Bài tập ví dụ vi tích phân 1b chương tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN

co

ng

.c
om

BTC ƠN THI HỌC KỲ 1 KHĨA 2016

ng

th

an

BÀI TẬP VÍ DỤ
VI TÍCH PHÂN 1B

du
o

CHƯƠNG: TÍCH PHÂN

cu

u

 Lâm Cương Đạt

Cập nhật: 02/02/2017

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

Bài tập tích phân suy rộng
Bài 1: Tính tích phân suy rộng sau



1



x2

3

3

dx

Đây là tích phân suy rộng loại 1.

3

khi t   

t

 2 
dx  lim 
3

t 
 x2 3
x2

dx  lim 3
3
t 
x2
2 
 2
 lim 


t 
3 2 
 t2
t

1

.c

om

1

2
 2 
 0  lim 
0
t 
t2
 t2 

Vậy tích phân hội tụ về 2





x.arctanx
dx
(1  x 2 ) 2

th

Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau

an

co

2 
 2
lim 

2
t 
3 2 
 t2

ng





du
o

ng

0

Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1

cu

0

t x.arctanx
x.arctanx

dx

lim
dx
t  0 (1  x 2 ) 2
(1  x 2 ) 2

u





Ta tìm (arctan x)’, đặt y  tan x  y'  1  tan 2 x  1  y2

 
Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx x  ( , ) )
2 2
arctan(tan x) '  arctan(y) ' 

CuuDuongThanCong.com

1
1

y ' 1  y2

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM

Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

1
.
1  x2

Hay arctan(x) ' 

Đặt u  arctan x  du 

dx
và x  tan u
1  x2

Tích phân trở thành
arctan t u.tan u
arctan t
arctan t
1
lim arctan 0
du  lim arctan 0 u.sin  u  .cos  u  du  lim arctan 0 u.sin  2u  du
2
t 
t 
1  tan u
2 t 
b

a

x.sin  2x  dx



b

a

b

u.dv  u.v a  a v.du
b

b

b 1
1

x.sin  x  dx   cos  2x  .x  a   cos  2x   dx
2
 2

a
b

b

th

 a

b

an

Ta có

co

du  dx

ux


Đặt 

1
dv  sin  2x  dx chon v   cos  2x 

2

.c
om



ng

Ta có cách tìm

b

arctan t
1
lim arctan 0 u.sin  2u  du
2 t 

u

Vậy

du
o

ng

1
1
1
  cos  2x  .x  sin  2x   sin  2x   2cos  2x  
2
4
4
a
a
a

arctan t

cu

1

 lim   sin(2u)  2x cos(2u) 
t  8

 arctan 0
1
 lim sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0
t  8

Do khi t    arctan t 


2

1

sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0 

t  8
8

lim

Vậy tích phân hội tụ về

CuuDuongThanCong.com



8

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Bài 3: Tính tích phân suy rộng sau



14

2 4

dx
x2

Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2

14

2 4

14
dx
dx
 lim t 4
x  2 t 2
x2
14

3
4
4
 lim  4 x  2   lim
t 2  3

 t t 2 3



4

3

14  2  4 t  2

3

  323

.c
om





co

xdx
x2

x
không xác định tại x=2
x2



b

a

du
o

ng

 dt  dx
Ta có đặt t  x  2  
x  t  2

th

Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2

an

Ta thấy hàm số f (x) 

5

0

ng

Bài 4: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ

b2
b2  t  2 
b2 
x.dx
2
 a 2
dt  a 2 1   dt   t  2ln  t  
a 2
x2
t
t


cu

u

  x  2  2.ln  x  2  



5

0

b
a

2 xdx
5 xdx
t xdx
5 xdx
xdx
 0
 2
 lim 0
 lim t
x2
x2
x  2 t 2 x  2 t 2 x  2

 lim  x  2  2ln (x  2)   lim  x  2  2 ln(x  2) 
t

t 2

0

t 2

5
t

 lim  t  2ln t  2  2ln 2   lim  5  2ln 3  t  2ln t  2 
t 2

t 2

 lim t  2  
t  2 
t 2
khi

t

2

0


Ta có
*xem thêm đồ thị hàm số y = lnx

t  2 
t  2  

 lim
t 2

Vậy tích phân suy rộng phân kỳ

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

1

ex
Bài 5: Tính tích phân suy rộng sau  2 dx
x
0

1

Vậy



b

a

1
dx
 dt  2
x
x
1
x

1

1
b
e
t
b t
dx

e
dt

e


1a
1
x2

ng

Đặt t 

.c
om

ex
Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số f (x)  2 không
x

xác định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2

co

a

an

Tích phân trở thành

th

1
1
k



k ex
 1x  
ex


lim
dx  lim  lim  e  
 x 2 dx  tlim
  k 0 t x 2
 t   k 0 

 t 




0



du
o

1

 1t

k
 lim  lim  e  e  
t  k 0




ng



cu

u

1

1
Khi t     0  e t  e0  1
t
1
1
k
Khi k  0     e  e   0 *xem thêm đồ thị y  ex
k

Vậy tích phân hội tụ về 1

CuuDuongThanCong.com

/>