Tài liệu Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P2 doc

2.1. Đạo hàm của hàm số thực 43
2.1.29.
Cho
f
khả vi trên
[a; b]
thoả mn
f(a)=f(b)=0;(i)
f
0
(a)=f
0
+
(a) > 0;f
0
(b)=f
0
Ă
(b) > 0:(ii)
Chứng minh rằng tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
f(c)=0
và
f
0
(c) 0
.
2.1.30.
Chứng minh rằng
f(x) = arctan x

thoả mnphơng trình
(1 + x
2
)f
(n)
(x)+2(n Ă 1)f
(nĂ1)
(x)+(n Ă 2)(n Ă1)f
(nĂ2)
(x)=0
với
x 2 R
và
n á 2
. Chứng minh rằng
f
(2m)
(0) = 0;f
(2m+1)
(0) = (Ă1)
m
(2m)!:
2.1.31.
Chứng minh rằng
(e
x
sin x)
(n)
=2
n=2

e
x
sin

x + n
ẳ
4

;x2 R;ná 1;(a)
(x
n
ln x )
(n)
= n!
à
ln x +1+
1
2
+ ÂÂÂ+
1
n
ả
;x>0;ná 1;(b)
à
ln x
x
ả
(n)
=(Ă1)
n

n!x
ĂnĂ1
à
ln x Ă 1 Ă
1
2
ĂÂÂÂĂ
1
n
ả
;x>0;ná 1;(c)
Ă
x
nĂ1
e
1=x
Â
(n)
=(Ă1)
n
e
1=x
x
n+1
;x6=0;ná 1:(d)
2.1.32.
Chứng minh các đồng nhất thức sau:
n
X
k=0

à
n
k
ả
sin

x + k
ẳ
2

=2
n=2
sin

x + n
ẳ
4

;x2 R;ná 1(a)
n
X
k=1
(Ă1)
k+1
1
k
à
n
k
ả

=1+
1
2
+ ÂÂÂ+
1
n
;ná 1(b)
2.1.33.
Cho
f(x)=
p
x
2
Ă1
với
x>1
. Chứng minh rằng
f
(n)
(x) > 0
nếu
n
lẻ và
f
(n)
< 0
với
n
chẵn.
2.1.34.

Cho
f
2n
=ln(1+x
2n
);n2 N
. Chứng minh rằng
f
(2n)
2n
(Ă1) = 0:
44 Chơng 2. Vi phân
2.1.35.
Cho
P
là một đa thức bậc
n
, chứng minh rằng
n
X
k=0
P
(k)
(0)
(k +1)!
x
k+1
=
n
X

k=0
(Ă1)
k
P
(k)
(x)
(k +1)!
x
k+1
:
2.1.36.
Cho
á
1
;á
2
;::: ;á
n
là các giá trị thoả mnđiềukiện
á
k
1
+ á
k
2
+ :::+ á
k
n
> 0; 8k 2 N:
Khođóhàm

f(x)=
1
(1 Ăá
1
x)(1 Ă á
2
x) ÂÂÂ(1 Ă á
n
x)
sẽ đợc xác định trong lân cận 0. Chứng minh rằng với
k 2 N
ta có
f
(k)
(0) > 0
.
2.1.37.
Cho
f
là hàm k hả vi đế n cấp
n
trên
(0; +1)
. Chứng m inh rằng với
x>0
,
1
x
n+1
f

(n)
à
1
x
ả
=(Ă1)
n
à
x
nĂ1
f
à
1
x
ảả
(n)
:
2.1.38.
Cho
I; J
là hai k hoảng mở và
f : J ! R
,
g : I ! J
là các hàm khả vi
vô hạn trên
J
và
I
. Chứng minh công thức Faà d i Bruno cho đạo hàm cấp

n
của
h = f g
sau:
h
(n)
(t)=
X
n!
k
1
! ÂÂÂk
n
!
f
(k)
(g(t))
à
g
(1)
(t)
1!
ả
k
1
ÂÂÂ
à
g
(n)
(t)

1!
ả
k
n
;
trong đó
k = k
1
+ k
2
+ ÂÂÂ+ k
n
và tổng lấy trên tất cả các giá trị
k
1
;k
2
;::: ;k
n
sao cho
k
1
+2k
2
+ ÂÂÂ+ nk
n
= n
.
2.1.39.
Chứng minh rằng các hàm số sau :

f(x)=
(
e
Ă1=x
2
nếu x 6=0;
0
nếu
x =0;
(a)
g(x)=
(
e
Ă1=x
nếu
x>0;
0
nếu
x 0;
(b)
h(x)=
(
e
Ă
1
xĂa
+
1
xĂb
nếu

x 2 (a; b);
0
nếu
x=2 (a; b);
(c)
cùng thuộc
C
1
(R)
.
2.2. Các định lý giá trị trung bình 45
2.1.40.
Cho
f
khả vi trên
(a; b)
sao cho với
x 2 (a; b)
ta có
f
0
(x)=g(f(x))
,
trong đó
g 2 C
1
(a; b)
. Chứng minh rằng
f 2 C
1

(a; b)
.
2.1.41.
Cho
f
là hàm khả vi cấp hai trên
(a; b)
và với các số
đ; ;
thực thoả
mn
đ
2
+
2
> 0
ta có
đf
00
(x)+f
0
(x)+f (x)=0;x2 (a; b):
Chứng minh rằng
f 2 C
1
(a; b)
.
2.2 Các định lý giá trị trung bình
2.2.1.
Chứng minh rằng nếu

f
liên tục trong khoảng đóng
[a; b]
,khảvitrên
khoảng mở
(a; b)
và
f(a)=f(b)=0
thì với
đ 2 R
, tồn tại
x 2 (a; b)
sao cho
đf(x)+f
0
(x)=0:
2.2.2.
Cho
f
và
g
là các hàm liên tục trên
[a; b]
, khả vi trên khoảng mở
(a; b)
và giả sử
f(a)=f(b)=0
.Chứngminhrằngtồntại
x 2 (a; b)
sao cho

g
0
(x)f(x)+f
0
(x)=0:
2.2.3.
Cho
f
là hàm liên tục trên
[a; b];a>0
vàkhảvitrênkhoảngmở
(a; b)
.
Chứng minh rằng nếu
f(a)
a
=
f(b)
b
;
thì tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
x
0
f
0
(x

0
)=f(x
0
):
2.2.4.
Giả sử
f
liên tục trên
[a; b]
và khả vi trên
(a; b)
. Chứng minh rằng
nếu
f
2
(b) Ăf
2
(a)=b
2
Ă a
2
thì phơng trình
f
0
(x)f(x)=x
có ít nhất một nghiệm trong
(a; b)
.
46 Chơng 2. Vi phân
2.2.5.

Giả sử
f
và
g
liên tục, khác 0 trong
[a; b]
và khả vi t rên
(a; b)
. Chứng
minh rằng nếu
f(a)g(b)=f(b)g(a)
thì tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
f
0
(x
0
)
f(x
0
)
=
g
0
(x
0
)

g(x
0
)
:
2.2.6.
Giả sử
a
0
;a
1
;::: ;a
n
là các số thực thoả mn
a
0
n +1
+
a
1
n
+ ÂÂÂ+
a
nĂ1
2
+ a
n
=0:
Chứng minh rằng đa thức
P (x)=a
0

x
n
+ a
1
x
nĂ1
+ ÂÂÂ+ a
n
có ít nhất một
nghiệm trong
(0; 1)
.
2.2.7.
Xét các số thực
a
0
;a
1
;::: ;a
n
thoả mn
a
0
1
+
2a
1
1
+
2

2
a
2
3
ÂÂÂ+
2
nĂ1
a
nĂ1
n
+
2
n
a
n
n +1
=0:
Chứng minh rằng hàm số
f(x)=a
n
ln
n
x + ÂÂÂ+ a
2
ln
2
x + a
1
ln x + a
0

có ít nhất một nghiệm trong
(1;e
2
)
.
2.2.8.
Chứng m inh rằng nếu mọi nghiệm của đa thức
P
có bậc
n á 2
đều là
thực thì mọi nghiệm của đa thức
P
0
cũng đều là thực.
2.2.9.
Cho
f
khả v i liên tục trên
[a; b]
và khả vi cấp hai trên
(a; b)
,giả
sử
f(a)=f
0
(a)=f(b)=0
. Chứng minh rằng tồn tại
x
1

2 (a; b)
sao cho
f
00
(x
1
)=0
.
2.2.10.
Cho
f
khả vi l iên tục trên
[a; b]
và khả vi cấp hai trên
(a; b)
,giảsử
f(a)=f(b)
và
f
0
(a)=f
0
(b)=0
. Chứng minh rằng tồn tại hai số
x
1
;x
2
2
(a; b);x

1
6= x
2
sao cho
f
00
(x
1
)=f
00
(x
2
):
2.2. Các định lý giá trị trung bình 47
2.2.11.
Chứng minh rằng các phơng trình sau:
x
13
+7x
3
Ă5=0;(a)
3
x
+4
x
=5
x
(b)
có đúng một nghiệm thực .
2.2.12.

Chứng minh rằng với các số
a
1
;a
2
;::: ;a
n
khác0vàvớicácsố
đ
1
;đ
2
;::: ;đ
n
thoả mn
đ
i
6= đ
j
;i6= j
,phơng trình
a
1
x
đ
1
+ a
2
x
đ

2
+ ÂÂÂ+ a
n
x
đ
n
=0
có nhiều nhất là
n Ă 1
nghiệm trong
(0; +1)
.
2.2.13.
Chứng minh rằng với các giả thiết của bài trên, phơng trình
a
1
e
đ
1
x
+ a
2
e
đ
2
x
+ ÂÂÂ+ a
n
e
đ

n
x
=0
có nhiều nhất là
n Ă 1
nghiệm trong
(0; +1)
.
2.2.14.
Cho các hàm
f;g;h
liên tục trên
[a; b]
và khả vi trên
(a; b)
,tađịnh
nghĩa hàm
F (x)=det






f(x) g(x) h(x)
f(a) g(a) h(a)
f(b) g(b) h(b)

;x2 [a; b]:
Chứng minh rằng tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
F
0
(x
0
)=0
.Sửdụngkếtquảvừa
nhận đợc phát biểu định lý giá trị trung bình và định lý giá trị trung bình
tổng quát.
2.2.15.
Cho
f
liên tục trên
[0; 2]
và khả vi cấp hai trên
(0; 2)
. Chứng minh
rằng nếu
f(0) = 0;f(1) = 1
và
f(2) = 2
thì tồn tại

x
0
2 (0; 2)
sao cho
f
00
(x
0
)=0
.
2.2.16.
Giả sử
f
liên tục trên
[a; b]
và khả vi trên
(a; b)
. Chứng minh rằn g
nếu
f
không là một hàm tuyến tính thì tồn tại
x
1
và
x
2
thuộc
(a; b)
sao cho
f

0
(x
1
) <
f(b) Ăf(a)
b Ăa
<f
0
(x
2
):
48 Chơng 2. Vi phân
2.2.17.
Cho
f
là hàm liên tục trên
[0; 1]
và khả vi trên
(0; 1)
. Giả s ử rằng
f(0) = f(1) = 0
và tồn tại
x
0
2 (0; 1)
sao cho
f(x
0
)=1
. Chứng minh rằng

jf
0
(c)j > 2
với
c 2 (0; 1)
.
2.2.18.
Cho
f
liên tục trên
[a; b];a>0
,khảvitrên
(a; b)
. Chứng minh rằng
tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
bf(a) Ăaf(b)
b Ăa
= f(x
1
) Ă x
1
f
0
(x
1
):

2.2.19.
Chứng minh rằng các hàm số
x 7! ln(1 + x)
,
x 7! ln(1 + x
2
)
và
x 7! arctan x
liêntụcđềutrên
[0; +1)
.
2.2.20.
Giả sử
f
khả vi cấp hai trên
(a; b)
và tồn tại
M á 0
sao cho
jf
00
(x)j
M
với mọi
x 2 (a; b)
. Chứng minh rằng
f
liên tục đều trên
(a; b)

.
2.2.21.
Giả sử
f :[a; b] ! R
,
b Ă a á 4
khả vi trên khoảng mở
(a; b)
. Chứng
minh rằng tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
f
0
(x
0
) < 1+f
2
(x
0
):
2.2.22.
Chứng minh rằng nếu
f
khả vi trên
(a; b)
và nếu
lim

x!a
+
f(x)=+1; lim
x!b
Ă
f(x)=Ă1;(i)
f
0
(x)+f
2
(x)+1á 0;
với
x 2 (a; b);(ii)
thì
b Ăa á ẳ
.
2.2.23.
Cho
f
liên tục trên
[a; b]
và khả vi trên
(a; b)
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!b
Ă
f
0
(x)=A

thì
f
0
Ă
(b)=A
.
2.2.24.
Giả sử
f
khả vi trên
(0; 1)
và
f
0
(x)=O(x)
khi
x !1
. Chứng minh
rằng
f(x)=O(x
2
)
khi
x !1
.
2.2.25.
Cho
f
1
;f

2
;::: ;f
n
và
g
1
;g
2
;::: ;g
n
là các hàm liên tục trên
[a; b]
và
khả vi trên
(a; b)
. Giả sử rằng
g
k
(a) 6= g
k
(b)
với mọi
k =1; 2;::: ;n
. Chứng
minh rằng tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
n
X
k=1

f
0
k
(c)=
n
X
k=1
g
0
k
(c)
f
k
(b) Ăf
k
(a)
g
k
(b) Ăg
k
(a)
:
2.2. Các định lý giá trị trung bình 49
2.2.26.
Cho hàm
f
khảvitrênkhoảngmở
I
và giả sử
[a; b] ẵ I

. Ta nói rằng
f
khả vi đều trên
[a; b]
nếu với mọi
">0
,tồntại
>0
sao cho




f(x + h) Ăf(x)
h
Ă f
0
(x)




<"
với mọi
x 2 [a; b]
và
jhj <
,
x + h 2 I
. Chứng minh rằng

f
khả vi đều trên
[a; b]
khi và chỉ khi
f
0
liên tục trên
[a; b]
.
2.2.27.
Cho
f
liên tục trên
[a; b]
,
g
khả vi trên
[a; b]
và
g(a)=0
. Chứng minh
rằng nếu tồn tại
á 6=0
sao cho
jg(x)f(x)+ág
0
(x)j jg(x)j; với x 2 [a; b];
thì
g(x) 0
trên

[a; b]
.
2.2.28.
Cho
f
khả vi trên
(0; +1)
.Chứngminhrằngnếu
lim
x!+1
f(x)
x
=0
thì
lim
x!+1
jf
0
(x)j =0:
2.2.29.
Tìm tất cả các hàm
f : R ! R
là thoả mnphơng trình hàm
f(x + h) Ă f(x)
h
= f
0
à
x +
1

2
h
ả
với
x; h 2 R;h6=0:
(HD. Chứng minh rằng phơng trình chỉ có duy nhất nghiệm là một đa thức
bậc hai bất kỳ).
2.2.30.
Cho các số dơng
p; q
thoả mn
p + q =1
,hy tìm tất cả các hàm
f : R ! R
thoả mnphơng trình
f(x) Ăf(y)
x Ăy
= f
0
(px + qy)
với
x; y 2 R;x6= y:
2.2.31.
Chứng minh rằng nếu
f
khả vi trên khoảng mở
I
thì
f
0

nhận mọi
giá trị trung gian trong
I
.
2.2.32.
Cho
f
khả vi trên
(0; 1)
. Chứng minh rằng
(a) nếu
lim
x!+1
(f(x) Ăf
0
(x)) = 0
thì
lim
x!+1
f(x)=0
,
50 Chơng 2. Vi phân
(b) nếu
lim
x!+1
(f(x) Ă2
p
xf
0
(x)) = 0

thì
lim
x!+1
f(x)=0
.
2.2.33.
Chứng minh rằng nếu
f 2 C
2
([a; b])
có ít nhất b a nghiệm trong
[a; b]
thì phơng trình
f(x)+f
00
(x)=2f
0
(x)
có ít nhất một nghiệm trong
[a; b]
.
2.2.34.
Chứng minh rằng nếu đa thức
P
bậc
n
có
n
nghiệm phân biệt lớn
hơn 1 thì đa thức

Q(x)=(x
2
+1)P (x)P
0
(x)+xP
2
(x)+(P
0
(x))
2
có ít nhất
2n Ă 1
nghiệm phân biệt.
2.2.35.
Giả sử rằng đa thức
P (x)=a
m
x
m
+a
mĂ1
x
mĂ1
+ÂÂÂ+a
1
x+a
0
với
a
m

> 0
có
m
nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng đ a t hức
Q(x)=(P(x))
2
ĂP
0
(x)
có
(1)đúng
m +1
nghiệm thực phân biệt nếu
m
lẻ,
(2) đúng
m
nghiệm thực phân biệt nếu
m
chẵn.
2.2.36.
Giảsửđathức
P (x)
bậc
n á 3
có các nghiệm đều thực, viết
P (x)=(x Ă a
1
)(x Ă a
2

) ÂÂÂ(x Ă a
n
);
trong đó
a
i
a
i+1
;i=1; 2;::: ; nĂ 1
và
P
0
(x)=n(x Ă c
1
)(x Ăc
2
) ÂÂÂ(x Ă c
nĂ1
);
trong đó
a
i
c
i
a
i+1
;i=1; 2;::: ; nĂ 1
. Chứng minh rằng nếu
Q(x)=(x Ăa
1

)(x Ăa
2
) ÂÂÂ(x Ă a
nĂ1
);
Q
0
(x)=(n Ă1)(x Ăd
1
)(x Ăd
2
) ÂÂÂ(x Ă d
nĂ2
);
thì
d
i
á c
i
với
i =1; 2;::: ;nĂ 2
. Hơn nữa chứng minh rằng nếu
R(x)=(x Ăa
2
)(x Ăa
3
) ÂÂÂ(x Ăa
n
);
R

0
(x)=(n Ă1)(x Ăe
1
)(x Ăe
2
) ÂÂÂ(x Ă e
nĂ2
);
thì
e
i
c
i+1
với
i =1; 2;::: ;nĂ 2
.
2.2. Các định lý giá trị trung bình 51
2.2.37.
Sử dụng giả thiết của bài trên hy chứng minh rằng
(1)nếu
S(x)=(x Ă a
1
Ă ")(x Ă a
2
) :::(x Ă a
n
)
,trongđó
">0
thoả mn

a
1
+" a
nĂ1
và nếu
S
0
(x)=n(xĂf
1
)(xĂf
2
) :::(xĂf
nĂ1
)
thì
f
nĂ1
á c
nĂ1
,
(2) nếu
T (x)=(x Ăa
1
)(x Ăa
2
) :::(x Ăa
n
+ ")
,với
">0

thoả mn
a
n
Ă" a
2
và nếu
T
0
(x)=n(x Ă g
1
)(x Ăg
2
) :::(x Ă g
nĂ1
)
thì
g
1
c
1
.
2.2.38.
Sử dụng giả thiết của bài 2.2.36 hy chứng minh rằng
a
i
+
a
i+1
Ă a
i

n Ă i +1
c
i
a
i+1
Ă
a
i+1
Ăa
i
i +1
;i=1; 2;::: ;nĂ 1:
2.2.39.
Chứng minh rằng nếu
f
khả vi trên
[0; 1]
và
(i)
f(0) = 0
,
(ii) tồn tại
K>0
sao cho
jf
0
(x)j Kjf(x)j
với
x 2 [0; 1]
,

thì
f(x) 0
.
2.2.40.
Cho
f
là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng
(Ă1; 1)
,
J ẵ (Ă1; 1)
làmộtkhoảngcóđộdài
á
.Giảsử
J
đợc chia thành ba khoảng liên tiếp
J
1
; J
2
; J
3
có độ dài tơng ứng là
á
1
;á
2
;á
3
,tứclàtacó
J

1
[ J
2
[ J
3
= J
và
á
1
+ á
2
+ á
3
= á
. Chứng minh rằng nếu
m
k
(J)=inf
â
jf
(k)
(x)j : x 2 J
ê
;k2 N;
thì
m
k
(J)
1
á

2
(m
kĂ1
(J
1
)+m
kĂ1
(J
3
)):
2.2.41.
Chứng minh rằng với giả thiết của bài trớc, nếu
jf(x)j 1
với
x 2 (Ă1; 1)
thì
m
k
(J)
2
k(k+1)
2
k
k
á
k
;k2 N:
2.2.42.
Giảsửrằngđathức
P (x)=a

n
x
n
+ a
nĂ1
x
nĂ1
+ ÂÂÂ+ a
1
x + a
0
có
n
nghiệm thực ph ân biệt. Chứng minh rằng nếu tồn tại
p; 1 p n Ă 1
sao
cho
a
p
=0
và
a
i
6=0
với mọi
i 6= p
thì
a
pĂ1
a

p+1
< 0
.
52 Chơng 2. Vi phân
2.3 Công thức Taylor và quy tắc LHôpital
2.3.1.
Giả sử
f :[a; b] ! R
khả vi cấp
n Ă1
trên
[a; b]
.Nếu
f
(n)
(x
0
)
tồn tại
thì với mọi
x 2 [a; b]
,
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)

1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)
2
+ ÂÂÂ+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+ o((x Ăx
0
)
n
):

(Công thức này đợc gọi là công thức Taylor với phần d dạng Peano).
2.3.2.
Giả sử
f :[a; b] ! R
khả vi liên tục cấp
n
trên
[a; b]
và giả sử rằng
f
(n+1)
tồn tại trong khoảng mở
(a; b)
. Chứng minh rằng với mọi
x; x
0
2 [a; b]
và mọi
p>0
tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho ,
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)

1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)
2
+ ÂÂÂ+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+ r
n
(x);
trong đó
r

n
(x)=
f
(n+1)
(x
0
+ à(x Ăx
0
))
n!p
(1 Ăà)
n+1Ăp
(x Ăx
0
)
n+1
đợc gọi là phần d dạng Schlomilch-Roche.
2.3.3.
Sử dụng kết quả trên hy chứng minh các dạng phần d sau:
r
n
(x)=
f
(n+1)
(x
0
+ à(x Ăx
0
))
(n +1)!

(x Ăx
0
)
n+1
(a)
(dạng Lagrange),
r
n
(x)=
f
(n+1)
(x
0
+ à(x Ăx
0
))
n!
(1 Ăà)
n
(x Ăx
0
)
n+1
(b)
(dạng Cauchy).
2.3. Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 53
2.3.4.
Cho
f :[a; b] ! R
là hàm k hả vi cấp

n +1
trên
[a; b]
,
x; x
0
2 [a; b]
.
Chứng minh công thức Taylor với p hần d dạng tích phân sau:
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)

2
+ ÂÂÂ+
f
n
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+
1
n!
Z
x
x
0
f
(n+1)
(t)(x Ă t)
n
dt:
2.3.5.
Cho
f :[a; b] ! R
là hàm k hả vi cấp
n +1
trên

[a; b]
,
x; x
0
2 [a; b]
.
Chứng minh công th ức Taylor sau:
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)
2
+ ÂÂÂ+

f
n
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+ R
n+1
(x);
trong đó
R
n+1
(x)=
Z
x
x
0
Z
t
n+1
x
0
Z
t
n
x

0
ÂÂÂ
Z
t
2
x
0
f
(n+1)
(t
1
)dt
1
ÂÂÂdt
n
dt
n+1
:
2.3.6.
Chứng minh công thức xấp xỉ sau
p
1+x ẳ 1+
1
2
Ă
1
8
x
2
cho sai số kết quả không vợt quá

1
2
jxj
3
khi
jxj <
1
2
.
2.3.7.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
(1 + x)
đ
> 1+đx
với
đ>1
hoặc
đ<0;(a)
(1 + x)
đ
< 1+đx
với
0 <đ<1;(b)
giả thiết rằng
x>Ă1;x6=0
.
2.3.8.
Cho các hàm
f;g 2 C
2

([0; 1])
,
g
0
(x) 6=0
với
x 2 (0; 1)
thoả mn
f
0
(0)g
00
(0) 6= f
00
(0)g
0
(0)
.Với
x 2 (0; 1)
xét hàm
à(x)
là một số thoả mn
định lý giá trị trung bình tổng quát, tức là
f(x) Ăf(0)
g(x) Ă g(0)
=
f
0
(à(x))
g

0
(à(x))
:
54 Chơng 2. Vi phân
Hy tính giới hạn
lim
x!0
+
à(x)
x
:
2.3.9.
Cho
f : R ! R
khả vi cấp
n +1
trên
R
. Chứng mi nh rằng với mọi
x 2 R
tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho
f(x)=f(0) + xf
0
(x) Ă
x
2
2
f

00
(x)+ÂÂÂ+(Ă1)
n+1
x
n
n!
f
(n)
(x)(a)
+(Ă1)
n+2
x
n+1
(n +1)!
f
(n+1)
(àx);
f
à
x
1+x
ả
= f(x) Ă
x
2
1+x
f
0
(x)+ÂÂÂ+(Ă1)
n

x
2n
(1 + x)
n
f
(n)
(x)
n!
(b)
+(Ă1)
n+1
x
2n+2
(1 + x)
n+1
f
(n+1)

x+àx
2
1+x

(1 + n)!
;x6= Ă1:
2.3.10.
Cho
f : R ! R
khả vi cấp
2n +1
trên

R
. Chứngminhrằngvớimọi
x 2 R
tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho
f(x)=f(0) +
2
1!
f
0

x
2

x
2

+
2
3!
f
(3)

x
2

x
2

3
+ ÂÂÂ+
2
(2n Ă1)!
f
(2nĂ1)

x
2

x
2

2nĂ1
+
2
(2n +1)!
f
(2n+1)
(àx)

x
2

2n+1
:
2.3.11.
Sử dụng kết quả bài trên hy chứng minh rằng
ln(1 + x) > 2
n

X
k=0
1
2k +1
à
x
2+x
ả
2k+1
với
n =0; 1;:::
và
x>0
.
2.3.12.
Chứng minh rằng nếu
f
00
(x)
tồn tại thì
lim
h!0
f(x + h) Ă 2f(x)+f(x Ăh)
h
2
= f
00
(x);(a)
lim
h!0

f(x +2h) Ă 2f(x + h)+f(x)
h
2
= f
00
(x):(b)
2.3. Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 55
2.3.13.
Chứng minh rằng nếu
f
000
(x)
tồn tại thì
lim
h!0
f(x +3h) Ă 3f(x +2h)+3f(x + h) Ăf(x)
h
3
= f
000
(x):
2.3.14.
Cho
x>0
,hy kiểm tra các bất đẳng thức sau:
e
x
>
n
X

k=0
x
k
k!
;(a)
x Ă
x
2
2
+
x
3
3
Ă
x
4
4
< ln(1 + x) <xĂ
x
2
2
+
x
3
3
;(b)
1+
1
2
x Ă

1
8
x
2
<
p
1+x<1+
1
2
x Ă
1
8
x
2
+
1
16
x
3
:(c)
2.3.15.
Chứng minh rằng nếu tồn tại
f
(n+1)
(x)
khác0và
à(x)
là giá trị đợc
xác định qua công thức Taylor
f(x + h)=f(x)+hf

0
(x)+ÂÂÂ+
h
nĂ1
(n Ă 1)!
f
(nĂ1)
(x)+
h
n
n!
f
(n)
(x + à(h)h);
thì
lim
h!0
à(h)=
1
n +1
:
2.3.16.
Giả sử
f
khả vi trên
[0; 1]
và
f(0) = f(1) = 0
. Hơn nữa tồn tại
f

00
trong
(0; 1)
giới nội, tức là
jf
00
(x)j A;
với mọi
x 2 (0; 1)
, Chứng minh rằng
jf
0
(x)j
A
2
;
với
x 2 [0; 1]
2.3.17.
Giả sử
f :[Ăc; c] ! R
khảvicấphaitrên
[Ăc; c]
và đặt
M
k
=
supff
(k)
(x):x 2 [Ăc; c]g

với
k =0; 1; 2
. Chứng minh rằng
jf
0
(x)j
M
0
c
+(x
2
+ c
2
)
M
2
2c
với
x 2 [Ăc; c];(a)
M
1
2
p
M
0
M
2
với
c á
r

M
0
M
2
:(b)
2.3.18.
Cho
f
khả vi cấp hai trên
(a; 1)
,
a 2 R
,đặt
M
k
=supff
(k)
(x):x 2 (0; 1g < 1;k=0; 1; 2:
56 Chơng 2. Vi phân
Chứng minh rằng
M
1
2
p
M
0
M
2
:
Hychỉratrờng hợp hàm

f
làm cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
2.3.19.
Cho
f
khả vi cấp hai trên
R
,đặt
M
k
=supff
(k)
(x):x 2 (0; 1)g < 1;k=0;1; 2:
Chứng minh rằng
M
1
2
p
M
0
M
2
:
2.3.20.
Cho
f
khả vi cấp hai trên
R
,đặt
M

k
=supff
(k)
(x):x 2 (0; 1)g < 1;k=0; 1 ; 2;::: ;p; pá 2:
Chứng minh rằng
M
k
2
k(pĂk )=2
M
1Ă(k=p)
0
M
k=p
2
;k=1; 2;::: ;pĂ 1:
2.3.21.
Giả sử
f
00
tồn tại và giới nội trong
(0; 1)
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!1
f(x)=0
thì
lim
x!1
f

0
(x)=0
.
2.3.22.
Giả sử
f
khả vi liên tục cấp hai trên
(0; 1)
,thoảmn
lim
x!+1
xf(x)=0
và
lim
x!+1
xf
00
(x)=0:
Chứng minh rằng
lim
x!+1
xf
0
(x)=0:
2.3. Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 57
2.3.23.
Giả sử
f
khảviliêntụccấphaitrên
(0; 1)

và thoả mn
(i)
lim
x!1
Ă
f(x)=0;
(ii) tồn tại
M>0
sao cho
(1 Ă x
2
)jf
00
(x)j M
với
x 2 (0; 1)
.
Chứng minh rằng
lim
x!1
Ă
(1 Ăx)f
0
(x)=0:
2.3.24.
Cho
f
khả vi trên
[a; b]
và giả sử rằng

f
0
(a)=f
0
(b)=0
. Chứng minh
rằng nếu
f
00
tồn tại trong
(a; b)
thì tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
jf
00
(c)já
4
(b Ă a)
2
jf(b) Ă f(a)j:
2.3.25.
Giả sử
f[Ă1; 1] ! R
khả vi cấp ba và biết rằng
f(Ă1) = f(0) =
0;f(1) = 1
và
f
0

(0) = 0
. Chứng minh rằng tồn tại
c 2 (Ă1; 1)
sao cho
f
000
(c) á 3
.
2.3.26.
Cho
f
khả vi liên tục cấp
n
trên
[a; b]
và đặt
Q(t)=
f(x) Ăf(t)
x Ăt
;x;t2 [a; b];x6= t:
Chứng minh công th ức Taylor dới dạng sau:
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!

(x Ă x
0
)+ÂÂÂ+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+ r
n
(x);
với
r
n
(x)=
Q
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n+1

:
2.3.27.
Giả sử rằng
f :(Ă1; 1) ! R
khả vi tại 0, các dy
fx
n
g
,
fy
n
g
thoả
mn
Ă1 <x
n
<y
n
< 1;n2 N
sao cho
lim
n!1
x
n
= lim
n!1
y
n
=0
.Xétthơng

D
n
=
f(y
n
) Ă f(x
n
)
y
n
Ă x
n
:
Chứng minh rằng
(a) nếu
x
n
< 0 <y
n
thì
lim
n!1
D
n
= f
0
(0)
.
58 Chơng 2. Vi phân
(b) nếu

0 <x
n
<y
n
và dy
n
y
n
y
n
Ăx
n
o
giới nội t hì
lim
n!1
D
n
= f
0
(0)
.
(c) nếu
f
0
tồn tại trong
(Ă1; 1)
và liên tục tại 0 thì
lim
n!1

D
n
= f
0
(0)
.
(Hy so sánh với 2.1.13và2.1.14.)
2.3.28.
Cho
m 2 N
,xétđathức
P
sau
P (x)=
m+1
X
k=1
à
m +1
k
ả
(Ă1)
k
(x Ăk)
m
;x2 R:
Chứng minh rằng
P (x) 0
.
2.3.29.

Giả sử rằng
f
(n+2)
liên tục trên
[0; 1]
. Chứng minh rằng tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho
f(x)=f(0) +
f
0
(0)
1!
x + ÂÂÂ+
f
(nĂ1)
(0)
(n Ă 1)!
x
nĂ1
+
f
(n)
Ă
x
n+1
Â
n!
x
n

+
n
2(n +1)
f
(n+2)
(àx)
x
n+2
(n +2)!
:
2.3.30.
Giả sử rằng
f
(n+p)
tồn tại trong
[a; b]
và liên tục tại
x
0
2 [a; b]
. Chứng
minh rằng nếu
f
(n+j)
(x
0
)=0
với
j =1; 2;::: ;pĂ 1
,

f
(n+p)
(x
0
) 6=0
và
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x Ăx
0
)+ÂÂÂ+
f
(nĂ1)
(x
0
)
(n Ă 1)!
(x Ăx
0
)
nĂ1
+
f

(n)
(x
0
+ à(x)(x Ăx
0
))
n!
(x Ăx
0
)
n
:
thì
lim
x!x
0
à(x)=
à
n + p
n
ả
Ă1=p
:
2.3.31.
Cho
f
là hàm khả vi liên tục cấp hai trên
(Ă1; 1)
và
f(0) = 0

.Hy
tính giới hạn
lim
x!0
+
h
1
p
x
i
X
k=1
f(kx):
2.3. Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 59
2.3.32.
Cho
f
khả vi vô hạn trên
(a; b)
. Chứng minh rằng nếu
f
bằng 0 tại
vô hạn điểm trong khoảng đóng
[c; d] ẵ (a; b)
và
supfjf
(n)
(x)j : x 2 (a; b)g = O(n !)
khi
n !1

thì
f
bằng không trên một khoảng mở nằm trong
(a; b)
.
2.3.33.
Giả sử rằng
(i)
f
khả vi vô hạn trên
R
,
(ii) tồn tại
L>0
sao cho
jf
(n)
(x)j L
với mọi
x 2 R
và mọi
n 2 N
,
(iii)
f
Ă
1
n
Â
=0với

n 2 N:
Chứng minh rằng
f(x) 0
trên
R:
2.3.34.
Sử dụng quy tắc lHôpital để tính các giới hạn sau:
(a)
lim
x!1
arctan
x
2
Ă1
x
2
+1
x Ă1
;
(b)
lim
x!+1
x
àà
1+
1
x
ả
x
Ă e

ả
;
(c)
lim
x!5
(6 Ăx)
1
xĂ5
;
(d)
lim
x!0
+
à
sin x
x
ả
1=x
;
(e)
lim
x!0
+
à
sin x
x
ả
1=x
2
:

2.3.35.
Chứng minh rằng với
f
khả vi liên tục cấp hai trên
R
thoả mn
f(0) = 1
,
f
0
(0) = 0
và
f
00
(0) = Ă1
thì
lim
x!+1
à
f
à
a
p
x
ảả
x
= e
Ăa
2
=2

;
trong đó
a 2 R:
2.3.36.
Với
a>0
và
a 6=1
hy tính
lim
x!+1
à
a
x
Ă 1
x(a Ă 1)
ả
1=x
:
60 Chơng 2. Vi phân
2.3.37.
Có thể sử dụng quy tắc lHôpital trong những trờng hợp sau đ ợc
không ?
lim
x!1
x Ăsin x
2x +sinx
;(a)
lim
x!1

2x +sin2+1
(2x +sin2x)(sin x +3)
2
;(b)
lim
x!0
+
à
2sin
p
x +
p
x sin
1
x
ả
x
;(c)
lim
x!0
à
1+xe
Ă1=x
2
sin
1
x
4
ả
e

1=x
2
:(d)
2.3.38.
Hàm
f(x)=
(
1
x ln 2
Ă
1
2
x
Ă1
nếu
x 6=0;
1
2
nếu
x =0
có khả vi tại điểm 0 không ?
2.3.39.
Giả sử
f
khả vi liên tục cấp
n
trên
R
,
a 2 R

. Chứng minh đẳng thức
sau:
f
(n)
(a) = lim
h!0
1
h
n
n
X
k=0
à
(Ă1)
nĂk
à
n
k
ả
f(a + kh)
ả
:
2.3.40.
Chứng minh quy tắc lHôpital dới dạng sau:
Giả sử
f;g :(a; b) ! R
,
Ă1 <a<b<+1
là các hàm khả vi trên
(a; b)

,
đồng thời thoả mnđiềukiện
(i)
g
0
(x) 6=0
với
x 2 (a; b)
,
(ii)
lim
x!a
+
g(x)=+1(Ă1)
,
(iii)
lim
x!a
+
f
0
(x)
g
0
(x)
= L; Ă1 L +1:
Khi đó
lim
x!a
+

f(x)
g(x)
= L:
2.3.41.
Sử d ụng quy tắc l Hôpital vừa nêu ở trên hy chứng minh kết quả
tổng quát của 2.2.32 : Cho
f
khả vi trên
(0; 1)
và
a>0
.
2.4. Hàm lồi 61
(a) Nếu
lim
x!+1
(af(x)+f
0
(x)) = L;
thì
lim
x!+1
f(x)=
L
a
:
(b) Nếu
lim
x!+1
(af(x)+2

p
xf
0
(x)) = L;
thì
lim
x!+1
f(x)=
L
a
:
Các kết quả trên có còn đ ú ng đ ối với trờng hợp
a
âm không ?
2.3.42.
Giả sử
f
khả vi cấp ba trên
(0; 1)
sao cho
f(x) > 0
,
f
0
(x) > 0
,
f
00
(x) > 0
với mọi

x>0
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!1
f
0
(x)f
000
(x)
(f
00
(x))
2
= c; c 6=1;
thì
lim
x!1
f(x)f
00
(x)
(f
0
(x))
2
=
1
2 Ă c
:
2.3.43.
Giả s ử rằng

f
là hàm k hả vi vô hạn trên
(Ă1; 1)
và
f(0) = 0
. Chứng
minh rằng nếu
g
đợc xác định trên
(0; 1)nf0g
theo công thức
g(x)=
f(x)
x
thì
tồn tại mộ t mở rộng của
g
khả vi vô hạn trên
(Ă1; 1)
.
2.4 Hàm lồi
Định nghĩa 1. Một hàm
f
đợc gọi là lồi trong khoảng
I ẵ R
nếu
f(áx
1
+(1Ă á)x
2

) áf(x
1
)+(1Ă á)f(x
2
)(1)
trong đó
x
1
;x
2
2 I
và
á 2 (0; 1):
Một hàm lồi
f
đợc gọi là lồi chặt trong
I
nếu bất đẳng thức (1)làchặtvới
x
1
6= x
2
.
f
là hàm lõm nếu
Ăf
là hàm lồi.
Định nghĩa 2. Hàm
f(x)
đợcgọilàthoảmn điều kiện Lipschitz địa

phơng trên một khoảng mở
I
với hằng số Lipschitz
L>0
nếu với mọi
x; y 2 I
,
x 6= y
thì
jf(x) Ăf(y)j Ljx Ăyj:
2.4.1.
Chứng minh rằng
f
khả vi trên một khoảng mở
I
là lồi khi và chỉ khi
f
0
tăng trong
I
.
2.4.2.
Chứng minh rằng
f
khả vi cấp hai trên m ột khoảng mở
I
là lồi khi
và chỉ khi
f
00

(x) á 0
với mọi
x 2 I
.
62 Chơng 2. Vi phân
2.4.3.
Chứngminhrằngnếu
f
lồi trong khoảng mở
I
thì bất đẳng thức
Jensen
f(á
1
x
1
+ á
2
x
2
+ ÂÂÂ+ á
n
x
n
) á
1
f(x
1
)+á
2

f(x
2
)+ÂÂÂ+ á
n
f(x
n
)
đúng với mọi
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 I
và mọi bộ số thực dợng
á
1
;á
2
;::: ;á
n
thoả
mn
á
1
+ á
2
+ ÂÂÂ+ á
n

=1
.
2.4.4.
Cho
x; y > 0
và
p; q > 0
thoả mn
1
p
+
1
q
=1
. Chứng minh bất đẳng
thức
xy
x
p
p
+
x
q
q
:
2.4.5.
Chứng minh rằng
1
n
n

X
k=1
x
k
á
n
v
u
u
t
n
Y
k=1
x
k
với
x
1
;x
2
;::: ;x
n
> 0:
2.4.6.
Chứngminhrằngvới
a 6= b
ta có bất đẳng thức
e
b
Ă d

a
b Ăa
<
e
a
+ e
b
2
:
2.4.7.
Chứng minh bất đẳng thức
x ln x + y ln y á (x + y)ln
x + y
2
;x6= y:
2.4.8.
Cho
đ>1
và các số dơng
x
1
;x
2
;::: ;x
n
. Chứng minh rằng

1
n
n

X
k=1
x
k
!
đ

1
n
n
X
k=1
x
đ
k
:
2.4.9.
Cho
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 (0; 1)
và các số dơng
p
1
;p
2

;::: ;p
n
thoả mn
n
P
k=1
p
k
=1
. Chứng minh rằng
1+

n
X
k=1
p
k
x
k
!
Ă1

n
Y
k=1
à
1+x
k
x
k

ả
p
k
;(a)
1+
n
P
k=1
p
k
x
k
1 Ă
n
P
k=1
p
k
x
k

n
Y
k=1
à
1+x
k
1 Ă x
k
ả

p
k
:(b)
2.4. Hàm lồi 63
2.4.10.
Cho
x =
1
n
n
P
k=1
x
k
với
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 (0;ẳ)
. Chứng minh rằng
n
Y
k=1
sin x
k
(sin x)
n

;(a)
n
Y
k=1
sin x
k
x
k

à
sin x
x
ả
n
:(b)
2.4.11.
Chứng minh rằng với
a>0
và
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 (0; 1)
thoả mn
x
1
+

x
2
+ ÂÂÂ+ x
n
=1
thì
n
X
k=1
à
x
k
+
1
x
k
ả
a
á
(n
2
+1)
a
n
aĂ1
:
2.4.12.
Cho
n á 2
,hy kiểm tra khẳng định sau:

n
Y
k=1
2
k
Ă 1
2
kĂ1

à
2 Ă
2
n
+
1
n  2
nĂ1
ả
n
:
2.4.13.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
n
2
x
1
+ x
2
+ ÂÂÂ+ x
n

1
x
1
+
1
x
2
+ ÂÂÂ+
1
x
1
;x
1
;x
2
;::: ;x
n
> 0;(a)
1
đ
1
x
1
+ ÂÂÂ+
đ
n
x
n
x

đ
1
1
ÂÂÂx
đ
n
n
đ
1
x
1
+ ÂÂÂ+ đ
n
x
n
(b)
với
đ
k
;x
k
> 0;k=1; 2;::: ;n
thoả mn
n
P
k=1
đ
k
=1
.

x
đ
1
1
ÂÂÂx
đ
n
n
+ y
đ
1
1
ÂÂÂy
đ
n
n
(x
1
+ y
1
)
đ
1
ÂÂÂ(x
n
+ y
n
)
đ
n

(c)
với
y
k
;x
k
á 0;đ
k
> 0;k =1; 2;::: ;n
sao cho
n
P
k=1
đ
k
=1
.
m
X
j=1
n
Y
i=1
x
đ
i
i;j

n
Y

i=1

m
X
j=1
x
i;j
!
đ
i
(d)
với
;x
i;j
á 0;đ
k
> 0;i;j =1; 2 ;::: ;n
sao cho
n
P
k=1
đ
k
=1
.
2.4.14.
Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
lồi và bị chặn trên thì là hàm hằng
trên

R
.
64 Chơng 2. Vi phân
2.4.15.
Liệu một hàm lồi giới nội trên
(a; 1)
hoặc trên
(Ă1;a)
có luôn là
hàm hằng không ?
2.4.16.
Giả sử rằng
f :(a; b) ! R
lồi trên
(a; b)
,trongđó
Ă1 a; b 1
.
Chứng minh rằng hoặc
f
đơn điệu trên
(a; b)
hoặc tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
f(c)=minff(x):x 2 (a; b)g
đồng thời f giảm trong (a; c] và tăng trong [c; b).
2.4.17.
Cho
f :(a; b) ! R

lồi trên
(a; b)
,trongđó
Ă1 a; b 1
. Chứng
minh rằng các giới hạn
lim
x!a
+
f(x)
và
lim
x!b
Ă
f(x)
tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn.
2.4.18.
Giả sử
f :(a; b) ! R
lồi và giới nội trên
(a; b)
,
Ă1 a; b 1
.
Chứng minh rằng
f
liên tục đều trên
(a; b)
. (So sánh với bài 2.4.14).
2.4.19.

Giả sử
f :(a; b) ! R
lồi trên
(a; b)
,trongđó
Ă1 a; b 1
. Chứng
minh rằng đạo hàm m ộ t phía của
f
tồntạivàđơnđiệutrên
(a; b)
. Hơn nữa
đạo hàm phải và trái của nó bằng nhau bên ngoài một tập đếm đợc.
2.4.20.
Giả sử
f
khả vi cấp hai trên
R
và
f;f
0
;f
00
tăng chặt trên
R
.Với
a; b
cho trớc,
a b
cho

x ! ằ(x);x>0
xác định qua định lý giá trị trung bình,
tức là
f(b + x) Ăf(a Ăx)
b Ăa +2x
= f
0
(ằ):
Chứng minh rằng hàm
ằ
tăng trên
(0; 1)
.
2.4.21.
Sử dụng kết quả bài 2.4.4 c hứng minh bất đẳng thức Holder:Cho
p; q > 1
thoả mn
1
p
+
1
q
=1
. Chứng minh rằng
n
X
i=1
jx
i
y

i
j

n
X
i=1
jx
i
j
p
!
1=p

n
X
i=1
jy
i
j
q
!
1=q
:
2.4. Hàm lồi 65
2.4.22.
Sử dụng bất đẳng thức Holder chứng minh bấ t đẳng thức Mikowski
sau: Nếu
p>1
thì

n
X
i=1
jx
i
+ y
i
j
p
!
1=p


n
X
i=1
jx
i
j
p
!
1=p
+

n
X
i=1
jy
i
j

p
!
1=p
:
2.4.23.
Chứng minh rằng nếu chuỗi
1
P
n=1
a
4
n
hội tụ thì
1
P
n=1
a
n
n
4=5
hội tụ.
2.4.24.
Cho
x
i
;y
i
á 0
,
i =1; 2;::: ;n

và
p>1
. Chứng minh bất đẳng thức
sau
((x
1
+ ÂÂÂ+ x
n
)
p
+(y
1
+ ÂÂÂ+ y
n
)
p
)
1=p
(x
p
1
+ y
p
1
)
1=p
+ ÂÂÂ+(x
p
n
+ y

p
n
)
1=p
:
2.4.25.
Chứng minh bất đẳng th ức Minkowski tổng quát sau: Cho
x
i;j
á 0
,
i =1; 2;::: ;n;j =1; 2;::: ;m
và
p>1
, chứng minh rằng

n
X
i=1

m
X
j=1
x
i;j
!
p
!
1=p

m
X
j=1

n
X
i=1
x
p
i;j
!
1=p
:
2.4.26.
Giả sử hàm liên tục
f
trên khoảng
I
là lồi trung bình tức là
f
à
x + y
2
ả

f(x)+f(y)
2
với
x; y 2 I:
Chứng minh rằng

f
lồi trên
I
.
2.4.27.
Chứng minh rằng đ iều kiện liên tục trong bài 2.4.26 là không thể
bỏ đợc. (Hy chỉ ra phản ví dụ).
2.4.28.
Cho
f
liên tục trên
I
sao cho
f
à
x + y
2
ả
<
f(x)+f(y)
2
với
x; y 2 I
,
x 6= y
. Chứng minh rằng
f
lồi chặt trên
I
.

2.4.29.
Giả sử
f
lồi trong khoảng mở
I
. Chứng minh rằng
f
thoả mnđiều
kiện Lipschitz địa phơng trên
I
.
66 Chơng 2. Vi phân
2.4.30.
Cho
f :(0; 1) ! R
lồi, đặt
lim
x!0
+
f(x)=0:
Chứng minh rằng hàm
f 7!
f( x)
x
tăng trên
(0; 1)
.
2.4.31.
Ta nói rằng hàm f dới cộ ng tính trên (0; 1) nếu với x
1

;x
2
2 (0; 1),
f(x
1
;x
2
) f(x
1
)+f(x
2
):
Chứng minh rằng
(a) nếu
x 7!
f( x)
x
giảm trên
(0; 1)
thì
f
dới cộng tính.
(b) nếu
f
lồi và dới cộng tính trên
(0; 1)
thì hàm
x 7!
f(x)
x

là hàm g iảm
trên khoảng đó.
2.4.32.
Giả sử
f
khả vi trên
(a; b)
và với mọi
x; y 2 (a; b)
,
x 6= y
,tồntạiduy
nhất

sao cho
f(y) Ă f(x)
y Ăx
= f
0
():
Chứng minh rằng
f
lồi chặt hoặc lõm chặt trên
(a; b)
.
2.4.33.
Cho
f : R ! R
liên tục và thoả mn điều kiện với mỗi
d 2 R

,hàm
g
d
(x)=f(x + d) Ă f(x)
thuộc lớp
C
1
(R)
. Chứng minh rằng
f
thuộc
C
1
(R)
.
2.4.34.
Giả sử
a
n
::: a
2
a
1
và
f
lồi trên đoạn
[a
n
;a
1

]
. Chứng minh
rằng
n
X
k=1
f(a
k+1
)a
k

n
X
k=1
f(a
k
)a
k+1
;
trong đó
a
n+1
= a
1
.
2.4.35.
Giả sử rằng
f
lõm và tăng chặt trên một khoảng
(a; b)

,
Ă1 a; b
1
. Chứng minh rằng nếu
a<f(x) <x
với
x 2 (a; b)
và
lim
x!a
+
f
0
+
(x)=1;
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 67
thì với
x; y 2 (a; b)
ta có
lim
n!1
f
n+1
(x) Ăf
n
(x)
f
n+1
(y) Ă f
n

(y)
=1;
trong đó
f
n
làthànhphầnlặpthứ
n
của
f
(xem 1.1.40).
2.5 Các ứng dụng của đạo hàm
2.5.1.
Sử dụng định lý giá trị trung bình tổng quát hy chứng minh
1 Ă
x
2
2!
< cos x;
với
x 6=0;(a)
x Ă
x
3
3!
< sin x;
với
x>0;(b)
cos x<1 Ă
x
2

2!
+
x
4
4!
;
với
x 6=0;(c)
sin x<xĂ
x
3
3!
+
x
5
5!
;
với
x>0:(d)
2.5.2.
Cho
n 2 N
và
x>0
hy kiểm tra các khẳng định sau:
x Ă
x
3
3!
+

x
5
5!
ĂÂÂÂ+
x
4nĂ3
(4n Ă 3)!
Ă
x
4nĂ1
(4n Ă 1)!
< sin x(a)
<xĂ
x
3
3!
+
x
5
5!
ĂÂÂÂ+
x
4nĂ3
(4n Ă 3)!
Ă
x
4nĂ1
(4n Ă 1)!
+
x

4n+1
(4n +1)!
;
1 Ă
x
2
2!
+
x
4
4!
ĂÂÂÂ+
x
4nĂ4
(4n Ă 4)!
Ă
x
4nĂ2
(4n Ă 2)!
< cos x(b)
< 1 Ă
x
2
2!
+
x
4
4!
ĂÂÂÂ+
x

4nĂ4
(4n Ă4)!
Ă
x
4nĂ2
(4n Ă 2)!
+
x
4n
(4n)!
:
2.5.3.
Cho
f
liên tục trên
[a; b]
vàkhảvitrênkhoảngmở
(a; b)
. Chứng minh
rằng nếu
a á 0
thì tồn tại
x
1
;x
2
;x
3
2 (a; b)
sao cho

f
0
(x
1
)=(b + a)
f
0
(x
2
)
2x
2
=(b
2
+ ab + a
2
)
f
0
(x
3
)
3x
2
3
: