Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở chương tổ hợp và xác suất lớp 11

̀̀

PHÂN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................................................................................................................................3

1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................. 3
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 3
4. Phương pháp nghiên cứu...........................................................................3
̀̀

PHÂN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU........................................................................................................................................................................4

1. Cơ sở lý luận và thực tiễn...........................................................................4
1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo................................................4
1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mơn
tốn............................................................................................................... 5
1.3. Thực trạng vấn đề................................................................................. 6
2. Nội dung Đề tài............................................................................................6
2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài tốn dưới nhiều
góc độ khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài tốn, phân tích tìm
cách giải hay.................................................................................................6
2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo các bài toán mới bằng
các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự hóa...............12
2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa:.......12
2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái qt hóa:.....13
2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo các bài toán mới
bằng thao tác tư duy đặc biệt hóa:
....................................................................17

2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua
tìm sai lầm từ lời giải các bài toán............................................................ 18

3. Thực nghiệm.............................................................................................. 25
3.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................ 25
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm........................................................ 25
3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm.............................................................28
* Đánh giá định tính....................................................................................28
*Đánh giá định lượng................................................................................. 28
̀̀

PHÂN 3. KẾT LUẬN..................................................................................................................................................................................................31

TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................32

2


̀̀
PHÂN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Bài tập của chương Tổ hợp – Xác suất (đại số và giải tích lớp 11) là một
nội dung khá phong phú về cách ra đề và ln có trong đề thi THPT Quốc gia cũng
như đề thi học sinh giỏi. Phương pháp giải các bài toán Tổ hợp- Xác suất thiên về tư
duy logic và tư duy thuật toán nên những học sinh “yếu” về năng lực giải quyết vần
đề thường gặp khó khăn trong giải các bài tập tốn phần này.
1.2. Trước thực trạng đó, bản thân tơi ln tìm tịi các cách dạy học sao cho học
sinh biết: Gạt bỏ những thuộc tính hình thức và giữ lại những thuộc tính bản chất của
bài tốn; Thấy được khơng chỉ một bài tốn mà cịn phải thấy được một lớp các bài
toán tương tự; Xây dựng được các bài tốn từ bài tốn gốc…Qua đó, khơi dậy sự
hứng thú trọng học tập của học sinh; bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và phát
huy tính sáng tạo .
1.3. Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục của nước ta trong giai

đoạn hiện nay là: “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Theo định hướng này
này, song song với hoạt động dạy học nội dung kiến thức là hoạt động hình thành và
phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi. Chương trình SGK mới chỉ ra một số
năng lực chung như: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Ngồi ra cịn có các năng lực chun mơn được
hình thành và phát triển thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định
như: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính tốn, năng lực khoa học, năng lực thẩm mỹ,
năng lực thể chất, năng lực tin học, năng lực công nghệ.
Từ mục đích trên, tơi nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn
đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp
và xác suất lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số tình huống có vấn đề trong giải bài tập Tổ hợp – Xác suất.
Học sinh giải quyết được tình huống có vấn đề (dưới sự hướng dẫn của giáo viên).
Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 11;
- Giáo viên toán THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, quan sát, điều tra thực tiễn, thực nghiệm….

3


̀̀
PHÂN II. NỘI DUNG NGHIÊN
CỨU 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong các năng lực chung mà

chương trình GDPT 2018 hướng tới. Các thành tố của năng lực này bao gồm :
- Nhận ra ý tưởng mới;
- Phát hiện và làm rõ vấn đề;
- Hình thành và triển khai ý tưởng mới;
- Đề xuất, lựa chọn giải pháp; - Thiết kế, tổ chức hoạt động;
- Tư duy độc lập.
Các biểu hiện của các thành tố này đối với học sinh THPT được tóm tắt trong bảng

sau:
Thành tố năng lực
Nhận ra ý tưởng mới

Biểu hiện của học sinh
- Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và
phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau;
- Biết phân tích các nguồn thơng tin độc lập để thấy
được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới.

Phát hiện và làm rõ vấn đề - Phân tích được tình huống trong học tập , trong cuộc
sống;
- Phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học
tập, trong cuộc sống.
Hình thành và triển khai ý
tưởng mới

- Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc
sống;
- Suy nghĩ khơng theo lối mịn;
- Tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau;
- Hình thành và kết nối ý tưởng;

- Nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi
của bối cảnh;
- Đánh giá rủi ro và có dự phịng.

Đề xuất, lựa chọn giải pháp - Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến
vấn đề;
- Biết đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải
quyết vấn đề;
4


- Lựa chon được giải pháp phù hợp nhất.
Thiết kế và tổ chức hoạt
động

- Lập được kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung,
hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp;
- Tập hợp và điều phối được nguồn lực (nhân lực, vật
lực) cần thiết cho hoạt động.
- Biết điều chỉnh kế hoạch về việc thực hiện kế hoạch,
cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề cho phù hợp
với hoàn cảnh để đạt hiệu quả cao.
- Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động

Tư duy độc lập

- Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, khơng dễ dàng chấp
nhận thông tin một chiều;
- Không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết
quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục;

- Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề.

1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mơn tốn
Từ việc phân tích các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo nói
chung, năng lực tốn học nói riêng, có thể chỉ ra các đặc điểm của năng lực giải quyết
vấn đề và sáng tạo trong mơn tốn như sau:
- Nhận biết, phát hiện và làm rõ vấn đề cần giải quyết bằng Toán học;
- Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề;
- Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng tốn học tương thích để giải quyết vấn
đề đặt ra;
- Đánh giá được giải pháp đề ra;
- Nhận ra, hình thành và triển khai khái niệm mới, định lý mới, bài tốn mới,
cách giải mới trong mơn toán.
Dạy học Toán bản chất là dạy học sinh giải toán. Khi học sinh giải được một
bài toán, tức là học sinh đã biết giải quyết vấn đề xảy ra trong quá trình học tập để
tìm ra cái mới ở mức độ nào đó. Nếu bài tốn đó học sinh chưa biết phương pháp giải
nhưng vẫn giải được thì đó được xem là giải quyết vấn đề sáng tạo.
Sáng tạo của học sinh trong học tập được xem như một quá trình sáng tạo đặc
biệt. Bởi vì tri thức học sinh tìm ra khơng mới với nhân loại nhưng mới với bản thân
các em. Sự sáng tạo của học sinh biểu hiện qua các hoạt động như: Giải được bài toán
mà các em chưa biết phương pháp giải; Giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau;
đưa ra một cách giải mới; ...
Giải quyết vấn đề và sáng tạo là hai mặt tồn tại song song và bổ trợ cho nhau
khi thực hiện một hoạt động học tập nào đó. Khi giải quyết một vấn đề, chúng ta sẽ
5


gặp những khó khăn và chướng ngại nhất định. Để vượt qua những khó khăn và
chướng ngại đó ngồi tri thức và phương pháp đã biết cần có sự sáng tạo để giải
quyết vấn đề. Ngược lại, con người chỉ phát huy tính sáng tạo khi gặp tình huống có

vấn đề.
Trong Đề tài này tác giả bồi dưỡng năng lực giải quết vấn đề và sáng tạo cho
học sinh thông qua 3 vấn đề: Học tập từ những lời giải sai lầm; Giải một bài toán
bằng nhiều cách; Sáng tạo bài tốn mới; Tổng qt hóa bài tốn.
1.3. Thực trạng vấn đề
Những thuận lợi: Đây là nội dung Toán học gắn liền với thực tiễn nên từng nội
dung bài học cũng như các bài tập luôn gây được sự hứng thú và hấp dẫn học sinh.
Những khó khăn: Thời lượng dành cho chương ít nhưng nội dung hồn tồn mới
đối với học sinh và lượng kiến thức rất nhiều. Hơn nữa nội dung này chỉ học ở lớp 11
không được học giãn ra ở các lớp như nội dung Toán học khác. Điều đó dẫn đến việc áp
dụng kiến thức vào giải tốn khơng có độ chín muồi về kỹ năng và tư duy.

2. Nội dung Đề tài
2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ
khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài tốn, phân tích tìm cách giải hay
Học tốn xét cho cùng là học giải bài tập toán. Trong một bài tốn có chứa
nhiều yếu tố, mỗi cách phân tích, nhìn nhận các yếu tố theo một cách khác nhau có
thể cho chúng ta một cách giải bài tốn khác nhau. Mỗi cách giải có hiệu quả nhất
định đến quá trình phát triển tư duy, năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Tìm nhiều lời giải cho một bài toán là hoạt động dạy học giúp học sinh có cái
nhìn tồn diện về một vấn đề tốn học. Từ đó các em biết tự hệ thống hóa kiếm thức
và biết khai thác sử dụng các kiến thức kỹ năng, phương pháp giải một cách mềm
dẻo, linh hoạt.
Tìm nhiều cách giải cho một bài toán sẽ giúp học sinh tự mình biết phân tích,
so sánh và rút ra các đặc điểm như:
- Thấy được cách giải tốt nhất cho bài toán;
- Phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới;
- Đưa ra cách giải cho một lớp các bài tốn tương tự.
Ví dụ 1: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Hỏi có bao nhiêu số gồm 9 chữ số tạo
thành từ A biết chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.

Học sinh có thể tiếp cận một số cách giải sau:

9!

Cách 1: Sử dụng cơng thức hốn vị lặp ta có kết quả 3! .

6


Phân tích cách giải 1: Hốn vị lặp khơng đưa vào SGK, nhưng đây là một nội
dung mà học sinh có thể tḿ tḿ hiểu thêm thơng qua sự giới thiệu và hướng dẫn của
giáo viên.
Tìm hiểu sâu cách giải 1: Từ bài tốn trên ta có thể hướng dẫn học sinh xây
dựng bài toán tổng quát sau:
n phần tử x1 , n2 phần tử x2 ……… nk
Cho tập A có n phần tử, trong đó có:
phần tử xk ( n1 n2  ...nk n) . Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một
hoán vị lặp của n phần tử đã cho. Số hoán vị lặp của n phần tử ở trên là:
1

P

n!
n !.n !....n !
1

2

k

Từ bài toán tổng quát trên học sinh có thể tự sáng tạo ra lớp các bài tốn tương
tự:
Bài 1: Từ tập X ={1;2;3;4;5;6;7;8} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số
sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần?
Bài 2: Từ các số của tập A = { 2; 4; 6; 8} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số
6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần.
Bài 3: Cho tập A = { 1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ
số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện
đúng 1 lần và số này chia hết cho 5.
Bài 4: Từ tập X = {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 8 chữ
số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các chữ số khác xuất
hiện đúng 1 lần và số đó không chia hết cho 2.
Bài 5: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ
số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Bài 6: Cho tập X = {0;1; 3;5;6}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số
sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó vừa chia
hết cho 2 vừa chia hết cho 5.
Bài 7: (HSG lớp 11 Quảng Ngãi 2015-2016). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số
tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số cịn lại có
mặt đúng một lần. Trong các số tạo thành nói trên lấy ngẫu nhiên một số. Tính các
suất để số được chọn chia hết cho 4.
Cách 2: Xem số 1 xuất hiện ba lần trong số cần tìm là khác nhau, giả sử là
a,b,c. Khi đó ta có bài tốn mới như sau: Có bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau tạo
thành từ tập hợp B = {2,3,4,5,6,7,a,b,c}. Mỗi số được tạo thành là hoán vị của 9 phần
tử của tập hợp B. Ta có 9! số. Nhưng do a b c 1 nên mỗi số tìm được trên khi
hốn vị các vị trí của a, b, c cho nhau thì số đó khơng đổi. Từ đó suy ra số các số thỏa
mãn yêu cầu bài toán là

9!

3! số.
7


Phân tích cách giải 2: Vấn đề khó khăn của bài tốn là 3 số 1 ở ba vị trí khác
nhau của một số có 9 chữ số thì ta được các số khác nhau, nhưng khi đổi vị trí của 3
số 1 cho nhau thì số đó khơng đổi. Mọi sự phức tạp của bài toán đều bắt nguồn từ sự
lặp lại của các số 1. Vậy nếu ta xem các số 1 đó như là các số khác nhau thì sao? Từ
đó gợi cho học sinh biết “quy lạ về quen” bằng cách xem ba số 1 như ba số khác
nhau.
Tìm hiểu sâu cách giải 2:
Nếu so sánh cách giải 2 và cách giải 1 thì cách 1 có ưu điểm ngắn gọn và dễ
hiểu.
Nhưng ở cách 2 việc đặt

a 1, b 1, c1 là cách nhìn biện chứng rất thường

dùng trong giải tốn. Ví dụ: phương trình 3 x

2

 5 x 2 01

là phương trình bậc hai.

thì phương trình
ban đầu trở thành:
3t 2  2t 3 2  5 t 2  2t 3 2 02  là phương trình bậc 4 theo ẩn t. Nhưng nế u bỏ qua

Nếu

ta

x t 2  2t3

đặt

những thuộc tính hình thức, giữ lại thuộc tính bản chất thì phương trình (2) cũng chỉ
là phương trình bậc 2 quen thuộc.
Ta sử dụng cách nhìn biện chứng để đưa một đối tượng phức tạp về một đối
tượng mới đơn giản hơn, theo cách giải quyết vấn đề như trên ta có thể giải được một
số bài tốn tổ hợp tương tự như:
Ví dụ 1a: Có 6 quyển sách Tốn, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hố. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách
Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau.
Giải:
Ta ghép các quyển sách hoá lại xem như 1 phần tử H, ghép các quyển sách Lý
lại xem như 1 phần tử L. Khi đó xếp 8 phần tử (gồm 6 quyển sách tốn và 2 phần tử
H và L) có 8! cách sắp xếp.
Ghép 5 quyển sách hố có 5! cách. Ghép 3 quyển sách Lý có 3! cách.
Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách.
Ví dụ 1b: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An,
Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải:
Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử (gồm 8 bạn
còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.
Cách 3: Lấy sáu số từ tập A gồm: 2,3,4,5,6,7 số sắp xếp vào 9 vị trí của số cần

tìm ta có A6 cách sắp xếp. Sắp xếp 3 số 1 vào ba vị trí cịn lại có một cách sắp xếp.
9

Vậy kết quả là A6 .
9

Phân tích cách giải: Trong giải toán ta rất hay “tự ám thị” bởi yêu cầu của bài
toán dẫn người giải đi theo lối tư duy quen thuộc. Nếu ta tư duy ngược lại như sau:
8


Có 9 cái hộp xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ vào mỗi hộp một số
tử các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 biết có 3 số 1. Như vậy mỗi cách bỏ số vào hộp ta được một
số thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Nhưng ở đây mỗi số chắc chắn sẽ có 1 hộp để bỏ vào
nên việc chữ số 1 lặp lại khơng ảnh hưởng đển kết quả bài tốn. Ở trên tác giả trìn
bày lời giải bằng sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên chúng ta vẫn có thể dùng quy tắc đếm
để giải bài toán như các bài toán quen thuộc.
Tìm hiểu sâu cách giải 3: Trong giải tốn Tổ hợp - Xác suất cách giải trên gọi
là phương pháp chọn vị trí trước, sắp xếp sau. Với những bài tốn có q nhiều
trường hợp xảy ra khi ta giải trực tiếp thì ta thường chọn ra số phần tử thỏa mãn u
cầu bài tốn trước sau đó mới sắp xếp. Ứng dụng phương pháp giải trên ta giải được
rất nhiều bài toán trong đề thi học sinh giỏi hoặc thi Quốc gia
Ví dụ 1c: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự
nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và các chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó khơng có hai chữ số liên tiếp nào
cùng chẵn.
Lời giải 1: Yêu cầu bài tốn sẽ có các trường hợp sau thỏa mãn
TH1: Lấy ra 4 số lẽ và sắp xếp chúng có

=960 số

TH2: Lấy ra 4 số gồm 3 số lẽ và 1 số chẵn có

cách lấy.

Sắp xếp các phần tử trên có 4! cách sắp xếp ln thỏa mãn u cầu bài
tốn.
Suy ra có

.4! =120 số thỏa mãn

TH3: Lấy ra 4 số gồm 2 số lẽ, 2 số chẵn có

số

Sắp xếp các số trên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta xem 2 số chẵn có
21.2!.3 số
Số các số thỏa mãn bài tốn là 720
Số phần tử khơng gian mẫu

số

Xác suất lấy được 4 số khơng có 2 chữ số chẵn liên tiếp là
Lời giải 2:
TH1: Số có 4 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn liên tiếp và 2 số lẽ có 720 số (ta
xem hai chữ số chẵn liến tiếp là một số).
TH2: Số có 4 chữ số gồm 3 chữ số số chẵn và 1 số lẽ có

480 số

TH3: Số có 4 chữ số chẵn liên tiếp có 4! = 24 số
Số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là:

Xác suất cần tìm là
9


3

Cách 4: Chọn ba vị trí cho ba số 1 có C9 cách chọn. Sắp xếp các số 2,3,4,5,6,7
3
vào sáu vị trí cịn lại có 6! cách sắp xếp. Vậy số các số thỏa mãn bài toán là C 9 .6!

Phân tích cách giải: Xét về bản chất thì đây là cách giải tương tự như cách 3 về
tư duy thuật giải là chọn vị trí trước sắp xếp sau.
Qua ví dụ trên, tính sáng tạo của cách giải bài toán trên thể hiện ở chỗ: Học
sinh phải biết phân chia trường hợp và sử dụng cách đếm linh hoạt tùy theo từng
trường hợp khác nhau. Ở lời giải thứ nhất trường hợp thứ 3 học sinh cần tìm một cách
đếm phù hợp hơn đó là xem 2 chữ số chẵn liên tiếp là một số. Tương tự ở lời giải 2
trường hợp 2 sẽ có 2 khả năng xẩy ra là 2 số chẵn liên tiếp và 3 số chẵn liên tiếp.
Nhưng khả năng 2 chữ số chẵn kiên tiếp ở đây khơng trùng với TH2 vì số tạo thành
của 2 trường hợp này hoàn toàn khác nhau. Nếu học sinh được bồi dưỡng và rèn
luyện nhiều thì năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh sẽ được
nâng cao.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ
số 0 và chữ số 6?
Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là cơng việc sắp 5 chữ số
vào 5 ơ trống trong đó có 1 ơ chứa số 0, một ô chứa số 6, 3 ô còn lại chọn từ tập hợp
  1, 2; 3;4;5;7;8; 9 gồm 8 chữ số. Công việc này trải qua 3 công đoạn như sau:
Công đoạn 1: Sắp chữ số 0 vào một trong 4 ơ trống sau (trừ ơ đầu tiên) có 4
cách sắp.
Công đoạn 2: Sắp chữ số 6 vào một trong 4 ơ trống cịn lại (trừ ơ chứa số 0) có
4 cách sắp.

số 6) có

Cơng đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập E sắp vào 3 ơ cịn lại (trừ hai ô chứa số 0 và
A

8

3

cách.

Theo quy tắc nhân có tất cả 4.4.A83 cách.
Cách 2: Chia tập hợp gồm 5 chữ số khác nhau thành 4 loại:
Loại 1: Các số khơng có mặt chữ số 0 và chữ số 6. Mỗi số như vậy là một chỉnh

hợp chập 5 của tập

E1, 2; 3;4;5;7;8; 9 nên có

A8

5

số.

Loại 2: Các số có mặt số 0 nhưng khơng có mặt số 6. Xem việc thành lập mỗi
số loại này trải qua 2 công đoạn. Công đoạn 1 xếp số 0 vào một trong 4 vị trí sau (trừ
vị trí đầu tiên) có 4 cách, công đoạn 2 chọn 4 chữ số từ tập E1, 2; 3;4;5;7;8; 9
sắp vào 4 ơ cịn lại có A84 cách. Theo quy tắc nhân, loại này có 4.4.A84 số (mỗi cách
cho ta một số).

Loại 3: Các số có mặt số 6 nhưng khơng có mặt số 0. Tương tự loại 2, loại này
có 5.A84 số.
Loại 4: Các số có mặt chữ số 0 và chữ số 6 (thỏa mãn yêu cầu bài toán), giả sử
là x.
10


Số các số gồm 5 chữ số khác nhau là 9.A9 .
4

Theo quy tắc cộng, ta có x 9. A4  A5  4.4.A4  5.A4
9

8

8

8

Cách 3: Vì số cần lập có 5 chữ số mà đã có mặt 0 và 6 nên chỉ cần chọn thêm 3
chữ số từ tập E1, 2; 3;4;5;7;8; 9. Mỗi bộ gồm 3 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0
và 6 tạo thành một bộ có 5 chữ số. Mỗi hốn vị của 5 chữ số này trừ đi các hoán vị có
chữ số 0 đứng đầu là một số thỏa mãn u cầu bài tốn. Do đó, để lập mỗi số như vậy
là một công việc trải qua 3 công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 3 chữ số bất kỳ từ  1,2; 3;4;5;7;8; 9 có C cách.
3

8

Cơng đoạn 2: Từ bộ 5 chữ số gồm 3 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 6 ta lấy

số 0 sắp vào một trong 4 vị trí sau, có 4 cách.
Cơng đoạn 3: Sắp 4 chữ số còn lại trong bộ vào 4 ơ trống cịn lại, có 4! cách.
3

Theo quy tắc nhân, có tất cả C8 .4.4! số.
Cách 4: Việc lập số thỏa mãn u cầu bài tốn có 2 phương án:
Phương án 1: Chữ số 6 ở vị trí đầu tiên.
Công đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 4 ơ cịn lại, có 4 cách sắp.

 1,2; 3;4;5;7;8; 9 sắp vào 3 ơ cịn lại, có

Cơng đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ
A3 tập cách.
8

Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.A83 số.
Phương án 2: Chữ số 6 khơng ở vị trí đầu tiên.
Cơng đoạn 1: Sắp số 6 vào một trong 4 ơ, có 4 cách sắp.
Cơng đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 3 ô cịn lại (trừ ơ đầu và ơ chứa số 6), có
3 cách sắp.

 1,2; 3;4;5;7;8; 9

Cơng đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ
tập A83 cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.3.A8

3

Theo quy tắc cộng, có tất cả 4. A8  4.3.A8 số.

3

và xếp vào 3 ơ cịn lại, có

số.

3

Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài tốn ở một góc độ khác nhau. Trong
các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất.
Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp học sinh hiểu sâu
sắc hơn về một nội dung toán học cũng như khả năng liên kết nhiều nội dung toán
học với nhau để giải quyết vấn đề. Học sinh biết nhìn một vấn đề, một sự việc dưới
nhiều khía cạnh khác nhau để đưa ra nhận xét đánh giá khách quan và chính xác nhất.
Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, các em sẽ linh hoạt, sáng tạo
hơn trong quá trình tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi cần thiết.

11


2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo các bài toán mới bằng các
thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa
Để phát triển được năng lực sáng tạo, đòi hỏi giáo viên và học sinh “phải có
can đảm bng tay khỏi những điều chắc chắn” (Erich Fromm). Nghĩa là, giáo viên
phải khuyến khích học sinh dám tìm tịi, khám phá để đưa ra những quan điểm, ý
tưởng mới, cách giải quyết mới. Tất nhiên, với học sinh, việc yêu cầu các em tìm tịi,
khám phá ra một điều gì đó mới mẻ hồn tồn là một điều khơng hề đơn giản. Muốn
vậy giáo viên phải là người luôn định hướng, rèn luyện cho học sinh các thói quen tư
duy sau:
Thứ nhất, khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng như

mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống. Người có năng
lực sáng tạo thường có thói quen quan sát, so sánh và nhất là khả năng tưởng tượng,
liên tưởng rất tốt. Tưởng tượng tự do giúp tạo ra những hình ảnh, cấu thành, thiết kế
mới hữu ích mà trong điều kiện tư duy duy lí thơng thường khơng có được. Vì thế
nên tưởng tượng trở thành một trong những yếu tố rất quan trọng trong tư duy sáng
tạo của con người và là khởi nguồn cho mọi phát minh sau này. Nếu không tưởng
tượng, khơng có mong muốn biết bay như lồi chim thì chắc hẳn con người không thể
thiết kế được máy bay như ngày hôm nay.
Thứ hai, khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khác
nhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau. Cùng một
vấn đề, một bài toán đặt ra, người có năng lực sáng tạo thường tìm kiếm, phát hiện
được nhiều hướng giải quyết, nhiều ý tưởng khác nhau. Người có năng lực sáng tạo
thường khơng dễ dàng chấp nhận những gì đã có mà ln tìm tịi những cách giải
quyết mới, biện pháp mới.
Thứ ba, khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay những
quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh tế, nhạy cảm
và khả năng trực giác cao của chủ thể.
Năng lực sáng tạo còn được biểu hiện ở khả năng quan sát, phân tích vấn đề ở
nhiều điểm nhìn, nhiều phương diện khác nhau. Nói cách khác, người có năng lực
sáng tạo phải có tư duy mềm dẻo, linh hoạt trong việc tiếp cận, giải quyết vấn đề.
2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa:
Theo G. Polya, tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là
giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái
niệm. Ơng giải thích điều trên như sau: "Sự khác nhau căn bản giữa tương tự và
những loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ. Những đối tượng
giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có ý định quy mối
quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn
sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự. Và nếu bạn
đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự".
12

Theo Đ. P. Goocki cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối
tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống
nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối tượng B
cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có
tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính
chất a, b, c, d; B có tính chất a, b, c; Kết luận B cũng có tính chất d".
"Tương tự là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng
khác của cùng một cái tổng quát".
Nhiều tác giả cho rằng: “Tương tự hóa là q trình dùng trí óc để kết luận về
sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau
của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết
quả mới, vượt qua một trở ngại”.
Như vậy, việc tập luyện cho học sinh kỹ năng tương tự hóa sẽ góp phần vào
việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán: Cho tập A1; 2; 3; 4; 5; 6 . Hỏi có thể tạo bao
nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ tập A.
Nếu giữ nguyên các đặc tính của bài tốn, ta thay đổi đối tượng thì được các bài
tốn tương tự:
1, Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
2, Một đoàn khách du lịch dự định tham quan 6 điểm A, B, C, D, E ở thủ đô
Hà Nội. Hỏi họ có bao nhiêu cách chọn?
3, Bạn An có 3 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau.
Hỏi bạn An có bao nhiêu cách xếp chồng 6 quyển sách lên nhau?...
0

1

2

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức P C15 C15  C15
k

nk

Giải: Sử dụng tính chất Cn  Cn
0

1

ta có:

2

15

...C 8

15

Suy ra: 2 P P C15 C15C15...C151  1  2
Vậy P 214

15

15

Sự dụng thao tác tư duy ương tự hóa ta có các bài tốn:
1. Tính:


A C 2019 C
0


2019 C
1

2
2019

1009

...C 2019

2. Tính: B C20191020 C20191021 C20191022 ...C20192019
2n
 n 2  n3
C C 2 n C 2 n C 2 n ...C 2n
4. Tính D C 0 C 1 C 2 ...C n

3. Tính:

n1

2n 1

2n 1

2n 1

2n 1

2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa:
Có nhiều định nghĩa về khái quát hóa, chẳng hạn:


13


G. Polya cho rằng: "Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban
đầu".
Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra
những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là khái
quát".
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn
chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong
tập xuất phát.
Tác giả thống nhất với Nguyễn Bá Kim về hai dạng khái qt hóa thường gặp
trong mơn Tốn và có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ
đến cái tổng quát

Khái quát hóa đến cái tổng
quát đã biết

Khái quát hóa từ cái tổng
quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa đến cái tổng
quát chưa biết

Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đi từ những
trường hợp riêng lẻ đến tổng quát:
- Từ nhà Ngọc đến nhà Khánh có 4 con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải
có 3 con đường đi. Do đó, để đi từ nhà Ngọc đến nhà Khảicó tất cả 3.412 cách đi; từ
nhà Ngọc đến nhà Khánh có m con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải có n con
đường đi. Do đó, có m. n cách đi từ nhà Ngọc đến nhà Khải;
- Giả sử để thực hiện một cơng việc nào đó cần trải qua hai cơng đoạn A và B.
Cơng đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì cơng
đoạn B có m cách. Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo n.m cách khác nhau. Đó là
một kết quả tổng quát.
- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng qt ở trên:
Giả sử một cơng việc nào đó được thực hiện qua k công đoạn A1 , A2 ,..., Ak . Cơng đoạn A1
có thể thực hiện theo n1 cách, cơng đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,
..., cơng đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo
n1n2 ...nk cách khác nhau.

14


Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới, tổng qt.
Bên cạnh đó cịn có dạng khái quát hóa đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến
hành chẳng hạn khi giải những bài tập cụ thể, trong đó khái quát hóa thể hiện ở việc
liên hệ những tình huống cụ thể của bài tập với những tiên đề, định nghĩa, định lý
thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể.

Dạng khái quát hóa đi đến cái tổng quát chưa biết, tức đi đến kiến thức mới, có
thể là một khái niệm, một định lý hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc
mở rộng. Quy trình thực hiện thao tác này như sau:
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;
Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;
Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra đặc điểm giống nhau và khác nhau;
Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất
chúng ra khỏi đối tượng;
Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu
một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;
Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong
tập lớn hơn ở bước 5;
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Dạng khái quát hóa này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái
niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lý, mở
rộng một bài tốn, ...
Ví dụ : Sau khi học cơng thức nhị thức Newton, có thể cho học sinh làm các bài
tốn sau:
5

3

1) Tìm hệ số của x và x
2) Chứng minh rằng: a) C
0

b) C5

3

1

.C5  C5

5

trong các khai triển1 x
5

0

 C 5 C 5

2

2
1

. 1
.C5C 5 C 5 C
2

3) Chứng minh rằng:

2

3
5

a)C100

0

0

0

.C5

2

 

 C5

2
3

C5

4



và1 x
5

5

2



.

 C10 ;
5

3

 C100 
30

2

10

C
2 

 C10 .
1

2



5

x1

1

2

...C100
29

100



;
2

 C200

100

. 0 
... C100.C100  C100 C 100 C
29

1

30

30

.

b) C100.C100  C100 .C100
200
4) Hãy nêu bài toán tổng quát của 2) và 3).
Học sinh dễ dàng đưa ra kết quả của câu 1) là hệ số của x 5 trong khai triển của
1 x5x15 làC502 C512C522 C532 C542 C552 , hệ số của x5 trong khai
triển của1 x10 là C105 . Hệ số của x3 trong khai triển của1 x5x15 là
10
3
C50 .C53  C51 .C52 C52 .C51 C53 .C50 và hệ số của
x trong khai triển của1 x là C10 . Mà
hai biểu thức1 x5x15 và1 x10 bằng nhau với mọi giá trị của x nên chúng ta
có các đẳng thức:
3

15




 C  C 

C

0 2

2

1
5

5

2 2
5


C

 C  C   C

3 2
5

4 2
5

5
5

C 0 .C 3  C1 .C 2  C 2 .C1  C 3 .C 0 C3 .
5

5

5

5

5

5

5

5

2

;

5
10

10

Đối với câu 3), học sinh thực hiện thao tác tương tự hóa và các em cũng sẽ chứng minh được:
2

C

0



100
0
100

1



 .
C C

100

100


C

2

...C

100
1

30

C .C

2

C

100



100
29
100

29

...C

100

30
C 200
.

100

200

.
C

1
100

.
C C
30

0

100

100



Tiếp theo, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa để đưa ra được bài toán
tổng quát theo các bước sau:
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái qt hóa
- Hãy tìm bài toán tổng quát cùng với phương pháp giải!
Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ
của các đối tượng riêng lẻ.
- Hãy tìm các đặc điểm của các đẳng thức:
C



C

2

0
5

2

C

0



100

.
C C

2

C

3

5

5

100

C

2

2

C 1

2 2
5

C

... C



100

0

0



1
5

1
C

5

.
C

2
100



C

2

5

. 1
C C C

100

2

5

5

29

100

2


C

C



5
5

C

2

1
 2
3
 4 .

5
10

100

200

. 0
C C

3

5

29

...C



4
5

100

1 .
. 30
C C C
100



3 2
5

100

5

.
C

1

100

3

C  , i

10


C

30

.
C


C

0

100

100

2

i
5

30

 0,5 ; Vế trái của

200

+ Vế trái của 1 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng
là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C100
i



2,

i 0,100

5

;

100

+ Vế phải của1 là C10 , 10 5.2 ; vế phải của2 là C200 , 200 100.2 ; ; Vế
+ Vế trái của3 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng

4 là một t ổng mà mỗi số hạng có dạng C100.C100

của

i

, i

C5 .C

i

0,3 0

;

5

5i

,i 0, 3

trái

30i

30
.
+ Vế phải của 3 là C 103 ; vế phải của 4 là C100

Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ đó
để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau.
So sánh các đặc điểm trên, học sinh thấy rằng:
+ Vế trái của1 và2 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng Cni2 , i 0, n ,
1 ứng với n 5 ,2 ứng với n100 ; vế phải của1 và2 đều có dạng C 2nn ,1 ứng
với n 5 ,2 ứng với n100 .
+ Vế trái của3 và4 đều là
một tổng mà mỗi số hạng có dạng

0,
Cni .Cnki , i k ,3 ứng với n 5, k 3 ,4 ứng với n 100, k 30 ; vế phải của3 và
k

4 đều có dạng C2 n .

Bước 4: Giữ lại các đặc điểm chung:


+ Vế trái của1 và2 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạngCni
vế phải của1 và2 đều có dạng C2nn ;



2

0,
, i n

,

16


+ Vế trái của3 và
0,
i
C i .C k , i k
n

4 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng và4



; vế phải của3 đều có dạng C2kn .

n

Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một
tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó.
C 2  C 2 ...C
2  C
n
5
Chứng minh các đẳng thức: n
n
n
0



1

n





2n

0

.
và C n C


C

k
n

k1

1

. 1
CnC

k1

.
...C
nC n

n


.C n C
n

k

0

k
2n

, 0 k  n

6

Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong
tập lớn hơn ở bước 5.
Tương tự cách chứng minh của 1 và2 chúng ta sẽ chứng minh được 5 .
Tương tự cách chứng minh của3 và4 chúng ta sẽ chứng minh được6 .
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Chứng minh các đẳng thức:

C

2
0

n
0
C

n

C



.
C

2
1

n
1

k
C

n

n



.
C

...C

n

n

k1

...C

n


C

2


k1

n

n

2n
1

k

n

n

. 
C C

.
C

0

n


C

k

, 0 k n .

2n

2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tịi, sáng tạo các bài tốn mới bằng thao
tác tư duy đặc biệt hóa:
Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có
ngoại diên hẹp - gọi là giới hạn khái niệm.
Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang
việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho.
Có thể quan niệm về đặc biệt hóa như sau: Đặc biệt hóa là q trình dùng trí
óc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một
tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng
đắn của khái qt hóa, giải quyết một vấn đề.
Ví dụ 1: Với kết quả vừa đạt được ở 2.2.2, bằng cách đặc biệt hóa có thể tạo ra
một hệ thống bài tập, chẳng hạn:
- Trong 5 , lần lượt cho n nhận các giá trị 1979, 2002, 20... chúng ta có các bài
toán sau:

Chứng minh các đẳng thức:
0

C1979



2



1
C1979

2

1979
...C1979



2

1979

 C3958

C20020 2C20021 2...C200220042  C ;
C  C  ...C   C , ...
4004

0

20

2

1

20

2

20

20

2

;

2002

20

40

- Trong6, cho n 2019, k 79 chúng ta có bài tốn sau:
Chứng minh đẳng thức:
C20190.C201979C20191 .C201978...C201978 .C20191C201279 .C20190 C201979 ;

17


- Trong6, cho n k chúng ta có bài tốn sau:
Chứng minh đẳng thức: C 0 .C n C 1 .C n1  ... C n1 .C 1 C n .C 0  C n .
n

k

Ta lại có Cn

hợp riêng của6.

 Cn

nk

n

n

n

n

n

n

n

nên đẳng thức trên trở thành 5. Do đó,5 là một trường
n

Ví dụ 2: Từ cơng thức nhị thức newtona b  C n a b
n

Ta chọn a = 1, b = x. Ta có cơng thức

1 x

n

2n

0

1

2 2

n

 Cn  Cn x Cn x ...Cn x

k

k

nk

k0

n

(1)
Từ công thức (1) chọn một giá trị cụ thể của x ta có các bài tốn chứng minh
đẳng thức:
1,
2,


C C
0

1

n

n

0 
3, C C
n
0

2

2 C

1


C

n
2

n

n
1

C2n  C2 n


C

2

2

n
...C

n
n

n

2 

...1 C
....
2n C
2

n

n

0
n

2n
2n

3

2n

2


4,


Cn  Cn C

0

1

2
n


C

3
n

2n

...C 2n  0
nk

k

Kết hợp tính chất Cn  Cn

A C C

B

0

1

12

12

ta có bài tốn tính giá trị biểu thức:

6

...C

 C7 C8...C12

12

121212


C C 2 n C
0


2n C
1

2
2n

n

...C 2n

Kết hợp bài 3) và 4) ta có bài tốn chứng minh:

1, C 2 n C
0

1

2, C 2 n
0

3, C 2 n


2n C
3 
C2 n C
2 
C2 n C
2

....
2nC
5 ....
2n C
4 ....
2n C
4

2 n1

2n
2n

2

2 n1
2n
2n
2n

2 n1

2

C


2n C
1

....
 C2 n C
2n
3

5

2 n1
2n

2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua tìm
sai lầm từ lời giải các bài toán.
Giáo viên nên để cho HS tự làm, tự xoay xở, tự đưa ra các định nghĩa khái
niệm, các giải pháp, trên cơ sở đó giáo viên phân tích, góp ý, qua đó HS có được
những kinh nghiệm giải toán, thấy được đúng sai trong cách nghĩ, cách giải quyết vấn
đề, tránh được những sai lầm.
Ví dụ: Dạy học khái niệm chỉnh hợp và cách xác định số các chỉnh hợp.
GV chia HS trong lớp làm hai nhóm, chuẩn bị cho mỗi nhóm một bài tập với
hình thức phiếu hỏi.
Bài tập 1 (nhóm 1): Thầy giáo cần lập đội ngũ cán bộ lớp gồm 3 HS vào 3 chức
vụ Lớp trưởng (LT), Bí thư (BT), Lớp phó học tập (LPHT) từ 6 em HS xuất sắc của
lớp Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh.
a) Hãy chỉ ra 4 kết quả sắp xếp của thầy giáo?
18


b) Có bao nhiêu kết quả như vậy?
Bài tập 2 (nhóm 2): Cho tập hợp A1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
A.

a)

Hãy chỉ ra 5 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ tập

b)

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ A ?

GV cho mỗi nhóm suy nghĩ khoảng 3 phút và yêu cầu đưa ra câu trả lời của ý

a) (dự kiến rằng hầu hết HS sẽ trả lời được câu hỏi này).
GV nhận xét kết quả của mỗi nhóm và đặt vấn đề: Mỗi kết quả của ví dụ 1a),
chẳng hạn Hà, Khải, Châu (theo thứ tự LT, BT, LPHT), là một chỉnh hợp chập 3 của
tập hợp gồm 6 HS Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh. Mỗi kết quả của Bài tập 2,
chẳng hạn số 1234, là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần từ của tập hợp A . Các em hãy
tìm đặc điểm chung của các kết quả ở hai Ví dụ trên?
Dự kiến HS trả lời: Mỗi kết quả là một cách sắp xếp một số phần tử nào đó của
một tập hợp cho trước theo một thứ tự nào đó.
GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm chỉnh hợp từ đặc điểm chung mà HS vừa
chỉ ra. GV chính xác hóa, ghi bảng định nghĩa khái niệm và yêu cầu HS nêu sự khác
nhau của hai chỉnh hợp.
GV tiếp tục yêu cầu HS trả lời ý b) của mỗi câu hỏi. Nếu HS gặp khó khăn vì
một số em đếm theo kiểu liệt kê thì GV có thể gợi ý qua các câu hỏi: Mỗi chỉnh hợp
chập 3 của tập hợp 6 bạn HS gồm mấy HS lấy từ tập đó? Do đó để thành lập mỗi
chỉnh hợp chập 3 này là một công việc trải qua mấy giai đoạn?
Với cách gợi ý như vậy chúng ta hy vọng rằng HS sẽ trả lời như sau: Mỗi chỉnh
hợp chập 3 của 6 HS bao gồm 3 HS, do đó để thành lập mỗi chỉnh hợp này cần trải
qua 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 chọn HS thứ nhất có 6 sự lựa chọn; giai đoạn 2 chọn HS
thứ 2 có 5 sự lựa chọn; giai đoạn 3 chọn HS thứ 3 có 4 sự lựa chọn. Do đó, theo quy
tắc nhân có tất cả 6.5.4120 cách, hay số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp có 6 phần tử
là 6.5.4120 .
Tương tự, ở Ví dụ 2b) sẽ cho kết quả là 7.6.5.4 840 số, hay số chỉnh hợp chập 4
của tập hợp có 7 phần tử là 7.6.5.4 840 .
Một cách tổng quát, nếu tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n thì sẽ có
bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp đó?
Với cách dẫn dắt như vậy, có thể hy vọng rằng HS sẽ biết cách thành lập số các
chỉnh hợp và đưa ra kết quả là nn1n k1 . GV đưa ra ký hiệu về số các chỉnh
hợp của một tập hợp và ghi công thức lên bảng.
Ak
n



nn1n (1)

k1

GV tiếp tục nêu vấn đề khi n k sẽ như thế nào và từ đó HS sẽ tự phát hiện ra
hốn vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp.
GV quay trở lại các ví dụ ban đầu và đưa ra nhận xét:
19


6.5.4.3.2.1 6!
7.6.5.4.3.2.1 7!
4
 ; A7  7.6.5.4
 .
3.2.1
3!
3.2.1
3!

3

A6  6.5.4

GV yêu cầu HS viết công thức (1) ở dạng dễ nhớ hơn.
Với cách hướng dẫn này, có thể hy vọng rằng HS sẽ trả lời được

Ak 
n

n!

n k!

với quy ước 0!1.
Để giúp HS hiểu và nhớ hơn khái niệm chỉnh hợp và số các chỉnh hợp, GV yêu
cầu HS làm thêm bài tập sau: Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt, có bao nhiêu
vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp này?


b) Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của các quy tắc, các khái
niệm. Ví dụ 1: Dạy học quy tắc cộng
Sau khi đưa ra các ví dụ cụ thể, khái qt hóa ở nhiều tầng lớp, GV cần đưa ra
sơ đồ sau:
Công việc A

Phương án A

Phương án A
1

m cách
1

Phương án A
2

m cách
2

k

m cách
k

Qua sơ đồ này, nhấn mạnh cho HS hiểu rằng để có được phân hoạch như trên
thì cần phải có tiêu chí, dấu hiệu mà dựa vào đó vạch ra các kế hoạch để thực hiện
được công việc A. Các phương án đưa ra độc lập với nhau, khơng có cách nào ở
phương án Ai lại có thể trùng với cách nào đó ở phương án Aj . Từ đó, tổng kết lại cho
HS các yêu cầu của việc phân tách là:
- Dấu hiệu của sự phân chia (cần phải trả lời các câu hỏi: cơng việc gì? Dựa
vào dấu hiệu nào mà có thể vạch ra các phương án như vậy? Hãy chỉ ra các dấu hiệu
có thể sử dụng để phân chia công việc này?).
- Các phương án không trùng nhau (Các phương án đưa ra đã riêng biệt chưa?
Có phương án nào trùng nhau hay khơng? Có phương án nào phụ thuộc vào phương
án khác không?).
- Các phương án phải đầy đủ (Có phương án nào nữa ngồi các phương án nêu
ở trên có thể thực hiện được công việc A hay không?).
- Các phương án đưa ra phải tuần tự (Cách phân chia như trên đã hợp lý chưa?).

Chẳng hạn, với bài toán: Một lớp học có 16 HS gồm 3 HS giỏi, 5 HS khá, 8 HS
trung bình. Cần chia 16 HS trên làm hai tổ. mỗi tổ có 8 HS và tổ nào cũng có HS
giỏi, ít nhất hai HS khá.
20


GV có thể hướng dẫn HS giải bài tốn này bằng cách phân chia trường hợp

riêng. Dấu hiệu của sự phân chia là "có HS giỏi, ít nhất hai HS khá, mỗi tổ có 8 HS".
Tuần tự xét tăng dần số HS giỏi trong mỗi tổ, từ đó ta có bảng sau:
T

Tổ 1

Tổ 2

H
Giỏi

Khá

Trung bình

Giỏi

Khá

Trung bình

TH1

1

2

5

2

3

3

TH2

1

3

4

3

2

3

TH3

2

2

4

1

3

4

TH4

2

3

3

1

2

5

Tuy nhiên, vai trị của hai tổ như nhau nên TH1 và TH4 trùng nhau, TH2 và
TH3 cũng trùng nhau. Do đó, chỉ xảy ra hai phương án sau:
Phương án 1: Tổ 1 gồm 1 HS giỏi, 2 HS khá và 5 HS trung bình. Tổ 2 gồm
những HS còn lại.
Phương án 2: Tổ 1 gồm 1 HS giỏi, 3 HS khá và 4 HS trung bình. Tổ 2 gồm
những HS cịn lại.
Chú ý rằng tại thời điểm này, HS chỉ có thể phân hoạch các phương án có thể
có để thực hiện cơng việc, còn số cách thực hiện mỗi phương án cụ thể là bao nhiêu
thì chưa tính tốn được. Để giải quyết bài toán một cách đầy đủ, HS phải phối hợp
với quy tắc nhân và cơng thức tính số tổ hợp.
Ví dụ 2: Dạy học quy tắc nhân
Tương tự dạy học quy tắc cộng, sau khi khái quát hóa về quy tắc nhân, GV cần
đưa ra sơ đồ sau:

Giai đoạn A Giai đoạn A
1

m cách
1

m cách
2

Giai đoạn A
2

k

Công việc A

m cách
k

Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy công việc A muốn hoàn thành buộc
phải trải qua tất cả các giai đoạn từ A1 đến Ak , không bỏ qua giai đoạn nào, khơng có
cách nào ở giai đoạn thứ Ai1 lại có thể phụ thuộc vào cách nào đó ở giai đoạn thứ Ai ,
hay nói cách, khác ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn A1 thì sẽ có mi1 cách chọn ở giai
đoạn Ai1 . Và điều trước hết là phải biết chỉ ra các hành động cần làm khi thực hiện
cơng việc A, sau đó mới tìm số cách thực hiện mỗi hành động đó.

21


Chẳng hạn, với bài tốn: Một nhóm HS gồm 16 em, trong đó có 4 HS lớp 10, 5

HS lớp 11 và 7 HS lớp 12. Thầy giáo cần chọn 3 HS trong nhóm sao cho có 1 em lớp
10, 1 em lớp 11, 1 em lớp 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
GV có thể hướng dẫn HS tìm ra cách giải bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Cơng
việc cần giải quyết của thầy giáo là gì? Hãy chỉ ra một kết quả của cơng việc? Để
hồn thành được cơng việc đó cần thực hiện những hành động nào? Mỗi hành động
như vậy có tương ứng bao nhiêu cách thực hiện? Với sự gợi ý như vậy, từng bước HS
sẽ chỉ ra được công việc cần làm của thầy giáo là chọn ra 3 HS trong nhóm sao cho
có cả HS của các lớp 10,11,12. Một kết quả của công việc chẳng hạn như chọn 3 bạn
Hằng Hà Khải (giả sử như Hằng thuộc nhóm HS lớp 10, Hà thuộc nhóm HS lớp 11,
Khải thuộc nhóm HS lớp 12). Cơng việc muốn hồn thành phải thực hiện đồng thời 3
hành động: Thứ nhất là chọn HS lớp 10, thứ hai là chọn HS lớp 11, thứ ba là chọn HS
lớp 12 (thứ tự có thể thay đổi). Từ đó, HS có thể áp dụng quy tắc nhân để giải tiếp.
Tiếp theo, GV có thể yêu cầu HS giải bài tốn ở mức độ khó hơn như: Có bao
nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?
Tương tự bài tốn trên, HS sẽ tìm ra được cơng việc này muốn hồn thành phải
trải qua 3 giai đoạn: Thứ nhất là chọn chữ số hàng trăm, thứ hai là chọn chữ số hàng
chục, thứ ba là chọn chữ số hàng đơn vị.
Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn, GV có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Chúng ta
có thể thay đổi thứ tự cho các hành động ở giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai hay
không? Nếu ở giai đoạn thứ nhất chúng ta chọn chữ số hàng chục, giai đoạn thứ hai
chọn chữ số hàng trăm sẽ gặp khó khăn gì?
GV mong đợi HS trả lời như sau: Nếu chữ số hàng chục khác số 0 thì chữ số
hàng trăm cịn lại 8 sự lựa chọn, còn nếu chữ số hàng chục là 0 thì chữ số hàng trăm
lại có 9 sự lựa chọn, nghĩa là việc chọn chữ số hàng trăm ở giai đoạn thứ hai phụ
thuộc vào việc chọn chữ số hàng chục ở giai đoạn thứ nhất. Do đó, thứ tự các hành
động cần làm như vậy chưa hợp lý vì khơng đủ điều kiện để áp dụng quy tắc nhân.
Sau khi dạy học hai quy tắc, GV cần nhấn mạnh vào những dấu hiệu đặc trưng,
chẳng hạn như:
- Công việc được thực hiện bằng nhiều phương án (nhiều khả năng hay nhiều
trường hợp) thì dùng quy tắc cộng.

- Công việc gồm nhiều giai đoạn (nhiều công đoạn, nhiều bước) thì dùng quy
tắc nhân.
Việc phân tích và nhấn mạnh như vậy sẽ giúp cho HS hiểu sâu sắc các quy tắc,
phân biệt hai quy tắc, biết được khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy
tắc nhân.
Tương tự, khi dạy học khái niệm chỉnh hợp và khái niệm tổ hợp, GV cần nhấn
mạnh: Từ tập A lấy ra một số phần tử mà quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng
chỉnh hợp, cịn khơng quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp.
22