(bị;b.; bạ).

a.b =a,b, + a,b, + a,b,
° la|-

Chú ý:
.VTPT là véc tơ #0

có giá vng góc với mặt phăng,

. Nếu (#): Ax+ By+Cz+D=0
VTPT n=(A;B;C)

thì nó có một

. Nếu đường thắng vng góc với mặt phẳng thì VTCP
của đường thắng là VTPT của mặt phẳng
. Nếu nLa.b

chon n=|a;b |

Hai mat phang song song có cùng VTPT
. Phương trình mặt phăng đặc biệt.

(Oxy):z=0;

d:

GLb Sab, +ayb,
+ a,b; =0
3. Tích có hướng của hai véc tơ

Cho a(a,;a;;a,) và b=(b,;b„;bạ).
a, 2 a.l| 3|. ja, 3 a,| yf ja,

=0

(0yz):x=0;

(0xz):y=0

X=xX,+ut

9” Eaidipsess

. |=
| a:b

(œ) : A(x-x,)+B(y—y,)+C(z—zạ)

M(x,;y,;Z¿) có VTCP u =(u,;u;;u,) là

Hyp -y,Y HZ, ~z,y

Gp tab, tap,

«

M(x,;yạ,;z¿) có VTPT n= (A:B;C) là

6. Phương trình đường thắng
e _ Phương trình đường thắng qua

a +a3 +a;

° AB= [0,7

nua +b’+c’-d>0

5. Phuong trinh mat phang:
e
Phuong trinh mat phang œ qua

han
giác ABC

I(a;b;c) ban kính R là:

(x-a} +(y-b} +(z-c} =R?

d=b 4d, =b,
eVới b#Ú

Là véc tơ vng góc với cả hai véc to a; b

4. Phương trình mặt câu
e
Phuong trinh mat cau tam

a2

b, bạ| |b; bạ| |b, bạ
— (a,b, —a,b,;a,b, —a,b,;a,b, — a,b, )
/>
¢y=y,+u,t là phương trình tham số
Z=Xạ +uaf

hoặc

AT Fo „J0 —““ “2 lạ phương trình chính
u,

u,

tắc; (u,, u;, u; 0),

u,

Chú ý:
.VTCP là véc to #0
duong thang.

c6 gia song song hoac trùng với

. Đường thắng qua A, B thì nó có một VTCP là AB

hữDps:⁄/s1tes. ooole.corm/site letrunokienmath


THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién
. Nếu đường thắng vng goc voi mat phẳng thì nó có
VTCP là VTPT của mặt phăng,
. Hai đường thăng song song thì có cùng VTCP.
. Nếu uLazb

chon ¡=| 4:8]

x =0

0x:y=0;

=0

Bước 1. Nếu j `”

x=0

-

Néu

z=t

Khoảng cách từ M (X93 Yo3Z,)

dén mat phang (œ) :Ax+By+€Cz+D=0

là

d(M:(ø)) _ |AX, + By, +Cz, +D|
8. Góc

e

XA7+B.+C
Néu (a):Ax+By+Cz+D=0

thì (œ) có một VTPT n=(A;B;C)
X=Xụạ +u,f

e

Néud:

y=yạ+u,† hoặc
Z=Xạ +Uuaf

X—X
u;

0 -Y7

—

Yo _

u,

Z—Z

470 thì
đ có một VTCP

u;

u= (u,:u;;u;)
¢

cos(d;d')= lcos(ws: ue’)

¢

—cos((c.);(B)) = cos(muy:n0)

e

sin(d;(œ)) = leos(ua:n.)

9. Vi trí tương đối của hai đường thang
e
Dé xét vị trí tương đối của hai
đường thăng
X=Xụ +u,f

d:4y=y,+u,t, có VTCP_ u=(u,;u;;u,
), qua
Z=Z,+u,t

M(Xo:¥o3Zo)

/>
=>

=ku thi d trùng d”

Med'

7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phang

e

u'=(u1:u);;u),) ta

Z=Z',+u',t’

=>

Ơy:4y=t;, 0z:4y=0

=0

d':4y=y+u',t' có VTCP
làm theo các bước:

. Phương trình đường thắng đặc biệt:
x=t

X=xb,+u;f

Ju'=ku

|

2"
" thid song song voi d’.
Mé¢d'

Nếu u'zku chuyền sang bước 2.
Bước 2. Xét hé phương trình
X,+ut=x')+u', t’
y,t+u,t=y',tu',t!

Z,+u,t=z')t+u’',t’
-Néu hé phuong
nhau
- Néu hé phuong
hai duong thang
10. VỊ trí trơng
phăng

trinh v6 nghiém thi d va d’ chéo
trinh co nghiém duy nhat t, t’ thi
cat nhau.
đôi giữa đường thăng và mặt

X=Xụ +u,f

Cho d:,;y=y,+u,t

va

Z=Z¿ +uaf

(œ):Ax+ By+Cz+D=0

để xét vị trí tương đơi

của d và (œ) ta xét hệ phương trình
X=X)+ut

Y=yo+uyt
Z=Z,+u,t

Ax + By+Cz+D=0
-Néu hé phương trình vơ nghiệm thì d song song

(o)

-Néu hé phương trình có vơ số nghiệm thì d năm

trong (a)

-Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt (œ)

hiDs://s1es.ooole.cor/site letrunokienmath


THPT Nguyén Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lé Trung Kién

Chủ đề 11: Phép dời hình và phép biến hình

trong mặt phăng

I.Phép biến hình: Qui tắc đặt tương ứng mỗi

điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định

duy nhất M' của mặt phẳng đó đgl phép biến
hình trong mặt phẳng.

e Nếu kí hiệu phép biến hình 1a F

thì ta viết

F(M)=M' hay M' = F(M). M' đgl ảnh của M qua

phép biến hình FE.

e Cho hình H. Khi đó:

H' = {M'=F(M)/Me H}

dgl anh cua H qua F.

e Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính
nó đgl phép đồng nhất.
2.Phép tịnh tiến véc tơ V

T. :(P) >(P),ME> M'=T.(M) © MM'=v
To MGcyJRM'xhy')
.

6. Phép đồng dạng

e© Định nghĩa: Phép biến hình F
được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0), nêu với

hai điểm bất kì và ảnh M°, N' tương ứng của
chúng ln có MN'=k.MN
e

Nếu thực hiện liên tiếp phép

đồng dạng tỉ số k và phép đông dạng tỉ số p, ta
được phép đông dạng tỉ số pk
e Hai hình được gọi là đồng dạng
với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình
này thành hình kia.

i

(om cha 4o me chi thay.
(jing cong mà học có ngày thành danh.

x'=x+a

b =y+b

-Jục ngit Viet Nam-

3.Phép quay tam O góc œ
Qvo.a) :(P)->(P),OE>O,MzOE->M'
OM
= OM'

(OM,OM) = «

2

e

lự

4.Phép dời hình, hai hình băng nhau:

Flàphép dời hình ©

F:MF5M'`NN'—=MN=M'`N'

e_

Các phép đồng nhất, phép tịnh
tiễn, phép đôi xứng trục, phép đối xứng tâm, phép
quay là phép dời hình.
e Phép biến hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là
một phép đời hình.

e

Hai hình được gọi là bằng nhau

“Suy nghĩ, suy nghĩ, suy nghĩ nữa `.
"Nghiên cứu khoa học giông như khoan gỗ có
người thích khoan gơ mỏng, cịn lơi thích khoan gơ
day”.
2

Anbe Anhxtanh

nếu có một phép dời hình biến hình nảy thành hình

kia.

5. Phép vị tự tâm O tỉ số k
e_ Cho điểm O và sơ k0. Phép

biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho

OM'=k.OM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

kí hiệu Vụ.„

/>
https://sites. google. com/site/letrungkienmath