Tải bản đầy đủ (.pdf) (25 trang)

LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (292.13 KB, 25 trang )


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………













LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor


1
Mo
.

d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`


u khi ta cˆa
`
n pha

i xa´c d¯i
.
nh gia´ tri
.
cu

amˆo
.
t ha`m sˆo
´
f(x)
ta
.
imˆo
.
t d¯ i ˆe

m tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c, trong khi d¯o´ d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı


m´o
.
i cho biˆe
´
tmˆo
.
tsˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu

a ha`m sˆo
´
va`cu

ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu


a no´ ta
.
imˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe

m
x
1
,x
2
, ···,x
k
cho tru
.
´o
.
c.
V´o
.
inh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho

.
.
pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m sˆo
´
P (x)
da
.
ng d¯o
.
n gia

nho
.

n, thu
.
`o
.
ng la` ca´c d¯a th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
, tho

ama
˜
nca´cd¯iˆe
`
ukiˆe
.
nd¯a
˜
cho. Ngoa`i
ra, ta
.
inh˜u
.
ng gia´ tri
.
x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o
.
i x

1
,x
2
, ···,x
k
, thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa
´
pxı

theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
amˆota

trˆen d¯u
.

o
.
.
cgo
.
i la` ha`m nˆo
.
i suy cu

a
f(x); ca´c d¯iˆe

m x
1
,x
2
, ···,x
k
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´cnu´t nˆo

.
i suy va` ba`i toa´n xˆay du
.
.
ng
ha`m P (x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.

du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P(x), ta dˆe
˜

da`ng tı´nh d¯u
.
o
.
.
c gia´ tri
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i chı´nh
xa´c cu

a ha`m sˆo
´
f(x)ta
.
i x ∈ R tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c. T`u
.
d¯ o´, ta co´ thˆe

tı´nh gˆa
`

n d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu

a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo

d¯ i ˆe

nrad¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng trong
thu
.
.
ctˆe

´
. Do d¯o´, viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
O
.
˙’
ca´c tru
.
`o
.
ng phˆo

thˆong, ly´ thuyˆe
´
tvˆe
`
vˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y khˆong d¯u

.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng nh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu

a no´ cu
˜
ng ”ˆa

nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a


ng ha
.
n trong ca´c phu
.
o
.
ng trı`nh
d¯ u
.
`o
.
ng ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng trı`nh m˘a
.
tbˆa
.
c hai, trong ca´c d¯˘a

ng th´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.

cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t
la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe

n Taylor d¯ˆe

gia

imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n
kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.

c sinh gio

ica´ccˆa
´
p.
Vı` vˆa
.
y, viˆe
.
c hı`nh tha`nh mˆo
.
t chuyˆen d¯ˆe
`
cho
.
nlo
.
cnh˜u
.
ng vˆa
´
n d¯ ˆe
`
co
.
ba

n nhˆa
´
tvˆe

`
ca´c ba`i
toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
i go´c d¯ˆo
.
toa´n phˆo

thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu

a no´ trong qua´
trı`nh gia

imˆo
.
tsˆo

´
da
.
ng toa´n kho´ la` rˆa
´
tcˆa
`
n thiˆe
´
t. Ho
.
nn˜u
.
a, chuyˆen d¯ˆe
`
na`y cu
˜
ng co´ thˆe

la`m ta`i liˆe
.
u tham kha

o cho ca´c gia´o viˆen gio

iva` ca´c sinh viˆen nh˜u
.
ng n˘am d¯ˆa
`
ucu


abˆa
.
c
d¯ a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.

ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´

n sa´ch chuyˆen kha

o
[2] ra d¯`o
.
i. D
-
ˆay v`u
.
a la` mˆo
.
t thuˆa
.
nlo
.
.
iv`u
.
a la` mˆo
.
t kho´ kh˘an cho nˆo
˜
lu
.
.
c tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng

ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu

a ta´c gia

, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´ gia´, trong khi
d¯ o´ hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa

´
pna`od¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
n
ve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´

g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng cu

ano´va`o viˆe
.
c gia

iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.

phˆo

thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.

ng ´u
.
ng
2
du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu

a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe

n Taylor.
Ba

nto´mt˘a
´
t luˆa
.
n v˘an da`y 24 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa

`
nMo
.

d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung, kˆe
´
t
luˆa
.
nva`Ta`i liˆe
.
u tham kha

o.
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo


d¯ i ˆe

n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba

n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo

d¯ i ˆe

n,
d¯ o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.

i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va`
Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu

a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u

.
ng nˆo
.
i dung tro
.
ng tˆam cu

a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng o
.

phˆo

thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.

ng cu

a no´ d¯u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p tha`nh
mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia


i toa´n kha´ d¯a da
.
ng va`
mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
p d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a

ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.

ng phˆan th´u
.
c
co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i
toa´n thi cho
.
nho

.
c sinh gio

i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia

ib˘a
`
ng ca´ch a´p du
.
ng cˆong
th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la

.
icu

a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu

a ca´c cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.

p da`nh cho ba
.
nd¯o
.
ccu
˜
ng d¯u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.

phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o

.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe

u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı

ha`m sˆo
´
.
Chu

.
o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu

a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe

u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
p



ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.

phˆo

thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa

.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio

i quˆo
´
c gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
t
sˆo
´
phˆa
`
ncu

a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜

d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta

i trong ca´c ky

yˆe
´
uhˆo
.
i nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a

ng
ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.

su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu

aTiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa

`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c, truyˆe
`
nd¯a
.
t
nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.

c trong suˆo
´
t th`o
.
i gian
nghiˆen c ´u
.
u d¯ ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia

luˆon to

lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
c
d¯ ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
ygia´ohu
.

´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia

xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to

lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´

n: Ban Gia´m Hiˆe
.
u,
Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu

a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho

.
n, cu`ng quı´
thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia

ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
c cho l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8.
UBND tı

nh, So
.

gia´o du
.

cva` d¯a`o ta
.
otı

nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai
d¯ a
˜
cho ta´c gia

co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o cu

a nha` tru

.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se

chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
i d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
i d¯ ˆe

ta´c gia

nghiˆen c ´u
.

uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n
v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia

co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen
cu

aca´cba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi

.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VII, VIII, XIX cu

a
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia

xin chˆan tha`nh ca

mo
.
ntˆa
´
tca


nh˜u
.
ng su
.
.
quan tˆam
d¯ ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
3
D
-
ˆe

hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia

d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.
pva` nghiˆen
c´u

.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa

n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba

n. Trong d¯o´ ı´ t n h i ˆe
`
uha
.
n chˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu

.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe

ubiˆe
´
t nˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n khˆong thˆe

tra´nh
kho

inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia

rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o

.
.
csu
.
.
chı

ba

ocu

a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng
go´p y´ cu

aba
.
nd¯o
.
c d¯ ˆe

luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.

.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng 03 n˘am 2008
Ta´c gia

4
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o
.
ng na`y, luˆa
.

nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo

d¯ i ˆe

nse
˜
su
.

du
.
ng o
.

ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.

i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i
suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia

i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th ´u
.
c
nˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´
td¯a
˜
d¯ u
.

o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha

˜
yxa´cd¯i
.
nh
d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N − 1 va` tho

aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u

L
i
(x)=
N

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,N.
Khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
L(x)=
N

i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho


ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu

a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
id¯ath´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
5
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´

thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´bˆa
.
c
degT (x) ≤ N − 1 va` tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x

0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ···,N −1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1

i=0
a
i
i!
(x − x
0
)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa

´
t tho

ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu

a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th´u
.
c na`y
la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo

´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ···,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N (x) co´bˆa
.
c
degN (x) ≤ N − 1 va` tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N
i−1

(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ···,x
i
,x)=

x
x
1

t

x
2

t
1
x
3
···

t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ···,N.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
N(x)=
N

i=1
a
i
R

i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1

,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho

ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu

a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
i d¯a th´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
6
Nhˆa
.

n xe´ t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n

,x

=

x
x
0

t
x
0

t
1
x
0
···

t
i−2
x
0
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt
=

(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N

i=1
a
i
R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n
,x

=
= a

0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1

x
0
, ···,x
0
  
N −1 lˆa
`
n
,x

= a
0

+ a
1
(x − x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1

i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).

Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i
suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x

i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ···,p
i
−1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j,
trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c degH(x) ≤ N −1 va`
tho


ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe
.
u
W (x)=
n


j=1
(x − x
j
)
p
j
;
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ···,n
7
Go
.
i d¯oa

.
n khai triˆe

n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
−1−k,v´o
.
i k =0, 1, ···,l; l =0, 1, ···,p
i
−1,
ta
.
i x = x
i
cu

a ha`m sˆo
´
1
W
i
(x)
(i =1, 2, ···,n)la`
T


1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

)
l
l!
.
khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
H(x)=
n

i=1
p
i
−1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T

1
W
i

(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho

ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu

a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯ath´u
.
c

na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)
N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe


n
T

1
W
1
(x)

(N −1−k )
(x=x
1
)
= T

1

(N −1−k )
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1

k=0
a
k1
(x − x

1
)
k
k!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i
= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´

p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N

j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N

j=1,j=i
(x − x
j
),i=1, 2, ···,N.
8
khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe

n Taylor

T

1
W
i
(x)

0
(x=x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
=
1
N

j=1,j=i
(x
i
− x
j
)
,i=1, 2, ···,N.
Vˆa

.
y,taco´
H(x)=
N

i=1
a
0i
N

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.

i suy Lagrange. Trong
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo

ng qua´t, viˆe
.
cbiˆe

udiˆe
˜
n d¯a th ´u
.
c Hermite kha´ ph´u
.
cta
.
p. Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
t
va`i tru

.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia

n kha´c cu

a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı

ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.

c nhˆa
´
t.
Nhˆa
.
n xe´ t 1.4.
Nˆe
´
u p
i
= 2, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a
.
c k =1.
+V´o
.
i k = 0, ta co´
T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)

(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
=
1

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)

W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x
i
)
=
1
W
i

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

, v´o
.
i i =1, 2, ···,n.
+V´o
.
i k = 1, ta co´
T

1
W

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)
=
0

l=0

1
W
i
(x)


(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)

W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x

i
)=
1
W
i
(x
i
)
.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
n

i=1
1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T

1
W

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n

i=1

a
0i
W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
+a

1i
(x − x
i
)W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)

a
0i
1
W
i

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)
1
W
i
(x
i

)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)

(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i


a
0i
W


i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
− a
1i

(x − x
i
)

.
9
Ngoa`i ra, trong phˆa
`
n ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, ta d¯a
˜
biˆe
´
tr˘a
`
ng

L
i
(x)=
n

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,n
va`
L
i
(x
j
)=



1, khi i = j
0, khi i = j.
Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.

Vˆa
.
y
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
2
(x
i
− x
j
)
2
= L
2
i
(x); i = 1,n.
D

-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu

ad¯˘a

ng th´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W

i
(x)
W
i
(x
i
)
=2L
i
(x)L


i
(x)=2L

i
(x
i
).
Do d¯o´,d¯ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p na`y co´ da
.
ng
H(x)=
n

i=1
L
2
i
(x)


a
0i


2a
0i
L

i
(x
i
) − a
1i

(x − x
i
)

.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
achoviˆe
.
cvˆa

.
ndu
.
ng ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy (do ta´c gia

sa´ng
ta´c)
Ba`i toa´ n 1.1. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c 4, tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n sau:
P (−1) = 3a +1(a>0) ; P

(0) = 0;
P

(1) = 4(3 + a); P

(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P (x)+P

(x)+P

(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Ba`i toa´ n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho

ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P


(2007) ≤ 0,P

(2007) ≤ 0, ···, (−1)
n
P
(n)
≤ 0;
P (2008) > 0,P

(2008) ≥ 0,P

(2008) ≥ 0, ···,P
(n)
(2008) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu

a P(x) thuˆo
.
c (2007; 2008).
10
Chu

.
o
.
ng 2
Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy
Chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

ng du
.
ng cu

a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy, trong d¯o´ d¯ ˆe
`
cˆa
.
p
sˆau ho
.
nd¯ˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, cˆong th´u
.
c co´ nhiˆe
`
u´u
.
ng du

.
n g d¯ ˆe

gia

imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´ o
.

hˆe
.
phˆo

thˆong chuyˆen toa´n.
Vˆa
´
n d¯ ˆe
`
´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.

i suy trong u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
pxı

ha`m sˆo
´
la` hai nˆo
.
i dung
quan tro
.
ng va`tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i kho´, v´o
.
inh˜u
.

ng ky
˜
thuˆa
.
tch´u
.
ng minh kha´ ph´u
.
cta
.
p, d¯u
.
o
.
.
c trı`nh
ba`y o
.

chu
.
o
.
ng sau.
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
2.1.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.1. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x
n
phˆan biˆe
.

tva`n sˆo
´
a
1
,a
2
, ···,a
n
tu`y y´. Thˆe
´
thı` tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
t d¯a th´u
.
c P (x) v´o
.
ibˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1, tho


ama
˜
n
P (x
j
)=a
j
; ∀j =1, 2, ···,n. (2.1)
D
-
ath´u
.
cco´da
.
ng
n

j=1
a
j
n

i=1,ı=j
x − x
i
x
j
− x
i

(2.2)
D
-
ath´u
.
c (2.2) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange ho˘a
.
c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ca´c sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x

n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c nu´t nˆo
.
i suy.
()T`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.2. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2

, ···,x
n
phˆan biˆe
.
t. Thˆe
´
thı` mo
.
i d¯a th´u
.
c P(x) v´o
.
ibˆa
.
c
khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1 d¯ ˆe
`
uco´ thˆe viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.

ng
P (x)=
n

j=1
P (x
j
)
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
. (2.3)
11
Nhˆa
.
n xe´ t 2.1. (
´
Y nghı
˜
a hı`nh ho
.
c)
D
-

ath´u
.
c (2.3) va` (2.4) kha´ quen thuˆo
.
c trong chu
.
o
.
ng trı`nh toa´n phˆo

thˆong. Ta thu
.

d¯ i
tı`m y´ nghı
˜
a hı`nh ho
.
ccu

a chu´ng, ch˘a

ng ha
.
n (2.4).
Gia

su
.


r˘a
`
ng, trˆen m˘a
.
t ph˘a

ng to
.
ad¯ˆo
.
Oxy cho 3 d¯iˆe

m A(x
1
; y
1
),B(x
2
; y
2
),C(x
2
; y
2
), v´o
.
i
x
1
,x

2
.x
3
kha´c nhau t`u
.
ng d¯ˆoi mˆo
.
t.
Thˆe
´
thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯u
.
`o
.
ng cong y = P(x), trong d¯o´la`
d¯a th ´u
.
cv´o
.
i degP (x) ≤ 2, tho

ama

˜
n
P (x
1
)=y
1
(nghı
˜
a la` d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe

m A);
P (x
2
)=y
2
(nghı
˜
ala`d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe

mB);
P (x
3

)=y
3
(nghı
˜
ala`d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe

mC).
Ho
.
nn˜u
.
a, d¯u
.
`o
.
ng cong co`n co´ phu
.
o
.
ng trı`nh cu
.
thˆe

la` y = P (x), tro`n d¯o´ P(x) co´ da
.
ng

(2.4) va`ca´chˆe
.
sˆo
´
a
j
chı´nh la` y
j
,j=1, 2, 3.
+V´o
.
i degP (x) = 2, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` parabol d¯i qua 3 d¯iˆe

m A, B, C.
+V´o
.
i degP(x)=1,d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` d¯u
.
`o
.
ng th˘a


ng d¯i qua 3 d¯iˆe

m A, B, C, khˆong
cu`ng phu
.
o
.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
+V´o
.
i degP (x) = 0, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x)la`d¯u
.
`o
.
ng th˘a

ng d¯i qua 3 d¯iˆe

m A, B, C, cu`ng
phu
.
o

.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange chı´nh la` ”ca´c gˆo
´
c” cu

amˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng trı`nh d¯u
.
`o
.
ng cong
(ho˘a
.
cd¯u

.
`o
.
ng th˘a

ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe

m cho tru
.
´o
.
c trong m˘a
.
t ph˘a

ng to
.
ad¯ˆo
.
.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.2.
V´o
.
i d¯a th´u
.
c P (x)co´degP (x) ≤ n − 1 cho tru
.
´o

.
c, ca´c sˆo
´
a
j
trong (2.2) d¯u
.
o
.
.
c thay b o
.

i
P (x
j
), v´o
.
i j =1, 2, ···,n.
Bˆay gi`o
.
ta thu
.

d¯i tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.

ng cu

a (2.5).
Gia

su
.

x
1
,x
2
, ···,x
n
la` n sˆo
´
thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t, n ≥ 2. Xe´t d¯a th´u
.
c
P (x)=x
n

n

i=1

(x − x
i
). (2.4)
T`u
.
d¯ o´,a´pdu
.
ng (2.5), ta co´
n

j=1
x
n
j

n
i=1,i=j
(x
j
− x
i
)
=
n

j=1
x
j
. (2.5)
Bˆay gi`o

.
, ta ha
˜
y tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu

a (2.15) d¯ˆe

ta
.
o ra nh˜u
.
ng d¯˘a

ng th´u
.
cm´o
.
i.
Tro
.

la
.
iv´o

.
i d¯a th´u
.
c P (x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
, a
n
=0,n ≥ 2, co´ n
nghiˆe
.
m thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x

n
.
V´o
.
i n gia´ tri
.
phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
,a´pdu
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆo
´
iv´o
.
id¯a
th´u
.
c f (x)=x
k
, k  n − 1, ta co´

x
k
=
n

j=1
x
k
j
ω
j
(x)
12
Ta co´
x
k
=
n

j=1
x
k
j
ω(x)
(x − x
j


(x
j

)
= a
n
n

j=1
x
k
j

n
i=1,i=j
(x − x
i
)
P

(x
j
)
.
Biˆe

uth´u
.
c cuˆo
´
i cu`ng la` mˆo
.
td¯ath´u

.
cco´hˆe
.
sˆo
´
cu

a x
n−1
la`
a
n
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
.
So sa´nh ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu


a d¯a th´u
.
c x
k
, ta d¯u
.
o
.
.
c ca´c d¯˘a

ng th´u
.
c sau:
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
=0, ∀k ∈{0, 1, 2, , n − 2}; (2.6)
n

j=1
x

k
j
P

(x
j
)
=
1
a
n
, v´o
.
i k = n − 1. (2.7)
2.1.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng
Phˆa
`
n tro
.
ng tˆam cu

a phˆa

`
n na`y tˆa
.
p trung va`o viˆe
.
ca´pdu
.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh hoa
.
t
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe

gia

imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.

c
sinh gio

i trong nu
.
´o
.
c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
Ba`i toa´ n 2.1. Xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
b˘a
`
ng 3; 1; 7,ta
.
i x b˘a

`
ng −1; 0; 3
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Ba`i toa´ n 2.2. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
c f(x)
co´bˆa
.
c khˆong l´o
.

nho
.
n n −2, thı`:
T =
f(a
1
)
(a
1
− a
2
)(a
1
− a
3
) (a
1
− a
n
)
+ +
f(a
n
)
(a
n
− a
1
)(a
n

− a
2
) (a
n
− a
n−1
)
=0.
Ba`i toa´ n 2.3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
i ba gia´ tri
.
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pcu


abiˆe
´
nsˆo
´
x, thı` d¯a th´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
imo
.
i x nguyˆen.
Ba`i toa´ n 2.4. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Go
.
i A
i
(i =1, 2, , n) la` phˆa
`
n

du
.
trong phe´p chia d¯a th´u
.
c f(x) cho x − a
i
.Ha
˜
y tı`m phˆa
`
ndu
.
r(x) trong phe´p chia f(x)
cho (x − a
1
)(x − a
2
) (x − a
n
).
Ba`i toa´ n 2.5. (Vˆo d¯i
.
ch Chˆau
´
A Tha´ i Bı`nh Du
.
o
.
ng, 2001)
Trong m˘a

.
t ph˘a

ng v´o
.
ihˆe
.
tru
.
cto
.
ad¯ˆo
.
vuˆong go´c, mˆo
.
td¯iˆe

md¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯iˆe

mhˆo
˜
nho
.

.
p
nˆe
´
umˆo
.
t trong hai tha`nh phˆa
`
nto
.
ad¯ˆo
.
cu

ad¯iˆe

md¯o´ la` sˆo
´
h˜u
.
utı

, tha`nh phˆa
`
n kia la` sˆo
´
vˆo


. Tı`m tˆa

´
tca

ca´cd¯ath´u
.
cco´hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c sao cho d¯ˆo
`
thi
.
cu

amˆo
˜
id¯ath´u
.
cd¯o´ khˆong ch´u
.
a
bˆa
´
t ky` d¯iˆe

mhˆo

˜
nho
.
.
pna`oca

.
Ba`i toa´ n 2.6. Tı`m tˆa
´
tca

ca´cc˘a
.
pd¯ath´u
.
c P (x) va` Q(x) co´bˆa
.
cbav´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c
tho

ama

˜
n4d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n:
a) Ca

hai d¯a th ´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
0 ho˘a
.
c 1 ta
.
ica´c d¯iˆe

m x =1, 2, 3, 4;
13
b) Nˆe
´
u P (1) = 0 ho˘a
.
c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1;
c) Nˆe
´
u P (2) = 0 ho˘a

.
c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0;
d) Nˆe
´
u P(3) = 1 ho˘a
.
c P(4) = 1, thı` Q(1) = 0.
Ba`i toa´ n 2.7. (Vˆo d¯i
.
ch My
˜
- 1975)
D
-
ath´u
.
c P(x) bˆa
.
c n tho

ama
˜
nca´c d¯˘a

ng th´u
.
c P(k)=
1
C
k

n+1
,v´o
.
i k =0, 1, 2, ,n.
Tı´nh P (n +1).
Ba`i toa´ n 2.8. Gia

su
.

d¯a th´u
.
c c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ + c
n
x
n
co´ gia´ tri
.
h˜u
.
utı


khi x h˜u
.
utı

.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng, tˆa
´
tca

ca´chˆe
.
sˆo
´
c
0
,c
1
,c
2
, , c
n
la` nh˜u
.
ng sˆo
´
h˜u

.
utı

.
Ba`i toa´n 2.9. Cho p la` mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen tˆo
´
va` P (x) ∈ Z[x] la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c s tho

ama
˜
nca´c
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n
1) P (0) = 0, P (1) = 1.
2) P (n) ho˘a
.
c chia hˆe
´
t cho p ho˘a

.
cco´sˆo
´
du
.
b˘a
`
ng 1,v´o
.
imo
.
i n ∈ Z
+
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng: s ≥ p − 1.
Ba`i toa´ n 2.10. Tı`m tˆa
´
tca

ca´cd¯ath´u
.
c P (x) co´bˆa
.
c nho

ho

.
n n (n ≥ 2) va` thoa

ma
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n
n

k=0
(−1)
n−k−1
C
k
n
P (k)=0.
Ba`i toa´ n 2.11. Cho sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen s va` da
˜
yca´c d¯a th´u
.
c P

n
(x) co´bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t s. Gia

thiˆe
´
tr˘a
`
ng ha`m sˆo
´
g(x) xa´c d¯i
.
nh trong (0; 1) va` thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
| g(x) − P
n
(x) |<

1
n
; ∀x ∈ (0; 1); n =1, 2,
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´tˆo
`
nta
.
i d¯a th´u
.
c Q(x) bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t s tru`ng v´o
.
i g(x) trong
(0; 1).
Ba`i toa´ n 2.12. Cho n sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.

ng d¯ˆoi mˆo
.
t kha´c nhau x
1
,x
2
, , x
n
.Go
.
i p
j
=
P

(x
j
), trong d¯o´
P (x)=
n

j=1
(x − x
j
).
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng da

˜
y (u
k
) xa´c d¯i
.
nh theo cˆong th´u
.
c
u
k
=
n

i=1
x
k
i
p
i
la` mˆo
.
tda
˜
ysˆo
´
nguyˆen.
Ba`i toa´ n 2.13. 1) Cho d¯a th´u
.
c f(x) co´bˆa
.

c n v´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
cva`hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng a. Gia

su
.

f(x) co´ n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
t x

1
,x
2
, , x
n
kha´c 0.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
(−1)
n−1
ax
1
x
2
x
n
n

k=1
1
x
k
=
n

k=1
1
x

2
k
f

(x
k
)
.
14
2) Co´ tˆo
`
nta
.
i hay khˆong mˆo
.
td¯ath´u
.
c f (x) bˆa
.
c n le

v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa

´
t a =1
ma` f(x) co´ n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
kha´c 0 thoa

ma
˜
n
1
x
1
f

(x
1
)
+
1
x
2
f


(x
2
)
+ +
1
x
n
f

(x
n
)
+
1
x
1
x
2
x
n
=0?
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.

ng cu
˙’
a c´ac cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy kh´ac
2.2.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor cho ta cˆong th´u
.
cd¯o
.
n gia

nva`cu
˜
ng rˆa
´
ttˆo

ng qua´t d¯ˆe


xa´c
d¯ i
.
nh phˆa
`
n chı´nh cu

a ha`m sˆo
´
. Do d¯o´ , d¯ ˆe

tı`m gi´o
.
iha
.
n, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng du`ng cˆong th´u
.
c
khai triˆe

n Taylor t´o
.

imˆo
.
tcˆa
´
p na`o d¯o´. Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tsˆo
´
vı´ du
.
minh ho
.
a.
Ba`i toa´ n 2.14. Tı´nh gi´o
.
iha
.
n
lim
x→0
sin(sin x) − x
3

1 − x
2
x

5
.
Ba`i toa´ n 2.15. Tı´nh gi´o
.
iha
.
n
lim
x→0
(cos(x.e
x
) − ln(1 − x) − x)
cot x
3
.
Mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng kha´ quan tro
.
ng cu

a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor la` viˆe

.
cxˆa
´
pxı

ha`m sˆo
´
.Vˆa
´
n
d¯ ˆe
`
na`y se
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y o
.

chu
.
o
.
ng sau.
2.2.2 Cˆong th´u
.
cnˆo

.
i suy Newton
Ba`i toa´ n 2.16. Cho 3 bˆo
.
sˆo
´
thu
.
.
c (x
1
; a
1
), (x
2
; a
2
), (x
3
; a
3
). Tı`m d¯a th´u
.
c N (x) v´o
.
i
degN(x) ≤ 2 va` tho

ama
˜

nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N(x
1
)=a
1
,N

(x
2
)=a
2
,N

(x
3
)=a
3
Ba`i toa´ n 2.17. Cho (n +1)c˘a
.
psˆo
´
(x
j
,y
j
)(j =0, ,n).V´o

.
i i = k ta d¯i
.
nh nghı
˜
a
[x
i
,x
k
]=
y
i
− y
k
x
i
− x
k
([x
i
,x
k
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.

i la` sai phˆan ta´ch bˆa
.
c nhˆa
´
t);
[x
i+p
,x
i+p−1
, ,x
i+1
,x
i
]=
[x
i+p
, ,x
i+1
] − [x
i+p−1
, ,x
i
]
x
i+p
− x
i
([x
i+p
,x

i+p−1
, ,x
i+1
,x
i
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` sai phˆan ta´ch bˆa
.
c p).
Cho x
0
<x
1
< <x
n
va` cho ha`m sˆo
´
y(x) la` ha`m kha

vi liˆen tu
.
cd¯ˆe
´
nbˆa

.
c n thoa

ma
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n y(x
j
)=y
j
(j =0, 1, ,n).Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
[x
n
,x
n−1
, ,x
0
]=
y
(n)
(x


)
n!
,
v´o
.
i x

la` mˆo
.
td¯iˆe

m na`o d¯o´ trong (x
0
,x
n
).
15
Ba`i toa´ n 2.18. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d¯a th´u
.
c
P
n
(x)=y
0
+[x
1

,x
0
](x − x
0
)+[x
2
,x
1
,x
0
](x − x
0
)(x − x
1
)
+ +[x
n
,x
n−1
, ,x
0
](x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
n
)
(2.8)
thoa


ma
˜
nca´c hˆe
.
th´u
.
c
P
n
(x
j
)=y
j
∀j ∈{0, ,n}.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.3. Cˆong th´u
.
c (2.8) cu
˜
ng chı´nh la` mˆo
.
tca´ch viˆe
´
t kha´c cu

a d¯a th´u
.
cnˆo

.
i suy
Newton d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong phˆa
`
nca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
2.2.3 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Nhˆa
.
n xe´t 2.4. Trong ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite, nˆe
´
u n =2thı` i =1ho˘a
.
c i =2. Gia

su

.

p
1
=1va` p
2
=3.Thˆe
´
thı` p
1
+ p
2
=4=N.
Khi d¯o´
+Nˆe
´
u i =1, thı` k =0, 1, ,P
1
− 1.Vˆa
.
y k =0.
+Nˆe
´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.

, gia

su
.

a
01
=1,a
02
= a
12
= a
22
=0.
Ta co´ ba`i tˆa
.
p sau
Ba`i toa´ n 2.19. Cho hai sˆo
´
thu
.
.
c x
1
= x
2
.Ha
˜
yxa´cd¯i
.

nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
cdegH(x) ≤ 3
va` tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H(x
1
)=1,H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo


ng qua´t, ta co´ ba`i toa´n du
.
´o
.
i d¯ˆay v´o
.
i ca´ch gia

igˆa
`
ngu
˜
iv´o
.
i chu
.
o
.
ng trı`nh phˆo

thˆong.
Ba`i toa´ n 2.20. Cho hai sˆo
´
phˆan biˆe
.
t x
0
va` x
1

. Tı`m tˆa
´
tca

ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n (n ∈ N

) tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
Nhˆa
.

n xe´t 2.5. Trong ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite, nˆe
´
u n =2thı` i =1ho˘a
.
c i =2. Gia

su
.

p
1
=2va` p
2
=3.Thˆe
´
thı` p
1
+ p
2
=5=N. Khi d¯o´
+Nˆe
´
u i =1, thı` k =0, 1, ,P
1
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1.
+Nˆe

´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.
, gia

su
.

a
01
= a
11
=1,a
02
= a
12
= a
22
=0.
Ta d¯u
.
o
.
.
c ba`i tˆa

.
p sau
16
Ba`i toa´ n 2.21. Cho hai sˆo
´
thu
.
.
c x
1
= x
2
.Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
cdegH(x) ≤ 4
va` tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n




H(x
1
)=H

(x
1
)=1
H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo

ng qua´t, ta cu
˜
ng co´ ba`i toa´n du
.
´o

.
i d¯ˆay, v´o
.
i ca´ch gia

igˆa
`
ngu
˜
iv´o
.
i chu
.
o
.
ng trı`nh
toa´n phˆo

thˆong.
Ba`i toa´ n 2.22. Cho hai sˆo
´
phˆan biˆe
.
t x
0
va` x
1
. Tı`m tˆa
´
tca


ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n +1(n ∈ N

) tho

ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1,P

(x
0
)=1,
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
2.3 Ba`i tˆa

.
p
Luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t 10 ba`i tˆa
.
p do ta´c gia

sa´ng ta´c ho˘a
.
csu
.
utˆa
`
m.
17
Chu
.
o
.
ng 3
´
U
.

ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng v`axˆa
´
pxı
˙’
h`am sˆo
´
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng ´u
.
ng du

.
ng quan tro
.
ng cu

a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy la` u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
p


ha`m sˆo
´
.D
-
ˆay la` mˆo
.
tnˆo

.
i dung quan tro
.
ng trong ly´ thuyˆe
´
t ha`m. Nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
nho

cu

avˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
tro
.

tha`nh nh˜u
.

ng ba`i toa´n kho´ o
.

phˆo

thˆong va`thu
.
`o
.
ng xuˆa
´
thiˆe
.
n
trong ca´c ky` thi ho
.
c sinh gio

i quˆo
´
cgiava` quˆo
´
ctˆe
´
,
Trong pha
.
mvicu

a chu

.
o
.
ng trı`nh phˆo

thˆong chuyˆen toa´n, chu
.
o
.
ng na`y se
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
n
ca´c ´u
.
ng du
.
ng nˆeu trˆen
3.1 U
.
´o
.
clu
.
o

.
.
ng h`am sˆo
´
3.1.1 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Lagrange
Ba`i toa´ n 3.1. Cho tam th´u
.
cbˆa
.
c hai f (x)=ax
2
+ bx + c tho

ama
˜
nd¯iˆe
`

ukiˆe
.
n:
| f(x) | 1, khi | x | 1.
Chu´ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M ≥ 1,taco´:
| f(x) | 2M
2
− 1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ 2n va` thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe

.
n
| P (k) | 1; ∀k ∈{−n, −n +1, , n − 1,n}.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
| P (x) | 4
n
; ∀x ∈{−n; n}.
Ba`i toa´ n 3.3. Cho d¯a th´u
.
c f(x)=ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e tho

ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n | f(x) | 1
khi | x | 1.Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M>1 cho tru
.
´o
.
ctad¯ˆe
`
uco´
| f(x) |
32
3
M
4

32
3
M
2
+1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.4. Gia

su
.

cho tru

.
´o
.
cca´c sˆo
´
nguyˆen x
0
<x
1
< < x
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
gi˜u
.
aca´c gia´ tri
.
cu

a d¯a th´u
.
c x
n
+ a
1
x
n−1

+ + a
n
ta
.
ica´c d¯iˆe

m x
0
,x
1
, , x
n
luˆon tı`m
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
tsˆo
´
ma` gia´ tri
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
icu


a no´ khˆong be´ho
.
n
n!
2
n
.
18
Ba`i toa´ n 3.5. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c  2n thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P (k)|  1,k= −n, −(n − 1), ,0, 1, ,n.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
|P (x)|  2
n
∀x ∈ [−n, n].

3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Chebyshev
3.1.2.1 D
-
ath´u
.
c Chebyshev
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.1. Ca´c d¯a th´u
.
c T
n
(x)(n ∈ N) d¯ u

.
o
.
.
cxa´cd¯i
.
nh nhu
.
sau



T
0
(x)=1; T
1
(x)=x,
T
n+1
(x)=2xT
n
(x) − T
n−1
(x) ∀n>1
d¯ u
.
o
.
.
cgo

.
ila`ca´c d¯a th ´u
.
c Chebyshev (loa
.
i 1).
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.2. Ca´c d¯a th´u
.
c U
n
(x) (n ∈ N) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau



U
0
(x)=0; U
1
(x)=1,
U

n+1
(x)=2xU
n
(x) − U
n−1
(x) ∀n>1
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c d¯a th ´u
.
c Chebyshev (loa
.
i 2).
3.1.2.2 Tı´nh chˆa
´
tcu

a ca´ c d¯a th ´u
.
c T
n
(x)
Tı´nh chˆa
´
t 3.1. T

n
(x) = cos(n arccosx) v´o
.
imo
.
i x ∈ [−1, 1]
Tı´nh chˆa
´
t 3.2. T
n
(x) ∈ Z[x] bˆa
.
c n co´hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
tb˘a
`
ng 2
n−1
va` la` ha`m ch˘a
˜
n khi
n ch˘a
˜
n; la` ha`m le


khi n le

.
Tı´nh chˆa
´
t 3.3. T
n
(x) co´ d¯u´ng n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
ttrˆen [-1, 1 ] la`
x
k
= cos
2k +1
2n
π (k =0, 1, ,n− 1).
Tı´nh chˆa
´
t 3.4. |T
n
(x)|  1 ∀x ∈ [−1, 1] va` |T
n
(x)| =1khi x = cos

n
, k ∈ Z.
Tı´nh chˆa

´
t 3.5. D
-
ath´u
.
c T

(x)=2
1−n
T
n
(x) la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c n v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng1va`co´d¯ˆo
.

lˆe
.
ch so v´o
.
i 0 trˆen [−1, 1] la` nho

nhˆa
´
t trong tˆa
´
tca

ca´cd¯ath´u
.
cbˆa
.
c n v´o
.
i
hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
tb˘a
`
ng 1.

3.1.2.3 Tı´nh chˆa
´
tcu

ad¯ath´u
.
c U
n
(x)
Tı´nh chˆa
´
t 3.6. U
n
(x)=
sin(n arccos x)

1 − x
2
v´o
.
imo
.
i x ∈ (−1, 1).
19
Tı´nh chˆa
´
t 3.7. U
n
(x)=
1

n
T

n
(x)=
sin nt
sin t
, cos t = x, d¯a th´u
.
cbˆa
.
c n −1 co´hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
ccao
nhˆa
´
tb˘a
`
ng 2
n−1
va` la` ha`m ch˘a
˜
n khi n le

; la` ha`m le


khi n ch˘a
˜
n.
Tı´nh chˆa
´
t 3.8. T
n
(x) co´ d¯u´ng n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
ttrˆen [-1, 1 ] la`
x
k
= cos
2k +1
2n
π (k =0, 1, ,n− 1).
Tı´nh chˆa
´
t 3.9. |U
n
(x)|  n ∀x ∈ [−1, 1] va` |T

n
(x)|  n
2
∀x ∈ [−1, 1].
Du
.

´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n a´p du
.
ng.
Ba`i toa´ n 3.6. Cho d¯a th´u
.
c P
n−1
(x) bˆa
.
c  n − 1 v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t a
0
, tho

ama

˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n

1 − x
2
|P
n−1
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
|a
0
|  2
n−1
.
Ba`i toa´ n 3.7. Cho d¯a th´u
.
c P
n−1
(x) bˆa
.
c  n − 1 v´o

.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t a
0
, tho

ama
˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n

1 − x
2
|P
n−1
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng khi d¯o´
|P
n−1
(x)|  n, ∀x ∈ [−1, 1].
Ba`i toa´ n 3.8. Cho d¯a th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c
P (t)=a
1
sin t + a
2
sin 2t + + a
n
sin(nt)
thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P (t)|  1 ∀t ∈ R \{ ,−2π, −π, 0,π,2π, }.

Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng



P (t)
sin t



 n ∀t ∈ R \{ ,−2π, −π, 0,π,2π, }.
Ba`i toa´ n 3.9. Cho d¯a th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c
P (x)=
n

j=0
(a
j
cos jx + b
j

sin jx)
thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n |P (x)|  1 v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |P

(x)|  n v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
20
Ba`i toa´ n 3.10. Cho d¯a th´u
.
c
P

n
(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ + a
n
thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P
n
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´
|P


n
(x)|  n
2
, ∀x ∈ [−1, 1]. (3.1)
Nhˆa
.
n xe´ t 3.1. Du
.
.
a va`o kˆe
´
t qua

cu

a Ba`i toa´n 3.10, sau khi a´p du
.
ng liˆen tiˆe
´
pkˆe
´
t qua

cu

ad¯i
.
nh ly´ na`y, ta se
˜
thu d¯u

.
o
.
.
ckˆe
´
t qua

sau:
Nˆe
´
u d¯a th ´u
.
c P(x) thoa

ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P
n
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1],
thı`
|P
(k)
(x)|  [n(n − 1)(n − 2) (n −k + 1)]
2

, ∀x ∈ [−1, 1].
3.2 Mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
Ba`i toa´ n 3.11. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´

thu
.
.
c  0 va` khˆong d¯ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0. Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng phu
.
o
.
ng trı`nh
x
n
− a
1
x
n−1
− −a
n−1
x − a
n
= 0 (3.2)

co´ d¯u´ng mˆo
.
t nghiˆe
.
mdu
.
o
.
ng duy nhˆa
´
t.
Ba`i toa´ n 3.12. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´
thu
.
.
c  0 va` khˆong d¯ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0. Gia


su
.

R la` nghiˆe
.
mdu
.
o
.
ng cu

a phu
.
o
.
ng trı`nh (3.2) va`
A =
n

j=1
a
j
; B =
n

j=1
ja
j
.
Ch´u

.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´
A
A
 R
B
.
Ba`i toa´ n 3.13. Cho da
˜
yca´c d¯a th´u
.
c {P
n
(x)}(n =0, 1, 2, ) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau
P
0
(x)=0,P
n+1
(x)=P
n
(x)+
1
2
(x − P

2
n
(x)) (n =0, 1, 2, ).
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i x ∈ [0, 1] va` v´o
.
imo
.
i n ∈ N, ta luˆon co´
0 

x −P
n
(x) 
2
n +1
. (3.3)
Ba`i toa´ n 3.14. Cho d¯a th´u
.
c f (x) v´o
.
i deg f = n va` f (x)  0 v´o
.

imo
.
i x ∈ R.Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng
n

k=0
f
(k)
(x)  0. (3.4)
21
3.3 Xˆa
´
pxı

ha`m sˆo
´
theo d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy
Trong sˆo
´
ca´c ha`m sˆo
´

biˆe
´
nsˆo
´
thu
.
.
c thı` d¯a th´u
.
cd¯u
.
o
.
.
c coi la` ha`m sˆo
´
co´ da
.
ng d¯o
.
n gia

n
nhˆa
´
tvˆe
`
nhiˆe
`
uphu

.
o
.
ng diˆe
.
n nhˆa
´
tla`vˆe
`
m˘a
.
t tı´nh toa´n. Bo
.

ivˆa
.
y, mˆo
.
tvˆa
´
n d¯ ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.
c chu´ng
ta quan tˆam nhiˆe
`

uho
.
nca

la` ba`i toa´n xˆa
´
pxı

mˆo
.
t ha`m cho tru
.
´o
.
cbo
.

imˆo
.
td¯ath´u
.
c, d¯˘a
.
c
biˆe
.
t la` tı`m d¯iˆe
`
ukiˆe
.

n (cˆa
`
nva`d¯u

) d¯ ˆe

mˆo
.
t ha`m sˆo
´
cho tru
.
´o
.
c co´ thˆe

xˆa
´
pxı

d¯ u
.
o
.
.
cbo
.

imˆo
.

t
d¯a th ´u
.
c.
Gia

su
.

ha`m sˆo
´
f(x)d¯u
.
o
.
.
cxˆa
´
pxı

bo
.

id¯ath´u
.
c P
n
(x)(P
n
(x) la` d¯a th´u

.
cd¯a
.
isˆo
´
ho˘a
.
cd¯a
th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c ho˘a
.
c la` ca´c d¯a th´u
.
cda
.
ng d¯˘a
.
cbiˆe
.
t kha´c). Go
.
i R[f,P,n]=|f(x) −P
n
(x)|

la` d¯ˆo
.
lˆe
.
ch cu

a phe´p xˆa
´
pxı

.Tacˆa
`
n xa´c d¯i
.
nh P (x)va`xa´cd¯i
.
nh n sao cho R[f,P,n] la` nho

nhˆa
´
t trˆen mˆo
.
t d¯oa
.
n[a, b] cho tru
.
´o
.
c. Khi d¯o´ P
n

(x)d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th ´u
.
cxˆa
´
pxı

tˆo
´
t nhˆa
´
t
cu

a f(x) trˆen d¯oa
.
n[a, b]d¯o´va`d¯u
.
o
.
.
c ky´ hiˆe
.
ula`f (x) ≈ P

n
(x).
Nˆe
´
u ha`m sˆo
´
f(x) kha

vi (n + 1) lˆa
`
n thı` co´ thˆe

su
.

du
.
ng cˆong th´u
.
c khai triˆe

n Taylor ta
.
i
x =0
f(x)=
n

k=0
f

(k)
(0)
k!
x
k
+ R(x, n)
v´o
.
i phˆa
`
ndu
.
R(x, n)=o(x
n
).
Nhu
.
vˆa
.
y
f(x) ≈ P
n
(x)=
n

k=0
f
(k)
(0)
k!

x
k
.
Tuy nhiˆen l´o
.
p ca´c ha`m kha

vi (n + 1) lˆa
`
n du`ng d¯ˆe

xˆa
´
pxı

bo
.

id¯ath´u
.
c la` qua´ he
.
p,
khˆong bao d¯u
.
o
.
.
c nhiˆe
`

ul´o
.
p ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c quen biˆe
´
tnhu
.
ha`m sˆo
´
f(x)=
3

x, x ∈ [−1, 1].
D
-
ˆo
´
iv´o
.
i ca´c ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c trˆen [a, b] ta vˆa
˜
n co´ ca´c d¯i
.

nh ly´ tu
.
o
.
ng tu
.
.
vˆe
`
xˆa
´
pxı

chu´ng
bo
.

id¯ath´u
.
c.
Trong phˆa
`
n na`y, ta se
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´

n hai vˆa
´
n d¯ ˆe
`
sau:
Mˆo
.
t la` xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı

thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyva` hai la` xˆay du
.
.
ng
cˆong th´u
.
c tı´nh d¯ˆo
.
lˆe
.

ch sai sˆo
´
d¯ ˆo
´
iv´o
.
i ca´c xˆa
´
pxı

d¯ o´.
Ba`i toa´ n 3.15. Cho ha`m sˆo
´
f(x) va` cho tˆa
.
pho
.
.
p Ω gˆo
`
m n +1 d¯ i ˆe

m phˆan biˆe
.
t x
j
(x
0
<x
1

< ···<x
n
) trong tˆa
.
p xa´c d¯i
.
nh cu

a ha`m sˆo
´
f(x).
Ha
˜
y tı`m mˆo
.
t d¯a th ´u
.
c P
n
(x),bˆa
.
c khˆong qua´ n sao cho
P (x
j
)=f(x
j
)(j =0, ,n).
Ba`i toa´ n 3.16. Ch´u
.
ng minh r˘a

`
ng d¯a th´u
.
c P
n
(x) nˆeu trong Ba`i toa´n 3.15 la` duy nhˆa
´
t
trong sˆo
´
ca´c d¯a th´u
.
cbˆa
.
c  n.
Ba`i toa´ n 3.17. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d¯a th´u
.
c P
n
(x) trong Ba`i toa´n 3.15 co´da
.
ng
P
n

(x)=
n

k=0
a
k
x
k
,
thı` ca´c hˆe
.
sˆo
´
a
k
d¯ u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
tca´ch duy nhˆa
´
tt`u
.
hˆe
.

phu
.
o
.
ng trı`nh
n

k=0
a
k
x
k
j
= f(x
j
),j=0, ,n. (3.5)
22
Ba`i toa´ n 3.18. Cho (n +1)bˆo
.
ba sˆo
´
(x
j
,y
j
,d
j
)(j =0, ,n) thoa

ma

˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
x
0
<x
1
<x
2
< ···<x
n
.
Tı`m d¯a th ´u
.
c P
m
(x) bˆa
.
cm(m  2n +1) sao cho
P
m
(x
j
)=y
j
; P


m
(x
j
)=d
j
, ∀j ∈{0, ,n}. (3.6)
Ba`i toa´ n 3.19. Cho y(x) la` ha`m sˆo
´
kha

vi liˆen tu
.
c (n +1) lˆa
`
n trong khoa

ng (0, 1).Go
.
i
P
n
(x) la` d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı

cu

a y(x) xa´c d¯i

.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange trˆen tˆa
.
p
X = {x
j
| j =0, ,n}⊆(0, 1).
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
R
n+1
(x):=|y(x) − P
n
(x)|
trˆen tˆa
.
p {(0, 1) \X}.
Ba`i toa´ n 3.20. Cho d¯oa

.
n I ⊂ R va` cho M = sup{|f

(x)|; x ∈ I}. Gia

su
.

ta d¯a
˜
xˆa
´
pxı

d¯ u
.
o
.
.
c f(x) bo
.

id¯ath´u
.
cxˆa
´
pxı

bˆa
.

c nhˆa
´
t xa´c d¯i
.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh gia´ tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tcu

ad¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
trong phe´p xˆa
´
pxı


trˆen.
Nhˆa
.
n xe´ t 3.2. T`u
.
d¯ a´nh gia´
|R
n+1
(x)| 
M
(n + 1)!
|w(x)|,
ta co´ nhˆa
.
n xe´t sau d¯ˆay.
D
-
ˆe

thu d¯u
.
o
.
.
c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı


co´d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
nho

nhˆa
´
ttaco´thˆe

su
.

du
.
ng mˆo
.
t trong
ca´cca´ch ho˘a
.
c la` t˘ang bˆa
.
cxˆa
´
pxı

n, ho˘a

.
c phˆan bˆo
´
la
.
i (cho
.
n) x
j
trˆen I cho tˆo
´
iu
.
uho
.
n
ho˘a
.
ctı`mca´ch gia

md¯a
.
ilu
.
o
.
.
ng |w(x)|.
3.4 Ba`i tˆa
.

p
Luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t 12 ba`i tˆa
.
p do ta´c gia

tu
.
.
sa´ng ta´c ho˘a
.
csu
.
utˆa
`
m.
23
Kˆe
´
tluˆa
.
ncu


aluˆa
.
nv˘an
Luˆa
.
n v˘an trı`nh ba`y hˆe
.
thˆo
´
ng mˆo
.
tsˆo
´
nˆo
.
i dung chı´nh sau:
1. Nˆeu kˆe
´
t qua

cu

a ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` ca´c d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, Taylor, Newton,
Hermite d¯ˆe


´u
.
ng du
.
ng va`o viˆe
.
c gia

i ca´c ba`i toa´n phˆo

thˆong.
2.
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe

tı`m d¯u
.
o
.
.
cba


nchˆa
´
tcu

ahˆa
`
uhˆe
´
t ca´c d¯ˆo
`
ng
nhˆa
´
tth´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.
cva`a´pdu
.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh hoa
.
t cˆong th ´u
.
cna`yd¯ˆe


gia

imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.
c sinh gio

i trong nu
.
´o
.
c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
3. Mˆo
.
tsˆo
´
´u

.
ng du
.
ng cu

a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, nˆo
.
i suy Newton, nˆo
.
i suy Hermite .
4.
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` ca´c tı´nh chˆa
´
tcu

a d¯a th ´u
.

c Chebyshev d¯ˆe

u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng ha`m sˆo
´
.
5. Xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı

thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy va` xˆay du
.
.

ng cˆong
th´u
.
c tı´nh d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
d¯ ˆo
´
iv´o
.
ica´cxˆa
´
pxı

d¯ o´.
24
T
`
AI LI
ˆ
E
.
U THAM KHA
˙’
O
[1] Tri
.

nh D
-
a`o Chiˆe
´
n-Huy`nh Minh Thuˆa
.
n, 2007, Ky

yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.

cnˆo
.
i suy Lagrange, NXB Tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Khoa
ho
.
cTu
.
.
nhiˆen - D
-
HQG Ha` Nˆo
.
i.
[2] Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u, 2007, Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy va` ´u

.
ng du
.
ng, NXB Gia´o du
.
c.
[3] Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u, 2001, D
-
ath´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
va` phˆan th´u
.
ch˜u
.
utı

, NXB Gia´o du
.
c.
[4] Lˆe Hoa`nh Pho`, 2003, Chuyˆen kha

od¯ath´u

.
c,NXBD
-
HQG TP Hˆo
`
Chı´ Minh.
DANH MU
.
CC
ˆ
ONG TR
`
INH D
-
˜
AC
ˆ
ONG B
ˆ
O
´
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n-Huy`nh Minh Thuˆa
.
n, 2007, Ky


yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, NXB Tru
.
`o
.
ng D

-
a
.
iho
.
c Khoa
ho
.
cTu
.
.
nhiˆen - D
-
HQG Ha` Nˆo
.
i.

×