CHUYEN TOAN CHAT LUONG CAO TRUONG QUANG AN

SO GD&DT TRUONG

KY THI TUYEN SINH LOP 10 THPT CHUYEN NAM

QUANG AN
-_———————,
DE CHINH THUC

_HỌC 2018-2019
ĐE THỊ MƠN: TỐN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (3,0 điểm).
a)

xy=x+y+Ï

Giải hệ phương trình: 4 yz=y+z+5

(x,y,zeR)

ZYX=z+x+2

b)_ Giải phương trình: Vx? +3x+2+Vx? -14+6=3Vx414+2Vx4+24+2Vx-1,

(xeR).

Câu 2 (2,0 điểm).
a) Chứng

minh rằng nếu

ø là số nguyên dương thì

2(

427" +..+9)

chia hết cho

n(n+l1).

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, g thoa man diéu kién p? —2q? =1.

Câu 3 (7,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abe =1. Chứng minh:
a

(a+1)(b+1)

+

b

(b+l)(c+l)

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC,

AB
+

Cc

(c+l)À(a+l)

3

>—

4

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường

cao kẻ từ A, B, C. Goi P la giao diém cua dudng thang BC va EF. Duong thang qua D song
song voi EF lan lugt cat cac duong thang AB, AC, CF tai Q, R, S. Chung minh:
a)

Tứ giác BỌCPR nội tiệp.

b) T8

PC

c)

= 28

DC

và D là trung điểm của OS.

Dudng trdn ngoai tiép tam gidc POR đi qua trung điểm của BC.

Cau 5 (1,0 diém). Hỏi có hay khơng l6 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ

ba chữ sô a, b, c thỏa mãn hai sô bat kỳ trong chúng không có cùng sơ dư khi chia cho 162


KY THI TUYEN SINH LỚP 10 THPT CHUYỀN NĂM HỌC

SO GD&DT TRUONG
QUANG AN

2018-2019

HƯỚNG DẪN CHÁM MƠN: TỐN

(Huong dan chấm có 04

Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn

trang)

A. LƯU Y CHUNG

- Hướng dẫn cham chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài
học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.
- Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phân nào thì khơng cho điểm tương ứng với

phân đó.

B. DAP AN VA THANG DIEM

Cau

Y

Noi dung trinh bay

Điềm

xy=x+y+I

Giải hệ phương trình 4 yz= y+z+5

1,5

(x,y,zeR)

ZZ=z+x+2

xy=x+y+l

|@=J=l)=2

Zx=z+x+2

(z-1)(x-1)=3

yz=y+z+5 ©14(y-I(z-I)=6

0,50

Nhân từng về các phương trình của hệ trên ta được

((x-1l)(y-l(z-D) : =364

(x=1)(y=1)(-1)=6
(x-I)(y=1)(c-1) =-6

0,50

+) Néu (x-1)(y-1)(z-1)
=6, két hợp với hệ trên ta được
x-l1=l

x=2

0,25

y-l=2<&6Ằ‹4y=3
z—l=3

z=4

+) Néu (x-1)(y—1)(z-1) =-6, két hop voi hệ trên ta được
x-l=-l

x=0

y—l=-2<+

y=-1. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

z—l=—3

Z=-2

0,25

(x; y;z)=(2:3:4).(0:—1;—2).

Giai phuong trinh

Ma?+3x+2+4x?—1+6=3Vx+1+2x+2+2V}—l, (xe)

1,5

Điều kiện xác định x >1. Khi đó ta có

x?+3x+2+x?T=1+6=3Vx+1+2Nx+2+2\x—1

0,50

©x+I(jx+2+xx—I=3)=2(jx—1+\x+2-~3}

0,50

©4(x+1)(x+2)+4j(x—1)(x+1)+6=3x+I+2jx+2+2Nx—I
©(x+1)(x+2)+4/(6—1)(x+1)—3x+1=2Nx—I+2wx+2—6
= (Vx+1-2)(Vx+2+Vx-1-3)=0

*) Jx+2+Ÿx—I-3=0€>x+2+x—I+2(x+2)(x—1)

=9<>4x'+x-2=4-x

0,25


x<4

2S),
5
<>x_=2
x+x-2=x
-8x+Ì]6
*) *x+l=2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {2,3}.

0/29

Chứng minh rằng nếu ø là số nguyên dương thì 2018(1

+270" +...)

L0

chia hết cho n(n+1).

,

Nhận xét. Nếu ø,blà hai s6 nguyén duong thi a” +b" (a+b).
Khi đó ta có

2018(19 +25 +...+u)

0,25

025

= 1009| (°° +n) tị" +(n = 1"). + (0

+P?) (n+) (1)

Mat khac

2018(17? +2? +..+n”)

= 1009] (1° + (19) + (22 + (1-2)

4 ((n—1)e” 42") 2.00 fin(a) | 27°

Do (n,n+1)=1 va két hợp với (1), (2) ta duge 2018(17" +2" +...+n") chia

025

hết cho n(n+1).

:

Tìm tất cả các số nguyên tố p,ø thỏa mãn điều kiện p°—2z? =1
Nêu p,ø đều không chia hệt cho 3 thi

1,0

p’ =1(mod3),q’ =1(mod3) > p’ —2q? =-1(mod3) vé ly. Do đó trong hai số | 0,50
p.g phải có một số bằng 3.

+) Nếu p=3—9~24?=1<©>4?=4©q=2. Do đó (p.4)=(3.2).
+) Nếu g=3=> p”—18=1 p? =19 vơ lí. Vậy (p.4)= (3.2).

0,25
0,25

Cho z,b,c là các số thực dương thỏa mãn zjc =1. Chứng minh:
a

b

(a+1)(b+1) (P+(+1)
Ta có

ˆ

(a+1)(b+1)

+

2

(b+1)(c+1)

+

=

(c+1)(a+l1)

Cc

` 3

(c+1(+1) 4
> 3

4

1,0

0,50

© 4a(c+1)+42(a+1)+4e(b+1)>3(a+1)(b+1)(c+1)
<= 4(ab+be+ca)+4(at+b+c) > 3abc+3(ab+bc+ca)+3(a+b+c)+3

©ab+bc+ca+a+b+ec>6

0.25

(1)

Ap dụng bât đăng thức AM-GM cho 3 sô dương ta được:
ab+ be + ca > 341 (abe ˆ=3; a+b+c>3Ñjabc =3 cộng từng về hai bất đắng thức
này ta được (1). Do đó bất đăng thức ban đầu được chứng minh.
Dâu đăng thức xảy ra khi va chi khi a=b=c=1.

0.25


E
H

B

_Ì

D

M

`

C

Tứ giác BĨCR nội tiếp.

1,0

Do AB< AC nên Q nam trên tia đơi của tia BA và Đ năm trong đoạn CA, từ đó
QO, C nam vệ cùng một phía cua dudng thang BR.

0.25
’

Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE= BCA,

0,25

Do QR song song voi EF nén AFE = BOR

0,25

Từ đó suy ra BCA = BỌR hay tứ giác BQCR nội tiếp.

0,25

fe
PC

28
DC

va D la trung diém cua OS.

1,0

Tam giác DHB đồng dang tam gidc EHA nên 5

AE

_ Hồ
HA

Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên Đ_HC
AF

Từ hai tỷ số trên ta được ĐBĐ_ A5
DC

HD_ dễ

AF HC

0,25

HA

— (1)
FB

AF EC

.

Ap dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyên PEƑ ta được:
PB EC FA

PC_EA FB

jo fF

AE +)

0,25

=>2 (3)

0,25

PC__AF EC

Từ (1) và (2) ta được

Do QR song song voi EF nén theo dinh li Thales: DG_ BD
PF

D3_CÐ

BP’ PF

Két hop v6i (3) ta duoc DO = DS hay D 1a trung diém cua QOS.
Duong tron ngoai tiép tam gidc POR di qua trung diém cua BC.
Goi M 1a trung diém cia BC. Ta sé ching minh DP.DM = DO.DR.

CP’

Thật vậy, do tứ giác BỌCR nội tiếp nên DQ.DR = DB.DC (4).

Tiếp theo ta chứng minh DP.DM = DB.DC © or|”-”] = DB.DC
DP(DC- DB)=2DB.DC
os

= =

0,25

1,0
0.95

0,25

DB(DP+ DC)= DC(DP- DB) © DB.PC = DC.PB

(đúng theo phần b). Do đó ĐP.DM = DB.DC (5)

Từ (4) và (5) ta được DP.DM = DQ.DR suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay

đường tròn ngoại tiếp tam giác POR đi qua trung điểm của 8C.

Hỏi có hay khơng 16 số tự nhiên, mỗi sơ có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ

SỐ a, b, c thoa man hai so bât kỳ trong chúng khơng có cùng sô dư khi chia cho |
162

0,25

0,25
1,0

Trả lời: Không tôn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được l6số | 0.25


thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16:
.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 sơ chăn, 8 so lẻ.
Do đó, ba chữ so a, b, c khác tính chăn lẻ, giả sử hai chữ sơ chăn là a, 5 và chữ

số lẻ là c.

Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:

aac, abc, qcc, bae,Dbc,
boc, cac, cbe, ccc.

GỌI +x,,x,,...,x, là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên băng cách bỏ

di chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
xc#x,c

hết cho 8

CỐ

(mod16)<16 khơng là ước của x—x,c tức là x,— x, không chia

045
025

Nhưng trong 9 số X¡,%;,...,„ Chỉ có ba số lẻ ac,be,cc nên 8 số bất ky trong 9

SO x;,x;,...,x¿ ln có hai số có cùng số dư khi chia cho §, mâu thuẫn.
Tương tự. trường hợp trong ba số ø, b, c có hai số lẻ, một số chăn cũng không
xảy ra

0.25


oe

#

đà

b

SỐ

kính chào tạp chí tố n ti thơ !

Ngày 15-11-2016 tap chí tốn tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần

nữa mình khơng ra dược vì khơng có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại

bất công với tơi như thê .Mình sơng trên núi cao q ,mọi thứ đều khó
khăn

Trên chun tàu của tốn học ln thiếu mình .Một lời giải mà mình giải
khơng ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lai ban cùng đến như vậy hả trời .Buồn

cho xã hội không tận dụng nhân tài -Tun dung cơng chức là để tìm
người nhà và tiền .Kẻ như tơi thì khơng có : THAN THE TIEN va nhu thé
bi vut ra duong trong chuyén tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao

người ta có thể mua một kg nho Nhat Ban voi gia 1,3 trigu -1,5 triệu để ăn
mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi —Ha Noi gia 700 tram
nghìn khơng được ,bài tốn giải mãi mà chang xong .Người bần cùng ,kẻ

thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà

phải đặt tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt
Nam giới thượng lưu mua hết trong mot giờidong hho That Sự sốc trái cây
Việt Nam rẻ như bèo mà “cho không lấy thấy khơng xin nội øi Đột việc

kính chào tạp chí tốn tuổi thơ !

Tôi tên là :Truong Quang An

Vừa rồi ngày 4-1-2016 tơi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí tốn

tuổi thơ 15 năm ti .Bản thân tơi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự
nhưng hồn cảnh gia đình q khó khăn .Tơi đi làm lương q thấp .dạy hợp đồng

,vợ tôi di làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng .chiều 8h mới về nhà . Vợ tôi làm thì
tháng nào có sản phẩm thì có lương .khơng có sản phẩm làm thì tháng đó khơng có
lương „một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chông làm không đủ trang trải cho
cuộc sống hăng ngày . Lôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ
gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê
làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê

tốn học khi là học sinh cấp 1 .Tơi rất nghèo nhưng niềm đam mê tốn học trong tơi
rất lớn dù tơi có hoạt đơng bên lĩnh vực khác .Tơi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã

có thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiên tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nỗi nên

không thể ra dự với tạp chí .Năm ngối tơi khơng ra Đà Nẵng dự hội thảo được „năm
nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TỐN TUỔI THƠ „tuy nhiên tơi xin chúc tạp chí

ln phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê tốn học nhé .Tơi xin hứa là sẽ
thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí tốn tuổi thơ và tạp chí tốn học& ti
trẻ
Tơi rất bn .Xin chân thành ghi nhận tắm lịng của tạp chí

THÀ

tt

Tên : Trương Quang An
Ngày sinh :20-5-1987
Tốt nghiệp cao đăng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009
Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuôi năm 201 mới xin hợp đồng làm
việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2

Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi
Thành tích lúc đi học :

Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi tốn cấp thị xã Quảng Ngãi
Lớp 9: Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết

Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm, tôi phải xa giảng

đường đại học vì mẹ tơi đau q nặng ,øánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia
tay đại học .Sau đó tơi về q nhà học cao đăng sư phạm Quảng Ngãi
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Tốn học .Các Thành tích :

- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007.,2008

-Ba năm giải nhất mơn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN

cấp trường Cao Đăng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007.2008
-Trong 3 lần đại diện cho trường thi ƠLIMPIC TỐN SINH VIÊN Tồn quốc

thì 1 lần đạt giải ba „1 lần giải khuyến khích .

-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải tốn trên máy tính casio
cấp trường .
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đăng sư phạm được đăng đề trong mục đề
ra kỳ này của tạp chí tốn học ti trẻ


-Sinh viên đầu tiên của trường cao đăng sư phạm được đăng bài trong mục
chuyên đề của đặc san tạp chí tốn học tuổi trẻ
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí
tốn học và tuổi trẻ
-Hiện nay sáng dạy ở trường vì đông lương quá thấp nên đi dạy kém khắp
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hăng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở
quê Quảng Ngãi
-Bản thân là người rất đam mê mơn tốn từ khi tơi cịn là học sinh lớp 7. hiện

nay tơi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào
chun tốn

-Hién nay ban than muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tơi khơng
thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hồn cảnh

-Những giáo viên u tốn nếu có nhu câu giải các bài tốn khó và giao lưu

học hỏi

-Xóm tơi bình thường lắm .bọn nhỏ ngây thơ .ngộ nghĩnh đáng u .Hằng
ngày bọn trẻ xóm tơi thường nhờ tơi giúp các bài tốn khó .Tơi đến với tạp chí tốn
học ti trẻ khi tơi cịn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chi
như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hăng tháng .Ban đầu tơi
thích thú tị mị tìm thêm tài liệu ,sau nay cơ gắng giải các bài tập trong chuyên mục
dé ra ky nay -Trong 16 nam qua tạp chí đã cho tơi được tiếp xúc với các bài toán rất
hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tơi .Tơi

bước vào sư phạm tốn với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí
đăng I bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tơi rất vui sướng ,khơng tả nỗi .Đó là thời
điểm năm 2008 ,khi đó tơi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập
khơng có ,sinh viên cao đăng như tơi viết bài cho 1 tạp chí tốn học là điều viễn vơng
„đó là sư thật .Nhưng tơi khơng nản lịng và cuối cùng tơi cũng đạt được ước mơ của

tơi .Những ngày đó thật khó khăn .tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu

điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY ban lai mot

chiếc máy tính đề bàn cũ .tơi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn .thế là từ nay có

thế đánh vi tinh các bài tốn mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hồn thiện tơi
chạy ra qn PHƠ T Ơ COPPY. để gởi vì nhà khơng có mạng INTERNET .Có lẽ tơi
sẽ gục ngã trước cuộc sóng nghèo khơ và thiếu tiền bạc nếu như tơi khơng có niềm
đam mê tốn học .Tơi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của
minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo tốn ,trên kệ báo cịn dung | to

„đọc và thấy tên mình và tơi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về
nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh
.Mây tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo
như tơi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học „vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua
nhanh .ra trương vì hồn cảnh cha mẹ đau và khơng có tiền,khơng nơi nào nhận mình
vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi

dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ơm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí

tốn học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc

khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy tốn . Nhà tơi hiện
nay sách tốn rất nhiều „16 năm qua tơi đã có trong tay khoảng 451 số báo tốn học
,mua có .tơi mượn báo để phơ tơ cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi

thường ra bưu điện đề mua .từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được

báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh
dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi


cung mua được chiếc xe máy
u tốn mà có điều kiện hơn
shay viét bai cho tap chí .Tiền

có ý chí thì chúng ta sẽ thành

cũ đề di làm .Qua những
tơi hãy cỗ găng lên nhé
trong cuộc sống không
công .Tôi hiện nay có 2

tâm sự này tơi muốn các bạn
,hãy đặt mua tạp chí tốn học
là gì „nếu chúng ta cơ gắng và
ước mơ ,thứ nhất được ra thăm

tốn chí tốn học ti trẻ 1 lần cho biết „năm ngối được tạp chí tốn học ti thơ
mời ra dự bi hội thảo tốn học ở Đà Nẵng nhưng do cơng việc và cha mẹ đau nặng
tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở q tơi có

dạy hệ tại chức ,nhưng tơi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người
rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc
sống hăng ngày. Trên toàn quốc ,nễu trường nào cần giáo viên như tơi thì liên hệ SỐ
điện thoại 01208127776 .Khơng biết tạp chí tốn học có tuyển một cộng tác viên
trình độ cao đăng như tơi khơng .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp .tôi không
song duoc bang nghệ sư phạm ,
Một người đam mê Tốn và tạp chí tốn học và tuổi trẻ ,
tạp chí tốn tuổi thơ

Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi
Trương Quang An