Tai lieu to hop suu tam word

I. Kiến thức cơ bản.

n!
k
* Công thức tổ hợp: Cn = k ! . (n −k )! .
1
k
* Tính chất : Cnk =C k−
n− 1+ C n − 1 ;

k

n− k

Cn =C n

.

n

n
C kn . an −k .. b k .
* Khai triển nhị thức Newton : a+b ¿ =∑
k=0

¿

* Một số trường hợp đặc biệt :
1+1¿ n=C 0n+ C1n +C 2n +.. .+C kn+. . .+ Cnn .
¿
−1 ¿n . C nn .

−1 ¿k .C kn +. ..+¿
1− 1¿ n=C 0n − C1n +. ..+¿
¿
2n=¿

II. Các bài toán minh hoạ .
Bài toán 1. Với n là số nguyên dương ,tính tổng sau.
S = C02 n +C 22 n+C 42 n +.. .+C 22nk +. . .+ C22 nn .
Giải.
Ta thấy các số hạng liên tiếp nhau trong khai triển là tổ hợp có chỉ số k cách nhau 2 đơn vị.
Khi chú ý tới số hạng tổng quát với mọi số nguyên k 0< k 2k
C22 kn =C22 kn −1
C02 n=C02 n −1 ; C22 nn=C22 nn −1
;
−1 +C 2 n− 1
−1
Vậy.
2 n− 2
2 n− 1
S = C02 n − 1+(C12 n − 1+C 22 n −1)+(C 32n − 1+C 42 n −1 )+. . .+(C 22 kn−−11 +C22 kn −1 )+.. .+(C 22 nn −3
−1 +C 2 n− 1 )+C 2 n− 1
= 22n-1.
Bài toán 2. Với n là số nguyên dương chứng minh đẳng thức sau.
1
C

1
2009

+

1
C

2
2009

+.. .+

1
C

2009
2009

=

1005 1
1
1
1
+
+
+. ..+ 2008
2009 C02008 C12008 C22008
C 2008

(

Giải.
Với n,k là số nguyên dương và k không vượt quá n, ta có.
k ! (n+1 −k )! (k +1)! (n −k ) !
1
1
+ k +1 =
+
k
(n+ 1) !
(n+1)!
C n+1 C n+ 1
k ! (n − k)! [ ( n+1− k )+(k+ 1) ]
(n+1)!
n+2 k !(n − k )! n+ 2 1
.
=
.
n+1
n!
n+ 1 C kn

Áp dụng đẳng thức trên ta được.

).


1

2010
2009

C
C
1
1
2010
+ 2 =
1
C 2009 C 2009 2009
.. . .. .. . .. .. .
1
1
2010
+ 2009 =
2008
C 2009 C 2009 2009
0
2009

+

1

1
2009

=

1

.

0

C 2008
1
. 1
C 2008
.

1
C 2008
2008

Cộng các vế tương ưng của các đẳng thức trên với chú ý

(

0
2009

+

1

1
2009

1

+

2
2009

+. ..+

1

C

0
2009

=

1
C2009
2009

2010 1
1
1
1
+ 1 + 2 +. ..+ 2008
0
2009
C
C
C
C

C2008 C2008 C2008
C 2008
1
1
1
1005 1
1
1
1
=> C 1 + C 2 +.. .+ C2009 = 2009 C0 + C1 + C2 +. ..+ C 2008 .
2009
2009
2009
2008
2008
2008
2008
2

1

1

2009
2009

)

=

(

(

,ta có.

)

)

Bài tốn 3 Với n là số nguyên dương ,tính tổng sau:
A = C1n +2 . C2n +3 . C3n +. ..+ k . C kn +.. .+n . Ckn
Giải
Trong các số hạng của tổng A ta thấy các hệ số của tổ hợp có tính chất tăng dần.
Khi sử dụng khai triển Newton ta không thể thay giá trị tương ứng cho a,b để có kết quả thuận
lợi.
Khi để ý tới số hạng tổng quát ,ta có sự khai triển SHTQ là :
k

k .C n=k .

n .(n −1)!
n!
k −1
=k .
=n. C n −1
k ! .(n − k)!
k .(k −1)! . [ ( n− 1)−(k −1) ] !

( với mọi k > 0, k là số tự nhiên)

n −1
Vậy A = n [ C + C1n − 1+C 2n −1 +. ..+C nn −1
.
−1 ]=n. 2
Trong bài toán 1 ta đã khai thác số hạng tổng quát bằng cách đưa giá trị biến đổi k và biểu thức
tổ hợp và làm dư ra giá trị n là hằng số cho trước.
Với cách suy nghĩ tương tự ta có thể giải quyết bài toán sau.
0
n− 1

* Bài toán tổng quát .Với n là số nguyên dương ta có
n−1

1+ x ¿
1
2
2
3
k −1
k
n− 1
n
Cn +2 . x . Cn +3 . x .C n +.. . .+ k . x .C n +. ..+n . x . C n=n ¿

(*)

* Bài tập áp dụng( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005). Tìm số tự nhiên n sao cho .
C21n 1  2.2.C22n1  3.22.C23n1  4.23.C24n1  ...  (2n  1).22 n.C22nn11 2005.

(**)

Khi thay x = 2 vào (*) Ta có (**)  (2n + 1).(1-2)2n = 2005  n = 1002
Bài tốn 4. Với n là số ngun dương ,tính tổng sau
0
1
2
n
B = Cn  2.Cn  3.Cn  ...  (n  1).Cn .

Giải.
Khai thác SHTQ ta có :
k

k

k

(k +1). C n=C n +kC n .
0
1
n
1
2
n
n
n 1
n 1
Nên B = [Cn  Cn  ...  Cn ]+[Cn  2.Cn  ...  n.Cn ]=2  n.2 = 2 (n  2) .


Bài tốn 5. Với n là số ngun dương ,tính tổng sau.

2
3
4 2
n n 2
E = 2.1. Cn  3.2.Cn .x  4.3.Cn .x  ...  n.( n  1).Cn .x
( n  3).

Giải.
Xét số hạng tổng quát ta có
n.( n  1).(n  2)!
n.( n  1).Cnk 22
k .(k  1).(k  2)!.[(n - 2) -(k - 2)]!
k.
.
0
1
n 2 n 2
Vậy E = n(n-1)[ Cn 2  Cn 2 .x  ...  Cn 2 .x ] = n(n - 1)(1 + x )n-2 .
(k  1).Cnk k .(k  1).

Bài toán 6. Với n là số nguyên dương ,tính tổng sau.
1
2
2
2
3
2
k
2
n

S=C n +2 . C n+ 3 . Cn +. ..+ k . C n+ .. .+n . C n .
Giải.
Khi khai thác SHTQ ta có : với k >1,k là số tự nhiên

và

T k =k 2 . Ckn =[ k (k − 1)+k ] . Ckn
k−1 .
k ( k − 1). Ckn +k . C kn=n( n− 1).C kn −2
−2 +n . C n − 1
1
0
Cn =n .C n −1 .

Vậy :
S=n(n −1). [ C 0n −2 +C1n − 2+. . .+ Cnn −− 22 ]+ n [ C0n − 1+C 1n −1 +. ..+C nn −1
−1 ]
n−2
n −1
n(n − 1) .2 + n. 2
n−2
¿ n(n+ 1) .2
.

Bài toán 7. Với n là số nguyên dương ,tính tổng sau.
1
2009
2
2008
k

2010−k
2010
0
S = C02011 .C 2010
2011 +C 2011 . C 2010 +C2011 .C 2009 +. ..+C 2011 . C 2011− k +. ..+C 2011 . C1
Giải.
Ta xét số hạng tổng quát:
(2011− k)!
2011 !
.
k !(2011 − k )! ( 2010− k )!
2011!
2010 !
k
=2011 .
=2011 . C2010 .
k ! (2010 −k ) !
k ! (2010 −k )!
2010
Vậy S = 2011 [ C 02010 +C12010 + .. .+C2010
.
2010 ]=2011 . 2
k
Ck2011 .C 2010−
2011 −k =

Bài toán 8. Với k là số nguyên ,tính tổng sau.
k

S=

k

1000− k

1000

1010

− 1¿ . C 2010 .C 2010− k +. . .+ C2010 . C1010
.
0
1
999
2
998
C2010 . C1000
2010 − C2010 . C2009 +C 2010 . C 2008 − .. .+¿

Giải .
Khai thác SHTQ ta có :
(2010 − k )!
2010!
.
k ! (2010 −k )! (1000 −k ) ! 1010!
1000!
2010 !
.
=C k1000 . C 1000
2010 .

k ! (1000 −k )! 1000 ! .1010 !
−1 ¿ k C k1000 +.. .+C 1000
1000
1000
1−1 ¿ =0
.
C01000 − C11000 +. . .+ ¿=C 1000
2010 ¿
1000
C2010 ¿

k
−k
C2010
. C1000
2010−k =

Vậy

S=


Bài toán 9.

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có.
1
1
1
2 n 1  1
Cn0  .Cn1  .Cn2  ... 

.Cnn 
2
3
n 1
n 1 .
1
1
n!
(n  1)!
Cnk 
.

k 1
k  1 k !(n  k )! ( n 1).( k 1)![(n+1) - (k+1)]!

Giải.

1
Cnk11
n 1
.

Vậy
S=

1
1
2
3
n+1

Cn +1+C n+ 1+C n+1 +. ..+C n+1 ]
[
n+1
1
2n+1 −1
n +1
0
[ 2 − Cn +1 ]= n+1 .
n+1

* Bài tốn tổng qt, Tính tổng:
b  a 0 b 2  a 2 1 b3  a 3 2
b n 1  a n 1 n
Cn 
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1
S= 1
.

Giải Xét Số hạng tổng quát sau
1
1
n!
(n  1)!
1
Cnk 

.

C k 1
k 1
k  1 k !(n  k )! ( n  1).( k  1)![(n+1) - (k+1)]! = n  1 n 1 .
1
[(b - a)C1n +1  (b 2  a 2 ).Cn21  ...  (b n 1  a n 1 ).Cnn11 ]
Vậy S = n  1
1
[(C0n+1  Cn11 .b  Cn21.b2  ...  Cnn11.b n1 )  (Cn01  Cn11.a  Cn21.a 2  ...  Cnn11.a n1 )]
n

1
=
1
(1+b)n+1  (1  a) n 1
[(1+b) n+1  (1  a) n 1 ] =
n 1
= n 1
.

* Khi cho a ,b các giá trị thích hợp ta có các bài tốn thường gặp sau
1 1 1 2
( 1) n n
1
.Cn  .Cn  ... 
.Cn 
2
3
n 1

n  1 ( Với a = -1 , b = 0 ) .(HSG tỉnh 95-96)
a/
1 0 2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
3n 1  2n1
Cn 
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1
b /(ĐTTS- KB-2003) 1
= n 1
Cn0 

( Với a = 1 , b = 2 ) .
Bài toán 10 Với số tự nhiên n , Chứng minh rằng :(Đề thi tuyển sinh A 2007)
1 1 1 3 1 5
1
22 n  1
C2 n  C2 n  C2 n ...  C22nn  1
2
4
6
2n
= 2n  1 .(*)

Giải
Theo SHTQ bài toán 7 ta có

1
1
C2kn 
C2kn11
k 1
2n 1
1
[C22n+1  C24n 1  C26n 1  ...  C22nn1 ]
Khi đó ta có VT(*) = 2n 1
.

Mặt khác ta có , theo khai triển new tơn :
0
1
2
3
4
2n
2 n 1
(1 - 1 )2n+1 = C2 n1  C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  C2 n 1

=


0

1

2

3

4

2n

2 n 1

(1 + 1 )2n+1 = C2 n1  C2 n 1  C2n 1  C2n1  C2 n1  ...  C2n 1  C2n 1
Cộng vế với vế ta được :
0

2

4

6

2n

22n+1 = 2( C2 n1  C2 n1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 )
2
4
6
2n
Hay : C2 n 1  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  22n - 1 .

22n  1
Vậy VT(*) = 2n  1 ( Ta có đpcm) .

Bài tốn 11.Với n là số ngun dương ,tính tổng sau.
1

1

0

1

1

1

2

k

1

2010

S = 1 . 2 C2010 + 2 .3 .C 2010 + 3 . 4 .C 2010 +. ..+ (k +1)( k +2) C2010 + .. .+ 2011.2012 C 2010 .
Giải.
Khi chú ý khai thác số hạng tổng quát ta nhận thấy:

1
1
2010!
C k2010=
.

(k +1)(k + 2)
(k +1)(k +2) k ! .(2010 − k )!
1
2012 !
.
2011. 2012 ( k +2)! (2012−(k+ 2))!
1
k +2
= 2011 .2012 . C2012

Vậy

1
C22012 + C32012 +C 42012 +. ..+C 2012
[
2012 ]
2011 . 2012
1+ 1¿ 2012 − C02012 −C 12012
¿
¿
1
¿
2011.2012
22012
1
−
.
2011 .2012 2012

S=

=

Bài toán 12. Với n là số nguyên dương ,tính tổng sau.
1

0

1

1

1

1

2

k

1

n

S = 2 .C n + 3 .C n + 4 .C n +.. .+ k +2 . C n+ .. .+ n+ 2 C n .
Giải .
Để phân tích số hạng tổng quát ta áp dụng tính chất sau:

1
1

1
1
1
1
=
−
⇒
=
−
.
(k +1)(k + 2) k +1 k + 2 k +2 k +1 (k +1).( k +2)

Khi đó SHTQ được khai triển như sau
1
1
1
. Ck =
−
. Cnk
k +2 n k +1 ( k +1)(k +2)
1
1
. C kn −
.C k
k +1
(k +1).( k +2) n
1
1
. Cnk+1
. C k+2

+1 −
n+2
n+1
(n+1).( n+2)
1
1
C 1n+1 +C 2n+1 +C3n +1+ .. .+C n+1
C 2n+2 +C 3n+2 +C 4n+2 +. ..+C n+2
[
[
n+1 ] −
n+2 ]
n+1
(n+1)(n+2)

[

Vậy S =

]


n+1

0

1+1¿ −C n+1
1+1¿ n+2 −C 0n+2 −C1n+2
¿
1

¿−
¿
( n+ 1)(n+ 2)
1
¿
¿
n+1
1
1
¿
[ 2n+1 −1 ] −
[ 2n+2 −n −3 ]=¿
n+ 1
(n+1).(n+2)

2 n+2 − 1 2n+1 −1
−
.
n+2
n+ 1

Bài tốn 13. Tính tổng sau:

1 2
1 4
1 6
1
0
2010
S = C2010 + 2 . C 2010 + 3 . C2010 + 4 . C2010 +..+ 1006 C 2010 .

Giải.
Khai thác SHTQ ta có:
1
1
1
1
k
k
k
. C22010
=2.
. C22010
=2
−
.C 22010
k +1
2 k +2
2 k +1 (2 k +1)(2 k +2)
1
1
2k
2k
2
. C2010 −
. C2010
2 k +1
(2 k+ 1)(2 k +2)
1
1

2 k+ 1
2 k+2
2
. C2011 −
.C
2011
2011 . 2012 2012
1
1
2
C 12011+ C32011 +. ..+C 2011
C22012 +C 42012 +. .. C2012
(
(
2011 ) −
2012 )
2011
2011 .2012

[

]

[

]

[

=> S =

]

[

Mặt khác ta có :
2011

0

1

2

2011

2012

0

1

2

2012

1+1¿

=C2011 +C 2011+ C2011 +. ..+C 2011
¿

2011
0
1− 1¿ =C2011 −C 12011+ C22011 −. .. −C 2011
2011
¿
¿
⇒ 22011=2 ( C 12011+ C32011 +. ..+C 2011
2011 )
1
3
2011
2010
⇒C 2011+C 2011 +.. .+C2011 =2

Ta lại có :
1+1 ¿

=C2012 +C 2012 +C 2012 +. ..+C 2012
¿
1− 1¿ 2012=C 02012 −C 12012 +C22012 −. . .+ C2012
2012
¿
¿
⇒ 22012 =2 ( C02012 +C 22012 +C 42012 +. ..+C 2012
2012 )
.
2
4
2012
2011

⇒ C 2012 +C2012 + .. .C 2012=2 −1
22010
22011 −1
−
Vậy S = 2
.
2011 2011 . 2012

[

]

Bài toán 14. Cho n là số nguyên dương, tính tổng sau :
1

1

2

2

3

3

k

k

n

n

S = 2 Cn + 3 C n + 4 Cn +. ..+ k +1 C n +. ..+ n+1 C n .
Giải.
Phân tích số hạng tổng quát ta có :
(k +1)− 1 k
k
1
1
. Ckn =
.C n=C kn −
C kn=C kn −
. Ck +1 .
k +1
k +1
k +1
n+1 n +1

].


Vậy S =

n

n

k=1

k=1

1
1
1
n
(2n+1 −n − 2)=2n −
(2n +1 −1)
∑ C kn − n+1
∑ C k+1
n+1=2 −1 −
n+1
n+1

.

Bµi tËp vËn dơng.
n

 1
7
 4 x 
 ,
1. T×m hƯ sè cđa sè hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức: x
1
2
n
0
C

C

...

C

2
1
2
n

1
2
n

1
2
n

1
biết rằng:
n+ 2
2n
2 n+1
20
2. (HSG tỉnh năm 2008).Cho Cn2 +1
. Biết r»ng sè h¹ng thø 3 trong khai triĨn
n +1+C 2 n+1 +. .. .+C 2n +1+ C 2 n+1 =2

A=

(√ x

√

x n
− x log 2( )
8

)

b»ng 45. T×m x?
+ 2
3.(HSG tØnh 2010).T×m hƯ sè cđa x7 trong khai triĨn P(x) = (5x-3)n , biÕt
4

1

log 2 x −3

2

2 n +1

C2 n +1+ 2. C2 n +1+. . .+(2 n+1). C2 n +1=21. 2

20

.
2

1+ a ¿
¿
1+ a ¿n
¿
.
¿
¿
1+ a
+¿
2

4.KÝ hiÖu PN=1+a+a2 +…+an vµ Sn = 1+

CMR:

n
. (HSG tỉnh 94-95)
C1n +1 +C2n +1 . P1+ .. .. .+C n+1
n+1 . Pn=2 . S n

5.Cho n là số tự nhiên . CMR với mọi x ta cã:
2008
1− x ¿2006 +.. . .+ 2008. C 2008
=2008 x
2008 . x
2007
2
2
.

1 − x ¿ + 2C 2008 . x . ¿
1
C2008 . x . ¿

k −2008 x ¿ 2 C k2008
¿
1 − x ¿2008− k
6. Cho hµm số f(x) =

2008


k=0

Tìm giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;1].
n

7.Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho :

0

− 1¿
¿
¿
.
1 0 1 1
C − C +.. .+¿
2 n 3 n
2

n

2n

C2 n +3 . C2 n +.. .+3 C2 n
9.Tính tổng các hệ số bậc lẻ của đa thức (HSG tỉnh 2009)

8.CMR nếu n chẵn thì 2n chia hết:

2 x ¿2008
P(x) =
2 x ¿2+ .. .+2009C 2009
2009 ¿
1
2
C2009 + 2C 2009 (2 x)+3 C 32009 ¿


10.Cho n là số tự nhiên , n > 1. CMR:
1
n− 2
n −2 ¿2 C2n +. ..+22 Cnn − 2+12 C n−
n =n(n+1). 2
n− 1¿ 2 C 1n +¿
.
2 0
n Cn +
2007
11.Tìm giá trị của biếu thức A = 20092006 . C12008 +2009 2004 C32008 + .. ..+2009 2 .C 2005
.

2008 +C 2008

12.CMR:

C 1n +2 C2n +. ..+ nCnn
<n ! với mọi n là số tự nhiên n > 2.
n

13. CMR:

(C 0n ) + (C 1n ) + ( C2n ) +. . ..+ (C nn ) =Cn2 n

2

2

2

2

2

14. CMR:

−1 ¿2 n+1 ( C 22 n+1
n+1 ) =0
2

2

(C 02 n+1 ) − (C 12 n+1 ) + ( C22 n +1)

2

− .. ..+¿

.

1 n +1
1
n
n
15.CMR: C0n . C1n +C 1n . C 2n+. . .. .+C n−
n . C n = C2 (n +1) − C2 n .
2
n

1 
 2
x  x 3 
x  biÕt n lµ sè tù nhiên thỏa mÃn đẳng thức:
16.Tìm hệ số không chứa x trong khai triÓn 
1 0 1 1 1 2
1
1
.
C2 n − C 2n + C 2 n −. . .. .+
C22 nn=
2
3

4
2 n+2
462