GIAOTRINH chuong2-TCC

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chương 2 cung cấp cho người học các khái niệm cơ bản về ma trận, định
thức. Đây là các khái niệm được sử dụng trong một số lĩnh vực như công tác
thống kê, công tác kế toán khi các số liệu được sắp xếp dưới dạng các bảng số.
Chương này cũng cung cấp các kiến thức cơ bản nền móng cho việc xây dựng
kiến thức ở các chương 3 và chương 4.
2.1 MA TRẬN
2.1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
a) Khái niệm ma trận:
Định nghĩa 2.1: Ma trận A cấp mxn (hoặc cỡ mxn) là một bảng số chữ nhật
có m dịng, n cột và được viết:
a11
�
�
a
A  �21
�...
�
am1
�

a12
a22
...
am 2

... a1n �
... a2 n �
�hay A=(a )
ij mxn
... ... �

�
... amn �

- Các số aij (i=1,2…m; j=1,2..n) là phần tử nằm ở dịng i và cột j của ma trận
A.
�2
�3

Ví dụ 1: Cho A  �

1 0 �
. A là một ma trận cấp 2x3 với các phần tử :
4 2 �
�

a11 là phần tử ở dòng 1, cột 1 và a11=2
Tương tự với các phần tử còn lại: a12=-1; a13=0; a21=3; a22=4; a23=-2.
Trong lĩnh vực kinh tế khái niệm ma trận cũng được sử dụng khá nhiều.
Chẳng hạn:
Ví dụ 2:
Một cơng ty sản xuất 3 loại sản phẩm. Các chi phí (đơn vị USD) về ngun liệu
thơ, nhân cơng, hành chính để sản xuất một đơn vị sản phẩm A, B, C được cho
bởi bảng sau:

1


Sản

phẩm A

B

C

Chi phí
Ngun liệu thơ

0,01

0,3

0,15

Nhân cơng

0,3

0,4

0,25

Chi phí hành chính

0,1

0,2

0,15

Bảng thứ hai nêu sản lượng trong mối quý:

Mùa

Quí I

Quí II

Quí III

Quí IV

A

4000

4500

4500

4000

B

2000

2600

2500

2000

C

5000

6000

5000

5500

Sảnphẩm

Ta thấy các bảng số liệu này chính là các ma trận cấp 3x3 và 3x4.
b) Hai ma trận bằng nhau
Định nghĩa 2.2: Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng
nhau và ta viết A=B.
Như vậy nếu A=(aij)mxn; B=(bij)mxn
A=B � aij=bij Với i=1…m, j=1…n.
c) Ma trận đối

2


Định nghĩa 2.3: Cho ma trận A cỡ mxn, A=(aij)mxn. Ma trận đối của ma trận A
kí hiệu –A và được xác định –A= (-aij)mxn.
�2

Ví dụ : Cho ma trận A  �
3
�

1 0 �
2 1
�
thì  A  �
�
4 2 �
3 4
�

0�
2�
�

2.1.2 Các dạng ma trận đặc biệt
a) Ma trận khơng:
Ma trận khơng là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
Kí hiệu: Omxn
Ví dụ: O3 x 2

0 0�
�
�
�
0 0�
�
�

0
0
� �
�

b)Ma trận hàng: Ma trận hàng là ma trận chỉ có một dịng hay ma trận cấp
1xn.
A   a1

a2

... an 

c) Ma trận cột: Ma trận cột là ma trận chỉ có 1 cột hay ma trận cấp mx1.
�a1 �
�
a2 �
�
�
A  �. �
� �
�. �
�
am �
�
�

d) Ma trận vuông: Ma trận vuông là ma trận có số dịng bằng số cột hay ma
trận cấp nxn.
a11

�
�
a
A  �21
�...
�
an1
�

a12
a22
...
an 2

... a1n �
... a2 n �
�
... ... �
�
... ann �

Trong ma trận vuông A đường thẳng qua aii(i=1,2…n) gọi là đường chéo
chính của ma trận A. Đường thẳng qua a1,n, a2,n-1,…, an,1 gọi là đường chéo phụ
của ma trận A.
e) Ma trận tam giác:
Ma trận tam giác là ma trận vng có tất cả các phần tử nằm về một phía
của đường chéo chính bằng 0.
Như vậy ta sẽ có hai loại ma trận tam giác.
Ma trận tam giác trên:
3

a11
�
�0
A�
�...
�
�0

a12
a22
...
0

... a1n �
... a2 n �
�
... ... �
�
... ann �

0
a22
...
an 2

... 0 �
... 0 �
�

... ... �
�
... ann �

Ma trận tam giác dưới:
a11
�
�
a
A  �21
�...
�
an1
�

f) Ma trận đường chéo:
Ma trận đường chéo là ma trận vng có tất cả các phần tử nằm ngồi
đường chéo chính bằng 0.
a11
�
�0
A�
�...
�
�0

0
a22
...
0

... 0 �
... 0 �
�
... ... �
�
... ann �

g) Ma trận đơn vị:
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả các phần tử thuộc đường
chéo chính bằng 1. Kí hiệu: E
Như vậy ma trận đơn vị là ma trận có dạng:
1
�
�
0
E�
�
...
�
0
�

0
1
...
0

...
...

...
...

0�
0�
�
...�
�
1�

2.1.3. Các phép tốn trên ma trận:
a) Phép cộng ma trận.
Cho A, B là hai ma trận cùng cấp A=(aij)mxn; B=(bij)mxn. Tổng của hai ma trận
A và B là một ma trận cùng cấp với A và B, kí hiệu A+B và được định nghĩa:
A+B=C=(cij) với cij= aij+ bij
Như vậy phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi chúng cùng cấp.
Ví dụ 1:
Cho hai ma trận:

4


2 1 0 �
1 1 0 �
�
�
A�
và B  �
�
�

4 2 �
�1
�1 4 2 �
2 x3
2 x3
(2)  (1) (1)  (1)
00 �
3 2
�
�
A B  �
�
�
4  (4)
( 2)  2 �
� 11
�2 0
2 x3

0�
0�
�
2 x3

b) Phép nhân một số với một ma trận:
Cho ma trận A=(aij)mxn , tích của một số thực k với ma trận A là một ma trận
cùng cấp với ma trận A,kí hiệu kA và được xác định: kA=(kaij)mxn
Ví dụ 2:
Cho ma trận:
1 1 2 �

�
�
A�
3 1 2 �
�
�
�
5
0

3
�
�

Ta có:
1 1 2 � �
1 1 2 � �2 2 4 �
�
�
�
�
�
�
2A  �
3 1 2 � 2. �
3 1 2 �
� �6 2 4 �
�
5 0 3 �
5 0 3�

10 0 6 �
�
� �
�
� �
�
�

Từ định nghĩa ma trận đối ta có –A=(-1)A
Do đó ta có định nghĩa phép trừ hai ma trận:
A-B=A+(-B)
Như vậy hiệu của hai ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp
A-B=C=(cij)mxn với cij=aij-bij
Ví dụ 3:
Cho hai ma trận:
2 1 0 �
1 1
�
�
A�
và B  �
�
�1 4 2�
�1 4
2 x3
(2)  (1) (1)  ( 1)
�
A B  �
4  (4)
� 11

0�
2�
�
2 x3

00 �
1
�
�
�
(2)  2 �
�0
2 x3

c) Phép nhân hai ma trận:
Cho ma trận A=(aij)mxp và ma trận B=(bij)pxn :

5

0
8

0�
4�
�
2 x3


a11

�
�
a21
A�
�...
�
am1
�

a12
a22
...
am 2

... a1 p �
b11
�
�
�
... a2 p �
b21
B�
;
�...
... ... �
�
�
... amp �
b p1
�

b12
b22
...
bp 2

... b1n �
... b2 p �
�
... ... �
�
... bpn �

Tích của hai ma trận A và B kí hiệu A.B là ma trận C cấp mxn và được xác
định như sau:
c11
�
�
c21
A.B=C=(cij)mxn= �
�...
�
cm1
�

ai1 ai 2
Trong đó cij  �
�

c12

c22
...
cm 2

... c1n �
... c2 n �
�
... ... �
�
... cmn �

b1 j �
�
�
b2 j �
�
� n
�
.
... aip �
 �aip bpj =ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpj
�� �
� j 1
. �
�
�
bpj �
�
�

(i=1,2…,m; j=1,2…,n)
Từ định nghĩa tích A.B chỉ thực hiện được nếu số cột của ma trận A bằng số
dịng của ma trận B.
Ví dụ 4: Cho hai ma trận:

6


�1 1�
2 1 1 �
�
A�
và B  �
0 2�
�
�
�
�3 4 2 �
2 x3
�
�
2
1
�
�
3x 2
c
c �
�
Ta có AB  C  (cij ) 2 x 2  �11 12 �

c21 c22 �
�
1
��
��
c11   2 1 1 ��
0  (2).1  (1).0  1.2  0
��
2
��
1�
�
�
c12   2 1 1 �2 �
� (2).(1)  (1).2  1.1  1
�
�1 �
�
1
��
��
c21   3 4 2 ��
0  3.1  4.0  (2).2  1
��
2
��
1�
�
�
c22   3 4 2 �2 �

� 3.(1)  4.2  (2).1  1
�
�1 �
�
�0

1�

Vậy A.B= �
.
1 1�
�
�
Tính B.A

7


Ta có BA  C  (cij ) 3 x 3

c11
�
�
c21
�
�
c31
�

c12

c22
c32

c13 �
c23 �
�
c33 �
�

2
1�
��
�
c11   1 1 �� 1.2  ( 1).3  1;
c12   1 1 � � 1.( 1)  ( 1).4  5;
3
��
�4 �
2
�1 �
��
c13   1 1 � � 1.1  ( 1).( 2)  3; c21   0 2  �� 0.2  2.3  6
2 �
3
�
��
1�
�
�1 �
c22   0 2 � � 0.( 1)  2.4  8;

c23   0 2 � � 0.1  2.(2)  4
2 �
�4 �
�
2
��
c31   2 1 �� 2.2  1.3  7;
3
��
�1 �
c33   2 1 � � 2.1  1.( 2)  0
2 �
�

1�
�
c32   2 1 � � 2.( 1)  1.4  2;
�4 �

1 5 3 �
�
�6 8 4 �
Vậy B.A= �
�
�
�7 2 0 �
�

Từ kết quả của phép toán ta thấy A.B �B.A. Như vậy phép nhân hai ma trận
khơng có tính chất giao hốn.

Ví dụ 5: Với số liệu trong Ví dụ 2 mục 2.1.1. Hãy lập bảng kê khai chi phí
nguyên liệu thơ, nhân cơng, hành chính cho mỗi q.
Việc lập bảng kê khai chi phí ngun liệu thơ, nhân cơng, hành chính cho
mỗi quí chính là thực hiện phép nhân hai ma trận:
0, 01 0,3 0,15 �
�
�
A  �0,3 0, 4 0, 25�
;
�
�
�0,1 0, 2 0,15 �
�

4000 4500 4500 4000 �
�
�
B�
2000 2000 2500 2000 �
�
�
�
5000
6000
5000
5500
�
�

Thực hiện phép nhân ta được bảng kê khai cho mỗi q:

Ngun liệu thơ

Q I

Q II

Q III

Q IV

1390

1545

1545

1465

8


Nhân cơng

3250

3650

3600

3375

Chi phí hành chính

1550

1750

1700

1625

0 1�
�
Tìm ma trận B sao cho AB=BA.
1 1�
�
�

Ví dụ 6: Cho ma trận A= �

Giả sử tồn tại ma trận B sao cho AB=BA. Do ma trận A cỡ 2x2 nên ma trận B
cỡ 2x2.
a b�
�
khi đó ta có:
c d�
�
�
0 1 ��

a b� �c
d �
�
A.B  �
�
�
�
�
1 1��
c d� �
a c bd�
�
�
a b ��
0 1� �
b a  b�
�
BA  �
�
�
�
�
c d ��
1 1� �
d c d�
�
�
cb
�
�

ac  d
cb
�
�
AB  BA � �
��
a, b �R
d  a b
d  ab
�
�
�
bd cd
�
a
b �
�
Vậy ma trận B= �
Với a, b �R .
b a  b�
�
�

Gọi B= �

Ví dụ 7: Tìm ma trận X :

Đặt

1 2 3 � �1 �

�
�6 2 4 � �
1�
�
�X= �
�
�
�
�
�0 2 0 � �0 �
�
1 2 3 �
�
�1 �
�6 2 4 �
�
1�
A= �
�; B= �
�
�
�
�
�0 2 0 �
�0 �
�

Giả sử tồn tại ma trận X thỏa mãn AX=B. Do ma trận A cỡ 3x3, ma trận B cỡ
3x1 nên X cỡ 3x1.
a

��
��
b với a, b, c �R .
Gọi X= ��
��
c
��

Ta có:

9


� 1
a
�

a

2
b

3
c
1

a

2
b


3
c

1
�
� � � �
14
�
�
�
�
�
�
AX= �
6a  2b  4c � �
1�� �
6a  2b  4c  1 � �
b0
�
�
�
�
5
� 2b
� �
�0 �
� �2b  0
�
c

� 14
�1 �
�
14 �
� �
Vậy X= �0 �
�5 �
� �
14 �
�

2.1.3. Các tính chất cơ bản.
Từ định nghĩa về các phép toán, đối với ma trận có cấp thích hợp ta có các
tính chất sau:
1. A+B=B+A
2. (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+O=A
4. A+(-A)=O
5. A.E=E.A=A
6. 1.A=A
7. k(A+B)=kA+kB
8. (k+l)A=kA+lA
9. A(B+C)=AB+AC
10. (B+C).D=B.D+C.D
11. (kl)A=k(lA)
12. l(A.B)=(l.A).B
13. (A.B).C=A.(B.C)
Chú ý: 1. Từ các tính chất của phép nhân hai ma trận, ta có thể thực hiện phép
nhân nhiều ma trận với cỡ phù hợp. Và khi thực hiện chú ý sử dụng tính chất 13
linh hoạt để việc tính tốn đơn giản hơn.

1 3 1�
1 0 0�
�0 2 1�
�
�
�
�
�
�
�
2 2 1�
; C�
0 2 0�
Ví dụ: Cho A  �1 1 1�; B  �
�
�
�
�
�
�
�

2

5
4
3
4
2
0

0
1
�
�
�
�
�
�

Tính A.B; D=B.C.A; D8.
Sử dụng định nghĩa phép nhân ma trận ta có:

10


1
�0 2 1��
�
�
�
AB  �1 1 1��
2
�
2 5 4 �
3
�
��
�
1 3 1 ��
1 0

�
�
�
�
2 2 1 ��
0 2
D =�
�
3 4 2�
0 0
�
��
�

3 1� �
1 0 0�
�
�
2 1 � �
0 1 0�
�
�
�
4 2�
0
0
1
� �
�
0 ��0 2 1� �

4 3 3 �
�
�
�
�
0 ��1 1 1� �
2 3 2 �
�
�
�
�
�
1�

2

5
4
4
4

3
��
� �
�

Ta có D=B.C.A do đó
D2=D.D=B.C.A.B.C.A=B.C.E.C.A ( theo câu a và tính chất của phép
nhân)
=B.C.C.A

=B.C2.A
Vậy D8= B.C2.(A. B).C2.(A. B).C2.(A.B).C2.A=B.C8.A
Mặt khác
1 0
�
�
C �
0 28
�
0 0
�
8

0�
0�
�
1�
�

Do đó:
0 ��0 2 1� �
1 3.28
�
� �
0�
2 29
��1 1 1� �
1�
2 5 4 �
3 4.28

��
�
� �
�
�766 765 765 �
�
�
�510 511 510 �
�
1020 1021 1020 �
�
�

1 3 1 ��
1 0
�
�
D8  �
2 2 1�
0 28
�
��
�
3 4 2�
0 0
�
��
�

1 ��0 2 1�

�
�
1 ��
�1 1 1�
2�
2 5 4 �
�
�
��

2. Cho ma trận A vuông. Lũy thừa bậc n ( n nguyên dương) của ma trận A
An  {
A.... A

(n  N , n

0)

n

1 2�
�
. Tìm An với n �N , n �0 .
�
0
1
� �

Ví dụ 9: Cho ma trận A  �
Ta có:

11


1 2�
�
A� �
.
0 1�
�
1 2 ��
1 2� �
1
�
� A2  A. A  � ��
.

�
0 1 ��
0 1�
0
�
� �
1 4��
1
�
� A3  A. A. A  A2 . A  � ��
.
0 1 ��
0

�

4�
1�
�
2� �
1 6�
� �
�
1� �
0 1�

…
Cứ tiếp tục như vậy ta có :
1 2.n �
�
An  �
(n  N , n 1) (*)
0 1 �
�
�

Thật vậy:
1 2�
�

Với n=1 thì A  � �. vậy (*) đúng với n=1.
0 1�
�
1 2.k �

�
�(k  N , k
� 1 �

k
Giả sử (*) đúng với n=k hay A  �
0

0) . Ta phải chứng minh (*)

đúng với n=k+1.
1 2.k ��
1 2� �
1 2  2k � �
1 2(k  1) �
�
�
�
(k  N , k
�
�
�
�
0 1 ��
0 1� �
0
1 � �
0
1 �
�

�

k 1
k
Ta có : A  A . A  �

0)

(ĐPCM)
2.1.4. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận gồm các biến đổi sau:
1. Đổi chỗ hai dòng (cột)
2. Nhân một số khác 0 với một dòng (cột)
3. Cộng vào một dịng (cột) tích của một dịng (cột) khác với một số thực k.
Ví dụ: Cho ma trận:
3 2 3 �
�
�
A�
1 2 1�
�
�
�
5
2
0
�
�

Đổi dòng 1 và dòng 2 của ma trận ta được:

12


1 2 1�
�
�
A1  �
3 2 3�
�
�
5 2 0�
�
�

Nhân dòng 1 với -3, nhân dòng 2 với -5 rồi cộng tương ứng với các phần tử
của dòng 2 và dòng 3 ta được:
1 2 1�
�
�
A2  �
0 8 0 �
�
�
�
0

8

5
�

�

Nhân dòng 2 với -1 rồi cộng tương ứng với các phần tử của dòng 3 ta được:
1 2 1�
�
�
A3  �
0 8 0 �
�
�
�
0
0

5
�
�

2.1.5. Ma trận chuyển vị:
Định nghĩa 2.4: Cho ma trận A=(aij)mxn. Chuyển vị của ma trận A là ma trận
A’=(a’ij)mxn trong đó (a’ij)=(aji) với i=1..m; j=1..n.
Như vậy ma trận chuyển vị A’ nhận được bằng cách chuyển cột của ma trận
thành dòng và chuyển dòng thành cột.
2 1 �
�
2 1 0 �
�
�
'
�A �

1 4 �
Ví dụ: Cho ma trận A  �
�
�
4 2 �
�1
2 x3
�
�
0

2
�
�
3x2

Ta cũng có thể chứng minh được các tính chất sau:
i.
(A’)’=A
ii.
(A+B)’=A’+B’
iii. (AB)’=B’A’
2.2 ĐỊNH THỨC
2.2.1. Định nghĩa.
a) Định thức cấp 1:
Định nghĩa 2.5: Cho ma trận cấp 1: A=[a11] . Định thức của ma trận A gọi là
định thức cấp 1 được xác định bằng phần tử duy nhất của nó
13

det A=a11

(2.1)

b) Định thức cấp 2:
a
�

a �

11
12
. Định thức của ma trận A
Định nghĩa 2.6: Cho ma trận cấp 2: A  �
a21 a22 �
�
�

được xác định detA=

a11
a21

a12
=a11a22-a12a21
a22

(2.2) được gọi là định thức

cấp 2.

�1

2�

1

2

.� A 
 1.0  (1).2  2
Ví dụ: Cho ma trận : A  �
1 0�
1 0
�
�
c. Định thức cấp 3:
Định nghĩa 2.7:
a11
�
�
a21
Cho ma trận A  �
�
a31
�

a12
a22
a32

a13 �
a23 �
. Định thức của ma trận A là một số thực và
�
a33 �
�

được xác định như sau:
a11
detA= A  a21
a31

a12
a22
a32

a13
a
a23  .a11 22
a32
a33

a23
a
 a12 21
a33
a31

a23
a

 a13 21
a33
a31

a22
a32

Theo cơng thức (2.2) định thức của A có thể viết lại
detA=a11.a22.a33+ a12.a23.a31+ a13.a21.a32-a11.a23.a32- a12.a21a33-a13.a22.a31
Ví dụ :

(2.3)

(2.4)

1 3 1
1 0 2  1.0.( 1)  3.2.4  1.( 1).1  4.0.1  1.2.1  ( 1).( 1).3  18 .
4 1 1

2.2.2. Phần bù và phần bù đại số.
Cho định thức cấp 3:
a11
d  a21
a31

a12
a22
a32

a13

a23
a33

Định thức Mij xác định bằng cách bỏ dòng thứ i và cột thứ j của định thức d
được gọi là phần bù và Aij=(-1)i+jMij đưuọc gọi là phần bù đại số của phần tử
aij của định thức d.

14


Như vậy từ định nghĩa nếu i+j chẵn thì phần bù đại số Aij của aij là phần bù Mij
được gán dấu cộng, nếu i+j lẻ thì phần bù đại số Aij của aij là phần bù Mij được
gán dấu trừ. Và Mij là định thức cấp 2.
Ví dụ: Cho định thức:
1 3 1
1 0 2
4 1 1

Phần bù của a11; a12; a13 lần lượt là:
M 11 

0 2
1 2
1 0
; M 12 
; M 13 
1 1
4 1
4 1

Phần bù đại số đối với phần tử a11
A11  (1)11 M 11  M 11

Phần bù đại số đối với phần tử a12
A12=(-1)1+2M12=-M12.
Phần bù đại số đối với phần tử a13
A13=(-1)1+3M13=+M13.
Tương tự với các phần tử cịn lại.
2.2.3. Cơng thức khai triển định thức theo dịng, theo cột
Từ cơng thức (2.3) ta có thể viết lại như sau:
d=detA=a11A11+a12A12+a13A13
(2.5)
Cơng thức (2.5) gọi là công thức khai triển định thức d theo dịng 1.
Hồn tồn tương tự ta cũng có thể khai triển định thức d theo các dòng i của ma
trận A
d= detA= ai1Ai1+ ai2Ai2+ai3Ai3
hoặc cột j: d=detA= a1jA1j+a2jA2j+a3jA3j
2.2.4 Định thức cấp n
Cho ma trận A cấp n. Định thức của ma trận A là một số thực và được kí hiệu
detA hay A
Hoặc

a11
a21
...
an1

a12
a22
...

an 2

... a1n
... a2 n
... ...
... ann

Hoàn toàn tương tự đối với định thức cấp 3, ta sẽ nhận được các cơng thức khai
triển theo dịng, theo cột của định thức cấp 4, 5…, cấp n.
Như vậy khai triển theo dòng thứ i của ma trận A cấp n ta có:
detA= ai1Ai1+ ai2Ai2+...+ainAin.
15


= (-1)i+1ai1Mi1 +(-1)i+2 ai2Mi2+…+(-1)i+n ainMin
Hoặc theo cột j như sau:
detA=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj
= (-1)1+jaj1Mj1+(-1)2+jaj2Mj2+…+(-1)n+jajnMjn

(2.1)
(2.2)

1 3 �
�

.
Ví dụ 1: Cho ma trận: A  �
�
�2 1�
Khai triển định thức A theo dòng 1 ta có:

A

1 3
 1.(1)11 1  3(1)1 2 2  1  6  7
2 1

1 2 2 �
�
�
4 1 1�
.
Ví dụ 2 : Cho ma trận: A  �
�
�
0 3 2 �
�
�

Khai triển định thức của ma trận A theo dịng 1 ta có
1 2 2
1 1
4 1
4 1
det A  4 1 1  1.
2
 (2)
 5  16  24  13.
3 2
0 2
0 3

0 3 2

Tương tự ta cũng có thể khai triển định thức của ma trận A theo cột 1
1 2 2
1 1
2 2
2 2
det A  4 1 1  1.
4
0
 5  8  13.
3 2
3 2
3 2
0 3 2
�1
�2
Cho ma trận: A  �
�
1
�
�0

Ví dụ 3:

3 1 2 �
0 0 1�
�
.
4 2 0�

�
1 1 2�

Công thức khai triển định thức của ma trận A theo dòng 2 ta được:
A  (1)

2 1

3 1 2
1 1 2
1 3 2
1 3 1
22
2 3
24
2 4 2 0  ( 1) 0 1 2 0  ( 1) 0 1 4 0  ( 1) ( 1) 1 4 2 .
1 1 2
0 1 2
0 1 2
0 1 1

2.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 1: Định thức của ma trận A bằng định thức của ma trận chuyển vị
của nó
16


Tính chất 2: Nếu định thức có một dịng (một cột) tồn phần tử 0 thì định
thức bằng 0.
Tính chất 3: Nếu đổi vị trí hai dịng ( hoặc hai cột) và giữ nguyên các hàng

(cột) khác thì định thức đổi dấu.
Tính chất 4: Nếu nhân tất cả các phần tử của một dòng (một cột) của định
thức với một số thực k thì định thức tăng lên k lần.
Như vậy nếu A là ma trận vuông cấp n
kA  k n A

Tính chất 5: Nếu định thức có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ với nhau thì định
thức bằng 0.
Như vậy định thức có hai hàng (hoặc hai cột) giống nhau thì định thức bằng 0
Tính chất 6: Nếu trong định thức
� a11
� ...
�
d�
bi1  ci1
�
� ...
�
� an1

a12
...
bi 2  ci 2
...
an 2

...
a1n �
...
... �

�
... bin  cin �
�
...
... �
...
ann �
�

có dịng thứ i được viết dưới dạng tổng của 2 dịng thì ta có d=d1+d2 trong đó
a11
�
�...
�
d1  �
bi1
�
�...
�
an1
�

a12
...
bi 2
...
an 2

... a1n �
... ... �

�
... bin �
;
�
... ... �
... ann �
�

a11
�
�...
�
d 2  �ci1
�
�...
�
an1
�

a12
...
ci 2
...
an 2

... a1n �
... ... �
�
... cin �
�

... ... �
... ann �
�

Hoàn toàn tương tự ta cũng có :
a11
a21
...
an1

a12
a22
...
an 2

...a1 j  b1 j ... a1n
a11
...a2 j  b2 j ... a2 n
a21

...
...
...
...anj  bnj ... ann
an1

a12
a22
...
an 2

...a1 j ... a1n
a11
...a2 j ... a2 n a21

...
...
...
...anj ... ann an1

a12
a22
...
an 2

...b1 j ... a1n
...b2 j ... a2 n
...
...
...bnj ... ann

Tính chất 7: Nếu A, B là hai ma trận vng cùng cấp
det(AB)=detA.detB
Ta có thể mở rộng tính chất này cho tích của n ma trận vng cùng cấp:
det(A1.A2…An)=detA1.detA2…detAn.
Từ đó ta có det(An)=(detA)n.
17


Tính chất 8: Định thức sẽ khơng thay đổi nếu ta nhân vào một dòng ( một

cột) với một số thực k rồi cộng tương ứng vào các phần tử của một dịng
( một cột) khác.
Tính chất 9: Định thức của ma trận tam giác và ma trận đường chéo bằng
tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
a11
0
...
0

a12
a22
...
0

... a1n
a11
... a2 n
a
 21
... ...
...
... ann
an1

0
a22
...
an 2

... 0

a11
... 0
0

... ...
...
... ann
0

0
a22
...
0

... 0
... 0
 a11 a22 ...ann
... ...
... ann

2.2.3. Phương pháp tính định thức
a) Phương pháp khai triển (sử dụng định nghĩa): Ta có thể sử dụng cơng thức
khai triển theo hàng ( công thức (2.4)) hoặc công thức khai triển theo cột ( cơng
thức (2.5)) như ví dụ 1. Nhưng rõ ràng nếu ma trận A cấp cao thì việc sử dụng
các công thức khai triển là khá phức tạp. Do đó trên thực tế phương pháp này ít
dùng, chỉ dùng trong một số trường hợp đặc biệt.
Ví dụ 1: Tính định thức:
1
1
D

2
3

3
0
0
0

2 1
0 5
1 1
0 3

Giải: Sử dụng công thức khai triển theo cột 3 ta được:
1
1
D
2
3

3
0
0
0

2 1
1 0 5
0 5
1 5
1 2

 (1) 2 1 1  (1) 2 2
 12
1 1
3 3
3 0 3
0 3

Ví dụ 2: Tính định thức:
x
0
...
0
y

y
x
...
0
0

0
y
...
0
0

...
...
...
...

...

0 0
0 0
... ...
x y
0 x

Khai triển định thức theo cột 1 ta có:

18


x y 0 ...
0 x y ...
... ... ... ...
0 0 0 ...
y 0 0 ...

0
0
...
x
0

0
x y ...
0
... ... ...
...  x

0 0 ...
y
0 0 ...
x

0 0
y 0 ... 0 0
... ...
x y ... 0 0
 (1) n 1 y
x y
... ... ... ... ...
0 x
0 0 ... 0 y

Tiếp tục khai triển theo cột 1 và dòng 1 các định thức trên ta có
D= xn+(-1)n+1yn
b)Tính định thức bằng phương pháp Gauss: Dùng các phép biến đổi sơ cấp
đưa định thức của ma trận A về dạng tam giác. Khi đó định thức của ma trận A
bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của định thức tam giác.
Các phép biến đổi sơ cấp đối với định thức:
- Nếu đổi vị trí hai hàng ( hoặc hai cột) và giữ ngun các dịng (cột) khác thì
định thức đổi dấu.
- Nếu nhân tất cả các phần tử của một dòng (một cột) của định thức với một
số thực k thì định thức tăng lên k lần.
- Định thức sẽ khơng thay đổi nếu ta nhân vào một dịng ( một cột) với một số
thực k rồi cộng tương ứng vào các phần tử của một dòng ( một cột) khác.
2 3
1 2
Ví dụ 1: Tính định thức D 

2 2
3 2

2 1
3 5
1 1
5 3

Ta có:
2 3
1 2
D
2 2
3 2

2 1
1 2
3 5
2 3
h1 � h2  
1 1
2 2
5 3
3 2

3 5
2 1
1 1
5 3

Theo tính chất 8 Lần lượt nhân dòng một với -2, 2,-3 rồi cộng vào dịng 2,3,4.
Ta có :

19


1 2 3
5
0 1 4 9 h2 .2  h3 � h3
D 
0 2 7
9 h2 .(4)  h4 � h4
0 4 4 12
1 2 3 5
0 1 4 9

h3 .12  h4 � h4
0 0 1 9
0 0 12 24
1 2 3
5
0 1 4 9

0 0 1 9
0 0 0 84
 1.(1).( 1).(84)  84.

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
x

3
x

x
2
2
2

3
3
x
x

x
x
0
x
3

Lấy cột 2, cột 3, cột 4 cộng vào cột 1 ta được:
2
x
3
x

x
2
2
2

3
3
x
x

x 2x  5
x 2x  5

x 2x  5
3 2x  5

x
2
2
2

3
3
x
x

x
1
x
1
 (2 x  5)
x
1
3
1

x
2
2
2

3
3
x
x

x
x
h1 .(1)  h2 , h3 , h4 � h2 , h3 , h4
x
3

1
x
0 2 x
 (2 x  5)
0 2 x
0 2 x

3
x
0
0
h2 .( 1)  h3 , h4 � h3 , h4
x 3

0
x 3 3 x

1 2x
0 2x
 (2 x  5)
0
0
0
0

3
x
0
0
h3 .(1)  h4 � h4
x3
0
x 3 3 x

20


1 2 x
0 2 x
 (2 x  5)
0
0
0
0

3
x
0
0
x3
0
0
3 x

 (2 x  5)(2  x)(3  x) 2

Khi đó phương trình đã cho trở thành: -(2x+5)(2-x)(3-x)2=0
5
�
x
�
2
�
��
x2
�
x3
�
�
5
Vậy nghiệm của phương trình là x   ; x  2; x  3.
2

Ví dụ 3: Tính định thức:

1
3
5
7

2
4
9
5

125
347
592
756

5
7
2
6

Ta có:
1
3
5
7
1
3

5
7

2
4
9
5

125
347
592
756

5 1 2
7 3 4

2 5 9
6 7 5

2 1.102
4 3.10 2
9 35.10 2
5 7.10 2

15
60
Ví dụ 4: Tính định thức:
15
15

15
15

30
15

1.102  2.10  5
3.102  4.10  7
5.102  9.10  2
7.102  5.10  6

5 1 2
7 3 4

2 5 9
6 7 5
30
45
45
30

75
75
60
45

Ta có:

21

2.10
4.10
9.10

5.10

5
7
2
6

5 1 2
7 3 4

2 5 9
6 7 5

5
7
2
6

5
7
0
2
6


15
60
D
15
15

15
15
30
15

30
45
45
30

75
1
75
4
 15.15.15.15.
60
1
45
1

1
1
2
1

2
3
3
2

5
h1 .(4)  h2
5
h1 .(1)  h3
4
h .(1)  h4
3 1

1 1 2
5
1 1 2
5
0 3 5 15
0 1 1
1
 154.
h2 � h3  154.
h2 .3  h3
0 1 1
1
0 3 5 15
0 0 0
3
0 0 0
3
1
0
 154
0

0

1 2
5
1 1
1
 154.1.1.(2).3  1350
0 2 18
0 0
3

Ví dụ 5: Cho hai ma trận:
2 1 2 1�
�1 0 2 0 �
�
A�
; B�
�
1 1 1 1 �
0 1 0 1�
�
�
�

Tính det(A’.B)
Ta có:
1 1�
2 2 2 2�
�
�

�
�
�
0 1 ��
2 1 2 1� �
0 1 0 1�
'
�
�
AB 
.
� �
�
�
2 1��
0
1
0
1
4

3
4

3
�
�
�
�
�

�
0 1�
0 1 0 1�
�
�

Khi đó

2 2 2 2
0 1 0 1
det( A' B ) 
0
4 3 4 3
0 1 0 1

2.3. HẠNG CỦA MA TRẬN
2.3.1. Định nghĩa 2.8:
Cho ma trận A=(aij)mxn

22


a11
�
�
a
A  �21
�...
�
am1

�

a12
a22
...
am 2

... a1n �
... a2 n �
�
... ... �
�
... amn �
Chọn s hàng và s cột từ ma trận A ( s �min(m, n) ), định thức của ma trận gồm

các phần tử nằm trên giao s dòng, s cột đã cho lập thành định thức con cấp
s:
Di...j ...is1js1 

ai1 j1

ai1 j2

... ai1 js

ai2 j1

ai2 j2

... ai2 js

...
ais j1

...
ais j2

... ...
... ais js

Di...j ...is1js1 được gọi là định thức con cấp s của ma trận A.
�1 1 2 1 �
�
�
Ví dụ 1 : Cho ma trận A  �0 1 1 2 �
�
�3 1 1 1 �
�

Từ ma trận A ta có các định thức con cấp 2 và cấp 3:
D1212 
123
123

D

1 1
1 2
; D1223 
; D1234 ....

0 1
1 1

1 1 2
1 2 1
234
124
134
 0 1 1 ; D123  1 1 2 ; D123
, D123
.
3 1 1
1 1 1

Định nghĩa 2.9
Hạng của ma trận: Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của định thức
con khác 0. Kí hiệu: Hạng của ma trận A khí hiệu rank A hoặc r(A).
Ví dụ 2: Cho ma trận A trong ví dụ 1 nhận thấy định thức con cấp cao nhất
123
123

D

1 1 2
 0 1 1  3 �0 do đó r(A)=3.
3 1 1

�1 1 1
�
Ví dụ 3: Cho ma trận A  �2 1 1

�
1 4 2
�

23

1
3
0

�
�
�. Tìm hạng của A.
�
�


Ta có
123
123

D

1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
124
134
234

 2 1 1  0; D123  2 1 3  0 D123  2 1 3  0; D123  1 1 3  0
1 4 2
1 4 0
1 2 0
4 2 0

12
Xét D12 

1 1
 3 �0 do đó r(A)=2.
2 1

Định nghĩa 2.10
Định thức con cơ sở: Định thức con cơ sở là định thức con khác 0 cấp cao
nhất của ma trận.
Như vậy một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở nhưng cấp của
chúng bằng nhau.
2.3.2. Một số tính chất về hạng của ma trận
Tính chất 1: Phép chuyển vị khơng làm thay đổi hạng của ma trận.
Tính chất 2: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Tính chất 3: Hạng của ma trận khơng thay đổi nếu ta bỏ 1 hàng (1cột) tỷ lệ
với 1 dòng (1 cột) khác của ma trận hoặc các dòng (các cột) có các phần tử
đều bằng 0.
2.3.3. Phương pháp tìm hạng của ma trận
a) Phương pháp định thức bao quanh
Định nghĩa định thức bao quanh:
Cho định thức con D cấp s của ma trận A. Định thức con cấp s+1 gọi là
định thức bao quanh định thức con D nếu ta thêm một dòng và một cột của
ma trận A ngồi các dịng các cột đã dùng để thành lập định thức D.

Như vậy nếu D là định thức con cấp s của ma trận A cấp mxn thì ta sẽ có (ms) và (n-s)cách chọn thêm một dịng và một cột để thành lập định thức bao
quanh định thức D cấp s+1. Như vậy ta sẽ có (m-s)(n-s) định thức con cấp
s+1 bao quanh định thức D.
1 2
�
�
1 1
Ví dụ 4: Cho ma trận A  �
�
0 3
�
1 1
�
1
12
Ta có định thức con cấp 2 D12 
1

1 2 �
2 4�
�
1 5�
�
1 2�
2
. Định thức bao quanh của D1212 :
1

123
124

123
124
D123
, D123
, D124
, D124
.

Phương pháp tính hạng bằng phương pháp định thức bao quanh

24


Định lý 2.1: Nếu ma trận có định thức con cấp s khác 0 và tất cả các định
thức cấp s+1 bao quanh nó bằng 0 thì hạng của ma trận bằng s.
Phương pháp:
Bước 1: Từ định thức con D cấp r khác 0. Xét các định thức con cấp r+1 bao
quanh D. Nếu tất cả các định thức con cấp r+1 bao quanh D bằng 0 thì hạng
của ma trận bằng r.
Bước 2: Nếu tồn tại định thức cấp r+1 bao quanh D khác 0 thì lại tiếp tục xét
định thúc bao quanh cấp r+2 và cứ tiếp tục lặp lại q trình trên.
1 2 3 �
�
�3 5 1�
�
Ví dụ 5: Tìm hạng của ma trận: A  �
�2 3 2 �
�
�
1 1 5�

�
1 2
12
 1 �0 .
Xét D12 
3 5

Xét các định thức con bao quanh D1212
123
123

D

1 2 3
1 2 3
123
 3 5 1  0; D124  3 5 1  0;
2 3 2
1 1 5

Vậy r(A)=2.
Ví dụ 6:
Biện luận theo k hạng của ma trận:
1 1 2 �
�
�
A�
2 3 1�
�
�

�
1

1
k
�
�
1 1
12
 5 �0
Xét D12 
2 3

Xét định thức con bao quanh D1212
123
123

D

1 1 2
 2 3 1  5k  10
1 1 k

Nếu 5k-10=0 � k  2 khi đó r(A)=2.
Nếu 5k-10 �0 � k �2 khi đó r(A)=3.
c) Phương pháp biến đổi ma trận.
Ma trận bậc thang.
25