de 6

ĐỀ THI VÀO 10 THPT
Năm học 2018 – 2019.
Môn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời giao đề
Câu 1. (2 điểm).
A
a) Tính giá trị của biểu thức:

4 2 3
6 2

1  1
 1
P 

:x 1
x

1
x

1


b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
Câu 2. (2,5 điểm)
3x  2y 7

2x  y 4
a) Giải hệ phương trình: 
2

b) Giải phương trình: 2x  3x  2 0
2
c) Cho parabol (P): y x và đường thẳng (d): y  x  m  2 . Tìm m để
đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có các hồnh độ âm.
Câu 3. (1,5 điểm). Giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
2
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m và có chu vi bằng
120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại I. Dây MN
cắt cạnh AB và BC lần lượt tại H và K.
1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
2
2) Chứng minh NB NK.NM .
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam
giác MCK và E là trung điểm của PQ. Vẽ đường kính ND của đường trịn (O). Chứng
minh ba điểm D, E, K, thẳng hàng
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1,b 1,c 1 và ab  bc  ca 9 .
2
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a  b  c
-------------------- Hết --------------------


HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN
Câu

1
(2điểm)

Nội dung



A

2

a)



3 1



2

0, 5



31
31



2

Điểm





3 1



0,25

3 1
2





3 1

(vì

3  10)

1
2



2
2
 x 0
 x 0


x  1 0  x 1
b) ĐKXĐ: 
ĐKXĐ : x 0;x 1
x  1  x 1 x  1
P

1
x 1 x  1



2
(2,5
điểm)



0,25

0,25
0,25



2 x
Vậy P 2 x khi x 0; x 1
3x  2y 7

2x  y 4
a) 
 y 4  2x

3x  2  4  2x  7
 x 1

 y 2

 x 1

y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 
2
b) 2x  3x  2 0
2

   3  4.2.  2  25
Do   0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
3  25
3  25
1
2; x 2 

2.2

2.2
2
c) Phương trình hồnh độ chung của parabol (P) và đường thẳng (d)
là:
x 2  x  m  2
 x 2  x  m  2 0
x1 

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,5

0,25


2

3
(1,5
điểm)

4
(3 điểm)

Ta có:   1  1. m  2   m  3

Parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
  0

  x1  x 2  0
x x  0
 1 2
có hồnh độ âm
 m  3  0
m  3

  1  0

 m2
m

2
 m  2  0 

Vậy m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m), x > 0.
Ta có : Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là : 60  x (m)
2
Do khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m . Ta có
phương trình:
x  60  x  675
 x 2  60x  675 0
Giải ra ta được: x1 45 , x 2 15
x 15 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy chiều rộng mảnh vườn là: 15(m); chiều rộng mảnh vườn là:
45(m).

Hình vẽ:

0,25
0, 5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường trịn.
Do M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt) nên:




sdAM
sdMB
(t/c)  BCM ANM


Hay ICK INK
 tứ giác CNIK nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết tứ
giác nội tiếp)
Vậy bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh: NBK NMB  g.g 

0,25
0,25
0,25
0,5


2
Từ đó suy ra điều phải chứng minh: NB NK.NM .
3) Để chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. Ta chứng minh tứ
giác BHIK là hình bình hành (HI // BK; BH // KI) và BI là tia

phân giác của HBK
(vì I là giao điểm của ba đường phân giác
trong ABC )


4) Ta có: NBK BMK  MB là tiếp tuyến của đường tròn (P)
ngoại tiếp BMK .
o

Mà BD  BN do góc DBN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn)
 B, P, D thẳng hàng.
Tương tự ta có: C,D,D thẳng hàng.
Dễ dàng chứng minh được tứ giác KPDQ là hình bình hành (có
hai cạnh song song)
Mà E là trung điểm của PQ
Vậy E là trung điểm của DK  ba điểm D, E, K, thẳng hàng.

5
1.0 điểm

0,25
0,5

0,5

+) Áp dụng BĐT Cơ si cho hai số dương ta có:
a 2  b 2 2ab
 2 2
2
2
2
b  c 2bc  2  a  b  c  2  ab  bc  ca 
c 2  a 2 2ca

 P a 2  b 2  c2 ab  bc  ca 9
a b c 1

 a b c  3
ab  bc  ca 9

Dấu “ = ” xảy ra
Vậy GTNN của P bằng 9 khi a b c  3 .
 a  1  b  1 0 ab  a  b  1 


 b  1  c  1 0  bc  b  c  1 0


ca  c  a  1 0
c  1  a  1 0



+) Ta có:
 ab  bc  ca  2  a  b  c   3 0
ab  bc  ca  3
 a b c 
2
,
Vì a 1,b 1,c 1
a 1

b 1 
c 1


ab  bc  ca  3
6
2
2
  a  b  c  36

 3 a  b  c 

 a 2  b2  c2  2  ab  bc  ca  36

1,0

 P a 2  b 2  c 2 36  2  ab  bc  ca  18