the tich khoi da dien giai chi tiet cuc hay

CHUN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1.
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A

B

2.

H

2
2
2
 BC = AB + AC
 AH .BC = AB .AC
2
2
 AB = BH .BC , AC = CH .CB

1
1
1
=
+
, AH 2 = HB .HC

2
2
2
AB
AC
 AH
2AM
=
BC


C

M

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vng:

Cạnh kề
Cạnh huyền
Cạnh
đối


Chọn
Chọngóc
gócnhọn
nhọn là
là 
cạnnhh đđốốii  đđii 
cạ

sin


sin
;; 

cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhoọcïc 
cạ


cạnnhh kkềề  kkhô
hônngg 
cạ
cos


cos
;;

cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhưư 
cạ


cạnnhh đđốốii  đđoà
oànn 
cạ
tan



tan
;;

cạnnhh kkềề  kkeếtát 
cạ


cạnnhh kkềề  kkếếtt 
cạ
cot 


cot
;;
cạ
n
h
đ
ố
i
oànn 
cạ
n
h
đ
ố
i
 đđoà




3.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A

b2 + c2 - a2
2bc
a2 + c2 - b2
2
2
2
* b = a + c - 2ac cosB Þ cosB =
2ac
2
a
+
b2 - c2
* c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC =
2ab
* a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA =

b

c
a

B

C

b. Định lý sin:
A
c

b
R
a

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)


c. Cơng thức tính diện tích tam giác:

A

c

1
1
1
SD ABC = ah
. a = bh
. b = ch
.c
2
2
2



1
1
1
SD ABC = absinC = bc sin A = ac sin B
2
2
2
abc
SD ABC =
, SD ABC = pr
.
4R


b

B

C

a

p - nửa chu vi

bán
kính
đường
tròn
nội

tiếp
r

p  p  p  a  p  b  p  c

d. Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:

* AM 2 =

AB 2 + AC 2 A BC 2
2
4
K
N

* BN 2 =

BA 2 + BC 2 AC 2
B C
2
M 4

* CK 2 =

CA 2 +CB 2 AB 2
2
4

4.

Định lý Thales:

A
M
B

AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
2
ổ
AM ử
ữ
ỗ
ữ
=ỗ
= k2
ữ
ỗ
ữ
ốAB ứ

* MN / / BC ị
N

*
C

SDAMN
SDABC

(Ti diờn tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)


5.

Diện tích đa giác:
B

a. Diện tích tam giác vng:

1
Þ SDABC = AB.AC
 Diện tích tam giác vng Cbằng ½ 2tích 2 cạnh
A
góc vng.

b. Diện tích tam giác đều:

2
ìï
ïï SD ABC = a 3
ù
4

ù
ị ớ
ùù
a 3
Dùùù h = 2
u
ợ

B
ha

S

A u:C
Diờn tích tam giác

 Chiều cao tam giác đều:

hD
đều

(cạnh)2 . 3
=
4
(cạnh)
=

. 3
2

c. Diện tích hình vng và hình
chữ nhật:
B
A
ïìï SHV = a2
ïí
 Diện tích hình vng bằngÞcạnh
bình phương.
O
ïï AC = BD = a 2
ïỵ cạnh nhân 2 .
 Đường chéo hình vuông bằng

a
D

C

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
d. Diện tích hình thang:
1
=
 SHình Thang 2 .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
B

e. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng
góc:

A

D

Þ S=

2

C

H

B

Þ
C

A

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vng góc nhau
tại trung điểm của mỗi đường.

( AD + BC ) .AH

D

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :
ïï
d Ë (a) ỹ

ù
d P d ùý ị d P (a)
ù
dÂè (a)ùùù
ỵ

(nh lý 1, trang 61, SKG HH11)
( b) P (a)üïï Þ d P (a)
ý
d è (b) ùù
ùỵ

(Hờ qu 1, trang 66, SKG HH11)

1
SH .Thoi = AC .BD
2


ïï
d ^ d 'ü
ï
(a ) ^ d 'ïý Þ d P (a)
ù
d ậ (a) ùùù
ỵ

(Tinh cht 3b, trang 101, SKG HH11)
2. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
ïï

(a) É a,a P (b)ü
ï
(a) É b,b P (b) ïý Þ (a) P (b)
ùù
a ầb =O
ùù
ỵ

(nh lý 1, trang 64, SKG HH11)
(a) P (Q )ùỹ
ù ị (a) P (b)
ý
(b) P (Q ) ùù
ỵ

(Hờ quả 2, trang 66, SKG HH11)
ïï
(a) ¹ (b)ü
ï
(a) ^ d ùý ị (a) P (b)
ù
(b) ^ d ùùù
ỵ

. (Tinh cht 2b, trang 101, SKG HH11)
3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
(a), ( b)
 Hai mặt phẳng
có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì giao
tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.

ùù
S ẻ (a) ầ ( b) ỹ
ù
(a) ẫ a,( b) ẫ bùý ị (a) ầ ( b) = Sx ( P a Pb) .
ùù
a Pb
ùù
ỵ
(Hờ qu trang 57, SKG HH11)
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a) . Nếu mặt phẳng (b) chứa a và cắt (a) theo
giao tuyến b thì b song song với a.
ïï
a P (a),a è ( b) ỹ
ý ị bP a .
(a) ầ ( b) = b ùù
ùỵ
(nh lý 2, trang 61, SKG HH11)
 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với
đường thẳng ú.
ùỹ
(a) P (b)
ù ị (P ) ầ (b) =d Â,d ÂP d
ý
(P ) ầ (a) = dùù
ỵ
. (nh lý 3, trang 67, SKG HH11)
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
d ạ d ùỹ
ùù
d ^ (a) ùý ị d ^ d Â

ù
dÂ^ (a)ùùù
ỵ
(Tinh cht 1b, trang 101, SKG HH11)
S dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4. Chứng minh đường thẳngvng góc với mặt phẳng:
 Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong một mặt phẳng thì nó vng góc với mặt phẳng ấy.


ïï
d ^ a Ì (a)ü
ï
d ^ b Ì (a) ïý ị d ^ ( a )
ù
a ầ b = {O}ùùù
ỵ
.
Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vng
góc với đường thẳng này thì vng góc với đường thẳng kia.
d P d  ùỹ
ù ị d^ a
ý
( )
dÂ^ (a)ùù
ỵ
.
Tớnh cht 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vng
góc với mặt phẳng này thì cũng vng góc với mặt phẳng kia.
( a ) P ( b) ïüï Þ d ^ a

ý
( )
d ^ ( b) ùù
ùỵ
.
nh lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.
( a ) ^ ( P ) üïïï
( b) ^ ( P ) ïýï Þ d ^ ( P )
( a ) Ç ( b) = dùùùùỵ
.
nh lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nu hai mặt phẳng vng góc thì bất cứ đường thẳng nào
nào nằm trong mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến đều vng góc với mặt phẳng kiA.
( a ) ^ ( P ) üïïï
a = ( a ) Ç ( P ) ïý Þ d ^ ( P )
ï
d è ( a ) ,d ^ aùùù
ỵ
5. Chng minh hai đường thẳng vng góc:
a ^ b Û a¶,b = 900.
 Cách 1: Dùng định nghĩa:
r r
rr
r r
r r
a ^ b Û a ^ b Û a.b = 0 Û a . b .cos a,b = 0
Hay
 Cách 2: Nếu một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải
vng góc với đường kia.
ïï

b//c ü
ýÞ a ^b
a ^ cùù
ỵ
.
Cỏch 3: Nu mt ng thng vuụng góc với một mặt phẳng thì nó vng góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
ïï
a ^ ( a)ü
ý ị a ^ b.
b è ( a ) ùù
ùỵ
(P )
Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng
( P ) đờng thời khơng vng góc với ( P ) . Gọi a’ là hình chiếu
và a là đường thẳng không thuộc
( P ) . Khi đó b vng góc với a khi và chỉ khi b vng góc với a’.
vng góc của a trên
ïï
a ' = hcha (P )ü
ý Þ b ^ a b ^ a '.
ùù
bè (P )
ùỵ

( )

( )

 Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).
mp( a ) ^ mp( b)
6. Chứng minh
:
·
a ) ^ ( b) Û ( a ) ,( b) = 900.
(
 Cách 1: Theo định nghĩa:
Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng
90° .
 Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

(

)

III. HÌNH CHÓP ĐỀU
1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
S
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các
mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hai hình chóp đều thường gặp:
a. Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi
đó:

C

A
O

 Đáy ABC là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
·
·
·
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO .
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

B

2
1
AB 3
AH , OH = AH , AH =
3
3
2 .
 Tính chất:
Lưu y: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên
bằng cạnh đáy.
b. Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD .
AO =

 Đáy ABCD là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
·
·
·
·
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO = SDO .
·
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO .

IV. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S
1
V = B .h
3
1. Thể tích khối chóp:
A

D
O
C

S

A

I

D

O

B

C


B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

A

C

A

C

B
B
2. Thể tích khối lăng trụ: V = B .h
A’

B : Diện tích mặt đáy.
C’
A’
h : Chiều cao của khối chóp.

C’

B’ ý: Lăng trụ đứng có B’
Lưu
chiều cao cũng là
cạnh bên.
c
a
a. .
3. Thể tích hình hợp chữ nhật: aV = abc
b

a 3
Þ Thể tích khối lập phương: V = a

VS.A ¢B ¢C ¢ S SA ¢ SB ¢ SC ¢
=
.
.
VS.ABC
SA SB SC

4. Tỉ số thể tích:

B
’

A
’

C

5. Hình chóp cụt ABC. ABC

(

’

)

h
A
V = B + B ¢+ BBB¢
3
¢
Với B, B , h là diện tích hai Cđáy và chiều cao.

2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
B. 2 .

C. 3 .

1
D. 2 .

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .

D. 2 .

 p; q , chỉ số p là
Câu 3. Cho khối đa diện đều
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

A. 4 .

Câu 4. Cho khối đa diện đều

 p; q

, chỉ số q là


A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
a3 2

A. 12

a3 2

B. 4

a3

D. 6

3
C. a .

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB a , SA a .
3
A. a

a3 2
B. 2

a3 2
C. 6 .

a3
D. 3

SA   ABC 
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có
, đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp
S . ABC biết AB a , SA a .

a3 3
A. 12 .

a3 3
B. 4 .

a3
D. 3

3
C. a .

SA   ABCD 
Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có
, đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a .
3
A. a .

3
B. 6a .

a3

D. 3

3
B. 2a .

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vng tại O có OA a, OB OC 2a là

2a 3

A. 3

a3

B. 2

a3

C. 6

3
D. 2a .

Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA 2cm ,
AB 4cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp.
12 3
cm
A. 3
.

24 3
cm
B. 5
.

24 3
cm
C. 3

.

3
D. 24cm .

Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB a, AD 2a . Góc giữa
SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là

a3 2

A. 3

2a 3

B. 3

a3

3
C.

a3 2

D. 6

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA a 3, AC a 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S . ABCD là
a3 2

A. 2

a3 2

B. 3

a3 3

C. 2

a3 3

D. 3

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB là tam giác đều và
thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
AB a , AC a 3 .

 ABC  .

Tính thể tích khối chóp S . ABC biết


a3 6

A. 12

a3 6

B. 4

a3 2

C. 6

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên
và thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

a3

D. 4

 SAB 

là tam giác vuông cân tại S

 ABCD  . Tính thể tích khối chóp

S . ABCD biết

BD a , AC a 3 .

a3 3

B. 4

3
A. a .

a3


D. 3

a3 3

C. 12

Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng

 ABC  là trung điểm

H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB a , AC a 3 ,

SB a 2 .

a3 6

A. 6

a3 3

B. 2

a3 3

C. 6

a3 6

D. 2

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng

 ABCD 

là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết

a3

A. 3

3
B. a .

Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh
trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là
a3 2

A. 3

a3 2

B. 3

a3

C. 2
a, SD 

SB 

3a
2 .

3a 3

D. 2

a 13
2 . Hình chiếu của S lên  ABCD  là
a3

D. 3

3
C. a 12 .

0
·
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB 2a , góc BAD bằng 120 . Hình chiếu vng góc của

 ABCD 

S lên
S . ABCD là
a3 2

A. 9

là I giao điểm của 2 đường chéo, biết
a3 3


B. 9

a3 2

C. 3

SI 

a
2 . Khi đó thể tích khối chóp
a3 3

D. 3

VS . ABC
Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số VS .MNC .
1
1


A. 4 .
B. 2
C. 2 .
D. 4
Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B, C  sao cho
VO. A ' B 'C '
2OA OA, 4OB OB, 3OC  OC . Tính tỉ số VO. ABC

1
A. 12 .

1
B. 24 .

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi

 

1
C. 16 .

1
D. 32 .

   cắt SB , SC
là mặt phẳng qua A và song song với BC .

SM
   chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
lần lượt tại M , N . Tính tỉ số SB biết
1
1
1
1
A. 2 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 2 2 .

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
a3 3

A. 4

a3 3

B. 3

a3 2

C. 3

a3 2

D. 2

Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A ' A  A ' B  A ' D . Tính thể tích
khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB a , AD a 3 , AA ' 2a .
3
A. 3a .

3
C. a 3 .

3
B. a .

3
D. 3a 3 .

 ABC  là
Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vng tại A . Hình chiếu của A ' lên
trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết AB a , AC a 3 ,
AA ' 2a .
a3

A. 2

3a 3

B. 2

3
C. a 3 .

3
D. 3a 3 .

 ABCD  là trọng
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên
0
·
tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB a , ABC 120 ,
AA ' a .
a3 2

B. 6

3

A. a 2 .

a3 2

C. 3

a3 2

D. 2

3 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4
1
A

2
B

3
A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?


1
D. 2 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
 Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
A. 4 .

B. 2 .

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4 .
B. 5 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải:

D. 2 .

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối
20 mặt đều.

 p; q , chỉ số p là
Câu 3. Cho khối đa diện đều
A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

 p; q , chỉ số q là
Câu 4. Cho khối đa diện đều
A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
a3 2

A. 12

a3 2

B. 4

a3

D. 6

3
C. a .
Hướng dẫn giải:

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .
Gọi H là hình chiếu của A
Ta có:

BH 

a 3
3

 AH  AB 2  BH 2 
S BCD 

S

 BCD  .
lên

a 6
3

C

A
O

a2 3
a3 2
 VABCD 
4
12 .

B

Câu 6. Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB a , SA a .
a3 2
B. 2

3
A. a

a3
D. 3

a3 2
C. 6 .
Hướng dẫn giải:

S

 ABCD 
Gọi H là hình chiếu của S lên
Ta có:

AH 

a 2
2

 SH  SA2  AH 2 

A

a 2
2

D
H

B

C

S ABCD a 2  VS . ABCD

a3 2

6

SA   ABCD  ABCD
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có
.
là hình thang vng tại A và B biết
AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a biết góc giữa  SCD  và

 ABCD 

0
bằng 60 .

3
A. 2 6a .

3
B. 6 6a .

3
C. 2 3a .
Hướng dẫn giải:

Dựng AM  CD tại M .
0

·
Ta có: SMA 60 .
AD  BC
S ABCD 
. AB 4a 2
2
CD 

 AD 

3
D. 6 3a .

S

2

BC   AB 2 2a 2

A

1
S ABC  AB.BC a 2
2
S ACD S ABCD  S ABC 3a 2

D
M
C

B
2S
1
3 2
S ACD  AM .CD  AM  ACD 
a
2
CD
2
3 6
1
·
SA  AM .tan SMA

a VS . ABCD  SA.S ABCD 2 6a 3
3
2
Ta có:
.
.

SA   ABCD  ABCD
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có
,
là hình thang vng tại A và B biết
AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a , biết khoảng cách từ A

3 6
a
(

SCD
)
đến mặt phẳng
bằng 4
.
3
A. 6 6a .

3
B. 2 6a .

3
C. 2 3a .
Hướng dẫn giải:

Dựng AM  CD tại M .
Dựng AH  SM tại H .
3 6
AH 
a
4
Ta có:
.
AD  BC
S ABCD 
. AB 4a 2
2
CD 

 AD 

2

BC   AB 2 2a 2

1
S ABC  AB.BC a 2
2
S ACD S ABCD  S ABC 3a 2
S ACD

2S
1
3 2
 AM .CD  AM  ACD 
a
2
CD
2

3
D. 6 3a .

S

H

A

D

M

B

C


1
1
1
AH . AM
3 6


 AS 

a
2
2
2
2
2
AM
AS
2
AM  AH
Ta có: AH
1
VS . ABCD  SA.S ABCD 2 6a 3
3

 ABC  bằng
Câu 41. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và

60 , tam giác ABC vng tại C và góc BAC
60 . Hình chiếu vng góc của điểm B ' lên
 ABC 

trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a bằng

13a 3
A. 108 .

7a3
B. 106 .

15a 3
C. 108 .
Hướng dẫn giải:

9a 3
D. 208 .

Gọi M , N là trung điểm của AB, AC
và G là trọng tâm của ABC .





0


B ' G   ABC   BB ',  ABC  B ' BG 60

.

1
1
VA '. ABC  .SABC .B ' G  . AC.BC.B ' G
3
6
0

Xét B ' BG vuông tại G , có B ' BG 60
 B 'G 

a 3
2 . (nửa tam giác đều)

60 60

0

Đặt AB 2 x . Trong ABC vng tại C có BAC 60
AB
 AC 
x, BC x 3
 tam giác ABC là nữa tam giác đều
2

3
3a
 BN  BG 
2
4 .
Do G là trọng tâm ABC
2
2
2
Trong BNC vuông tại C : BN NC  BC
3a

AC


2 13
9a 2 x 2
9a 2
3a


  3x 2  x 2 
 x
 
16
4
52
2 13
 BC  3a 3


2 13
1 3a 3a 3 a 3 9a 3
VA ' ABC  .
.
.

6
2
208 .
2
13
2
13
Vậy,
Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ
tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng
ABC. A ' B ' C ' .
3a 3 2
8 .
A.

3a 3 2
B. 28 .

 A ' BC 

a
bằng 6 .Tính thể tích khối lăng trụ

3a 3 2
4 .
C.
Hướng dẫn giải:

3a 3 2
D. 16 .


Gọi M là trung điểm của BC ,
 A ' AM    A ' BC  theo giao tuyến
ta có
A' M .
 A ' AM  kẻ OH  A ' M ( H  A ' M ) .
Trong
 OH   A ' BC 
Suy ra:
SABC

d  O,  A ' BC   OH 

a
6.

a2 3

4 .

A'

B'

A

Suy ra:

C

H
O

Xét hai tam giác vuông A ' AM và OHM có

góc M chung nên chúng đờng dạng.
a
1 a 3
.
OH
OM
1
3 2

 6 


2
2
A' A A'M
A' A
A' A

A ' A  AM

 A' A 

C'

M

B

3
2

a 3
A' A  

 2  .
2

a 6
a 6 a 2 3 3a3 2
VABC . A ' B ' C ' S ABC . A ' A 
.

4 . Thể tích:
4
4
16 .
VẬN DỤNG CAO

Câu 43. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS 2 NC . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S . AMN . Tính tỉ
V1
số V2 .
V1 2

V
3
2
A.

V1 1

V
2
2
B.

VS . AMN SM SN 1 2 1

   
VS . ABC
SB SC 2 3 3 ;
VS . AMN  VA.BMNC VS . ABC .
VA. BMNC
2
V
S
.
AMN

Suy ra,
.

V1
2.
V
2
C.
Hướng dẫn giải

V1
3
V
2
D.


Câu 44. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS 2 NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA 2 PS . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của
V1
các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số V2 .
V1 1
V1 3
V1 2



V
9
V

4
V
3.
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
Hướng dẫn giải
1
d ( N , ( SAB )) S BMP
VN .BMP 3

1
VC .SAB
d (C, ( SAB)) S SAB
3
;
d ( N , ( SAB )) NS 2


d (C, ( SAB)) CS 3
,
1
1 1
S BPM  S BPS   S SAB
2

2 3

Suy ra,

VN . BMP 2 1 1
  
VC . SAB 3 6 9

V1 1

V
3.
2
D.

.

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD ) bằng 45 , M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích
V của khối tứ diện DMNP .
A.

V

a3
6

B.

V

a3
4

a3
V
12
C.
Hướng dẫn giải

S SMN SM SN 1

 
S
SA
SB 4 .
SAB
Ta có:
S BNP 1 S AMP 1
 ,

S
4
S
4.
SAB
SAB
Tương tự,
S MNP 1


Suy ra S SAB 4 (có thể khẳng định
S MNP 1

S SAB 4 nhờ hai tam giác MNP và BAS
là hai tam giác đồng dạng với tỉ số
VD.MNP 1

V
Do đó D.SAB 4 (1)
1
VD.SAB VS . DAB  VS . ABCD
2
. (2)

k

1
2 ).

D.

V

a3
2


1
1
4a 3

1 1 4a 3 a 3
VS . ABCD  SO.S ABCD  OP.tan 45 .S ABCD 
VDMNP  . .

3
3
3 (3). Từ (1), (2) và (3):
4 2 3
6 .
Câu 46. Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a ; cạnh bên
AA  2a . Hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC .
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC  .
1
V  a3
2 .
A.

B.

V

a3
3 .

3

C. V a .
Hướng dẫn giải

D.

V

2a 3
3 .

Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung
tuyến BH cũng là đường cao của nó, và
1
HB HA HC  AC a
2
.
AH  AA2  AH 2  2a 2  a 2 a .
1
VABC . ABC   AH S ABC  AH  BH AC a 3
2

Câu 47. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đơi một vng góc với nhau. Gọi G1 , G2 , G3 và
G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC , ABD, ACD và BCD . Biết AB 6a, AC 9a ,
AD 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 .
3
A. 4a

B. a

3

C. 108a
Hướng dẫn giải

Trong trường hợp tổng quát, ta
chứng
minh được

VG1G2G3G4 

1
VABCD
27

.

Thật vậy,
ta có (G2G3G4 ) (CBA) và
G2G3G4 ) CBA (tỉ số đồng dạng
SG2G3G4
1
1
k 2 
9 và
3 ) . Từ đó: SCBA
d (G1 , (G2G3G4 )) d (G4 , ( ABC ))
k

1
1
 d ( D, ( ABC )) (do G4 M  DM )
3
3
VG1G2G3G4 d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 1 1



  
VABCD
d ( D, ( ABC ))
SCBA
3 9 27
Suy ra
1
1 1
 VG1G2G3G4  VABCD   . AB. AC. AD 4a 3
27
27 6

3

D. 36a

3


Câu 48. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11m , BC  AD 20m , BD  AC 21m . Tính thể tích khối
tứ diện ABCD .
3
A. 360m

3
B. 720m

C. 770m

Hướng dẫn giải

3

3
D. 340m

Dựng tam giác MNP sao cho C,
B, D lần lượt là trung điểm các
cạnh MN, MP, NP.
Do BD là đường trung bình tam
1
BD  MN
2
giác MNP nên
hay
1
AC  MN
2
.
Tam giác AMN vng tại A (do
có trung tuyến bằng một nửa
cạnh tương ứng), hay AM  AN
. Tương tự, AP  AN và
AM  AP .
1
1
1
1
S MBC  S MNP S NCD  SMNP S BPD  SMNP

S BCD  SMNP
4
4
4
4
Ta có
,
,
.Suy ra
.

1
VABCD  VAMNP
4
Từ đó,

suy ra

 x 2  y 2 4.202
 2
2
2
 y  z 4.21
AM
AN
AP
 x 2  z 2 4.112
x
,y
,z 

m
m
m
. Đặt
. Ta có 
,

 x 2 160
 2
1
1
3
 y 1440  xyz 1440  VABCD  VAMNP 360m
6
4
 z 2 324


1
VAMNP  AM . AN . AP
6
(AM, AN, AP đơi một vng góc nên
)
V

2
(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(  a 2  b 2  c 2 )
12

Câu 49. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là vng; mặt bên ( SAB) là tam giác đều và nằm trong

3 7a
mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng 7
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
1
V  a3
3 .
A.

3
B. V a .

2
V  a3
3 .
C.
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là
chiều cao khối chóp đã cho.
Kí hiệu x là độ dài cạnh đáy.

D.

V

3a 3
2 .


3

3 3
x
VS . ABCD 
x
2 và
6
Ta có
.
Kẻ HK  CD ( K  CD ) ;
Kẻ HL  SK (L  SK ) .
SH 

Suy ra HL  ( SCD) và
d ( A, ( SCD)) d ( H , ( SCD))
HL 

Theo gt,

HS HK
HS 2  HK 2



21
x
7

21
3 7a
3 3

3
3
x
 x a 3
VS . ABCD 
x  (a 3)3  a 3
7
7
6
6
2
. Suy ra

Câu 50. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA 2 SM ,
SN 2 NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các
khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó, ( H1 ) chứa
V1
điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số V2 .
4
5
3
4
A. 5
B. 4
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC .
Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của ( ) với các đường thẳng BC , AC .
Ta có NP //MQ //SC . Khi chia khối ( H1 ) bởi mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp

N .SMQC và N .QPC .
VN .SMQC

d ( N , ( SAC )) S SMQC

d (B, (SAC )) S SAC ;
Ta có: VB. ASC
d ( N , ( SAC )) NS 2


d (B, ( SAC )) BS 3 ;


2
S SMQC 5
4
 AM 


  
S ASC  AS 
9
S ASC
9 .
VN .SMQC 2 5 10
  
V
3 9 27
B
.

ASC
Suy ra

S AMQ

VN .QP C
VS . ABC



d ( N , (QP C )) SQPC

d (S, (A BC )) S ABC

NB CQ CP
1 1 2 2
     
SB CA CB
3 3 3 27
V1 VN .SMQC VN .QP C 10 2 4
V1
4
V 4


 
 
  5V1 4V2  1 
V
VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1  V2 9

V2 5



Câu 51. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng ( SAB ) ,
( SAC ) và ( SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau. Biết AB 25 , BC 17 ,
AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích V của khối chóp
S . ABC .

A. V 408 .

B. V 680 .

C. V 578 .
Hướng dẫn giải
Gọi J là chân đường cao của hình chóp
S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của
J trên các cạnh AB, BC và CA . Suy ra,

D. V 600 .




SHJ
, SLJ và SKJ lần lượt là góc tạo bởi
mặt phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng
(S AB ) , ( SBC ) và ( SAC ) . Theo giả thiết, ta




có SHJ SLJ SKJ , suy ra các tam giác
vuông SJH , SJL và SJK bằng nhau. Từ đó,
JH JL JK . Mà J nằm trong tam giác
ABC nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.
Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được
diện tích S của tam giác ABC là S 204 .
Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là
bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. Ta
r

S 204

6
p 34
. Đặt x BH BL ,

có
y CL CK ,

z  AH  AK .
 x  y 17

 x  z 25
 y  z 26


Ta có hệ phương trình
Giải ra được ( x; y; z ) (8;9;17)

.


 , ( ABC )) 45
( SB
JB  JH 2  BH 2  62  82 10 .Ta có SBJ
, suy ra SJB là tam giác
vuông cân tại J. SJ  JB 10 .

1
V  SJ .S ABC 680
3
Thể tích V của khối chóp S.ABC là

“ CHUYÊN ĐỀ trên được trích một phần trong BỘ SÁCH 12 – BTN.
Để tiếp tục theo dõi trọn bộ tài liệu mời Thầy cô chú ý xem hướng dẫn bên
dưới ”


GIỚI THIỆU

ĐẦY ĐỦ TÀI LIỆU TOÁN 10 – 11 - 12
Bản word - Giải chi tiết
Chỉ 500.000

đ

Tất cả hơn 20 bộ sách file word. + BỘ ĐỀ THI 300 ĐỀ THI THỬ 2018
( Lẻ 150k/ 1 bộ )

KHỐI 10:
1. Bộ Sách File Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh
2. Bộ Sách File Word ThS Đặng Việt Đông
3. Bộ Word Hệ Thống BT Trắc Nghiệm Phân Loại Theo Từng Chủ Đề
4. Bộ Sách File Word Bài Tập Tự Luận Lê Hồng Đức
5. Bộ Sách File Word Hình Học Oxy Đồn Trí Dũng
6. Bộ Word Bắc Trung Nam
7. Bộ Word Đà Nẵng
KHỐI 11:
1. Bộ Sách File Word Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB
2. Bộ Sách File Word ThS Đặng Việt Đông
3. Bộ Sách File Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh
4. Bộ Word Hệ Thống BT Trắc Nghiệm Phân Loại Theo Từng Chủ Đề
5. Bộ Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phị
6. Bộ Word Đà Nẵng
KHỐI 12:
1. Bộ Sách File Word Trần Quốc Nghĩa (Toán Học Bắc-Trung-Nam)
2. Bộ Sách File Word ThS Đặng Việt Đông
3. Bộ Sách File Word Nguyễn Phú Khánh-Huỳnh Đức Khánh
4. Bộ Word Hệ Thống BT Trắc Nghiệm Phân Loại Theo Từng Chủ Đề
5. Bộ Sách File Word Tích Phân Lưu Huy Thưởng
6. Bộ Sách File Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phị
7. Bộ Word Đà Nẵng
8. Bộ Casio và chống casio
9. 572 câu vận dụng cao ứng dụng thực tế…
VÀ: 300 Đề Thi Thử 2018 Giải Chi Tiết

HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU:
Bước 1: Thầy cô copy đường link và dán vào trình duyệt google hoặc cộc cộc như hướng dẫn

Đường link :
/>Bước 2: Thầy cô dán đường link vào trình duyệt google hoặc cộc cộc là mở và xem tài liệu