Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………













LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M


1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Mở đầu 2
Chương I. Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Phạm trù σ[M] 4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow)
và chiều hollow 5
1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 6
1.5 Bù giao và bù cộng . . . . 10
1.6 Căn và đế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương II. Một số tính chất của môđun extending
và môđun lifting 12
2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Môđun lifting 17
Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn
sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting . . . . . . . . . .28
3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M]
là extending 28
3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ [M] là lifting 32
Kết luận 37
Tài liệu tham khảo 39
2
MỞ ĐẦU
Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng
quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục
năm trở lại đây. Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứu
môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất
có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh. Tuy nhiên trong khi mọi môđun
M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại. Xét
một khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M, bù giao
của N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn
tại bù cộng của N trong M. Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối
xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting.
Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học

ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending
và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số
lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp
các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về
môđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M)".
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương
Chương I. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở
liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất
Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun
extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của môđun extend-
ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối
ngẫu tương ứng.
Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting.
3
Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi
môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và khảo sát
môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M] là lifting.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học
cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời
gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo
của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Quy Nhơn, 3-2008
4
Chương I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn
vị, thường kí hiệu bởi R. Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi
đơn giản là R-môđun.
1.1 Phạm trù σ[M]
1.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun N được gọi là M-sinh nếu nó là
ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M.
1.1.2 Định nghĩa. Phạm trù σ[M] là phạm trù con đầy của phạm
trù các R-môđun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun
con của môđun M-sinh.
1.2 Môđun Noether và môđun Artin
1.2.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗi
tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.
(ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng
các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu.
1.2.2 Định lý. [1, tr 99-100] (i) Giả sử A là môđun con của M.
Các điều sau là tương đương:
(1) M Noether;
(2) A và M/A Noether;
(3) Mọi chuỗi tăng A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ những môđun con của M đều
dừng.
(ii) Giả sử A là môđun con của M, các điều sau là tương đương:
(1) M Artin;
(2) A và M/A Artin;
5

(3) Mọi chuỗi giảm A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ những môđun con của M đều
dừng.
1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun
lõm (hollow) và chiều hollow
1.3.1 Định nghĩa. (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (hay
lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có
A ∩ B = 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó
ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂
∗
M.
(ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong M
nếu với mỗi môđun con E = M ta đều có A + E = M (Một cách tương
đương, nếu A + E = M thì E = M). Khi đó ta kí hiệu A ⊂
o
M.
1.3.2 Tính chất. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con
của M. Khi đó:
(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂
∗
M kéo theo B ⊂
∗
C.
(2) Nếu A ⊂
∗

M và B ⊂
∗
M thì A ∩ B ⊂
∗
M.
(3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂
∗
N thì ϕ
−1
(A) ⊂
∗
M.
(ii) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó:
(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂
o
C kéo theo A ⊂
o
M.
(2) Nếu A ⊂
o
M và B ⊂
o
M thì A + B ⊂
o
M.
(3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂
o
M thì ϕ(A) ⊂
o
N.

1.3.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun con K của M được gọi là đóng
(closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.
(ii) Cho L ⊂ M, L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M nếu L
không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂
o
M/K.
1.3.4 Định nghĩa. (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều
(uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M.
(ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực
6
sự của nó đều đối cốt yếu trong M.
1.3.5 Định nghĩa. (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữu
hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương n và các
môđun con đều U
1
, , U
n
sao cho
n
⊕
i=1
U
i
là cốt yếu trong M.
Nếu M có chiều uniform hữu hạn và
n
⊕
i=1
U
i

⊂
∗
M,
m
⊕
j=1
V
j
⊂
∗
M với
U
i
, V
j
là các môđun con đều của M thì m = n. Người ta gọi n là chiều
uniform của M và kí hiệu u. dim(M) = n.
Nếu M = 0, ta viết u dim(M) = 0, nếu M không có chiều uniform
hữu hạn ta viết u dim(M) = ∞.
(ii) Môđun M được gọi là có chiều hollow hữu hạn nếu tồn tại số
nguyên dương n và các môđun con H
1
, , H
n
sao cho
n

i=1
H
i

là đối cốt
yếu trong M và M/H
i
là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Nếu M có chiều hollow hữu hạn và
n

i=1
H
i
⊂
o
M,
m

j=1
K
j
⊂
o
M với
H
i
, K
j
là các môđun con của M sao cho M/H
i
và M/K
j
là lõm với mọi

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Người ta gọi n là chiều hollow của M
và kí hiệu h. dim(M) = n.
Nếu M = 0 ta viết h. dim(M) = 0, nếu M không có chiều hollow hữu
hạn ta viết h. dim(M) = ∞.
1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh
1.4.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu với
mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → B của những
môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : B → M sao cho h.g = f, nghĩa
là biểu đồ sau giao hoán
1.4.1 i








1.4.1 ii


A

B

g
0
f
h
M

B

M

A

f
g
h
0
7
(ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu
f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R
tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ sau
giao hoán
1.4.1 i








1.4.1 ii


A

B

g
0
f
h
M

B

M

A

f
g
h
0
1.4.2 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với
mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → N với A là một
môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M sao cho h.g = f,
nghĩa là biểu đồ sau giao hoán





A

N

g
0
f
h
M

N
B

g
0
f
h
M

(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu
f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên R
đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ
sau giao hoán

M

B

N
f

h
g
0

1.4.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội xạ (hay
tự nội xạ) nếu nó là M-nội xạ.
(ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu nó
là M-xạ ảnh.
8
1.4.4 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính chất
sau:
(C
1
) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của M.
(C
2
) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của M thì A
là một hạng tử của M.
Chứng minh. (C
1
) Gọi N là một môđun con của M, trước hết ta chứng
minh f(M) ⊂ M với mọi f ∈ End(E(M)) trong đó E(M) là bao đóng
nội xạ của M.
Đặt X = {x ∈ M|f(x) ∈ M} ⊂ M. Xét biểu đồ


S

/
L
K
L

h
0
p
1
/
L
K

/
L
K
h
0

L

p
q
T

/()
L
Soc L
0
L

π

i

M

X
0

ϕ
M

f

f
()
E
M

M
/
M
A

B

p

π

f

0
U
M

g
f
/UV

p

0
Đặt ϕ = f|
X
, vì M tựa nội xạ nên tồn tại đồng cấu f : M → M sao
cho ϕ = f.i. Khi đó, ta có f(M) ⊂ M. Giả sử x ∈ M ∩(f −f)(M), tồn tại
y ∈ M sao cho x = (f −f)(y) = f(y)−f(y), suy ra f(y) = x+f(y) ∈ M,
do đó y ∈ X.

Ta có x = f(y) − f(y) = f(y) − f(y) = 0 nên M ∩ (f − f)(M) = 0. Vì
M ⊂
∗
E(M), M ∩(f −f)(M) = 0 nên (f −f)(M) = 0 hay f(M) = f(M)
mà f(M) ⊂ M cho nên f(M) ⊂ M.
Ta có E(M) = E
1
⊕ E
2
với E
1
= E(N). Vì f(M) ⊂ M với mọi
f ∈ End(E(M)) nên M = M ∩ E
1
⊕ M ∩ E
2
. Gọi U là môđun con khác
không của M ∩ E
1
, ta có U là môđun con của E
1
, mà N ⊂
∗
E
1
nên
N ∩ U = 0, do đó N ⊂
∗
M ∩ E
1

. Vậy, (C
1
) đã được chứng minh.
(C
2
) Giả sử A ⊆ M và A  M

với M

là một hạng tử trực tiếp của
M, khi đó tồn tại đơn cấu f : M

→ M sao cho Imf = A. Vì M là tựa
nội xạ, M

là hạng tử trực tiếp của M nên M

là M-nội xạ, suy ra tồn
9
tại đồng cấu g : M → M

sao cho g.f = id
M

. Ta có:
M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg
hay A là hạng tử trực tiếp của M.
Đối ngẫu với các tính chất (C
1
), (C

2
) ta có các tính chất sau:
(D
1
) Với mỗi môđun con A của M, tồn tại sự phân tích M = M
1
⊕M
2
sao cho M
1
⊆ A và A ∩ M
2
⊂
o
M.
(D
2
) Nếu A là môđun con của M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng
tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của M.
1.4.5 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D
2
).
Chứng minh. Giả sử M là môđun tự xạ ảnh, A ⊆ M và M/A  M

với
M

là một hạng tử trực tiếp của M. Khi đó tồn tại toàn cấu f : M → M

sao cho Kerf = A. Vì M là tựa xạ ảnh, M


là hạng tử trực tiếp của
M nên M

là M-xạ ảnh, suy ra tồn tại đồng cấu g : M

→ M sao cho
f.g = id
M
. Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là hạng tử trực
tiếp của M.
1.4.6 Nhận xét. Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C
1
)
và (C
2
). Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D
1
).
Chẳng hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không có tính chất (D
1
). Thật
vậy, vì Z-môđun Z là tự do nên theo [1, tr 64] Z
Z
là xạ ảnh. Xét A
là môđun con khác không của Z, A = mZ với M ∈ N
∗
. Vì Z không
phân tích được nên Z có sự phân tích duy nhất Z = Z ⊕ 0. Gọi B là
môđun con của Z, B = nZ, với n ∈ N

∗
, n > 1 sao cho (m; n) = 1. Ta có
A + B = mZ + nZ = Z nhưng nZ = Z Do đó A ∩ Z = A không đối cốt
yếu trong Z hay Z
Z
không có tính chất (D
1
).
10
1.5 Bù giao và bù cộng
1.5.1 Định nghĩa. (i) Cho A là môđun con bất kì của M. Một môđun
con B của M được gọi là bù giao của A trong M, nếu B là môđun con
tối đại trong tập các môđun con C của M thoả mãn C ∩ A = 0.
Một môđun con K của M được gọi là bù giao trong M, nếu nó là bù
giao của môđun con nào đó của M.
(ii) Cho A là môđun con bất kì của M. Một môđun con B của M
được gọi là bù cộng của A trong M, nếu B là môđun con tối tiểu trong
tập các môđun con P của M thỏa mãn A + P = M.
Một môđun con L của M được gọi là bù cộng nếu nó là bù cộng của
một môđun con nào đó của M.
Ta nói môđun M có tính bù cộng nếu với bất kỳ hai môđun con A, B
của M mà A + B = M thì B chứa bù cộng của A.
1.5.2 Nhận xét. i) Cho A là môđun con của M. Vì tập các môđun
con C ⊆ M với C ∩ A = 0 là khác rỗng và sắp thứ tự theo quan hệ bao
hàm nên theo bổ đề Zorn, mỗi môđun con A ⊆ M đều có bù giao trong
M. Tuy nhiên bù cộng của A trong M chưa chắc đã tồn tại.
ii) Nếu M có tính bù cộng thì mọi môđun con của M đều có bù cộng.
1.5.3 Mệnh đề. Cho A và B là các môđun con của M. B là bù cộng
của A nếu và chỉ nếu M = A + B và A ∩ B ⊂
o

B.
Chứng minh. Giả sử B là bù cộng của A và D là môđun con của B
sao cho A ∩ B + D = B. Khi đó M = A + B = A + A ∩ B + D = A + D.
Do tính tối tiểu của B nên B = D hay A ∩ B ⊂
o
B.
Ngược lại, giả sử M = A + B và P là môđun con của B thoả mãn
A+P = M. Khi đó, ta có B = B ∩(A+P ) = A∩B +P , mà A∩B ⊂
o
B
nên P = B hay B là môđun tối tiểu của M thoả mãn A + B = M. Vậy
B là bù cộng của A.
11
1.6 Căn và đế
1.6.1 Định nghĩa. (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đại
của M
R
là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M
R
và kí
hiệu bởi Rad(M
R
). Nếu M
R
không có môđun con tối đại thì ta quy ước
Rad(M
R
) = M
R
.

(ii) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của M
R
là đế của
môđun M
R
và kí hiệu bởi Soc(M
R
). Nếu M
R
không có môđun con đơn
thì ta quy ước Soc(M
R
) = 0.
1.6.2 Định lý [1, tr 125]. Đối với môđun M
R
ta có:
(i) Rad (M
R
) =

B, trong đó B chạy khắp tập các môđun con đối
cốt yếu của M
R
.
(ii) Soc (M
R
) =

C, trong đó C chạy khắp tập các môđun con cốt
yếu của M

R
.
12
Chương II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một
số tính chất của môđun extending: các điều kiện tương đương, mối quan
hệ giữa môđun extending và môđun đều, tổng trực tiếp của các môđun
extending Trên cơ sở các tính chất của môđun extending, chúng tôi
xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng,
nếu không có thì cần bổ sung thêm các điều kiện gì để đạt được tính
chất ấy
2.1 Môđun extending
2.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là môđun extending
(hay CS-môđun) nếu mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng
tử trực tiếp của M.
2.1.2 Định lý. Cho M là một R-môđun. Khi đó, các điều kiện sau là
tương đương:
(1) M là extending;
(2) Mỗi môđun con N của M đều có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao
cho N ⊆ M
1
và N + M
2
⊂

∗
M;
(3) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của nó.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử N là một môđun con của M. Vì M
là extending nên N cốt yếu trong một hạng tử M
1
của M. Do đó, ta
có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho N ⊂
∗
M
1
, mà M
2
⊂
∗
M
2
nên
N + M
2
⊂
∗
M.
(2) ⇒ (3) Giả sử N là một môđun con đóng của M, ta có sự phân
tích M = M
1

⊕ M
2
sao cho N ⊆ M
1
và N + M
2
⊂
∗
M. Gọi U là một
13
môđun con của M
1
thoả mãn N ∩ U = 0, ta có U ⊆ M và
(N + M
2
) ∩ U = N ∩ U + M
2
∩ U = 0.
Vì N + M
2
⊂
∗
M nên U = 0, suy ra N ⊂
∗
M
1
. Mà N là môđun con
đóng của M nên N = M
1
hay N là một hạng tử của M.

(3) ⇒ (1) Giả sử N là một môđun con của M. Gọi B là tập hợp các
mở rộng cốt yếu của N trong M. Vì N ∈ B nên B khác rỗng, mặt khác
mọi bộ phận sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm của B đều có cận trên
nên theo bổ đề Zorn, B có phần tử tối đại là M
1
. Gọi K là một mở rộng
cốt yếu của M
1
, ta có N ⊂
∗
M
1
, M
1
⊂
∗
K nên N ⊂
∗
K hay K ∈ B. Do
tính tối đại của M
1
trong B nên K = M
1
hay M
1
là môđun con đóng
của M, vì vậy M
1
là một hạng tử trực tiếp của M do đó M là extending.
2.1.3 Hệ quả. Một R-môđun M không phân tích được là extending

nếu và chỉ nếu M là môđun đều.
Chứng minh. Gọi N là một môđun con khác không của M. Vì M là
môđun extending nên có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho N ⊂
∗
M
1
.
Mà M không phân tích được và M
1
= 0 nên M
1
= M, hay M là môđun
đều.
Ngược lại, gọi N là một môđun con của M. Nếu N = 0 thì
N ⊂
∗
N = 0 là hạng tử trực tiếp của M. Nếu N = 0 thì vì M đều nên
N ⊂
∗
M. Vậy, M là extending.
2.1.4 Định lý. Nếu M là môđun extending và M = M
1
⊕ M
2
thì M
1

,
M
2
là các môđun extending.
Chứng minh. Gọi A là một môđun con đóng của M
1
, trước hết ta
chứng minh A đóng trong M. Giả sử A ⊂
∗
B với B là môđun con nào
đó của M. Xét phép chiếu p : M = M
1
⊕ M
2
→ M
1
. Ta có
A = p(A) ⊂
∗
p(B) ⊆ M
1
,
14
mà A đóng trong M
1
nên A = p(B) ⊆ B và do đó (1 − p)(B) ⊆ B.
Vì
(1 − p)(B) ∩ p(B) = (1 − p)(B) ∩ A = 0
và A ⊂
∗

M
1
nên (1 − p)(B) = 0, do đó B = p(B) ⊆ M
1
. Mặt khác, A
đóng trong M
1
nên A = B hay A đóng trong M.
Vì M là extending nên theo 2.1.2, A là hạng tử trực tiếp của M, ta
có sự phân tích M = A ⊕ D với D là một môđun con của M. Khi đó,
M
1
= (A ⊕ D) ∩ M
1
= A ⊕ D ∩ M
1
hay A là hạng tử trực tiếp của M
1
.
Vậy M
1
là extending.
2.1.5 Định lý. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2

là các môđun extend-
ing. Khi đó M là extending nếu và chỉ nếu mỗi môđun con đóng K ⊂ M
với K ∩ M
1
= 0 hoặc K ∩ M
2
= 0 là một hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên theo 2.1.2. Ngược lại, giả sử
mọi môđun con đóng K của M với K ∩ M
1
= 0 hoặc K ∩ M
2
= 0 là
một hạng tử trực tiếp của M. Cho L là môđun con đóng của M, tồn
tại bù giao H trong L sao cho L ∩ M
2
⊂
∗
H. Ta có H đóng trong M và
H ∩M
1
= 0 nên H là hạng tử trực tiếp của M, ta có thể viết M = H ⊕H

với H

là một môđun con của M. Khi đó, L = L∩(H⊕H

) = H⊕(L∩H

)

nên L ∩ H

đóng trong M. Ta có (L ∩ H

) ∩ M
2
= 0 nên theo giả thiết
L ∩ H

là một hạng tử trực tiếp của M nên L ∩ H

cũng là hạng tử
trực tiếp của H

. Vậy L là hạng tử trực tiếp của M hay M là môđun
extending.
2.1.6 Mệnh đề. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2
là các môđun ex-
tending. Nếu M
1
là M
2
-nội xạ và M

2
là M
1
-nội xạ thì M là extending.
Chứng minh. Giả sử M = M
1
⊕M
2
, M
1
là M
2
-nội xạ, M
2
là M
1
-nội xạ
và M
1
, M
2
là các môđun extending. Ta chứng minh M extending bằng
cách áp dụng định lý 2.1.5.
15
Gọi K ⊂ M là một môđun con đóng của M và K ∩ M
1
= 0. Giả sử
π
i
: M → M

i
, i = 1, 2 là các phép chiếu chính tắc. Xét biểu đồ sau

K

2
M

α

0
β
f
M

1
trong đó, α = π
2
|
K
và β = π
1
|
K
.
Theo giả thiết M
1
là M
2
-nội xạ nên tồn tại f : M

2
→ M
1
sao cho
f.α = β. Đặt
M

= {f(m) + m|m ∈ M
2
},
khi đó ta có M

là môđun con của M, hơn nữa M = M
1
⊕M

và K ⊂ M

.
Thật vậy nếu x ∈ K, x = x
1
+ x
2
với x
1
∈ M
1
, x
2
∈ M

2
thì
x
1
= π
1
(x) = β(x) = f(α(x)); α(x) = π
2
(x) = x
2
,
do đó x = f(x
2
) + x
2
∈ M

, cho nên K ⊂ M

Ta có M

 M
2
, vì vậy M

là extending. Bởi giả thiết K đóng trong
M nên K đóng trong M

. Thế thì K là một hạng tử trực tiếp của M


kéo theo K là một hạng tử trực tiếp của M.
Tương tự chứng minh được nếu H đóng trong M và H ∩ M
2
= 0 thì
H là một hạng tử trực tiếp của M.
Bây giờ áp dụng định lý 2.1.5 ta có M là extending.
2.1.7 Mệnh đề. Cho M là R-môđun có chiều uniform hữu hạn. Nếu
M là môđun extending thì M =
n
⊕
i=1
M
i
, với M
i
là các môđun đều và
n = u. dim(M).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nếu R-môđun M có chiều
uniform hữu hạn và M =
k
⊕
i=1
M
i
thì u. dim(M) =
k

i=1
u. dim(M
i

).
Thật vậy, với mọi 1 ≤ i ≤ k ta có u. dim(M
i
) ≤ u. dim(M). Nếu tồn
tại i
0
, 1 ≤ i
0
≤ k sao cho u. dim(M
i
0
) = ∞ thì u. dim(M) = ∞, mâu
16
thuẫn, do đó u. dim(M
i
) = n
i
< ∞ với mọi 1 ≤ i ≤ k. Với mỗi 1 ≤ i ≤ k
tồn tại các môđun con đều U
i
1
, , U
i
n
i
sao cho
n
i
∩
j=1

U
ij
⊂
∗
M
i
.
Khi đó tồn tại phép nhúng
f
i
:
n
i
⊕
j=1
U
ij
→ M
i
Đặt f = (f
1
, , f
k
), ta có phép nhúng
f :
k
⊕
i=1

n

i
⊕
j=1
U
ij

→ M =
k
⊕
i=1
M
i
,
do đó u. dim(M) =
k

i=1
u. dim(M
i
).
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo n = u. dim(M).
Nếu u. dim(M) = 1 thì M không phân tích được, mà M extending nên
theo 2.1.3, M là môđun đều. Cho n ≥ 1, giả sử điều cần chứng minh
là đúng với mọi R-môđun có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n. Giả sử
u. dim(M) = n + 1, vì M là môđun extending không đều nên có sự phân
tích M = M
1
⊕ M
2
với M

1
, M
2
là các môđun con khác không của M.
Ta có:
u. dim(M) = u. dim(M
1
) + u. dim(M
2
) = n + 1.
Đặt u
1
= u. dim(M
1
) và u
2
= u. dim(M
2
), suy ra u
1
≤ n và u
2
≤ n
nên M
1
, M
2
có thể được viết M
1
=

u
1
⊕
i=1
U
i
, M
2
=
u
2
⊕
j=1
V
j
, với U
i
, V
j
là
các môđun đều với mọi 1 ≤ i ≤ u
1
, 1 ≤ j ≤ u
2
. Vậy ta đã có điều phải
chứng minh.
2.1.8 Mệnh đề. Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy
nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M. Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending.
Chứng minh. Vì M là môđun chuỗi và U/V là môđun đơn nên chúng
có các vành tự đồng cấu địa phương. Đặt X = M ⊕ (U/V ), xét biểu đồ

17


S



















/
L
K
L

h
0

p
1
/
L
K

/
L
K
h
0
L

p
q
T

/()
L
Soc L
0
L

π

i

M

X

0

ϕ
M

f

f
()
E
M
M
/
M
A

B

p

π

f

0
U
M

g
f

/UV

p
0

trong đó, p : U → U/V là phép chiếu chính tắc, f : U → M là phép
nhúng. Trước hết ta chứng minh p có thể được mở rộng thành một đồng
cấu g : M → U/V .
Đặt
N = {x − p(x)|x ∈ U} ⊆ M ⊕ (U/V )
Khi đó, N  U là môđun con đều của X. Vì X = M ⊕ (U/V )
và U ⊆ M nên N ∩ (U/V ) = 0, do đó tồn tại hạng tử trực tiếp K
của X sao cho N ⊂
∗
K. Theo định lý Krull-Schmidt [2, 12.9] ta có
X = K ⊕ M hay X = K ⊕ (U/V )). Giả sử X = K ⊕ M, khi đó p(x) = 0
với mọi x = 0 hay p đơn cấu, mâu thuẫn. Vậy X = K ⊕ (U/V ). Xét
π : X = K ⊕ (U/V ) → U/V là phép chiếu chính tắc. Khi đó tồn tại
g = π|
M
: M → U/V là mở rộng của p. Vì U/V là đơn nên Kerg = M
hoặc Kerg = U, mâu thuẫn. Vậy X không extending.
2.2 Môđun lifting
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun, M được gọi là môđun
lifting nếu với mỗi môđun con A của M, tồn tại hạng tử trực tiếp X của
M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂
o
M/X.
2.2.2 Định lý. Cho M là một R-môđun. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:

(1) M là lifting;
(2) M có tính chất (D
1
), nghĩa là với mỗi môđun con N của M đều
có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho M
1
⊆ N và N ∩ M
2
⊂
o
M;
(3) Với mỗi môđun con N của M đều có thể viết được dưới dạng
N = N
1
⊕ N
2
, trong đó N
1
là một hạng tử trực tiếp của M và N
2
⊂
o
M;
18
(4) M có tính bù cộng và mỗi môđun con đối đóng của M là một hạng
tử của M;

(5) M có tính bù cộng và mỗi môđun con bù cộng của M là một hạng
tử của M.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử N là một môđun con của M. Vì M là
lifting nên có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho
M
1
⊆ N, N/M
1
⊂
o
M/M
1
.
Vì M/M
1
 M
2
và N/M
1
= (M
1
⊕N ∩M
2
)/M
1
 N ∩M

2
nên N ∩M
2
⊂
o
M
2
, do đó N ∩ M
2
⊂
o
M.
(2) ⇒ (3) Với mỗi môđun con N của M đều có sự phân tích
M = M
1
⊕M
2
sao cho M
1
⊆ N và N∩M
2
⊂
o
M, do đó N = M
1
⊕N∩M
2
.
Đặt N
1

= M
1
, N
2
= N ∩ M
2
ta có (3).
(3) ⇒ (4) Giả sử M = K + L với K, L là các môđun con của M,
ta sẽ chứng minh rằng K chứa bù cộng của L. Vì K là môđun con của
M nên K có thể được viết K = N ⊕ H, trong đó N là một hạng tử
trực tiếp của M và H ⊂
o
M, khi đó M = L + N. Cũng theo (3) ta có
L ∩ N = N
1
⊕ S với S ⊂
o
M và N
1
là một hạng tử trực tiếp của M,
tức là M = N
1
⊕ P
1
, với P
1
là môđun con của M. Thế thì S ⊂
o
N và
N = N

1
⊕ N
2
với N
2
= N ∩ P
1
. Ta chỉ ra N
2
là một bù cộng của N
1
+ S
trong N. Giả sử X là môđun con của N
2
sao cho N = X + N
1
+ S. Vì
S ⊂
o
N nên N = X + N
1
, lại có N
2
là một bù cộng của N
1
trong N suy
ra X = N
2
, do đó N
2

là một bù cộng của N
1
+ S = L ∩ N trong N. Khi
đó ta có
M = L + N = L + (L ∩ N) + N
2
= L + N
2
.
Hơn nữa L ∩ N
2
= (L ∩ N) ∩ N
2
⊂
o
N
2
nên theo 1.5.3, N
2
là bù cộng
của L hay M có tính bù cộng.
Gọi N là môđun con đối đóng của M, ta có sự phân tích N = N
1
⊕N
2
,
trong đó N
1
là một hạng tử trực tiếp của M và N
2

⊂
o
M. Giả sử N
1
= N,
19
vì N là đối đóng nên tồn tại môđun con P của M sao cho N + P = M
và N
1
+ P = M. Ta có
M = N + P = N
1
+ N
2
+ P,
mà N
2
⊂
o
M nên N
1
+ L = M, mâu thuẫn. Vậy N
1
= N hay N là một
hạng tử trực tiếp của M.
(4) ⇒ (5) Giả sử N là môđun con bù cộng của M, khi đó tồn tại môđun
con L của M sao cho N là môđun con tối tiểu thỏa mãn N + L = M.
Với mọi môđun con K ⊆ N sao cho N/K ⊂
o
M/K, vì N + L = M nên

K + L = M. Do tính tối tiểu của N ta có K = N hay N là môđun con
đối đóng của M.
(5) ⇒ (1) Giả sử A là một môđun con của M, vì M có tính bù cộng
nên A có bù cộng là B, theo (4), B là hạng tử trực tiếp của M. Gọi M
1
là bù cộng của B trong M, ta có M
1
⊆ A và M
1
là một hạng tử trực
tiếp của M. Đặt M = M
1
⊕ M
2
, ta có
A/M
1
= (M
1
⊕ A ∩ M
2
)/M
1
 A ∩ M
2
và A = (M
1
+ B) ∩ A = M
1
+ A ∩ B.

Vì B là bù cộng của A trong M nên A + B = M và A ∩ B ⊂
o
B,
mà B là hạng tử trực tiếp của M suy ra A ∩ B ⊂
o
M. Xét phép chiếu
p : M = M
1
⊕ M
2
→ M
2
, vì A ∩ B ⊂
o
B nên p(A ∩ B) ⊂
o
p(M) = M
2
.
Mặt khác
p(A ∩ B) = p(M
1
+ A ∩ B) = p(A) = A ∩ M
2
,
cho nên A ∩ M
2
⊂
o
M

2
hay A/M
1
⊂
o
M/M
1
. Vậy, M là lifting.
2.2.3 Hệ quả. Một R-môđun M không phân tích được là lifting nếu
và chỉ nếu M là lõm.
Chứng minh. Gọi N là một môđun con thực sự của M, vì M là lifting
20
nên N có thể được viết N = N
1
⊕ N
2
trong đó N
1
là một hạng tử trực
tiếp của M và N
2
⊂
o
M. Giả sử M = N
1
⊕ M
1
, vì M không phân tích
được và N = M nên N
1

= 0, suy ra N = N
2
⊂
o
M hay M là lõm.
Ngược lại, gọi N là một môđun con của M. Nếu M = N thì ta có
thể viết N = M = 0 ⊕ M nên M lifting. Nếu M = N, vì M là lõm nên
N ⊂
o
M, ta có thể viết N = 0 ⊕ N. Vậy, M là lifting.
2.2.4 Nhận xét. Mọi môđun nội xạ đều là môđun extending nhưng
không phải mọi môđun xạ ảnh đều là môđun lifting. Chẳng hạn Z-môđun
Z là xạ ảnh nhưng không là lifting như đã chứng minh trong nhận xét
1.4.6.
Các kết quả tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề: khi nào một môđun xạ
ảnh là lifting và với điều kiện nào của vành R thì mọi R-môđun xạ ảnh
đều là lifting.
2.2.5 Định lý. Nếu M là môđun xạ ảnh và mọi môđun con của M
đều có bù cộng thì M là môđun lifting.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M có tính bù cộng.
Cho M = A + B, ta cần chỉ ra rằng B chứa bù cộng của A. Giả sử P là
bù cộng của A, khi đó M = A + P và A ∩ P ⊂
o
P . Gọi p, π lần lượt các
phép chiếu tự nhiên p : M → M/A, π : B → M/A. Xét biểu đồ

P

H1

H2




















/
M
A
M

B

p
i
f
g
0
π

H

V
0
f
f

X
/
M
X
Y
f
π

M

p
0
/
M
V

M

p
f
0
/UV



1
M

2
M

*
/
M
D
ϕ
0
Vì M là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f : M → B thỏa mãn π.f = p.
Đặt µ = p|
P
và g = f|
P
, thế thì π.g(P ) = p(P ) = M/A cho nên
M = A + g(P ). Ta có A ∩ g(P ) = g(Kerµ). Thật vậy, lấy x ∈ A ∩ g(P ),
tồn tại y ∈ P sao cho x = g(y). Ta có 0 = π(x) = π.g(y) = π.f(y) = p(y)
21

suy ra y ∈ A ∩ P nên x = g(y) ∈ g(Kerµ). Ngược lại, lấy z ∈ g(Kerµ),
tồn tại t ∈ A ∩ P sao cho z = g(t) nên z ∈ g(P ). Hơn nữa
π(z) = π.g(t) = π.f(t) = p(t) = 0
suy ra z ∈ A nên z ∈ A ∩ g(P ). Vì Ker(µ) = A ∩ P ⊂
o
P nên
g(Kerµ) ⊂
o
g(P ), suy ra A ∩ g(P ) ⊂
o
g(P ) hay g(P ) là một bù cộng
của A chứa trong B.
Bây giờ ta chứng minh mọi môđun con bù cộng của M đều là một
hạng tử trực tiếp của M. Giả sử X là một môđun con bù cộng của M
và Y là bù cộng của X trong M. Xét biểu đồ

P




H1

H2

/
M
A
M

B

p
i
f
g
0
π

H

V
0
f
f

X
/
M
X
Y
f
π

M

p
0
/
M
V
M

p
f
0
/UV



1

M

2
M

*
/
M
D
ϕ
0
trong đó p, π lần lượt các phép chiếu tự nhiên p : M → M/X,
π : Y → M/X. Vì M là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f : M → Y thỏa
mãn π.f = p. Vì π.f(X) = p(X) = 0 nên f(X) ⊆ X. Ta có
M = f(M) + X = f(X + Y ) + X = f(X) + f(Y ) + X = f(Y ) + X
Do tính tối tiểu của Y nên f(Y ) = Y , khi đó M = Y + Kerf. Vì
Kerf ⊆ X và từ tính tối tiểu của X suy ra Kerf = X. Ta có
Kerf = X = Kerp = Ker(π.f).
Giả sử a ∈ X ∩ Y , khi đó a = f(b) với b ∈ Y . Ta có
0 = π(a) = π(f(b)) = b + X,
kéo theo b ∈ X = Kerf. Thế thì a = 0 nên X ∩ Y = 0. Do đó, X là
hạng tử trực tiếp của M, theo 2.2.2 ta có M là lifting.
22
2.2.6 Định nghĩa. (i) R-môđun M gọi là có phủ xạ ảnh nếu có một
R-môđun xạ ảnh P và toàn cấu g : P → M với Kerg ⊂
o
P .
(ii) Vành R gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều có phủ
xạ ảnh.
2.2.7 Định lý. Đối với một vành R, các điều kiện sau đây là tương

đương:
(1) R là vành hoàn chỉnh phải;
(2) Mọi R-môđun có tính bù cộng;
(3) Mọi R-môđun tựa xạ ảnh có (D
1
) và (D
2
);
(4) Mọi môđun con của một R-môđun tự do bất kỳ đều có bù cộng.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử R là vành hoàn chỉnh phải và M là
R-môđun. Với A, B ⊆ M, giả sử A + B = M. Vì R là hoàn chỉnh nên
M/A có phủ xạ ảnh, đó là môđun xạ ảnh P và toàn cấu p : P → M/A,
trong đó Kerp ⊂
o
P .
Đặt π : B → M/A xác định bởi π(b) = b + A với mọi b ∈ B, là phép
chiếu chính tắc hạn chế trên B. Do A + B = M nên π là một toàn cấu.
Ta có biểu đồ

P
/
M
A
B

π

g
p
0

Vì P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu g : P → B sao cho π.g = p. Với
mỗi x ∈ M, ta có x + A = p(u) = π(g(u)) = g(u) + A, với u ∈ P. Từ
đó, x ∈ g(P ) + A và M = A + g(P ).
Mặt khác, nếu g(u) ∈ A, u ∈ P thì p(u) = π(g(u)) = 0. Do vậy,
g(P ) ∩ A ⊂ g(Kerp). Bởi định nghĩa phủ xạ ảnh ta có Kerp ⊂
o
P , kéo
theo g(Kerp) ⊂
o
g(P ). Vì vậy, g(P ) là bù cộng của A chứa trong M.
Thế thì M có tính bù cộng.
23
(2) ⇒ (3) Giả sử M là R-môđun tựa xạ ảnh và có tính bù cộng. Theo
1.4.5 và 2.2.5, M có tính chất (D
1
) và (D
2
).
(3) ⇒ (4) là hiển nhiên.
(4) ⇒ (1) Giả sử M là R-môđun tùy ý và η : F → M là toàn cấu.
Theo định lý 2.2.5, F là lifting. Mặt khác, theo 2.2.2, F có sự phân tích
F = F
1
⊕ F
2
sao cho F
1
⊆ Kerη và F
2
∩ Kerη ⊂

o
F
2
. Khi đó, rõ ràng
π = η|
F
2
: F
2
→ M là một phủ xạ ảnh của M. Do vậy, R là hoàn chỉnh.
2.2.8 Định lý. Nếu M là môđun lifting và M = M
1
⊕ M
2
thì M
1
, M
2
là các môđun lifting.
Chứng minh. Vì M lifting nên M có tính bù cộng, mà M
1
là hạng tử
trực tiếp của M suy ra M
1
cũng có tính bù cộng. Gọi K là một môđun
con đối đóng của M
1
và Z là môđun con của K sao cho K/Z ⊂
o
M/Z.

Vì K đối đóng trong M
1
nên K/Z không đối cốt yếu trong M
1
/Z, do đó
với mọi môđun con X sao cho Z ⊂ X ⊂ M
1
thì K + X = M
1
. Ta có
M = M
1
+ M
2
= K + X + M
2
,
mà K/Z ⊂
o
M/Z nên M = Z + X + M
2
= X + M
2
.
Mặt khác vì M
1
là bù cộng của M
2
trong M nên X = M
1

, mâu thuẫn,
do đó K là đối đóng trong M. Vì M lifting nên K là hạng tử trực tiếp
của M, suy ra K là hạng tử trực tiếp của M
1
. Vậy M
1
là môđun lifting.
Chiều ngược lại của định lý là không đúng. Chẳng hạn cho các Z−môđun
A = Z/8Z, B = Z/2Z. Ta có A, B là các môđun lõm nên A và B là các
môđun lifting nhưng M = A ⊕ B không là môđun lifting. Thật vậy, cho
U là môđun con của M sinh bỡi (2 + 8Z, 1 + 2Z). Khi đó U không đối
cốt yếu trong M và U không chứa hạng tử trực tiếp khác không nào của
M.
Vậy với điều kiện nào thì tổng trực tiếp của hai môđun lifting là lifting,
ta có kết quả sau
24
2.2.9 Định lý. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2
là các môđun lifting,
M
1
là M
2
−xạ ảnh và M

2
là M
1
−xạ ảnh. Khi đó, M là lifting.
Chứng minh. Gọi A là môđun con của M, theo [8, 2.16] tồn tại hạng
tử trực tiếp A
∗
của M là tối đại sao cho A
∗
⊂
o
A. Giả sử M = A
∗
⊕ B,
khi đó A = A
∗
⊕ A ∩ B, ta cần chứng minh C = A ∩ B ⊂
o
M. Giả sử
ngược lại, C không đối cốt yếu trong M, tồn tại môđun con D của M,
D = M sao cho M = C + D. Gọi D
∗
là hạng tử trực tiếp của M tối đại
sao cho D
∗
⊂
o
D.
Xét π
1

: M → M
1
, π
2
: M → M
2
là các phép chiếu tự nhiên. Vì
D
∗
⊂
o
π
1
(D
∗
)⊕π
2
(D
∗
) và M
1
, M
2
là các môđun lifting nên π
1
(D
∗
) = M
1
hoặc π

2
(D
∗
) = M
2
. Giả sử π
1
(D
∗
) = M
1
ta có M = D
∗
+ Kerπ
1
, khi đó
Kerπ
1
= M
2
. Vì M
1
là M
2
−xạ ảnh và M = D
∗
+ M
2
nên ta có biểu đồ
giao hoán

P




H1

H2




















/

M
A
M

B

p
i
f
g
0
π

H

V
0
f
f

X
/
M
X
Y
f
π

M

p
0
/
M
V
M

p
f
0
/UV



1
M

2
M

*
/
M
D
ϕ
0
Xét D
∗∗
= {x − ϕ(x)|x ∈ M
1

}, khi đó D
∗∗
⊂
o
D
∗
và M = D
∗∗
⊕ M
2
.
Ta có D
∗
= D
∗∗
⊕ D
∗
∩ M
2
, vì D
∗
∩ M
2
là hạng tử trực tiếp của M
2
nên
M
2
= D
∗

∩ M
2
⊕ M
2
. Khi đó
M = D
∗∗
⊕ M
2
= D
∗
⊕ D
∗
∩ M
2
⊕ M
2
= D
∗
⊕ M
2
.
Xét p : M = D
∗
⊕ M
2
→ M
1
là phép chiếu tự nhiên. Vì M = C + D ta
có M

1
= p(C) + p(D). Do M
1
là lifting nên M
1
= p(C) hoặc M
1
= p(D),
s uy ra M = C + Kerp hoặc M = D + Kerp.
Nếu M = C + Kerp thì tồn tại C
∗
⊂
o
C sao cho M = C
∗
⊕ Kerp,
khi đó A
∗
⊕ C
∗
mâu thuẫn với tính tối đại của A
∗
.
Nếu M = D + Kerp thì tồn tại H ⊂
o
D sao cho M = H ⊕ Kerp, khi
đó D
∗
⊕ H mâu thuẫn với tính tối đại của D
∗

.