LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………













LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor


1
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`

u khi ta cˆa
`
n pha
’
i xa´c d¯i
.
nh gia´ tri
.
cu
’
amˆo
.
t ha`m sˆo
´
f(x)
ta
.
imˆo
.
t d¯ i ˆe
’
m tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c, trong khi d¯o´ d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı

’
m´o
.
i cho biˆe
´
tmˆo
.
tsˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu
’
a ha`m sˆo
´
va`cu
’
ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu

’
a no´ ta
.
imˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe
’
m
x
1
,x
2
, ···,x
k
cho tru
.
´o
.
c.
V´o
.
inh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho

.
.
pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m sˆo
´
P (x)
da
.
ng d¯o
.
n gia
’
nho
.

n, thu
.
`o
.
ng la` ca´c d¯a th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
, tho
’
ama
˜
nca´cd¯iˆe
`
ukiˆe
.
nd¯a
˜
cho. Ngoa`i
ra, ta
.
inh˜u
.
ng gia´ tri
.
x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o
.
i x

1
,x
2
, ···,x
k
, thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa
´
pxı
’
theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
amˆota
’
trˆen d¯u
.

o
.
.
cgo
.
i la` ha`m nˆo
.
i suy cu
’
a
f(x); ca´c d¯iˆe
’
m x
1
,x
2
, ···,x
k
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´cnu´t nˆo

.
i suy va` ba`i toa´n xˆay du
.
.
ng
ha`m P (x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.
’
du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P(x), ta dˆe
˜

da`ng tı´nh d¯u
.
o
.
.
c gia´ tri
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i chı´nh
xa´c cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x)ta
.
i x ∈ R tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c. T`u
.
d¯ o´, ta co´ thˆe
’
tı´nh gˆa
`

n d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu
’
a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nrad¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng trong
thu
.
.
ctˆe

´
. Do d¯o´, viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
O
.
˙’
ca´c tru
.
`o
.
ng phˆo
’
thˆong, ly´ thuyˆe
´
tvˆe
`
vˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y khˆong d¯u

.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng nh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu
’
a no´ cu
˜
ng ”ˆa
’
nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a

’
ng ha
.
n trong ca´c phu
.
o
.
ng trı`nh
d¯ u
.
`o
.
ng ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng trı`nh m˘a
.
tbˆa
.
c hai, trong ca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.

cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t
la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n
kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.

c sinh gio
’
ica´ccˆa
´
p.
Vı` vˆa
.
y, viˆe
.
c hı`nh tha`nh mˆo
.
t chuyˆen d¯ˆe
`
cho
.
nlo
.
cnh˜u
.
ng vˆa
´
n d¯ ˆe
`
co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe

`
ca´c ba`i
toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
i go´c d¯ˆo
.
toa´n phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ trong qua´
trı`nh gia
’
imˆo
.
tsˆo

´
da
.
ng toa´n kho´ la` rˆa
´
tcˆa
`
n thiˆe
´
t. Ho
.
nn˜u
.
a, chuyˆen d¯ˆe
`
na`y cu
˜
ng co´ thˆe
’
la`m ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o cho ca´c gia´o viˆen gio
’
iva` ca´c sinh viˆen nh˜u
.
ng n˘am d¯ˆa
`
ucu

’
abˆa
.
c
d¯ a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.
’
ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´

n sa´ch chuyˆen kha
’
o
[2] ra d¯`o
.
i. D
-
ˆay v`u
.
a la` mˆo
.
t thuˆa
.
nlo
.
.
iv`u
.
a la` mˆo
.
t kho´ kh˘an cho nˆo
˜
lu
.
.
c tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng

ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´ gia´, trong khi
d¯ o´ hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa

´
pna`od¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
n
ve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´

g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.

ng ´u
.
ng
2
du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n Taylor.
Ba
’
nto´mt˘a
´
t luˆa
.
n v˘an da`y 24 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa

`
nMo
.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung, kˆe
´
t
luˆa
.
nva`Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o.
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’

d¯ i ˆe
’
n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n,
d¯ o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.

i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va`
Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u

.
ng nˆo
.
i dung tro
.
ng tˆam cu
’
a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng o
.
’
phˆo
’
thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.

ng cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p tha`nh
mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’

i toa´n kha´ d¯a da
.
ng va`
mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
p d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a
’
ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.

ng phˆan th´u
.
c
co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i
toa´n thi cho
.
nho

.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia
’
ib˘a
`
ng ca´ch a´p du
.
ng cˆong
th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la

.
icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.

p da`nh cho ba
.
nd¯o
.
ccu
˜
ng d¯u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.
’
phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o

.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu

.
o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
p
xı

’
ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa

.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
t
sˆo
´
phˆa
`
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜

d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng
ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.

su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu
’
aTiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa

`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c, truyˆe
`
nd¯a
.
t
nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.

c trong suˆo
´
t th`o
.
i gian
nghiˆen c ´u
.
u d¯ ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
c
d¯ ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
ygia´ohu
.

´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´

n: Ban Gia´m Hiˆe
.
u,
Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho

.
n, cu`ng quı´
thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
c cho l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8.
UBND tı
’
nh, So
.
’
gia´o du
.

cva` d¯a`o ta
.
otı
’
nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai
d¯ a
˜
cho ta´c gia
’
co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o cu
’
a nha` tru

.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
i d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
i d¯ ˆe
’
ta´c gia
’
nghiˆen c ´u
.

uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n
v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen
cu
’
aca´cba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi

.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VII, VIII, XIX cu
’
a
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’

nh˜u
.
ng su
.
.
quan tˆam
d¯ ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
3
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.
pva` nghiˆen
c´u

.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´ t n h i ˆe
`
uha
.
n chˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu

.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe
’
ubiˆe
´
t nˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n khˆong thˆe
’
tra´nh
kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o

.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng
go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
c d¯ ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.

.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng 03 n˘am 2008
Ta´c gia
’
4
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o
.
ng na`y, luˆa
.

nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng o
.
’
ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.

i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i
suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia
’
i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th ´u
.
c
nˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´
td¯a
˜
d¯ u
.

o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha

˜
yxa´cd¯i
.
nh
d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N − 1 va` tho
’
aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u

L
i
(x)=
N

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,N.
Khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
L(x)=
N

i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho

’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
id¯ath´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
5
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´

thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´bˆa
.
c
degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x

0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ···,N −1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1

i=0
a
i
i!
(x − x
0
)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa

´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th´u
.
c na`y
la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo

´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ···,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N (x) co´bˆa
.
c
degN (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N
i−1

(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ···,x
i
,x)=

x
x
1

t

x
2

t
1
x
3
···

t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ···,N.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
N(x)=
N

i=1
a
i
R

i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1

,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
i d¯a th´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
6
Nhˆa
.

n xe´ t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n

,x

=

x
x
0

t
x
0

t
1
x
0
···

t
i−2
x
0
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt
=

(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N

i=1
a
i
R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n
,x

=
= a

0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1

x
0
, ···,x
0
  
N −1 lˆa
`
n
,x

= a
0

+ a
1
(x − x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1

i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).

Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i
suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x

i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ···,p
i
−1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j,
trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c degH(x) ≤ N −1 va`
tho

’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe
.
u
W (x)=
n


j=1
(x − x
j
)
p
j
;
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ···,n
7
Go
.
i d¯oa

.
n khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
−1−k,v´o
.
i k =0, 1, ···,l; l =0, 1, ···,p
i
−1,
ta
.
i x = x
i
cu
’
a ha`m sˆo
´
1
W
i
(x)
(i =1, 2, ···,n)la`
T


1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

)
l
l!
.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
H(x)=
n

i=1
p
i
−1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T

1
W
i

(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯ath´u
.
c

na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)
N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe

’
n
T

1
W
1
(x)

(N −1−k )
(x=x
1
)
= T

1

(N −1−k )
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1

k=0
a
k1
(x − x

1
)
k
k!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i
= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´

p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N

j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N

j=1,j=i
(x − x
j
),i=1, 2, ···,N.
8
khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor

T

1
W
i
(x)

0
(x=x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
=
1
N

j=1,j=i
(x
i
− x
j
)
,i=1, 2, ···,N.
Vˆa

.
y,taco´
H(x)=
N

i=1
a
0i
N

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.

i suy Lagrange. Trong
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qua´t, viˆe
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n d¯a th ´u
.
c Hermite kha´ ph´u
.
cta
.
p. Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
t
va`i tru

.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia
’
n kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.

c nhˆa
´
t.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.4.
Nˆe
´
u p
i
= 2, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a
.
c k =1.
+V´o
.
i k = 0, ta co´
T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)

(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
=
1

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x
i
)
=
1
W
i

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

, v´o
.
i i =1, 2, ···,n.
+V´o
.
i k = 1, ta co´
T

1
W

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)
=
0

l=0

1
W
i
(x)


(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x

i
)=
1
W
i
(x
i
)
.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
n

i=1
1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T

1
W

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n

i=1

a
0i
W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
+a

1i
(x − x
i
)W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)

a
0i
1
W
i

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)
1
W
i
(x
i

)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)

(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i
−

a
0i
W


i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
− a
1i

(x − x
i
)

.
9
Ngoa`i ra, trong phˆa
`
n ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, ta d¯a
˜
biˆe
´
tr˘a
`
ng

L
i
(x)=
n

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,n
va`
L
i
(x
j
)=



1, khi i = j
0, khi i = j.
Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.

Vˆa
.
y
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
2
(x
i
− x
j
)
2
= L
2
i
(x); i = 1,n.
D

-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu
’
ad¯˘a
’
ng th´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W

i
(x)
W
i
(x
i
)
=2L
i
(x)L


i
(x)=2L

i
(x
i
).
Do d¯o´,d¯ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p na`y co´ da
.
ng
H(x)=
n

i=1
L
2
i
(x)


a
0i
−

2a
0i
L

i
(x
i
) − a
1i

(x − x
i
)

.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
achoviˆe
.
cvˆa

.
ndu
.
ng ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy (do ta´c gia
’
sa´ng
ta´c)
Ba`i toa´ n 1.1. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c 4, tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n sau:
P (−1) = 3a +1(a>0) ; P

(0) = 0;
P

(1) = 4(3 + a); P

(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P (x)+P

(x)+P

(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Ba`i toa´ n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho
’
ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P


(2007) ≤ 0,P

(2007) ≤ 0, ···, (−1)
n
P
(n)
≤ 0;
P (2008) > 0,P

(2008) ≥ 0,P

(2008) ≥ 0, ···,P
(n)
(2008) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
a P(x) thuˆo
.
c (2007; 2008).
10
Chu

.
o
.
ng 2
Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy
Chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy, trong d¯o´ d¯ ˆe
`
cˆa
.
p
sˆau ho
.
nd¯ˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, cˆong th´u
.
c co´ nhiˆe
`
u´u
.
ng du

.
n g d¯ ˆe
’
gia
’
imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´ o
.
’
hˆe
.
phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n.
Vˆa
´
n d¯ ˆe
`
´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.

i suy trong u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
la` hai nˆo
.
i dung
quan tro
.
ng va`tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i kho´, v´o
.
inh˜u
.

ng ky
˜
thuˆa
.
tch´u
.
ng minh kha´ ph´u
.
cta
.
p, d¯u
.
o
.
.
c trı`nh
ba`y o
.
’
chu
.
o
.
ng sau.
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
2.1.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.1. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x
n
phˆan biˆe
.

tva`n sˆo
´
a
1
,a
2
, ···,a
n
tu`y y´. Thˆe
´
thı` tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
t d¯a th´u
.
c P (x) v´o
.
ibˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1, tho

’
ama
˜
n
P (x
j
)=a
j
; ∀j =1, 2, ···,n. (2.1)
D
-
ath´u
.
cco´da
.
ng
n

j=1
a
j
n

i=1,ı=j
x − x
i
x
j
− x
i

(2.2)
D
-
ath´u
.
c (2.2) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange ho˘a
.
c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ca´c sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x

n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c nu´t nˆo
.
i suy.
()T`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.2. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2

, ···,x
n
phˆan biˆe
.
t. Thˆe
´
thı` mo
.
i d¯a th´u
.
c P(x) v´o
.
ibˆa
.
c
khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1 d¯ ˆe
`
uco´ thˆe viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.

ng
P (x)=
n

j=1
P (x
j
)
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
. (2.3)
11
Nhˆa
.
n xe´ t 2.1. (
´
Y nghı
˜
a hı`nh ho
.
c)
D
-

ath´u
.
c (2.3) va` (2.4) kha´ quen thuˆo
.
c trong chu
.
o
.
ng trı`nh toa´n phˆo
’
thˆong. Ta thu
.
’
d¯ i
tı`m y´ nghı
˜
a hı`nh ho
.
ccu
’
a chu´ng, ch˘a
’
ng ha
.
n (2.4).
Gia
’
su
.
’

r˘a
`
ng, trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad¯ˆo
.
Oxy cho 3 d¯iˆe
’
m A(x
1
; y
1
),B(x
2
; y
2
),C(x
2
; y
2
), v´o
.
i
x
1
,x

2
.x
3
kha´c nhau t`u
.
ng d¯ˆoi mˆo
.
t.
Thˆe
´
thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯u
.
`o
.
ng cong y = P(x), trong d¯o´la`
d¯a th ´u
.
cv´o
.
i degP (x) ≤ 2, tho
’
ama

˜
n
P (x
1
)=y
1
(nghı
˜
a la` d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
m A);
P (x
2
)=y
2
(nghı
˜
ala`d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
mB);
P (x
3

)=y
3
(nghı
˜
ala`d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
mC).
Ho
.
nn˜u
.
a, d¯u
.
`o
.
ng cong co`n co´ phu
.
o
.
ng trı`nh cu
.
thˆe
’
la` y = P (x), tro`n d¯o´ P(x) co´ da
.
ng

(2.4) va`ca´chˆe
.
sˆo
´
a
j
chı´nh la` y
j
,j=1, 2, 3.
+V´o
.
i degP (x) = 2, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` parabol d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C.
+V´o
.
i degP(x)=1,d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` d¯u
.
`o
.
ng th˘a
’

ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C, khˆong
cu`ng phu
.
o
.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
+V´o
.
i degP (x) = 0, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x)la`d¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C, cu`ng
phu
.
o

.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange chı´nh la` ”ca´c gˆo
´
c” cu
’
amˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng trı`nh d¯u
.
`o
.
ng cong
(ho˘a
.
cd¯u

.
`o
.
ng th˘a
’
ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe
’
m cho tru
.
´o
.
c trong m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad¯ˆo
.
.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.2.
V´o
.
i d¯a th´u
.
c P (x)co´degP (x) ≤ n − 1 cho tru
.
´o

.
c, ca´c sˆo
´
a
j
trong (2.2) d¯u
.
o
.
.
c thay b o
.
’
i
P (x
j
), v´o
.
i j =1, 2, ···,n.
Bˆay gi`o
.
ta thu
.
’
d¯i tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.

ng cu
’
a (2.5).
Gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
, ···,x
n
la` n sˆo
´
thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t, n ≥ 2. Xe´t d¯a th´u
.
c
P (x)=x
n
−
n

i=1

(x − x
i
). (2.4)
T`u
.
d¯ o´,a´pdu
.
ng (2.5), ta co´
n

j=1
x
n
j

n
i=1,i=j
(x
j
− x
i
)
=
n

j=1
x
j
. (2.5)
Bˆay gi`o

.
, ta ha
˜
y tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a (2.15) d¯ˆe
’
ta
.
o ra nh˜u
.
ng d¯˘a
’
ng th´u
.
cm´o
.
i.
Tro
.
’
la
.
iv´o

.
i d¯a th´u
.
c P (x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
, a
n
=0,n ≥ 2, co´ n
nghiˆe
.
m thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x

n
.
V´o
.
i n gia´ tri
.
phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
,a´pdu
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆo
´
iv´o
.
id¯a
th´u
.
c f (x)=x
k
, k  n − 1, ta co´

x
k
=
n

j=1
x
k
j
ω
j
(x)
12
Ta co´
x
k
=
n

j=1
x
k
j
ω(x)
(x − x
j
)ω

(x
j

)
= a
n
n

j=1
x
k
j

n
i=1,i=j
(x − x
i
)
P

(x
j
)
.
Biˆe
’
uth´u
.
c cuˆo
´
i cu`ng la` mˆo
.
td¯ath´u

.
cco´hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a x
n−1
la`
a
n
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
.
So sa´nh ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu
’

a d¯a th´u
.
c x
k
, ta d¯u
.
o
.
.
c ca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c sau:
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
=0, ∀k ∈{0, 1, 2, , n − 2}; (2.6)
n

j=1
x

k
j
P

(x
j
)
=
1
a
n
, v´o
.
i k = n − 1. (2.7)
2.1.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng
Phˆa
`
n tro
.
ng tˆam cu
’
a phˆa

`
n na`y tˆa
.
p trung va`o viˆe
.
ca´pdu
.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh hoa
.
t
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.

c
sinh gio
’
i trong nu
.
´o
.
c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
Ba`i toa´ n 2.1. Xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
b˘a
`
ng 3; 1; 7,ta
.
i x b˘a

`
ng −1; 0; 3
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Ba`i toa´ n 2.2. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
c f(x)
co´bˆa
.
c khˆong l´o
.

nho
.
n n −2, thı`:
T =
f(a
1
)
(a
1
− a
2
)(a
1
− a
3
) (a
1
− a
n
)
+ +
f(a
n
)
(a
n
− a
1
)(a
n

− a
2
) (a
n
− a
n−1
)
=0.
Ba`i toa´ n 2.3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
i ba gia´ tri
.
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pcu
’

abiˆe
´
nsˆo
´
x, thı` d¯a th´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
imo
.
i x nguyˆen.
Ba`i toa´ n 2.4. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Go
.
i A
i
(i =1, 2, , n) la` phˆa
`
n

du
.
trong phe´p chia d¯a th´u
.
c f(x) cho x − a
i
.Ha
˜
y tı`m phˆa
`
ndu
.
r(x) trong phe´p chia f(x)
cho (x − a
1
)(x − a
2
) (x − a
n
).
Ba`i toa´ n 2.5. (Vˆo d¯i
.
ch Chˆau
´
A Tha´ i Bı`nh Du
.
o
.
ng, 2001)
Trong m˘a

.
t ph˘a
’
ng v´o
.
ihˆe
.
tru
.
cto
.
ad¯ˆo
.
vuˆong go´c, mˆo
.
td¯iˆe
’
md¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯iˆe
’
mhˆo
˜
nho
.

.
p
nˆe
´
umˆo
.
t trong hai tha`nh phˆa
`
nto
.
ad¯ˆo
.
cu
’
ad¯iˆe
’
md¯o´ la` sˆo
´
h˜u
.
utı
’
, tha`nh phˆa
`
n kia la` sˆo
´
vˆo
tı
’
. Tı`m tˆa

´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
cco´hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c sao cho d¯ˆo
`
thi
.
cu
’
amˆo
˜
id¯ath´u
.
cd¯o´ khˆong ch´u
.
a
bˆa
´
t ky` d¯iˆe
’
mhˆo

˜
nho
.
.
pna`oca
’
.
Ba`i toa´ n 2.6. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cc˘a
.
pd¯ath´u
.
c P (x) va` Q(x) co´bˆa
.
cbav´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c
tho
’
ama

˜
n4d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n:
a) Ca
’
hai d¯a th ´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
0 ho˘a
.
c 1 ta
.
ica´c d¯iˆe
’
m x =1, 2, 3, 4;
13
b) Nˆe
´
u P (1) = 0 ho˘a
.
c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1;
c) Nˆe
´
u P (2) = 0 ho˘a

.
c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0;
d) Nˆe
´
u P(3) = 1 ho˘a
.
c P(4) = 1, thı` Q(1) = 0.
Ba`i toa´ n 2.7. (Vˆo d¯i
.
ch My
˜
- 1975)
D
-
ath´u
.
c P(x) bˆa
.
c n tho
’
ama
˜
nca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c P(k)=
1
C
k

n+1
,v´o
.
i k =0, 1, 2, ,n.
Tı´nh P (n +1).
Ba`i toa´ n 2.8. Gia
’
su
.
’
d¯a th´u
.
c c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ + c
n
x
n
co´ gia´ tri
.
h˜u
.
utı
’

khi x h˜u
.
utı
’
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng, tˆa
´
tca
’
ca´chˆe
.
sˆo
´
c
0
,c
1
,c
2
, , c
n
la` nh˜u
.
ng sˆo
´
h˜u

.
utı
’
.
Ba`i toa´n 2.9. Cho p la` mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen tˆo
´
va` P (x) ∈ Z[x] la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c s tho
’
ama
˜
nca´c
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n
1) P (0) = 0, P (1) = 1.
2) P (n) ho˘a
.
c chia hˆe
´
t cho p ho˘a

.
cco´sˆo
´
du
.
b˘a
`
ng 1,v´o
.
imo
.
i n ∈ Z
+
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng: s ≥ p − 1.
Ba`i toa´ n 2.10. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) co´bˆa
.
c nho
’
ho

.
n n (n ≥ 2) va` thoa
’
ma
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n
n

k=0
(−1)
n−k−1
C
k
n
P (k)=0.
Ba`i toa´ n 2.11. Cho sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen s va` da
˜
yca´c d¯a th´u
.
c P

n
(x) co´bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t s. Gia
’
thiˆe
´
tr˘a
`
ng ha`m sˆo
´
g(x) xa´c d¯i
.
nh trong (0; 1) va` thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
| g(x) − P
n
(x) |<

1
n
; ∀x ∈ (0; 1); n =1, 2,
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´tˆo
`
nta
.
i d¯a th´u
.
c Q(x) bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t s tru`ng v´o
.
i g(x) trong
(0; 1).
Ba`i toa´ n 2.12. Cho n sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.

ng d¯ˆoi mˆo
.
t kha´c nhau x
1
,x
2
, , x
n
.Go
.
i p
j
=
P

(x
j
), trong d¯o´
P (x)=
n

j=1
(x − x
j
).
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng da

˜
y (u
k
) xa´c d¯i
.
nh theo cˆong th´u
.
c
u
k
=
n

i=1
x
k
i
p
i
la` mˆo
.
tda
˜
ysˆo
´
nguyˆen.
Ba`i toa´ n 2.13. 1) Cho d¯a th´u
.
c f(x) co´bˆa
.

c n v´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
cva`hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng a. Gia
’
su
.
’
f(x) co´ n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
t x

1
,x
2
, , x
n
kha´c 0.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
(−1)
n−1
ax
1
x
2
x
n
n

k=1
1
x
k
=
n

k=1
1
x

2
k
f

(x
k
)
.
14
2) Co´ tˆo
`
nta
.
i hay khˆong mˆo
.
td¯ath´u
.
c f (x) bˆa
.
c n le
’
v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa

´
t a =1
ma` f(x) co´ n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
kha´c 0 thoa
’
ma
˜
n
1
x
1
f

(x
1
)
+
1
x
2
f


(x
2
)
+ +
1
x
n
f

(x
n
)
+
1
x
1
x
2
x
n
=0?
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.

ng cu
˙’
a c´ac cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy kh´ac
2.2.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor cho ta cˆong th´u
.
cd¯o
.
n gia
’
nva`cu
˜
ng rˆa
´
ttˆo
’
ng qua´t d¯ˆe
’

xa´c
d¯ i
.
nh phˆa
`
n chı´nh cu
’
a ha`m sˆo
´
. Do d¯o´ , d¯ ˆe
’
tı`m gi´o
.
iha
.
n, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng du`ng cˆong th´u
.
c
khai triˆe
’
n Taylor t´o
.

imˆo
.
tcˆa
´
p na`o d¯o´. Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tsˆo
´
vı´ du
.
minh ho
.
a.
Ba`i toa´ n 2.14. Tı´nh gi´o
.
iha
.
n
lim
x→0
sin(sin x) − x
3
√
1 − x
2
x

5
.
Ba`i toa´ n 2.15. Tı´nh gi´o
.
iha
.
n
lim
x→0
(cos(x.e
x
) − ln(1 − x) − x)
cot x
3
.
Mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng kha´ quan tro
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor la` viˆe

.
cxˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.Vˆa
´
n
d¯ ˆe
`
na`y se
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y o
.
’
chu
.
o
.
ng sau.
2.2.2 Cˆong th´u
.
cnˆo

.
i suy Newton
Ba`i toa´ n 2.16. Cho 3 bˆo
.
sˆo
´
thu
.
.
c (x
1
; a
1
), (x
2
; a
2
), (x
3
; a
3
). Tı`m d¯a th´u
.
c N (x) v´o
.
i
degN(x) ≤ 2 va` tho
’
ama
˜

nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N(x
1
)=a
1
,N

(x
2
)=a
2
,N

(x
3
)=a
3
Ba`i toa´ n 2.17. Cho (n +1)c˘a
.
psˆo
´
(x
j
,y
j
)(j =0, ,n).V´o

.
i i = k ta d¯i
.
nh nghı
˜
a
[x
i
,x
k
]=
y
i
− y
k
x
i
− x
k
([x
i
,x
k
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.

i la` sai phˆan ta´ch bˆa
.
c nhˆa
´
t);
[x
i+p
,x
i+p−1
, ,x
i+1
,x
i
]=
[x
i+p
, ,x
i+1
] − [x
i+p−1
, ,x
i
]
x
i+p
− x
i
([x
i+p
,x

i+p−1
, ,x
i+1
,x
i
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` sai phˆan ta´ch bˆa
.
c p).
Cho x
0
<x
1
< <x
n
va` cho ha`m sˆo
´
y(x) la` ha`m kha
’
vi liˆen tu
.
cd¯ˆe
´
nbˆa

.
c n thoa
’
ma
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n y(x
j
)=y
j
(j =0, 1, ,n).Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
[x
n
,x
n−1
, ,x
0
]=
y
(n)
(x
∗

)
n!
,
v´o
.
i x
∗
la` mˆo
.
td¯iˆe
’
m na`o d¯o´ trong (x
0
,x
n
).
15
Ba`i toa´ n 2.18. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d¯a th´u
.
c
P
n
(x)=y
0
+[x
1

,x
0
](x − x
0
)+[x
2
,x
1
,x
0
](x − x
0
)(x − x
1
)
+ +[x
n
,x
n−1
, ,x
0
](x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
n
)
(2.8)
thoa

’
ma
˜
nca´c hˆe
.
th´u
.
c
P
n
(x
j
)=y
j
∀j ∈{0, ,n}.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.3. Cˆong th´u
.
c (2.8) cu
˜
ng chı´nh la` mˆo
.
tca´ch viˆe
´
t kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo

.
i suy
Newton d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong phˆa
`
nca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
2.2.3 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Nhˆa
.
n xe´t 2.4. Trong ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite, nˆe
´
u n =2thı` i =1ho˘a
.
c i =2. Gia
’
su

.
’
p
1
=1va` p
2
=3.Thˆe
´
thı` p
1
+ p
2
=4=N.
Khi d¯o´
+Nˆe
´
u i =1, thı` k =0, 1, ,P
1
− 1.Vˆa
.
y k =0.
+Nˆe
´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.

, gia
’
su
.
’
a
01
=1,a
02
= a
12
= a
22
=0.
Ta co´ ba`i tˆa
.
p sau
Ba`i toa´ n 2.19. Cho hai sˆo
´
thu
.
.
c x
1
= x
2
.Ha
˜
yxa´cd¯i
.

nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
cdegH(x) ≤ 3
va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H(x
1
)=1,H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo

’
ng qua´t, ta co´ ba`i toa´n du
.
´o
.
i d¯ˆay v´o
.
i ca´ch gia
’
igˆa
`
ngu
˜
iv´o
.
i chu
.
o
.
ng trı`nh phˆo
’
thˆong.
Ba`i toa´ n 2.20. Cho hai sˆo
´
phˆan biˆe
.
t x
0
va` x
1

. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n (n ∈ N
∗
) tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
Nhˆa
.

n xe´t 2.5. Trong ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite, nˆe
´
u n =2thı` i =1ho˘a
.
c i =2. Gia
’
su
.
’
p
1
=2va` p
2
=3.Thˆe
´
thı` p
1
+ p
2
=5=N. Khi d¯o´
+Nˆe
´
u i =1, thı` k =0, 1, ,P
1
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1.
+Nˆe

´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.
, gia
’
su
.
’
a
01
= a
11
=1,a
02
= a
12
= a
22
=0.
Ta d¯u
.
o
.
.
c ba`i tˆa

.
p sau
16
Ba`i toa´ n 2.21. Cho hai sˆo
´
thu
.
.
c x
1
= x
2
.Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
cdegH(x) ≤ 4
va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n




H(x
1
)=H

(x
1
)=1
H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo
’
ng qua´t, ta cu
˜
ng co´ ba`i toa´n du
.
´o

.
i d¯ˆay, v´o
.
i ca´ch gia
’
igˆa
`
ngu
˜
iv´o
.
i chu
.
o
.
ng trı`nh
toa´n phˆo
’
thˆong.
Ba`i toa´ n 2.22. Cho hai sˆo
´
phˆan biˆe
.
t x
0
va` x
1
. Tı`m tˆa
´
tca

’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n +1(n ∈ N
∗
) tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1,P

(x
0
)=1,
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
2.3 Ba`i tˆa

.
p
Luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t 10 ba`i tˆa
.
p do ta´c gia
’
sa´ng ta´c ho˘a
.
csu
.
utˆa
`
m.
17
Chu
.
o
.
ng 3
´
U
.

ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng v`axˆa
´
pxı
˙’
h`am sˆo
´
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng ´u
.
ng du

.
ng quan tro
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy la` u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
p
xı
’
ha`m sˆo
´
.D
-
ˆay la` mˆo
.
tnˆo

.
i dung quan tro
.
ng trong ly´ thuyˆe
´
t ha`m. Nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
nho
’
cu
’
avˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
tro
.
’
tha`nh nh˜u
.

ng ba`i toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong va`thu
.
`o
.
ng xuˆa
´
thiˆe
.
n
trong ca´c ky` thi ho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
cgiava` quˆo
´
ctˆe
´
,
Trong pha
.
mvicu
’
a chu

.
o
.
ng trı`nh phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n, chu
.
o
.
ng na`y se
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
n
ca´c ´u
.
ng du
.
ng nˆeu trˆen
3.1 U
.
´o
.
clu
.
o

.
.
ng h`am sˆo
´
3.1.1 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Lagrange
Ba`i toa´ n 3.1. Cho tam th´u
.
cbˆa
.
c hai f (x)=ax
2
+ bx + c tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`

ukiˆe
.
n:
| f(x) | 1, khi | x | 1.
Chu´ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M ≥ 1,taco´:
| f(x) | 2M
2
− 1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ 2n va` thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe

.
n
| P (k) | 1; ∀k ∈{−n, −n +1, , n − 1,n}.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
| P (x) | 4
n
; ∀x ∈{−n; n}.
Ba`i toa´ n 3.3. Cho d¯a th´u
.
c f(x)=ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n | f(x) | 1
khi | x | 1.Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M>1 cho tru
.
´o
.
ctad¯ˆe
`
uco´
| f(x) |
32
3
M
4
−
32
3
M
2
+1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.4. Gia
’
su
.
’
cho tru

.
´o
.
cca´c sˆo
´
nguyˆen x
0
<x
1
< < x
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
gi˜u
.
aca´c gia´ tri
.
cu
’
a d¯a th´u
.
c x
n
+ a
1
x
n−1

+ + a
n
ta
.
ica´c d¯iˆe
’
m x
0
,x
1
, , x
n
luˆon tı`m
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
tsˆo
´
ma` gia´ tri
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
icu
’

a no´ khˆong be´ho
.
n
n!
2
n
.
18
Ba`i toa´ n 3.5. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c  2n thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P (k)|  1,k= −n, −(n − 1), ,0, 1, ,n.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
|P (x)|  2
n
∀x ∈ [−n, n].

3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Chebyshev
3.1.2.1 D
-
ath´u
.
c Chebyshev
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.1. Ca´c d¯a th´u
.
c T
n
(x)(n ∈ N) d¯ u

.
o
.
.
cxa´cd¯i
.
nh nhu
.
sau



T
0
(x)=1; T
1
(x)=x,
T
n+1
(x)=2xT
n
(x) − T
n−1
(x) ∀n>1
d¯ u
.
o
.
.
cgo

.
ila`ca´c d¯a th ´u
.
c Chebyshev (loa
.
i 1).
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.2. Ca´c d¯a th´u
.
c U
n
(x) (n ∈ N) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau



U
0
(x)=0; U
1
(x)=1,
U

n+1
(x)=2xU
n
(x) − U
n−1
(x) ∀n>1
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c d¯a th ´u
.
c Chebyshev (loa
.
i 2).
3.1.2.2 Tı´nh chˆa
´
tcu
’
a ca´ c d¯a th ´u
.
c T
n
(x)
Tı´nh chˆa
´
t 3.1. T

n
(x) = cos(n arccosx) v´o
.
imo
.
i x ∈ [−1, 1]
Tı´nh chˆa
´
t 3.2. T
n
(x) ∈ Z[x] bˆa
.
c n co´hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
tb˘a
`
ng 2
n−1
va` la` ha`m ch˘a
˜
n khi
n ch˘a
˜
n; la` ha`m le

’
khi n le
’
.
Tı´nh chˆa
´
t 3.3. T
n
(x) co´ d¯u´ng n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
ttrˆen [-1, 1 ] la`
x
k
= cos
2k +1
2n
π (k =0, 1, ,n− 1).
Tı´nh chˆa
´
t 3.4. |T
n
(x)|  1 ∀x ∈ [−1, 1] va` |T
n
(x)| =1khi x = cos
kπ
n
, k ∈ Z.
Tı´nh chˆa

´
t 3.5. D
-
ath´u
.
c T
∗
(x)=2
1−n
T
n
(x) la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c n v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng1va`co´d¯ˆo
.

lˆe
.
ch so v´o
.
i 0 trˆen [−1, 1] la` nho
’
nhˆa
´
t trong tˆa
´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
cbˆa
.
c n v´o
.
i
hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
tb˘a
`
ng 1.

3.1.2.3 Tı´nh chˆa
´
tcu
’
ad¯ath´u
.
c U
n
(x)
Tı´nh chˆa
´
t 3.6. U
n
(x)=
sin(n arccos x)
√
1 − x
2
v´o
.
imo
.
i x ∈ (−1, 1).
19
Tı´nh chˆa
´
t 3.7. U
n
(x)=
1

n
T

n
(x)=
sin nt
sin t
, cos t = x, d¯a th´u
.
cbˆa
.
c n −1 co´hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
ccao
nhˆa
´
tb˘a
`
ng 2
n−1
va` la` ha`m ch˘a
˜
n khi n le
’
; la` ha`m le
’

khi n ch˘a
˜
n.
Tı´nh chˆa
´
t 3.8. T
n
(x) co´ d¯u´ng n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
ttrˆen [-1, 1 ] la`
x
k
= cos
2k +1
2n
π (k =0, 1, ,n− 1).
Tı´nh chˆa
´
t 3.9. |U
n
(x)|  n ∀x ∈ [−1, 1] va` |T

n
(x)|  n
2
∀x ∈ [−1, 1].
Du
.

´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n a´p du
.
ng.
Ba`i toa´ n 3.6. Cho d¯a th´u
.
c P
n−1
(x) bˆa
.
c  n − 1 v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t a
0
, tho
’
ama

˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n

1 − x
2
|P
n−1
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
|a
0
|  2
n−1
.
Ba`i toa´ n 3.7. Cho d¯a th´u
.
c P
n−1
(x) bˆa
.
c  n − 1 v´o

.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t a
0
, tho
’
ama
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n

1 − x
2
|P
n−1
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng khi d¯o´
|P
n−1
(x)|  n, ∀x ∈ [−1, 1].
Ba`i toa´ n 3.8. Cho d¯a th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c
P (t)=a
1
sin t + a
2
sin 2t + + a
n
sin(nt)
thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P (t)|  1 ∀t ∈ R \{ ,−2π, −π, 0,π,2π, }.

Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng



P (t)
sin t



 n ∀t ∈ R \{ ,−2π, −π, 0,π,2π, }.
Ba`i toa´ n 3.9. Cho d¯a th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c
P (x)=
n

j=0
(a
j
cos jx + b
j

sin jx)
thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n |P (x)|  1 v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |P

(x)|  n v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
20
Ba`i toa´ n 3.10. Cho d¯a th´u
.
c
P

n
(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ + a
n
thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P
n
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´
|P


n
(x)|  n
2
, ∀x ∈ [−1, 1]. (3.1)
Nhˆa
.
n xe´ t 3.1. Du
.
.
a va`o kˆe
´
t qua
’
cu
’
a Ba`i toa´n 3.10, sau khi a´p du
.
ng liˆen tiˆe
´
pkˆe
´
t qua
’
cu
’
ad¯i
.
nh ly´ na`y, ta se
˜
thu d¯u

.
o
.
.
ckˆe
´
t qua
’
sau:
Nˆe
´
u d¯a th ´u
.
c P(x) thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P
n
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1],
thı`
|P
(k)
(x)|  [n(n − 1)(n − 2) (n −k + 1)]
2

, ∀x ∈ [−1, 1].
3.2 Mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
Ba`i toa´ n 3.11. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´

thu
.
.
c  0 va` khˆong d¯ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0. Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng phu
.
o
.
ng trı`nh
x
n
− a
1
x
n−1
− −a
n−1
x − a
n
= 0 (3.2)

co´ d¯u´ng mˆo
.
t nghiˆe
.
mdu
.
o
.
ng duy nhˆa
´
t.
Ba`i toa´ n 3.12. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´
thu
.
.
c  0 va` khˆong d¯ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0. Gia
’

su
.
’
R la` nghiˆe
.
mdu
.
o
.
ng cu
’
a phu
.
o
.
ng trı`nh (3.2) va`
A =
n

j=1
a
j
; B =
n

j=1
ja
j
.
Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´
A
A
 R
B
.
Ba`i toa´ n 3.13. Cho da
˜
yca´c d¯a th´u
.
c {P
n
(x)}(n =0, 1, 2, ) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau
P
0
(x)=0,P
n+1
(x)=P
n
(x)+
1
2
(x − P

2
n
(x)) (n =0, 1, 2, ).
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i x ∈ [0, 1] va` v´o
.
imo
.
i n ∈ N, ta luˆon co´
0 
√
x −P
n
(x) 
2
n +1
. (3.3)
Ba`i toa´ n 3.14. Cho d¯a th´u
.
c f (x) v´o
.
i deg f = n va` f (x)  0 v´o
.

imo
.
i x ∈ R.Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng
n

k=0
f
(k)
(x)  0. (3.4)
21
3.3 Xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
theo d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy
Trong sˆo
´
ca´c ha`m sˆo
´

biˆe
´
nsˆo
´
thu
.
.
c thı` d¯a th´u
.
cd¯u
.
o
.
.
c coi la` ha`m sˆo
´
co´ da
.
ng d¯o
.
n gia
’
n
nhˆa
´
tvˆe
`
nhiˆe
`
uphu

.
o
.
ng diˆe
.
n nhˆa
´
tla`vˆe
`
m˘a
.
t tı´nh toa´n. Bo
.
’
ivˆa
.
y, mˆo
.
tvˆa
´
n d¯ ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.
c chu´ng
ta quan tˆam nhiˆe
`

uho
.
nca
’
la` ba`i toa´n xˆa
´
pxı
’
mˆo
.
t ha`m cho tru
.
´o
.
cbo
.
’
imˆo
.
td¯ath´u
.
c, d¯˘a
.
c
biˆe
.
t la` tı`m d¯iˆe
`
ukiˆe
.

n (cˆa
`
nva`d¯u
’
) d¯ ˆe
’
mˆo
.
t ha`m sˆo
´
cho tru
.
´o
.
c co´ thˆe
’
xˆa
´
pxı
’
d¯ u
.
o
.
.
cbo
.
’
imˆo
.

t
d¯a th ´u
.
c.
Gia
’
su
.
’
ha`m sˆo
´
f(x)d¯u
.
o
.
.
cxˆa
´
pxı
’
bo
.
’
id¯ath´u
.
c P
n
(x)(P
n
(x) la` d¯a th´u

.
cd¯a
.
isˆo
´
ho˘a
.
cd¯a
th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c ho˘a
.
c la` ca´c d¯a th´u
.
cda
.
ng d¯˘a
.
cbiˆe
.
t kha´c). Go
.
i R[f,P,n]=|f(x) −P
n
(x)|

la` d¯ˆo
.
lˆe
.
ch cu
’
a phe´p xˆa
´
pxı
’
.Tacˆa
`
n xa´c d¯i
.
nh P (x)va`xa´cd¯i
.
nh n sao cho R[f,P,n] la` nho
’
nhˆa
´
t trˆen mˆo
.
t d¯oa
.
n[a, b] cho tru
.
´o
.
c. Khi d¯o´ P
n

(x)d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th ´u
.
cxˆa
´
pxı
’
tˆo
´
t nhˆa
´
t
cu
’
a f(x) trˆen d¯oa
.
n[a, b]d¯o´va`d¯u
.
o
.
.
c ky´ hiˆe
.
ula`f (x) ≈ P

n
(x).
Nˆe
´
u ha`m sˆo
´
f(x) kha
’
vi (n + 1) lˆa
`
n thı` co´ thˆe
’
su
.
’
du
.
ng cˆong th´u
.
c khai triˆe
’
n Taylor ta
.
i
x =0
f(x)=
n

k=0
f

(k)
(0)
k!
x
k
+ R(x, n)
v´o
.
i phˆa
`
ndu
.
R(x, n)=o(x
n
).
Nhu
.
vˆa
.
y
f(x) ≈ P
n
(x)=
n

k=0
f
(k)
(0)
k!

x
k
.
Tuy nhiˆen l´o
.
p ca´c ha`m kha
’
vi (n + 1) lˆa
`
n du`ng d¯ˆe
’
xˆa
´
pxı
’
bo
.
’
id¯ath´u
.
c la` qua´ he
.
p,
khˆong bao d¯u
.
o
.
.
c nhiˆe
`

ul´o
.
p ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c quen biˆe
´
tnhu
.
ha`m sˆo
´
f(x)=
3
√
x, x ∈ [−1, 1].
D
-
ˆo
´
iv´o
.
i ca´c ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c trˆen [a, b] ta vˆa
˜
n co´ ca´c d¯i
.

nh ly´ tu
.
o
.
ng tu
.
.
vˆe
`
xˆa
´
pxı
’
chu´ng
bo
.
’
id¯ath´u
.
c.
Trong phˆa
`
n na`y, ta se
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´

n hai vˆa
´
n d¯ ˆe
`
sau:
Mˆo
.
t la` xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı
’
thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyva` hai la` xˆay du
.
.
ng
cˆong th´u
.
c tı´nh d¯ˆo
.
lˆe
.

ch sai sˆo
´
d¯ ˆo
´
iv´o
.
i ca´c xˆa
´
pxı
’
d¯ o´.
Ba`i toa´ n 3.15. Cho ha`m sˆo
´
f(x) va` cho tˆa
.
pho
.
.
p Ω gˆo
`
m n +1 d¯ i ˆe
’
m phˆan biˆe
.
t x
j
(x
0
<x
1

< ···<x
n
) trong tˆa
.
p xa´c d¯i
.
nh cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x).
Ha
˜
y tı`m mˆo
.
t d¯a th ´u
.
c P
n
(x),bˆa
.
c khˆong qua´ n sao cho
P (x
j
)=f(x
j
)(j =0, ,n).
Ba`i toa´ n 3.16. Ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng d¯a th´u
.
c P
n
(x) nˆeu trong Ba`i toa´n 3.15 la` duy nhˆa
´
t
trong sˆo
´
ca´c d¯a th´u
.
cbˆa
.
c  n.
Ba`i toa´ n 3.17. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d¯a th´u
.
c P
n
(x) trong Ba`i toa´n 3.15 co´da
.
ng
P
n

(x)=
n

k=0
a
k
x
k
,
thı` ca´c hˆe
.
sˆo
´
a
k
d¯ u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
tca´ch duy nhˆa
´
tt`u
.
hˆe
.

phu
.
o
.
ng trı`nh
n

k=0
a
k
x
k
j
= f(x
j
),j=0, ,n. (3.5)
22
Ba`i toa´ n 3.18. Cho (n +1)bˆo
.
ba sˆo
´
(x
j
,y
j
,d
j
)(j =0, ,n) thoa
’
ma

˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
x
0
<x
1
<x
2
< ···<x
n
.
Tı`m d¯a th ´u
.
c P
m
(x) bˆa
.
cm(m  2n +1) sao cho
P
m
(x
j
)=y
j
; P


m
(x
j
)=d
j
, ∀j ∈{0, ,n}. (3.6)
Ba`i toa´ n 3.19. Cho y(x) la` ha`m sˆo
´
kha
’
vi liˆen tu
.
c (n +1) lˆa
`
n trong khoa
’
ng (0, 1).Go
.
i
P
n
(x) la` d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı
’
cu
’
a y(x) xa´c d¯i

.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange trˆen tˆa
.
p
X = {x
j
| j =0, ,n}⊆(0, 1).
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
R
n+1
(x):=|y(x) − P
n
(x)|
trˆen tˆa
.
p {(0, 1) \X}.
Ba`i toa´ n 3.20. Cho d¯oa

.
n I ⊂ R va` cho M = sup{|f

(x)|; x ∈ I}. Gia
’
su
.
’
ta d¯a
˜
xˆa
´
pxı
’
d¯ u
.
o
.
.
c f(x) bo
.
’
id¯ath´u
.
cxˆa
´
pxı
’
bˆa
.

c nhˆa
´
t xa´c d¯i
.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh gia´ tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tcu
’
ad¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
trong phe´p xˆa
´
pxı

’
trˆen.
Nhˆa
.
n xe´ t 3.2. T`u
.
d¯ a´nh gia´
|R
n+1
(x)| 
M
(n + 1)!
|w(x)|,
ta co´ nhˆa
.
n xe´t sau d¯ˆay.
D
-
ˆe
’
thu d¯u
.
o
.
.
c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı

’
co´d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
nho
’
nhˆa
´
ttaco´thˆe
’
su
.
’
du
.
ng mˆo
.
t trong
ca´cca´ch ho˘a
.
c la` t˘ang bˆa
.
cxˆa
´
pxı
’
n, ho˘a

.
c phˆan bˆo
´
la
.
i (cho
.
n) x
j
trˆen I cho tˆo
´
iu
.
uho
.
n
ho˘a
.
ctı`mca´ch gia
’
md¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng |w(x)|.
3.4 Ba`i tˆa
.

p
Luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t 12 ba`i tˆa
.
p do ta´c gia
’
tu
.
.
sa´ng ta´c ho˘a
.
csu
.
utˆa
`
m.
23
Kˆe
´
tluˆa
.
ncu
’

aluˆa
.
nv˘an
Luˆa
.
n v˘an trı`nh ba`y hˆe
.
thˆo
´
ng mˆo
.
tsˆo
´
nˆo
.
i dung chı´nh sau:
1. Nˆeu kˆe
´
t qua
’
cu
’
a ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` ca´c d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, Taylor, Newton,
Hermite d¯ˆe

’
´u
.
ng du
.
ng va`o viˆe
.
c gia
’
i ca´c ba`i toa´n phˆo
’
thˆong.
2.
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe
’
tı`m d¯u
.
o
.
.
cba

’
nchˆa
´
tcu
’
ahˆa
`
uhˆe
´
t ca´c d¯ˆo
`
ng
nhˆa
´
tth´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.
cva`a´pdu
.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh hoa
.
t cˆong th ´u
.
cna`yd¯ˆe
’

gia
’
imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.
c sinh gio
’
i trong nu
.
´o
.
c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
3. Mˆo
.
tsˆo
´
´u

.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, nˆo
.
i suy Newton, nˆo
.
i suy Hermite .
4.
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` ca´c tı´nh chˆa
´
tcu
’
a d¯a th ´u
.

c Chebyshev d¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng ha`m sˆo
´
.
5. Xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı
’
thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy va` xˆay du
.
.

ng cˆong
th´u
.
c tı´nh d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
d¯ ˆo
´
iv´o
.
ica´cxˆa
´
pxı
’
d¯ o´.
24
T
`
AI LI
ˆ
E
.
U THAM KHA
˙’
O
[1] Tri
.

nh D
-
a`o Chiˆe
´
n-Huy`nh Minh Thuˆa
.
n, 2007, Ky
’
yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.

cnˆo
.
i suy Lagrange, NXB Tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Khoa
ho
.
cTu
.
.
nhiˆen - D
-
HQG Ha` Nˆo
.
i.
[2] Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u, 2007, Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy va` ´u

.
ng du
.
ng, NXB Gia´o du
.
c.
[3] Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u, 2001, D
-
ath´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
va` phˆan th´u
.
ch˜u
.
utı
’
, NXB Gia´o du
.
c.
[4] Lˆe Hoa`nh Pho`, 2003, Chuyˆen kha
’
od¯ath´u

.
c,NXBD
-
HQG TP Hˆo
`
Chı´ Minh.
DANH MU
.
CC
ˆ
ONG TR
`
INH D
-
˜
AC
ˆ
ONG B
ˆ
O
´
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n-Huy`nh Minh Thuˆa
.
n, 2007, Ky

’
yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, NXB Tru
.
`o
.
ng D

-
a
.
iho
.
c Khoa
ho
.
cTu
.
.
nhiˆen - D
-
HQG Ha` Nˆo
.
i.