Đề luyện tập Xác Suất Thống Kê Có Đáp Án

5
Bài tập
1. Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung
bình   50mm và độ lệch chuẩn   0.05mm . Chi tiết máy được xem là đạt u cầu nếu đường
kính khơng sai q 0.1mm.
a) Tính tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu.
b) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm không đạt yêu cầu.
N  50, 0.052  cho Y 

Lời giải. Ta có X

X  50
0.05

N  0,1 .

a) Biến cố chi tiết đạt yêu cầu là X  50  0.1  0.1  X  50  0.1  
suất

0.1
0.1
với xác
Y
0.05
0.05

P  X  50  0.1  P  2  Y  2     2     2     2   1    2   2  2   1
 2  0.9772  1  0.9544.
b) Xác suất để nhận được một sản phẩm không đạt yêu cầu là p  1  0.9544  0.0456 . Gọi Y là số
sản phẩm không đạt yêu cầu trong 3 sản phẩm lấy ra. Ta có Y B  3, 0.0456  nên xác suất có ít
nhất một sản phẩm khơng đạt yêu cầu là

P  Y  1  1  P  Y  0   1  C30  0.04560  1  0.0456 

3 0

 0.13066 .



2. Khối lượng X (tính bằng gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn N  , 2  , với
  500  gam  và 2  16  gam 2  . Trái cây thu hoạch được phân loại theo khối lượng như sau :

Loại 1 : trên 505 gam,
Loại 2 : từ 495 đến 505 gam,
Loại 3 : dưới 495 gam.
Tính tỷ lệ mỗi loại.
Lời giải. Do X

N  500, 4 2  nên Y 

và 3 lần lượt là

X  500
4

N  0,1 . Suy ra xác suất nhận được các loại 1, 2,

P  X  505   P  Y  5054500         1.25   1  0.8944  0.1056 ;
P  495  X  505   P  4954500  Y  5054500    1.25     1.25   0.8944  1  0.8944   0.7888 ;
P  X  495   P  Y 

495500
4

    1.25  1  0.8944  0.1056 .

Vậy có khoảng 10.56% loại 1, 78.88% loại 2, và 10.56% loại 3.



3. Tung đồng xu 100 lần. Tính xác suất
a) nhận được ít nhất 40 mặt ngửa,
b) nhiều nhất 60 mặt ngửa.
Lời giải. Gọi X là số mặt ngửa nhận được trong 100 lần tung đồng xu. Ta có X
có thể xấp xỉ bằng phân phối chuẩn
2  np 1  p   100  0.5  0.5  25  52 . Với Y 

X

N  ,  2  , với

X  50
5

N  0,1 ,

B 100, 0.5  và ta

  np  100  0.5  50 , và

6
40  50 

P  X  40   P  Y 
  P  Y  2          2  ,
5 

  2   1    2  . Vậy P  X  40     2   0.9772 .

trong

a)

đó

   1,

60  50 

b) P  X  60   P  Y 
  P  Y  2     2   0.9772 .
5 




4. Một bài thi trắc nghiệm gồm 100 câu. Với mỗi câu, thí sinh có 5 đáp án để lựa chọn, trong đó chỉ
có một đáp án đúng. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các đáp án.
a) Tính xác suất để thí sinh này đúng ít nhất 30 câu.
b) Nếu mỗi câu chỉ có 4 lựa chọn, xác suất để thí sinh này đúng ít nhất 30 câu là bao nhiêu?

Lời giải. a) Gọi X là số câu đúng nhận được, X

B 100, 15  . Ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức

B 100, 15  bằng phân phối chuẩn N  , 2  , với   np  20 và 2  np 1  p   16  42 . Với

Y

X  20
4

b) Với

N  0,1 , ta có P  X  30   P  Y  2.5   1    2.5   1  0.9938  0.0062 .

X

B 100, 14 

xấp xỉ bằng phân phối chuẩn

2  np 1  p   18.75  4.332 . Với Y 

X  25
4.33

N  , 2  , với

  np  25 và

N  0,1 , ta có

P  X  30   P  Y  1.15   1   1.15   1  0.8749  0.1251 .

5. Cho X



N  0,1 và mức xác suất   0.8 .

a) Tìm khoảng ước lượng hai bên  C, C cho X ở mức xác suất  .
b) Tìm các khoảng ước lượng một bên,  , C và  C,   , cho X ở mức xác suất  .
Lời giải. a) Với 0.8  P  C  X  C   2  C   1 , ta được   C   0.9 . Suy ra C  1.28 và khoảng
ước lượng hai bên nhận được là  1.28,1.28 .
b) Ta có 0.8  P  X  C     C  và 0.8  P  X  C   1    C     C  . Suy ra C  0.84 và các
khoảng ước lượng một bên nhận được là  , 0.84 và  0.84,   .
0.00

0.01

0.8

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


0.07

0.08

0.09

0.7967 0.7995 0.8023

1.2

0.8980 0.8997 0.9015

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

6. Xét biến số ngẫu nhiên X

N  500, 4 2  cho trong bài 2.

a) Tìm các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất   0.8 .
b) Tìm các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất   0.95 .


7

X  500
4

Lời giải. Ta có Y 

N  0,1 .

a) Các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho Y ở mức xác suất   0.8 là (xem bài 5)
 1.28,1.28 ,  , 0.84 và  0.84,   . Suy ra các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở

500  1.28  4,500  1.28  4   493.44,506.56 ,
 ,500  0.84  4   ,503.36 , và 500  0.84  4,     496.64,   .

mức

xác

suất

  0.8

là

b) Các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho Y ở mức xác suất   0.95 là  1.96,1.96 ,

 ,1.64

và  1.64,   . Suy ra các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất

  0.95 là 500  1.96  4,500  1.96  4   492.16,507.84 ,  ,500  1.64  4   ,506.56 , và

500  1.64  4,     493.44,   .



B 100, 0.5   N  50,52  chỉ số mặt ngửa nhận được trong 100 lần

7. Xét biến số ngẫu nhiên X
tung đồng xu.

a) Tìm các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất   0.8 .
b) Tìm các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất   0.95 .
Lời giải. Ta có Y 

X  50
5

N  0,1 .

a) Các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho Y ở mức xác suất   0.8 là (xem bài 5)
 1.28,1.28 ,  , 0.84 và  0.84,   . Suy ra các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở
mức xác suất   0.8 là 50  1.28  5,50  1.28  5   43.6,56.4 ,  ,50  0.84  5   ,54.2 ,
và 50  0.84  5,     45.8,   .
b) Các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho Y ở mức xác suất   0.95 là  1.96,1.96 ,

 ,1.64

và  1.64,   . Suy ra các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất

50  1.96  5,50  1.96  5   40.2,59.8 ,
50  1.64  5,     41.8,   .
  0.95

là

8. Với biến số ngẫu nhiên X

 ,50  1.64  5   ,58.2 ,

và


B 100, 15   N  20, 42  khảo sát trong bài 4, tìm các khoảng ước

lượng hai bên và một bên cho X ở mức xác suất   0.95 .

X  20
N  0,1 . Các khoảng ước lượng hai bên và một bên cho Y ở mức xác
4
suất   0.95 là  1.96,1.96 ,  ,1.64 và  1.64,   . Suy ra các khoảng ước lượng hai bên và
Lời giải. Ta có Y 

 20  1.96  4, 20  1.96  4  12.16, 27.84 ,

 , 20  1.64  4   , 26.56  , và  20  1.64  4,    13.44,   .

một bên cho X ở mức xác suất   0.95 là

9. Tìm các khoảng ước lượng hai bên, một bên cho X
a) n  20 , với   0.95 và   0.99 .
b) n  40 , với   0.95 và   0.99 .

t  n  ở mức xác suất  , với

8
t  20  ở mức xác suất   0.95 lần

Lời giải. a) Các khoảng ước lượng hai bên, một bên cho X

lượt là (số liệu nằm ở dòng n  20 , cột   1    0.05 và cột   2 1     0.1 )

 2.086, 2.086 ,  ,1.725 , và  1.725,   ,
và ở mức xác suất   0.99 lần lượt là (số liệu nằm ở dòng n  20 , cột   1    0.01 và cột
  2 1     0.02 )

 2.845, 2.845 ,  , 2.528 , và  2.528,   .
b) Các khoảng ước lượng hai bên, một bên cho X

t  40  ở mức xác suất   0.95 lần lượt là (số

liệu nằm ở dòng n   , cột   1    0.05 và cột   2 1     0.1 )

 1.960,1.960 ,  ,1.645 , và  1.645,   ,
và ở mức xác suất   0.99 lần lượt là (số liệu nằm ở dòng n   , cột   1    0.01 và cột
  2 1     0.02 )

 2.576, 2.576 ,  , 2.326 , và  2.326,   .

20

0.01

0.02

2.845

2.528

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

2.086

1.960
 2.576 2.326
10. Tìm các khoảng ước lượng một bên, hai bên cho X
  0.99 .


0.09

0.1

0.15

0.2

1.725
1.645

  20  ở mức xác suất   0.95 và
2

Lời giải. Với khoảng ước lượng một bên  0, C , do P  X  C   1  P  X  C   1   , nên với
  0.95 và   0.99 , ta được P  X  C   0.05 và P  X  C   0.01 . Tra bảng dòng n  20 , cột

  0.05 và   0.01, ta được C  31.410 và C  37.566 . Suy ra khoảng ước lượng một bên cho X
ở mức xác suất   0.95 là

0,31.410 ,
và ở mức xác suất   0.99 là

0,37.566 .
1 
1 
và P  X  a  
, nên với
2
2
  0.95 , ta được P  X  b   0.025 và P  X  a   0.975 . Tra bảng dòng n  20 , cột   0.025 và
  0.975 , ta được b  34.170 và a  9.591 . Suy ra khoảng ước lượng hai bên cho X ở mức xác
suất   0.95 là
Với khoảng ước lượng hai bên  a, b  , do P  X  b  

9.591,34.170 .
Với   0.99 , ta được P  X  b   0.005 và P  X  a   0.995 . Tra bảng dòng n  20 , cột

  0.005 và   0.995 , ta được b  39.997 và a  7.434 . Suy ra khoảng ước lượng hai bên cho X
ở mức xác suất   0.99 là

7.434,39.997 .




9
Ghi chú. Tra bảng cho ước lượng một bên cho   0.95 và   0.99
0.005
20

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

37.566

0.05

0.95

0.975

31.410

Tra bảng cho ước lượng hai bên cho   0.95
0.02
20

0.025

0.03

34.170

0.05

0.95

0.975

0.98

9.591

Tra bảng cho ước lượng hai bên cho   0.99
0.005
20

39.997

0.01

0.015

0.98

0.99

0.995
7.434