Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………













LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor


1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’

d¯ ˆa
`
u 3
1 C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n6
1.1 B`ai to´an nˆo
.
isuyLagrange 6
1.1.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 B`ai to´an nˆo
.
isuyTaylor 7
1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyTaylor 7
1.2.2 D

-
ath´u
.
cnˆo
.
isuyTaylor 7
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyNewton 7
1.3.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyNewton 7
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
isuyNewton 7
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyHermite 8
1.4.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyHermite 8
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo

.
isuyHermite 8
2Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy 13
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo

.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng 18
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a c´ac cˆong th´u
.
cnˆo
.

i suy kh´ac . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyTaylor 28
2.2.2 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyNewton 31
2.2.3 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Ba`i tˆa
.
p 35
3
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe

˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng v`a xˆa
´
pxı
˙’
h`am sˆo
´
38
3.1 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
38
3.1.1 U

.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . 38
3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Chebyshev . . . . . . 41
3.2 Mˆo
.
tsˆo

´
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
47
3.3 Xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
theo d¯a th´u
.
cnˆo
.
isuy 50

2
3.4 Ba`i tˆa
.
p 54
Kˆe
´
t luˆa
.
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an 55
Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o 57
3
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`
u khi ta cˆa
`
n pha

’
ixa´cd¯i
.
nh gia´ tri
.
cu
’
amˆo
.
t ha`m
sˆo
´
f(x)ta
.
imˆo
.
td¯iˆe
’
m tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c, trong khi d¯o´d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
m´o
.

ichobiˆe
´
tmˆo
.
t
sˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu
’
a ha`m sˆo
´
va`cu
’
ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu
’
a no´ ta

.
i
mˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe
’
m x
1
,x
2
, ··· ,x
k
cho tru
.
´o
.
c.
V´o
.
inh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.

pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m
sˆo
´
P (x)da
.
ng d¯o
.
n gia
’
nho
.
n, thu
.

`o
.
ng la` ca´c d¯a th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
, tho
’
ama
˜
n ca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
d¯ a
˜
cho. Ngoa`i ra, ta
.
inh˜u
.
ng gia´ tri
.
x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o
.
i x
1
,x

2
, ··· ,x
k
, thı`
P (x) ≈ f(x) (xˆa
´
pxı
’
theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
a mˆo ta
’
trˆen d¯u
.
o

.
.
cgo
.
i la` ha`m nˆo
.
i suy
cu
’
a f(x); ca´c d¯iˆe
’
m x
1
,x
2
, ···,x
k
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´cnu´t nˆo
.

i suy va` ba`i toa´n
xˆay du
.
.
ng ha`m P(x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.
’
du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P (x), ta dˆe
˜
da`ng tı´nh d¯u

.
o
.
.
c gia´ tri
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i
chı´nh xa´c cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x)ta
.
i x ∈ R tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c. T`u
.
d¯ o´, ta co´ thˆe
’
tı´nh gˆa
`
n

d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu
’
a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n ra d¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng
trong thu
.
.
ctˆe

´
. Do d¯o´, viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
O
.
˙’
ca´c tru
.
`o
.
ng phˆo
’
thˆong, ly´ thuyˆe
´
tvˆe
`
vˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y khˆong d¯u

.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng
nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu
’
a no´ cu
˜
ng ”ˆa
’
nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a

’
ng ha
.
n trong ca´c
phu
.
o
.
ng trı`nh d¯u
.
`o
.
ng ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng trı`nh m˘a
.
tbˆa
.
c hai, trong ca´c d¯˘a
’
ng th ´u
.
cda
.
ng
phˆan th´u

.
cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n
Taylor d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.

c sinh gio
’
i ca´c cˆa
´
p.
Vı` vˆa
.
y, viˆe
.
c hı`nh tha`nh mˆo
.
t chuyˆen d¯ˆe
`
cho
.
nlo
.
cnh˜u
.
ng vˆa
´
nd¯ˆe
`
co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe

`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
igo´cd¯ˆo
.
toa´n phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a
no´ trong qua´ trı`nh gia
’
imˆo
.
tsˆo
´

da
.
ng toa´n kho´ la` rˆa
´
tcˆa
`
n thiˆe
´
t. Ho
.
nn˜u
.
a, chuyˆen
d¯ ˆe
`
na`y cu
˜
ng co´ thˆe
’
la`m ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o cho ca´c gia´o viˆen gio
’
iva` ca´c sinh viˆen
nh˜u
.
ng n˘am d¯ˆa
`

ucu
’
abˆa
.
cd¯a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.
’
ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´

n sa´ ch chuyˆen
kha
’
o [2] ra d¯`o
.
i. D
-
ˆay v`u
.
a la` mˆo
.
t thuˆa
.
nlo
.
.
iv`u
.
ala`mˆo
.
t kho´ kh˘an cho nˆo
˜
lu
.
.
c tı`m kiˆe
´
m
4
nh˜u

.
ng ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´
gia´, trong khi d¯o´hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.

cˆa
´
p na`o d¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
nve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´

g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` nh˜u
.
ng ´u

.
ng du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`
khai triˆe
’
n Taylor.
Luˆa
.
n v˘an da`y 56 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nMu
.
clu
.
c, Mo

.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung,
kˆe
´
t luˆa
.
nva` ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o:
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’

n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy
cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n, d¯o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.

i suy
Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng nˆo

.
i dung tro
.
ng tˆam cu
’
a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng
o
.
’
phˆo
’
thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu

’
a no´ d¯u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p
tha`nh mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’
i toa´n kha´ d¯a

da
.
ng va`mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
pd¯ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a
’
ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng

phˆan th´u
.
c co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t
hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i toa´n thi cho
.
nho
.

c sinh gio
’
i quˆo
´
cgiava` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia
’
ib˘a
`
ng
ca´ch a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la
.

icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.
p da`nh cho ba
.

nd¯o
.
ccu
˜
ng
d¯ u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.
’
phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o
.

ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu
.

o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng
va`xˆa
´
pxı
’

ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa

.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c
gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
phˆa
`
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜

d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i
nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.

su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu
’
aTiˆe
´
n
sy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.

i Thˆa
`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c,
truyˆe
`
nd¯a
.
t nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho

.
c
trong suˆo
´
t th`o
.
i gian nghiˆen c´u
.
ud¯ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
t
o
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
cd¯ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
y gia´o hu

.
´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
5
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.

n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n: Ban Gia´m
Hiˆe
.
u, Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho

.
c Qui
Nho
.
n, cu`ng quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
ccho
l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8. UBND tı
’
nh, So
.
’

gia´o du
.
cva` d¯a`o ta
.
otı
’
nh Gia Lai, Ban
Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai d¯a
˜
cho ta´c gia
’
co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y

cˆo gia´o cu
’
a nha` tru
.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
id¯iˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
n
lo
.
.
id¯ˆe
’

ta´c gia
’
nghiˆen c´u
.
uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng
viˆen cu
’
a ca´c ba
.
nd¯ˆo
`

ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi
.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VI I, VIII,
XIX cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa

´
tca
’
nh˜u
.
ng
su
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.

pva`
nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´t nhiˆe
`
u
ha
.
nchˆe
´
vˆe
`
th`o
.

i gian cu
˜
ng nhu
.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe
’
ubiˆe
´
tnˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n
khˆong thˆe
’
tra´nh kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.

nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a
quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
cd¯ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u

.
o
.
.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng n˘am 2008
Ta´c gia
’
6
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o

.
ng na`y, luˆa
.
nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng
o
.
’
ca´c chu
.

o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i
toa´n nˆo
.
i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia
’
i cho ca´c ba`i toa´n na`y la`
ca´c d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´

td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o

.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha
˜
yxa´c
d¯ i
.
nh d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N −1 va` tho
’
aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N
.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo

.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u
L
i
(x)=
N

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ··· ,N.
Khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
L(x)=
N

i=1
a
i
L
i
(x)

la` d¯a th ´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
i
d¯a th´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
7
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor

1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´
bˆa
.
c degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe

.
n
T
i
(x
0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ··· ,N − 1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1

i=0
a
i
i!
(x − x
0

)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th ´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.

i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ··· ,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N(x) co´bˆa
.
c
degN(x) ≤ N −1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`

ukiˆe
.
n
N
i−1
(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ··· ,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ··· ,x
i
,x)=


x
x
1

t
x
2

t
1
x
3
···

t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ··· ,N.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
N(x)=
N


i=1
a
i
R
i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R

N −1
(x
1
, ···,x
N −1
,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo

.
i suy Newton
8
Nhˆa
.
n xe´t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ··· ,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i

x
0
, ···,x

0
  
i lˆa
`
n
,x

=

x
x
0

t
x
0

t
1
x
0
···

t
i−2
x
0
dt
i−1
dt

2
.dt
1
.dt
=
(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N

i=1
a
i
R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`

n
,x

=
= a
0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1

x
0
, ···,x
0
  
N −1 lˆa
`

n
,x

= a
0
+ a
1
(x −x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1

i=0
a
i
(x − x

0
)
i
i!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
c
nˆo
.
i suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo

´
thu
.
.
c x
i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ··· ,p
i
− 1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
i
mo
.
i i = j, trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u

.
c H(x) co´bˆa
.
c
degH(x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe

.
u
W (x)=
n

j=1
(x −x
j
)
p
j
;
9
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
p

j
; i =1, 2, ··· ,n
Go
.
i d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
− 1 − k,v´o
.
i k =0, 1, ··· ,l; l =
0, 1, ···,p
i
− 1, ta
.
i x = x
i
cu
’
a ha`m sˆo
´
1

W
i
(x)
(i =1, 2, ··· ,n)la`
T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k

l=0

1
W
i
(x)

(l)

(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
H(x)=
n

i=1
p
i
−1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i

(x)T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.

i suy Hermite va`tago
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)

N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n
T

1
W
1
(x)

(N −1−k)
(x=x
1
)
= T

1

(N −1−k)
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1


k=0
a
k1
(x − x
1
)
k
k!
≡ T (x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i

= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´
p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
10
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N

j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N

j=1,j=i
(x −x
j
),i=1, 2, ··· ,N.

khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor
T

1
W
i
(x)

0
(x=x
i
)
=
1
W
i
(x
i
)
=
1
N

j=1,j=i
(x
i

− x
j
)
,i=1, 2, ··· ,N.
Vˆa
.
y, ta co´
H(x)=
N

i=1
a
0i
N

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo

.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qua´t, viˆe
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nd¯ath´u
.
c Hermite kha´ ph´u
.
cta
.
p. Du
.
´o

.
i
d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia
’
n kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi
hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’

ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.
c nhˆa
´
t.
Nhˆa
.
n xe´t 1.4.
Nˆe
´
u p
i
= 2, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n, thı` khi d¯o´ k = 0 ho˘a
.
c k =1.
+V´o
.
i k = 0, ta co´
T

1
W

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
=
1

l=0

1
W
i
(x)


(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x −x

i
)
=
1
W
i
(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

, v´o
.
i i =1, 2, ··· ,n.
+V´o

.
i k = 1, ta co´
T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)
=
0

l=0


1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x −x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W

i
(x
i
)
W

2
i
(x
i
)
(x − x
i
)=
1
W
i
(x
i
)
.
11
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
n

i=1
1

k=0
a
ki
(x − x
i
)
k

k!
W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n

i=1

a
0i
W
i
(x)T

1
W
i

(x)

(1)
(x=x
i
)
+a
1i
(x − x
i
)W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(0)
(x=x
i
)

=
n

i=1
W
i

(x)

a
0i
1
W
i
(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x −x
i
)

+a
1i
(x − x

i
)
1
W
i
(x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i

1 −
W

i
(x

i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)


a
0i
−

a
0i
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
− a
1i

(x −x
i
)

.
Ngoa`i ra, trong phˆa
`
n ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, ta d¯a

˜
biˆe
´
tr˘a
`
ng
L
i
(x)=
n

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ··· ,n
va`
L
i
(x
j
)=



1, khi i = j
0, khi i = j.

Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.
Vˆa
.
y
W
i
(x)
W
i
(x
i
)
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
2
(x
i
− x
j
)

2
= L
2
i
(x); i = 1,n.
D
-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu
’
ad¯˘a
’
ng th ´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W

i
(x)
W
i
(x

i
)
=2L
i
(x)L

i
(x)=2L

i
(x
i
).
Do d¯o´, d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p na`y co´ da
.
ng
H(x)=
n


i=1
L
2
i
(x)

a
0i
−

2a
0i
L

i
(x
i
) −a
1i

(x − x
i
)

.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo

.
tva`i minh ho
.
a cho viˆe
.
cvˆa
.
ndu
.
ng ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy (do ta´c
gia
’
sa´ng ta´c)
12
Ba`i toa´n 1.1. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c 4, tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.

n sau:
P (−1)=3a +1(a>0) ; P

(0) = 0;
P

(1) = 4(3 + a); P
(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P ( x)+P

(x)+P

(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Gia
’
i.
´

Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor (v´o
.
i N = 3), ta tı`m d¯u
.
o
.
.
c
P (x)=x
4
+2ax
2
+ a (a>0)
Suy ra:
P

(x)=4x
3
+4ax ;
P

(x)=12x
2
+4a ;

P
(3)
(x)=24x ;
P
(4)
(x)=24 .
Do d¯o´:
Q(x)=(x
2
+2x)
2
+2a(x +1)
2
+3a +8(x
2
+3x +3)> 0, ∀x ∈ R
Ba`i toa´n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho
’
ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P

(2007) ≤ 0,P

(2007) ≤ 0, ···, (−1)

n
P
(n)
≤ 0;
P (2008) > 0,P

(2008) ≥ 0,P

(2008) ≥ 0, ···,P
(n)
(2008) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
a P (x) thuˆo
.
c (2007; 2008).
Gia
’
i.
´
Ap du

.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, ta co´:
P (x)=P ( b)+
P

(b)
1!
(x − b)+
P

(b)
2!
(x − b)
2
+ ···+
P
(n)
(b)
n!
(x − b)
n
, v´o
.
i b = 2008.
Do d¯o´, Nˆe
´

u x ≥ b thı` P(x) khˆong co´ nghiˆe
.
m x ≥ b.
V´o
.
i a = 2007, a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor, ta co´
P (x)=P (a)+
−P

(a)
1!
(a −x)+
P

(a)
2!
(a −x)
2
+ ···+
(−1)
n
P
(n)
(a)

n!
(a − x)
n
.
Do d¯o´, nˆe
´
u x<athı` P(x) khˆong co´ nghiˆe
.
m x ≤ a.
Vˆa
.
y ca´c nghiˆe
.
m pha
’
i thuˆo
.
c (2007; 2008).
13
Chu
.
o
.
ng 2
Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy
Chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy, trong d¯o´d¯ˆe
`

cˆa
.
p sˆau ho
.
nd¯ˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, cˆong th´u
.
c co´ nhiˆe
`
u´u
.
ng du
.
ng d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´ o
.

’
hˆe
.
phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n.
Vˆa
´
nd¯ˆe
`
´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy trong u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va`xˆa
´
pxı

’
ha`m sˆo
´
la` hai
nˆo
.
i dung quan tro
.
ng va`tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i kho´, v´o
.
inh˜u
.
ng ky
˜
thuˆa
.
tch´u
.
ng minh kha´ ph´u
.
c
ta
.
p, d¯u

.
o
.
.
c trı`nh ba`y o
.
’
chu
.
o
.
ng sau.
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th ´u
.
cnˆo
.
i suy La-
grange
2.1.1 Cˆong th´u
.

cnˆo
.
i suy Lagrange
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 2.1. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2
, ··· ,x
n
phˆan biˆe
.
tva`n sˆo
´
a
1
,a
2
, ···,a
n
tu`y y´.
Thˆe
´

thı` tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
ibˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n−1, tho
’
ama
˜
n
P (x
j
)=a
j
; ∀j =1, 2, ···,n. (2.1)
D

-
ath´u
.
cco´da
.
ng
n

j=1
a
j
n

i=1,ı=j
x − x
i
x
j
− x
i
(2.2)
D
-
ath´u
.
c (2.2) d¯u
.
o
.
.

cgo
.
i la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange ho˘a
.
c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy
Lagrange. Ca´c sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x
n
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´c nu´t nˆo
.

i suy.
14
+V´o
.
i n = 2, d¯a th´u
.
cd¯o´la`
P (x)=a
1
x − x
2
x
1
− x
2
+ a
2
x − x
1
x
2
− x
1
. (2.3)
Ky´ hiˆe
.
u degP (x) la` bˆa
.
ccu
’

a P(x). Thˆe
´
thı`
degP (x) ≤ 1va` P (x
1
)=a
1
; P (x
2
)=a
2
.
+V´o
.
i n = 3, d¯a th´u
.
cd¯o´la`
P (x)=a
1
(x − x
2
)(x − x
3
)
(x
1
− x
2
)(x
1

− x
3
)
+ a
2
(x − x
3
)(x − x
1
)
(x
2
− x
3
)(x
2
− x
1
)
+ a
3
(x − x
1
)(x − x
2
)
(x
3
− x
1

)(x
3
− x
2
)
. (2.4)
Ro
˜
ra`ng degP (x) ≤ 2va` P(x
1
)=a
1
,P(x
2
)=a
2
),P(x
3
)=a
3
.
()T`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´
D
-

i
.
nh nghı
˜
a 2.2. Cho n sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x
n
phˆan biˆe
.
t. Thˆe
´
thı` mo
.
id¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.

t qua´ n − 1 d¯ ˆe
`
uco´thˆeviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
P (x)=
n

j=1
P (x
j
)
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
. (2.5)
Nhˆa
.

n xe´t 2.1. (
´
Y nghı
˜
a hı`nh ho
.
c)
D
-
ath´u
.
c (2.3) va` (2.4) kha´ quen thuˆo
.
c trong chu
.
o
.
ng trı`nh toa´n phˆo
’
thˆong. Ta
thu
.
’
d¯i tı`m y´ nghı
˜
a hı`nh ho
.
ccu
’
a chu´ng, ch˘a

’
ng ha
.
n (2.4).
Gia
’
su
.
’
r˘a
`
ng, trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad¯ˆo
.
Oxy cho 3 d¯iˆe
’
m A(x
1
; y
1
),B(x
2
; y
2
),C(x

2
; y
2
),
v´o
.
i x
1
,x
2
.x
3
kha´c nhau t`u
.
ng d¯ˆoi mˆo
.
t.
Thˆe
´
thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯u
.
`o

.
ng cong y = P (x), trong
d¯ o´ la` d¯a th´u
.
cv´o
.
i degP (x) ≤ 2, tho
’
ama
˜
n
P (x
1
)=y
1
(nghı
˜
a la` d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
m A);
P (x
2
)=y
2
(nghı
˜

a la` d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
m B);
P (x
3
)=y
3
(nghı
˜
a la` d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
mC).
Ho
.
nn˜u
.
a, d¯u
.
`o
.
ng cong co`n co´ phu
.

o
.
ng trı`nh cu
.
thˆe
’
la` y = P (x), tro`n d¯o´ P(x)co´
da
.
ng (2.4) va`ca´chˆe
.
sˆo
´
a
j
chı´nh la` y
j
,j=1, 2, 3.
+V´o
.
i degP (x)=2,d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` parabol d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C.
+V´o
.
i degP (x) = 1, d¯ˆo

`
thi
.
y = P (x) la` d¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C,
khˆong cu`ng phu
.
o
.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
15
+V´o
.
i degP (x) = 0, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x) la` d¯u
.

`o
.
ng th˘a
’
ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C,
cu`ng phu
.
o
.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
V´o
.
i ca´c minh ho
.
a trˆen ta thˆa
´
yr˘a
`
ng, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange chı´nh la` ”ca´c
gˆo

´
c” cu
’
amˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng trı`nh d¯u
.
`o
.
ng cong (ho˘a
.
cd¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe
’
m
cho tru
.
´o
.

c trong m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad¯ˆo
.
.
D
-
o´ la` ”ca´i gˆo
´
c” nhı`n du
.
´o
.
i go´c d¯ˆo
.
hı`nh ho
.
c.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay, v´o
.
imˆo
.

t go´c nhı`n kha´c, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange co`n la` ”ca´i gˆo
´
c” cu
’
a
hˆa
`
uhˆe
´
t ca´c d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
cda
.
ng phˆan th´u
.
c.
Nhˆa
.
n xe´t 2.2.
V´o
.
i d¯a th´u

.
c P (x)co´ degP (x) ≤ n −1 cho tru
.
´o
.
c, ca´c sˆo
´
a
j
trong (2.2) d¯u
.
o
.
.
c thay
bo
.
’
i P(x
j
), v´o
.
i j =1, 2, ···,n.
Bˆay gi`o
.
ta thu
.
’
d¯i tı`m mˆo
.

t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a (2.5).
Gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
, ···,x
n
la` n sˆo
´
thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t, n ≥ 2. Xe´t d¯a th´u
.
c
P (x)=x
n

−
n

i=1
(x − x
i
). (2.6)
D
-
ath´u
.
c na`y d¯u
.
o
.
.
c khai triˆe
’
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
P (x)=S
1
x
n−1
− S

2
x
n−2
+ S
3
x
n−3
−···+(−1)
n+1
S
n
, (2.7)
trong d¯o´
S
1
= x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
;
S
2
= x
1
x
2
+ x
1

x
3
+ ···+ x
n−1
x
n
;
···
S
n
= x
1
x
2
···x
n
(2.8)
Bo
.
’
i (2.7), ta thˆa
´
yr˘a
`
ng degP (x) ≤ n − 1.
Ngoa`i ra, t`u
.
da
.
ng (2.6), ta co´

P (x
j
)=x
n
j
; ∀j ∈{1, 2, ···,n}.
T`u
.
d¯ o´,a´pdu
.
ng (2.5), ta co´
n

j=1
x
n
j
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
(2.9)
16
Dˆe
˜

thˆa
´
yr˘a
`
ng vˆe
´
pha
’
icu
’
a (2.9) la` d¯a th´u
.
cco´hˆe
.
sˆo
´
d¯ ´u
.
ng tru
.
´o
.
c x
n−1
la`
n

j=1
x
n

j

n
i=1,i=j
(x
j
− x
i
)
. (2.10)
Bo
.
’
i (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), ta co´
n

j=1
x
n
j

n
i=1,i=j
(x
j
− x
i
)
=
n


j=1
x
j
. (2.11)
D
-
˘a
’
ng th´u
.
c (2.11) la` mˆo
.
td¯˘a
’
ng th´u
.
c liˆen quan d¯ˆe
´
n phˆan th´u
.
c, thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p trong
chu
.

o
.
ng trı`nh toa´n phˆo
’
thˆong.
Ta thu
.
’
minh ho
.
amˆo
.
tva`i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng cu
’
a cˆong th´u
.
c (2.11).
+V´o
.
i n = 2, ta co´
x
2
1

x
1
− x
2
+
x
2
2
x
2
− x
1
= x
1
+ x
2
hay
x
2
1
− x
2
2
x
1
− x
2
= x
1
+ x

2
(2.12)
Ta thˆa
´
yr˘a
`
ng, d¯˘a
’
ng th´u
.
c (2.12) chı´nh la` mˆo
.
td¯˘a
’
ng th ´u
.
c quen thuˆo
.
c.
+V´o
.
i n = 3, ta co´
x
3
1
(x
1
−x
2
)(x

1
− x
3
)
+
x
3
2
(x
2
− x
3
)(x
2
− x
1
)
+
x
3
3
(x
3
− x
1
)(x
3
− x
2
)

= x
1
+x
2
+x
3
. (2.13)
T`u
.
d¯ ˘a
’
ng th ´u
.
c (2.13), co´ thˆe
’
sa´ng ta´c tha`nh mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.
p, ch˘a
’
ng ha
.
n
Vı´ du
.
2.1. Ch´u
.

ng minh r˘a
`
ng v´o
.
i3sˆo
´
nguyˆen bˆa
´
t ky` kha´c nhau t`u
.
ng d¯ˆoi mˆo
.
t, sˆo
´
sau d¯ˆay cu
˜
ng la` mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen:
a
3
(a − b)(a − c)
+
b
3
(b − c)(b − a)
+
c

3
(c − a)(c − b)
.
Vı´ du
.
2.2. Phˆan tı´ch d¯a th´u
.
c sau tha`nh nhˆan tu
.
’
:
x
3
y + y
3
z + z
3
x − x
3
z −y
3
x − z
3
y.
Theo hu
.
´o
.
ng trˆen, co´ thˆe
’

sa´ng ta´c d¯u
.
o
.
.
c kha´ nhiˆe
`
u ba`i tˆa
.
p phong phu´. Ngoa`i
ra, ta co`n co´ thˆe
’
so sa´nh S
2
,S
3
, , S
n
o
.
’
hai vˆe
´
cu
’
a (2.5) d¯ˆe
’
tı`m thˆem nh˜u
.
ng d¯˘a

’
ng
th ´u
.
c kha´c. Sˆo
´
d¯ ˘a
’
ng th ´u
.
c tı`m d¯u
.
o
.
.
cse
˜
phong phu´ thˆem lˆen nˆe
´
u ta tiˆe
´
ptu
.
cxe´t
nh˜u
.
ng d¯a th´u
.
c kha´c, v´o
.

i degP (x)  n − 1.
17
Bˆay gi`o
.
, ta tiˆe
´
ptu
.
c tı`m kiˆe
´
m thˆem ca´c d¯˘a
’
ng th ´u
.
c theo mˆo
.
thu
.
´o
.
ng kha´c.
V´o
.
i n sˆo
´
phˆan biˆe
.
t x
1
,x

2
, , x
n
, xe´t d¯a th´u
.
c:
ω(x)=
n

i=1
(x − x
i
).
Ro
˜
ra`ng degω(x)=n.
Thˆe
´
thı`
ω

(x)=
n

j=1
n

i=1,i=j
(x −x
i

),
v´o
.
i degω

(x)=n − 1.
V´o
.
imˆo
˜
i j ∈{1, 2, , n}, ta co´
ω

(x
j
)=
n

i=1,i=j
(x
j
−x
i
).
Bˆay gi`o
.
,v´o
.
imˆo
˜

i j ∈{1, 2, , n}, ta xe´t ha`m
ω
j
(x)=
ω(x)
(x − x
j
)ω

(x
j
)
=
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
. (2.14)
Nhˆa
.
n xe´t r˘a
`
ng, v´o
.
imˆo

˜
i j ∈{1, 2, , n}, (2.10) la` mˆo
.
t d¯a th´u
.
cva` degω
j
(x)=
n − 1. D
-
ath´u
.
c na`y co´ tı´nh chˆa
´
t
ω
j
(x
k
)=0,v´o
.
i k = j;
ω
j
(x
k
)=1,v´o
.
i k = j.
Bˆay gi`o

.
,nˆe
´
u d¯a th´u
.
c P (x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
, a
n
= 0, co´ n
nghiˆe
.
m thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t x
1
,x

2
, , x
n
, thı` P (x)=a
n
ω(x).
Do d¯o´, v´o
.
imˆo
˜
i j ∈{1, 2, , n}, ta co´
P

(x
j
)=a
n
ω

(x
j
)
hay
ω

(x
j
)=
P


(x
j
)
a
n
.
Vˆa
.
y, v´o
.
imˆo
˜
i j ∈{1, 2, , n}, (2.10) co`n viˆe
´
td¯u
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
ω
j
(x)=
a

n
ω(x)
(x − x
j
)P

(x
j
)
=
n

i=1,i=j
x − x
i
x
j
− x
i
. (2.15)
Bˆay gi`o
.
, ta ha
˜
y tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.

ng cu
’
a (2.15) d¯ˆe
’
ta
.
oranh˜u
.
ng d¯˘a
’
ng th´u
.
cm´o
.
i.
Tro
.
’
la
.
iv´o
.
id¯ath´u
.
c P(x)=a
n
x
n
+ a
n−1

x
n−1
+ + a
1
x + a
0
, a
n
=0,n ≥ 2, co´
18
n nghiˆe
.
m thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
.
V´o
.
i n gia´ tri
.
phˆan biˆe
.

t x
1
,x
2
, , x
n
,a´pdu
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆo
´
i
v´o
.
i d¯a th´u
.
c f(x)=x
k
, k  n − 1, ta co´
x
k
=
n

j=1
x
k

j
ω
j
(x)
Bo
.
’
i (2.15), ta co´
x
k
=
n

j=1
x
k
j
ω(x)
(x − x
j
)ω

(x
j
)
= a
n
n

j=1

x
k
j

n
i=1,i=j
(x − x
i
)
P

(x
j
)
.
Biˆe
’
uth´u
.
c cuˆo
´
i cu`ng la` mˆo
.
t d¯a th´u
.
cco´hˆe
.
sˆo
´
cu

’
a x
n−1
la`
a
n
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
.
So sa´nh ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu
’
ad¯ath´u
.
c x
k
, ta d¯u
.

o
.
.
c ca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c sau:
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
=0, ∀k ∈{0, 1, 2, , n − 2}; (2.16)
n

j=1
x
k
j
P

(x
j

)
=
1
a
n
, v´o
.
i k = n − 1. (2.17)
2.1.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng
Phˆa
`
n tro
.
ng tˆam cu
’
a phˆa
`
n na`y tˆa
.
p trung va`o viˆe
.
ca´pdu

.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh
hoa
.
t cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i trong nu
.
´o
.

c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
Ba`i toa´n 2.1. Xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
b˘a
`
ng 3; 1; 7,ta
.
i x b˘a
`
ng −1;
0; 3 tu
.
o
.
ng ´u

.
ng.
Gia
’
i. Ta co´ x
1
= −1,x
2
=0,x
3
=3va` f(x
1
)=3,f(x
2
)=1,f(x
3
)=7.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange v´o
.
i n = 3, ta co´:
f(x)=f(−1)
(x − 0)(x − 3)
(−1 − 0)(−1 − 3)

+ f(0)
(x − 3)(x +1)
(0 − 3)(0 + 1)
+f(3)
(x + 1)(x − 0)
(3 + 1)(3 −0)
= x
2
−x +1.
19
Ba`i toa´ n 2.2. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d¯a th´u
.
c
f(x) co´bˆa
.
c khˆong l´o

.
nho
.
n n − 2, thı`:
T =
f(a
1
)
(a
1
− a
2
)(a
1
− a
3
) (a
1
− a
n
)
+ +
f(a
n
)
(a
n
− a
1
)(a

n
− a
2
) (a
n
− a
n−1
)
=0.
Gia
’
i. Theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange thı`, mo
.
id¯ath´u
.
c f(x) co´ bˆa
.
c khˆong l´o
.
n
ho
.
n n − 1d¯ˆe
`
uviˆe
´

td¯u
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng:
f(x)=f(a
1
)
(x −a
2
)(x −a
3
) (x −a
n
)
(a
1
− a
2
)(a
1
− a
3

) (a
1
− a
n
)
+ f(a
2
)
(x − a
1
)(x − a
3
) (x −a
n
)
(a
2
− a
1
)(a
2
− a
3
) (a
2
− a
n
)
+ + f(a
n

)
(x −a
1
)(x − a
2
) (x − a
n
)
(a
n
− a
1
)(a
n
−a
2
) (a
n
− a
n−1
)
.
Hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a x
n−1

o
.
’
vˆe
´
tra´i b˘a
`
ng 0, co`n hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a x
n−1
o
.
’
vˆe
´
pha
’
i la`:
T =
f(a
1
)
(a
1
− a

2
)(a
1
− a
3
) (a
1
− a
n
)
+ +
f(a
n
)
(a
n
− a
1
)(a
n
− a
2
) (a
n
− a
n−1
)
.
Suy ra d¯iˆe
`

u pha
’
ich´u
.
ng minh.
Ba`i toa´ n 2.3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d¯a th´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
iba
gia´ tri
.
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pcu
’
abiˆe
´

nsˆo
´
x, thı` d¯a th´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
imo
.
i x
nguyˆen.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
f(k −1), f(k), f(k + 1) la` nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen v´o
.
i k nguyˆen.
´
Ap du

.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange cho d¯a th´u
.
cbˆa
.
c hai f(x)v´o
.
ibasˆo
´
nguyˆen
k −1, k, k + 1, ta co´
f(x)=f(k −1)
(x − k)(x −k −1)
2
+ f(k)
(x − k + 1)(x − k − 1)
−1
+f(k +1)
(x − k)(x − k +1)
2
.
D
-
˘a
.
t m = x − k, ta co´

f(x)=f(k −1)
(m(m −1)
2
+ f(k)(m
2
−1) + f(k +1)
m(m +1)
2
.
Vı` tı´ch hai sˆo
´
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pchiahˆe
´
t cho 2, nˆen f(x) nguyˆen v´o
.
imo
.
i x
nguyˆen.
Ba`i toa´ n 2.4. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Go

.
i A
i
(i =1,2, , n) la`
phˆa
`
ndu
.
trong phe´p chia d¯a th´u
.
c f(x) cho x −a
i
.Ha
˜
y tı`m phˆa
`
ndu
.
r(x) trong phe´p
chia f(x) cho (x − a
1
)(x − a
2
) (x −a
n
).
20
Gia
’
i. Go

.
i q(x) la` thu
.
o
.
ng va` r(x) la` phˆa
`
ndu
.
trong phe´p chia f(x)cho
(x − a
1
)(x −a
2
) (x −a
n
)
Ta co´
f(x)=(x −a
1
)(x − a
2
) (x − a
n
).q(x)+r( x),
trong d¯o´ deg r(x) <n.
D
-
˘a
.

t x = a
i
(i =1, 2, , n)va`d¯ˆe
’
y´r˘a
`
ng A
i
= f(a
i
). Thˆe
´
thı`, ta co´ r(a
i
)=A
i
(i =1, 2, , n).
Nhu
.
vˆa
.
y,tabiˆe
´
td¯u
.
o
.
.
c ca´c gia´ tri
.

cu
’
a d¯a th ´u
.
c r(x) co´ bˆa
.
c nho
’
ho
.
n n ta
.
i n d¯ i ˆe
’
m
kha´c nhau a
1
,a
2
, , a
n
. Do d¯o´, a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´:
r(x)=A
1

(x −a
2
)(x − a
3
) (x −a
n
)
(a
1
− a
2
)(a
1
− a
3
) (a
1
− a
n
)
+ A
2
(x − a
1
)(x −a
3
) (x −a
n
)
(a

2
− a
1
)(a
2
− a
3
) (a
2
−a
n
)
+ + A
n
(x −a
1
)(x −a
2
) (x −a
n−1
)
(a
n
− a
1
)(a
n
− a
2
) (a

n
− a
n−1
)
=
n

i=1
A
i

j=1,j=i
x −a
j
a
i
−a
j
.
Ba`i toa´n 2.5. (Vˆo d¯i
.
ch Chˆau
´
A Tha´i Bı`nh Du
.
o
.
ng, 2001)
Trong m˘a
.

t ph˘a
’
ng v´o
.
ihˆe
.
tru
.
cto
.
ad¯ˆo
.
vuˆong go´c, mˆo
.
td¯iˆe
’
md¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯iˆe
’
m
hˆo
˜
nho
.

.
pnˆe
´
umˆo
.
t trong hai tha`nh phˆa
`
nto
.
ad¯ˆo
.
cu
’
ad¯iˆe
’
md¯o´ la` sˆo
´
h˜u
.
utı
’
, tha`nh
phˆa
`
n kia la` sˆo
´
vˆo tı
’
. Tı`m tˆa
´

tca
’
ca´c d¯a th´u
.
cco´hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c sao cho d¯ˆo
`
thi
.
cu
’
amˆo
˜
i
d¯a th´u
.
cd¯o´ khˆong ch´u
.
abˆa
´
t ky` d¯iˆe
’
mhˆo
˜

nho
.
.
p na`o ca
’
.
Gia
’
i. Ca´c d¯a th´u
.
ccˆa
`
n tı`m la` ca´c d¯a th´u
.
cbˆa
.
c1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
Thˆa
.
tvˆa

.
y, t`u
.
cˆong th´u
.
c nˆoi
.
suy Lagrange, ta co´ kˆe
´
t qua
’
sau d¯ˆay: Nˆe
´
u d¯a th´u
.
c f(x)
tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n f(r) ∈ Q v´o
.
imo
.
i r ∈ Q thı` tˆa
´

tca
’
ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a f(x)d¯ˆe
`
ula`
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
Vı` vˆa
.
y, nˆe
´
u d¯a thu´c co´ mˆo
.
thˆe
.
sˆo
´
vˆo tı
’

thı` se
˜
tˆo
`
nta
.
i r ∈ Q d¯ ˆe
’
f(r) vˆo tı
’
.Nhu
.
thˆe
´
,d¯ˆo
`
thi
.
cu
’
a d¯a th´u
.
c na`y pha
’
ich´u
.
a ı´t nhˆa
´
tmˆo
.

td¯iˆe
’
mhˆo
˜
nho
.
.
p.
Dˆe
˜
da`ng thˆa
´
yr˘a
`
ng ca´c d¯a th´u
.
cbˆa
.
c 0 (khi d¯o´, no´ d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
nb˘a
`
ng d¯u

.
`o
.
ng
th˘a
’
ng song song v´o
.
i tru
.
c hoa`nh) d¯ˆe
`
uco´ch´u
.
anh˜u
.
ng d¯iˆe
’
mhˆo
˜
nho
.
.
p.
Cu
˜
ng dˆe
˜
thˆa
´

yr˘a
`
ng ca´c d¯a th´u
.
cbˆa
.
c1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
(khi d¯o´, no´ d¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
u
diˆe
˜
nb˘a
`
ng mˆo
.

td¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng co´ hˆe
.
sˆo
´
go´c la` sˆo
´
h˜u
.
utı
’
) thı` khˆong ch´u
.
abˆa
´
t ky` d¯iˆe
’
m
hˆo
˜
nho
.
.
p na`o.
Tiˆe

´
p theo, xe´t d¯a th´u
.
c co´ bˆa
.
c n ≥ 2co´hˆe
.
sˆo
´
a
i
∈ Q
f(x)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
.
21
Khˆong mˆa
´
t tı´nh tˆo
’

ng qua´t, co´ thˆe
’
gia
’
su
.
’
r˘a
`
ng f(x) co´ ca´c hˆe
.
sˆo
´
nguyˆen, bo
.
’
i
vı` hai tˆa
.
pho
.
.
p nghiˆe
.
mcu
’
a hai phu
.
o
.

ng trı`nh f(x)=r va` af(x)=ar tru`ng nhau,
v´o
.
i a la` sˆo
´
nguyˆen (r la` sˆo
´
h˜u
.
utı
’
). Ho
.
nn˜u
.
a, nˆe
´
u ta kı´ hiˆe
.
u
g(x)=a
n−1
n
f

x
a
n

thı` g(x) la` d¯a th´u

.
cv´o
.
ica´chˆe
.
sˆo
´
nguyˆen, trong d¯o´hˆe
.
sˆo
´
d¯ ˆa
`
u tiˆen cu
’
a no´ b˘a
`
ng 1.
Phu
.
o
.
ng trı`nh f(x)=r co´ mˆo
.
t nghiˆe
.
m vˆo tı
’
nˆe
´

uva`chı
’
nˆe
´
uphu
.
o
.
ng trı`nh
g(x)=a
n−1
n
r co´ mˆo
.
t nghiˆe
.
mvˆotı
’
,cu
˜
ng thˆe
´
,nˆe
´
uva`chı
’
nˆe
´
uphu
.

o
.
ng trı`nh
f(x) −f(0) = r −f(0)
co´ mˆo
.
t nghiˆe
.
mvˆotı
’
.
To´mla
.
i la`, khˆong mˆa
´
t tı´nh tˆo
’
ng qua´t, ta co´ thˆe
’
gia
’
su
.
’
r˘a
`
ng f(x) co´ ca´c hˆe
.
sˆo
´

nguyˆen, v´o
.
i a
n
=1,a
0
=0.
Bˆay gi`o
.
,go
.
i r la` sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
d¯ u
’
l´o
.
nd¯ˆe
’
cho
r>max {f(1),x
1
,x
2
, , x
k
},
v´o

.
i {x
1
,x
2
, , x
k
} la` tˆa
.
ptˆa
´
tca
’
ca´c nghiˆe
.
m thu
.
.
ccu
’
aphu
.
o
.
ng trı`nh f(x) −x =0.
Khi d¯o´ f(1) <r<f(r). Vı` thˆe
´
, theo d¯i
.
nh ly´ gia´ tri

.
trung gian, tˆo
`
nta
.
i ı´t nhˆa
´
t
mˆo
.
tsˆo
´
s ∈ (1,r) sao cho
f(s) − r =0.
Gia
’
su
.
’
s ∈ Q, ta viˆe
´
t s = p/q,v´o
.
i p, q la` hai sˆo
´
nguyˆen tˆo
´
cu`ng nhau. Thay
va`o d¯˘a
’

ng th ´u
.
c trˆen, dˆe
˜
da`ng suy ra q = 1, d¯iˆe
`
u na`y co´ nghı
˜
a s la` mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen.
T`u
.
d¯ ˆa
´
y suy ra r | s, vˆo ly´, vı` ta co´ s ∈ (1,r).
Mˆau thuˆa
˜
n na`y ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng s la` sˆo
´
vˆo tı
’

, no´i ca´ch kha´c, d¯ˆo
`
thi
.
cu
’
a f(x)d¯i
qua mˆo
.
t ”d¯iˆe
’
mhˆo
˜
nho
.
.
p”.
Ba`i toa´n 2.6. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cc˘a
.
pd¯ath´u
.
c P (x) va` Q(x) co´bˆa
.
cbav´o
.
ica´c hˆe

.
sˆo
´
thu
.
.
c tho
’
ama
˜
n4d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n:
a) Ca
’
hai d¯a th´u
.
c nhˆa
.
n gia´ tri
.
0 ho˘a
.
c 1 ta
.
ica´c d¯iˆe
’
m x =1, 2, 3, 4;

b) Nˆe
´
u P(1) = 0 ho˘a
.
c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1;
c) Nˆe
´
u P(2) = 0 ho˘a
.
c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0;
d) Nˆe
´
u P (3) = 1 ho˘a
.
c P(4) = 1, thı` Q(1) = 0.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
kı´ hiˆe
.
u a
k
= P (k), b
k
= Q(k), v´o
.

i k =1, 2, 3, 4, co`n P (x)va` Q(x)
la` ca´c d¯a th´u
.
c tho
’
ama
˜
nd¯ˆe
`
ba`i. Khi d¯o´, ca´c sˆo
´
co´ bˆo
´
nch˜u
.
sˆo
´
a
1
a
2
a
3
a
4
va` b
1
b
2
b

3
b
4
khˆong thˆe
’
b˘a
`
ng sˆo
´
na`o trong ca´c sˆo
´
0000, 0110, 1001, 1111, vı` ca´c d¯a th´u
.
c P ( x)
va` Q(x ) co´ bˆa
.
c 3. M˘a
.
t kha´c, sˆo
´
a
1
a
2
a
3
a
4
khˆong thˆe
’

co´ da
.
ng 0a
2
1a
4
,0a
2
a
3
1, a
1
11a
4
22
hay a
1
1a
3
1, vı` nˆe
´
u khˆong thı` t`u
.
ca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nb)va` d) ta co´ b
1
=1va` b

1
= 0, vˆo lı´.
T`u
.
d¯ o´, theo d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n c) ta thˆa
´
yd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n ba`i toa´n tho
’
ama
˜
nv´o
.
iva`chı
’
v´o
.
i
7c˘a
.
psˆo
´
(a

1
a
2
a
3
a
4
; b
1
b
2
b
3
b
4
) la` (0100;1010), (1000;0010), (1000;1000), (1000;1010),
(1010;0010), (1011;0010) va` (1100;1010).
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta thay mˆo
˜
isˆo
´
c
1

c
2
c
3
c
4
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng va`o
ca´c d¯a th´u
.
c R(x), tho
’
ama
˜
n ca´c d¯˘a
’
ng th ´u
.
c P(k)=c
1
,v´o
.
i k =1, 2, 3, 4.
Khi d¯o´ ta nhˆa
.

nd¯u
.
o
.
.
c6d¯ath´u
.
ctu
.
o
.
ng ´u
.
ng sau
R
1
(x)=(−1/2)x
3
+(7/2)x
2
− 7x +4;
R
2
(x) =(1 /2)x
3
−4x
2
+ (19/2)x −6;
R
3

(x)=(−1/6)x
3
+(3/2)x
2
− (13/3)x +4;
R
4
(x)=(−2/3)x
3
+5x
2
− (34/3)x +8;
R
5
(x)=(−1/2)x
3
+4x
2
− (19/2)x +7;
R
6
(x) =(1 /3)x
3
−(5/2)x
2
+ (31/6)x − 2.
Nhu
.
vˆa
.

y, c˘a
.
p d¯a th´u
.
c(P (x); Q(x)) tru`ng v´o
.
imˆo
.
t trong ca´c c˘a
.
p(R
2
(x); R
4
(x)),
(R
3
(x); R
1
(x)), (R
3
(x); R
3
(x)), (R
3
(x); R
4
(x)), (R
1
(x); R

1
(x)), (R
5
(x); R
1
(x)), (R
6
(x); R
4
(x)).
Ba`i toa´n 2.7. (Vˆo d¯i
.
ch My
˜
- 1975)
D
-
ath´u
.
c P (x) bˆa
.
c n tho
’
ama
˜
nca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c P (k)=

1
C
k
n+1
,v´o
.
i k =0, 1, 2, , n.
Tı´nh P ( n +1).
Gia
’
i. V´o
.
i1 i  n,a´pdu
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´
P (x)=
n

k=0
1
C
k
n+1

i=k
x − i

k − i
=
n

k=0

i=k
(x − i)
C
k
n+1
(−1)
n−k
(n − k)!k!
=
n

k=0
(−1)
n−k
n +1− k
(n + 1)!

i=k
(x −i).
Suy ra
P (n +1)=
n

k=0

(−1)
n−k
n +1− k
(n + 1)!

i=k
(n +1− i)=
n

k=0
(−1)
n−k
.
Do d¯o´ P (n +1)=0nˆe
´
u n le
’
va` P ( n +1)=1nˆe
´
u n ch˘a
˜
n.
Ba`i toa´n 2.8. Gia
’
su
.
’
d¯a th ´u
.
c c

0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ + c
n
x
n
co´ gia´ tri
.
h˜u
.
utı
’
khi x
h˜u
.
utı
’
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng, tˆa
´
tca
’

ca´chˆe
.
sˆo
´
c
0
,c
1
,c
2
, , c
n
la` nh˜u
.
ng sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
23
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.

cnˆo
.
i suy Lagrange v´o
.
i a
k
= k (k =0, 1, 2, , n), ta co´
f(x)=
(−1)
n
f(0)
n!
(x − 1)(x − 2) (x − n)+
(−1)
n−1
f(1)
1!(n − 1)!
x(x − 2) (x − n)
+
(−1)
n−2
f(2)
2!(n − 2)!
x(x − 1)(x − 3) (x − n).
Theo gia
’
thiˆe
´
t, f(0), f(1), , f(n) la` nh˜u
.

ng sˆo
´
h˜u
.
utı
’
. Vı` vˆa
.
y, khai triˆe
’
nvˆe
´
pha
’
i
cu
’
ad¯˘a
’
ng th´u
.
c trˆen, ta thˆa
´
yr˘a
`
ng ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu

’
aca´clu
˜
yth`u
.
acu
’
a x d¯ ˆe
`
u la` nh ˜u
.
ng
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.D
-
ˆo
`
ng nhˆa
´
t d¯a th´u
.
co
.
’
hai vˆe

´
, suy ra ca´c sˆo
´
c
0
,c
1
,c
2
+ + c
n
,la`nh˜u
.
ng
sˆo
´
h˜u
.
utı
’
.
Lu
.
uy´:Cu
˜
ng co´ thˆe
’
a´p du
.
ng cˆong th´u

.
cnˆo
.
i suy Lagrange ta
.
i n +1d¯iˆe
’
m a
k
(k =0, 1, 2, , n)h˜u
.
utı
’
tu`y y´ va` kha´c nhau, thı` cu
˜
ng d¯i d¯ˆe
´
nkˆe
´
t qua
’
trˆen. Do d¯o´,
ta co´ kˆe
´
t qua
’
sau:
Nˆe
´
u d¯a th´u

.
cco´bˆa
.
c khˆong qua´ n va` co´ gia´ tri
.
h˜u
.
utı
’
ta
.
i n +1 d¯ i ˆe
’
mh˜u
.
utı
’
kha´c
nhau thı` ca´c hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a d¯a th´u
.
ccu
˜
ng la` sˆo
´

h˜u
.
utı
’
.
Ba`i toa´ n 2.9. Cho p la` mˆo
.
tsˆo
´
nguyˆen tˆo
´
va` P (x) ∈ Z[x] la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c s tho
’
a
ma
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
1) P(0) = 0, P (1) = 1.
2) P(n) ho˘a
.
c chia hˆe
´

t cho p ho˘a
.
cco´sˆo
´
du
.
b˘a
`
ng 1,v´o
.
imo
.
i n ∈ Z
+
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng: s ≥ p − 1.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
ngu
.
o

.
.
cla
.
i, s  p −2. Khi d¯o´, theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, ta co´
P (x)=
p−2

k=0
P (k)
p−2

j=0;j=k
(x − j)
p−2

j=0;j=k
(k −j)
=
p−2

k=0
P (k)
p−2

j=0;j=k

(x − j)
k!(−1)
p−k
(p − k − 2)!
.
Cho x = p −1, ta thu d¯u
.
o
.
.
c
P (p − 1) =
p−2

k=0
P (k)
p−2

j=0;j=k
(p − 1 − j)
k!(−1)
p−k
(p − k − 2)!
=
p−2

k=0
P (k)(−1)
p−k
C

k
p−1
.
Theo gia
’
thiˆe
´
t thı` p nguyˆen tˆo
´
,nˆenC
k
p−1
≡ (−1)
k
(mod p). Do d¯o´
P (p − 1)=(−1)
p
p−2

k=0
P (k)(modp).
24
Nˆe
´
u p = 2, thı` 1 = P(1) = (−1)
2
P (0) (mod p), vˆo ly´.
Nˆe
´
u p ≥ 3, thı` p le

’
va` vı` vˆa
.
y
P (p − 1) = −
p−2

k=0
P (k)(modp).
T`u
.
d¯ˆay suy ra
s = P (0) + P (1) + + P (p − 2) + P (p − 1) = 0(modp).
M˘a
.
t kha´c, do gia
’
thiˆe
´
t 2) thı` s = k (mod p)v´o
.
i0 n  p − 1va` P (n)=1
(mod p)nˆen 1  s  p − 1, t´u
.
cla`s = 0 (mod p), mˆau thuˆa
˜
nv´o
.
ikˆe
´

t luˆa
.
n trˆen.
Vˆa
.
yd¯iˆe
`
u gia
’
thiˆe
´
t s  p − 2 la` sai. Ta co´ d¯iˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh.
Ba`i toa´ n 2.10. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´c d¯a th´u
.
c P (x) co´bˆa
.
c nho
’
ho
.

n n (n ≥ 2) va` thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
n

k=0
(−1)
n−k−1
C
k
n
P (k)=0.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange v´o
.

ica´cnu´t nˆo
.
i suy x
k
= k ta co´, mo
.
i
d¯a th´u
.
c P(x) co´ bˆa
.
c nho
’
ho
.
n n d¯ ˆe
`
u co´ da
.
ng
P (x)=
n−1

k=0
P (x
k
)
(x − x
0
) (x −x

k−1
)(x − x
k+1
) (x −x
n−1
)
(x
k
− x
0
) (x
k
− x
k−1
)(x
k
− x
k+1
) (x
k
− x
n−1
)
nˆen ta co´
P (x)=
n−1

k=0
P (x
k

)
(x −0) (x − (k −1))(x − (k + 1)) (x −(n − 1))
(k −0) (k − (k − 1))(k − ( k + 1)) ( k −(n − 1))
.
Do d¯o´
P (n)=
n−1

k=0
P (x
k
)
(n − 0) (n − k + 1)( n −k −1) 1
k!(−1)
n−k−1
(n −k −1)!
=
n−1

k=0
(−1)
n−k−1
.C
k
n
P (k)
Suy ra
n

k=0

(−1)
n−k−1
C
k
n
P (k)=0.
Vˆa
.
y ca´c d¯a th´u
.
ccˆa
`
n tı`m co´ da
.
ng
P (x)=
n−1

k=0
P (x
k
)
n−1

i=0,i=k
x − x
i
k −i
=
n−1


k=0
a
k
n−1

i=0,i=k
x − x
i
k −i
v´o
.
i a
k
∈ R.