Luận văn Phân loại tôpô các mặt compact

1











Luận văn tốt nghiệp

Phân loại tôpô các mặt compact

2






MỤC LỤC


Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Mục lục 1
Một số kí hiệu 2
Phần mở đầu 3
Phần nội dung 5
Chương I: Kiến thức chuẩn bị 5
I. Tôpô, không gian tôpô 5
II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi 6
III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô 7
Chương II: Đa tạp tôpô 9
I. Đa tạp n-chiều 9
II. Mặt, mặt compact 12
III. Mặt định hướng được và không định hướng được 17
IV. Tổng liên thông 18
Chương III: Phân loại mặt compact 20
I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông các mặt

xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh 20
II. Phép tam giác phân của mặt compact 24
III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact 28
IV. Hệ quả 34
V. Ví dụ minh hoạ 34
VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí 43
Phần kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47










3




MỘT SỐ KÍ HIỆU



Kí hiệu

A



R
n


X

Y

f
-1
(U)

D
n


n
S



id
A

u

S
n


S
2


B(x,

)

P
2


2
S



2
D


D
2

S
1
# S
2


)S(


Giải thích


Biên của tập A

Không gian Euclide n-chiều

Hai không gian đồng phôi

Tạo ảnh của tập U

Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều

Bán cầu bắc n-chiều

Ánh xạ đồng nhất trên A

Chuẩn Euclide của u

Mặt cầu n-chiều

Mặt cầu (2-chiều)

Hình cầu mở tâm x, bán kính



Mặt phẳng xạ ảnh (thực)

Nửa trên của mặt cầu

Hình tròn đơn vị đóng (đĩa đóng)

Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở)

Tổng liên thông của S
1
và S
2


Đặc trưng Euler của mặt S
Trang xuất
hiện đầu tiên

6

7

8

8

10

10

10

11

12

13

13

15

15

15

15

19

44

4




Phần mở đầu

I. Lí do chọn đề tài
Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép
biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp
tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không
gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình
học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,…
Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng
nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải
quyết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng
minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều
không compact cũng đã được phân loại.
Đối với đa tạp có số chiều cao hơn thì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực
phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu
rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường
thì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó
được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré”.
Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực
chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuyết tương
tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp

n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982).
Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào
để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán
học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát
(n

4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với
cuộc sống của chúng ta nhất.
Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh
sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong
toán học và vũ trụ.
Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả
thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần
mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ
giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được
giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất.
Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn
thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng
phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế
giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields
(2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải.

5
Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu về đa tạp, tôi chọn đề tài “Phân loại tôpô
các mặt compact”. Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều
compact, liên thông.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các đa tạp 2-chiều compact, liên thông và sự phân loại chúng.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu và chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu một vài ví

dụ minh hoạ cho định lí.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông.
V. Đối tượng nghiên cứu
Định lí phân loại mặt compact.
VI. Phương pháp nghiên cứu
-Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet.
-Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá.
VII. Cấu trúc đề tài
Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần
nội dung được trình bày 3 chương
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tôpô cần dùng cho các
chương sau.
Chương II: Đa tạp tôpô
Giới thiệu chung về đa tạp, sau đó đi sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều
compact, liên thông (mặt compact) và xây dựng tổng liên thông của chúng.
Chương III: Phân loại tôpô các mặt compact
Đây là chương chính của bản luận văn, phát biểu và chứng minh định lí
phân loại mặt compact. Nêu một vài ví dụ minh họa cho định lí. Ngoài ra,
chương này cũng giới thiệu sơ lược một cách khác để chứng minh định lí bằng
cách dùng hai bất biến tôpô là tính định hướng và đặc trung Euler của một mặt.


Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và trình bày nhưng chắc
chắn bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong những ý kiến đóng góp quý
báu của thầy cô và các bạn.

6






Phần nội dung

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I. Tôpô, không gian tôpô
I.1. Tôpô
Cho một tập


X . Một họ

các tập con của
X

gọi là một tôpô trên
X
nếu
thoả mãn các điều kiện:
(
1
 ).
X
và

thuộc


(
2

). Hợp của tuỳ ý các tập thuộc

là thuộc


(
3
 ). Giao của hữu hạn các tập thuộc

là thuộc


I.2. Không gian tôpô
Một tập

X
cùng một tôpô

trên
X
gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là
(

,X ). Khi không có sự nhầm lẫn, ta kí hiệu gọn lại là
X
.
Khi đó, một tập


G được gọi là tập mở của
X
. Tập con
F
của
X
gọi là
tập đóng nếu
F\X
là tập mở.
Các phần tử của không gian tôpô
X
thường gọi là điểm.
I.3. So sánh 2 tôpô
Cho hai tôpô


và

trên
X
, nếu



thì ta nói

yếu hơn

hoặc


mạnh hơn

.
I.4. Lân cận, phần trong
Cho một điểm
x
thuộc không gian tôpô
X
và một tập con
A
của
X
. Khi
đó:
 Tập con V của

X
được gọi là một lân cận của điểm
x
nếu tồn tại tập mở
G sao cho VGx


. Nếu V là tập mở thì ta nói V là lân cận mở của
x
.
 Điểm
x
được gọi là điểm trong của
A
nếu
x
có một lân cận
V
sao cho
AV

. Tập gồm tất cả các điểm trong của
A
gọi là phần trong của
A
.
 Điểm
x
được gọi là điểm biên của
A

nếu mọi lân cận
V
của
x
đều có



AV và



)A\X(V . Tập gồm tất cả các điểm biên của
A
gọi là biên của
A
, kí hiệu là
A

.
I.5. Không gian con
Cho không gian tôpô (

,X ) và
A
là một tập con của
X
. Khi đó, họ
}G|AG{
A

 là một tôpô trên
A
, gọi là tôpô cảm sinh bởi

trên A. Không
gian
A
với tôpô cảm sinh
A
 gọi là không gian con của không gian tôpô
X
.
I.6. Không gian Hausdorff
1. Định nghĩa

7
Không gian tôpô
X
được gọi là không gian Hausdorff (hay T
2
– không
gian) nếu hai điểm
y
,
x
khác nhau bất kì của
X
luôn tồn tại lân cận U của
x
và

lân cận
V
của
y
sao cho



VU .
2. Tính chất
Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với
tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff.
I.7. Không gian compact, compact địa phương
1. Phủ, phủ mở
Cho
A
là một tập con của không gian tôpô
X
. Một họ


I
V


các tập con
của
X
gọi là một phủ của
A

nếu

I
VA


 . Nếu mọi

V đều là tập mở thì ta nói


I
V


là một phủ mở của
A
.
2. Tập compact, không gian compact, không gian compact địa phương
Tập con
A
của không gian tôpô
X
được gọi là tập compact nếu mọi phủ
mở của
A
trong
X
đều có một phủ con hữu hạn.
Không gian tôpô

X
gọi là không gian compact nếu
X
là tập compact của
X
.
Không gian tôpô
X
gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm
của nó đều có một lân cận
U
là tập compact.
3. Tính chất
Mọi tập con đóng và bị chặn của R
n
là tập compact.
I.8. Không gian liên thông
1. Định nghĩa
Không gian tôpô
X
gọi là liên thông nếu
X
không biểu diễn được dưới
dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập mở,
khác rỗng U và V sao cho VUX


và




VU .
2. Tính chất
Không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi X không biểu diễn được
dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau.
II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi
II.1. Ánh xạ liên tục
1. Định nghĩa
Cho hai không gian tôpô Y,X và ánh xạ YX:f

, khi đó:
i). Ánh xạ
f
liên tục tại điểm
x
thuộc
X
nếu mọi lân cận mở V của
)x(f trong
Y
luôn tồn tại lân cận mở U của
x
sao cho V)U(f

.
ii). Ánh xạ
f
liên tục trên
X
(hay nói tắt là liên tục) nếu nó liên tục tại

mọi điểm thuộc
X
.
2. Tính chất
i). Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô
X
vào không gian tôpô
Y
. Khi đó
f
liên tục trên
X
khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong
Y
là
tập đóng (hoặc mở) trong
X
.
ii). Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục.
iii). Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là
một tập compact (hoặc liên thông).

8
3. Mệnh đề
Cho không gian tôpô X thoả X =

n
1i
i
X


với X
i
là những tập con đóng của X
và các ánh xạ liên tục f
i
: X
i


Y (i = n,1 ) sao cho với mọi n,1j,i  , 
ji
XX
thì
jiji
XXjXXi
|f|f


. Khi đó ánh xạ f: X

Y xác định bởi
iX
f|f
i
 (i =
n,1
) là
ánh xạ liên tục.
II.2. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng

1. Định nghĩa
Cho là một ánh xạ từ không gian tôpô
X
vào không gian tôpô
Y
.
i). f là ánh xạ mở nếu ảnh của mọi tập mở trong
X
đều là tập mở trong
Y
.
ii). f là ánh xạ đóng nếu ảnh của mọi tập đóng trong
X
đều là tập đóng
trong
Y
.
2. Mệnh đề
Cho f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu
X compact và Y Hausdorff thì f là ánh xạ đóng.
II.3. Đồng phôi
Cho f là một song ánh từ không gian tôpô
X
vào không gian tôpô
Y
. Nếu f
và
1
f


đều liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi từ không gian tôpô
X
vào
không gian tôpô
Y
.
Hai không gian tôpô
X
và
Y
được gọi là đồng phôi (kí hiệu YX

) nếu
tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng.
Quan hệ đồng phôi làm một quan hệ tương đương.
III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô
III.1. Tổng, tổng trực tiếp
Cho




Ii
ii
,X

 là một họ các không gian tôpô. Đặt

Ii
i

XX

 , xét họ

các
tập con G của
X
thoả mãn
ii
XG  ,

I
i

. Khi đó

là một tôpô trên
X
.
Không gian tôpô


,X
được gọi lả tổng của họ các không gian tôpô đã cho,
kí hiệu



Ii
i

XX . Nếu họ




Ii
ii
,X

 rời nhau thì


,X gọi là tổng trực tiếp, kí
hiệu
i
Ii
XX


.
III.2. Tích Descartes
1. Định nghĩa
Cho




Ii
ii
,X


 là một họ các không gian tôpô. Đặt



Ii
i
XX và
ii
XX: 
là phép chiếu thứ i.
Ta gọi tôpô tích trên
X
là tôpô yếu nhất để
i
 liên tục với mọi
I
i

. Tập
X

với tôpô tích được gọi là tích của họ không gian tôpô đã cho.
2. Tính chất
i). Tích của hai không gian Hausdorff là không gian Hausdorff.
ii). Tích của hai không gian compact là không gian compact.
III.3. Tôpô thương
1. Định nghĩa
Cho f là một toàn ánh từ không gian tôpô (


,X ) vào tập
Y
. Xét

9

})U(f|YU{
1
Y



Dễ dàng chứng minh
Y
 là một tôpô trên
Y
và được gọi là tôpô thương trên
Y
cảm sinh bởi f.
2. Tính chất
i). Tôpô thương là tôpô lớn nhất làm f liên tục.
ii). Tập
V
đóng trong ),Y(
Y
 khi và chỉ khi
)V(f
1
đóng trong (


,X ).
iii). Giả sử không gian tôpô
Y
với tôpô cảm sinh bởi YX:f

. Khi đó, nếu
X
compact (liên thông) thì
Y
cũng compact (liên thông).
iv). Cho các không gian tôpô Z,Y,X và các toàn ánh YX:f

, ZY:g

.
Nếu
Y
có tôpô thương cảm sinh bởi f và
Z
có tôpô thương cảm sinh bởi g thì
tôpô trên
Z
cũng chính là tôpô cảm sinh bởi fg  .
3. Mệnh đề
Cho f là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô
X
vào không gian tôpô
Y
. Nếu f là ánh xạ mở (hoặc đóng) thì tôpô trên
Y

là tôpô sinh bởi f.
III.4. Không gian thương
1. Định nghĩa
Cho không gian tôpô
X
và ~ là một quan hệ tương đương trên
X
. Đặt
~/XY

là tập thương của
X
theo quan hệ ~. Kí hiệu
x
~
là lớp tương đương
chứa x X

. Xét

là phép chiếu chính tắc từ
X
vào
Y
xác định bởi x
~
)x(


.

Khi đó không gian tôpô
Y
với tôpô cảm sinh bởi

được gọi là không gian
thương của
X
.
2. Định nghĩa
Cho
A
là một tập con của không gian tôpô
X
, xét quan hệ tương đương ~
xác định bởi:







yx
Ay,x
y~x (với mọi Xy,x

)
Không gian thương ~/X (với ~ được xác định như trên) được gọi là không
gian tôpô thương của
X

theo tập con
A
(kí hiệu là
A/X
).
4. Tính chất
Cho B,A là hai tập con rời nhau cua không gian tôpô
X
và ~ là một quan hệ
tương đương xác định bởi:










yx
By,x
Ay,x
y~x (với mọi Xy,x

)
Khi đó ~/XA/)B/X(B/)A/X(



III.5. Phép dán các không gian tôpô
Cho hai không gian tôpô Y,X ,
A
là một tập con của
X
và ánh xạ liên tục
YX:f

. Gọi
Z
là không gian tổng của
X
và
Y
. Trên
Z
ta định nghĩa quan hệ
tương đương ~ như sau:
10


















)A(fAvu
)v(fu),A(fv
)u(fv),A(fu
)v(fu,Av
)u(fv,Au
v~u
1
1
(với mọi Zv,u

)
Khi đó không gian thương ~/Z được gọi là không gian nhận được nhờ
phép dán
X
với
Y
bởi ánh xạ f (kí hiệu YX
f
 ).


CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ

I. Đa tạp

n
-chiều
I.1. Định nghĩa
Một đa tạp
n
-chiều (
n
nguyên dương) là một không gian Hausdorff mà
mỗi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với đĩa mở
n
-chiều
n
D
.
với





















1xxR)x,,x,x(xD
2
1
n
1i
2
i
n
n21
n

Một đa tạp
n
-chiều còn được gọi là
n
-đa tạp.
Ví dụ:
n
R
là một
n
-đa tạp.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có thể suy ra mọi n-đa tạp đều compact địa
phương. Thật vậy, mọi điểm của n-đa tạp đều tồn tại lân cận mở đồng phôi với
D

n
mà D
n
là compact. Vậy mọi n-đa tạp đều compact địa phương.
I.2. Bổ đề
Các không gian
n
D
,
n
S

,
n
R
đồng phôi với nhau.
trong đó


0x,1x|R)x,x,,x(S
1n
1n
1nn1
n






Chứng minh
Ta sẽ chứng minh
n
D
đồng phôi với
n
S

và
n
D
đồng phôi với
n
R
bằng cách chỉ ra các phép
đồng phôi giữa chúng. Xét ánh xạ:
))xx(1,x,,x()x,,x(
SD:f
2
n
2
1n1n1
nn
1





)x,,x()x,x,,x(

DS:f
n11nn1
nn
2





Dễ dàng chứng minh f
1
, f
2
là các ánh xạ liên
tục.
Mặt khác, với điểm
)x,,x(x
n1

tuỳ ý thuộc
n
D
ta có



x))xx(1,x,,x(f)x(ff
2
n
2

1n1212
 
Suy ra
n
D
12
idff  (1)
D
n
S
+
n
f
2
(M)
x
n+1
x
2
x
1
M
Hình 1
11
Với điểm
)y,y,,y(y
1nn1 

tuỳ ý thuộc
n

S

ta có
1yyy
2
1n
2
n
2
1




suy ra

)0y()yy(1y
1n
2
n
2
11n




Từ đó,





y)yy(1,y,,y)y,,y(f)y(ff
2
n
2
1n1n1121
 
Suy ra
n
S
21
idff

 (2)
Từ (1) và (2) suy ra f
1
là phép đồng phôi từ
n
D
vào
n
S


Vậy
nn
SD


(3)

Xét ánh xạ

u1
u
u
RD:g
nn
1





v1
v
v
DR:g
nn
2




Dễ thấy g
1
, g
2
là các ánh xạ liên tục.

Mặt khác, với điểm u tuỳ ý thuộc D
n
ta có


n
D
12212
idggu
u1
u
1
u1
u
u1
u
g)u(gg 














  (4)
Với điểm v tuỳ ý thuộc R
n
ta có

n
R
21121
idggv
v1
v
1
v1
v
v1
v
g)v(gg 














 
(5)
Từ (4) và (5) suy ra g
1
là phép đồng phôi từ
n
D
vào
n
R

Vậy
nn
R
D

(6)
Từ (3) và (6) và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương
ta được
nnn
RSD 


Nhận xét: Trong chứng minh trên ta đã dùng tính chất quan hệ đồng phôi là
một quan hệ tương đương để kết luận
nn
RS 

. Tuy nhiên ta có thể chứng minh
trực tiếp bằng cách xét các ánh xạ

)
x
x
,,
x
x
()x,x,,x(
RS:h
1n
n
1n
1
1nn1
nn
1






O
u
x
2
x
1
x
n
g

1
(u)
Hình 2
12
)
xx1
1
,
xx1
x
,,
xx1
x
()x,,x(
SR:h
2
n
2
1
2
n
2
1
n
2
n
2
1
1
n1

nn
2








Ta chứng minh được h
1
là phép đồng phôi từ
n
S

vào R
n
, suy ra
nn
RS 

.

I.3. Mệnh đề
Nếu M là m-đa tạp và N là n-đa tạp thì
NM

là (m+n)-đa tạp.

Chứng minh
M, N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích
NM

là không gian Hausdorff.
Xét điểm (x, y) tuỳ ý thuộc NM


Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U
x
của điểm x (thuộc M) đồng
phôi với D
m
.
Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U
y
của điểm y (thuộc N) đồng phôi
với D
n
.
Ta được một lân cận mở của điểm (x, y) là U
x

U

y
(
NM


) đồng phôi với
D
m


D
n

Theo bổ đề trên, ta có D
m


D
n

nmnmnm
D
R
R
R






Vậy NM

là (m+n)-đa tạp.
I.4. Mệnh đề
Mặt cầu n-chiều


1xxxR)x,x,,x(S
2
1n
2
n
2
1
1n
1nn1
n




 là n-đa
tạp.
Chứng minh
Dễ thấy S
n
là không gian Hausdorff.
Xét điểm x
0

(0, …, 0, 1)
n
S
, ta có
n
S

là
một lân cận mở của x
0
. Theo bổ đề trên,
nn
DS 

.
Xét điểm x tuỳ ý thuộc S
n
, khi đó tồn tại
một phép quay tâm O là Q
O
sao cho
Q
O
(x)=x
0
. Hiển nhiên Q
O
là một phép đồng
phôi từ S
n

lên chính nó. Suy ra điểm x có một
lân cận mở là Q
O
(
n
S

)


nn
DS 

.
Vậy S
n
là n-đa tạp.



I.5. Mệnh đề
O
M
h
1
(M)
x
2
R
n

x
n+1
x
1

Hình 3
O
x
0
(0,0 ,0,1)
S
n
D
n
x
n+1
x
2
x
1

Hình 4

13
Nếu M là n-đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n-đa tạp.
Chứng minh
Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của M. Theo tính chất I.6.2 (chương I) tập
A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên M là một không gian Hausdorff.
Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân
cận mở

1
r
U (bán kính r
1
) nằm trong A.
Mặt khác, M là n-đa tạp nên điểm x có một lân cận mở U
r’
(bán kính r’)
đồng phôi với D
n
. Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho
1
r
N
'r
r 
, khi đó U
r

cũng là một lân cận mở của x đồng phôi với D
n
nằm trong A. Suy ra A là n-đa
tạp.

II. Mặt, mặt compact
II.1. Định nghĩa
Một đa tạp 2-chiều liên thông được gọi là một mặt.
Một đa tạp 2-chiều liên thông, compact được gọi là một mặt compact.
II.2. Mặt cầu S
2

(S
2
= {x

R
3
| 1x  }
Theo mệnh đề I.4 ta có S
2
là 2-đa tạp. Dễ thấy S
2
là liên thông, tức S
2
là một
mặt
Ta sẽ chứng minh S
2
là mặt compact.
Nhắc lại rằng mọi tập con đóng và bị chặn của R
n
đều là tập compact.
Rõ ràng S
2
là bị chặn (xem S
2
là tập con của R
3
, đường kính của S
2

bằng 2),
do đó ta chỉ cần chứng minh S
2
là tập đóng. Thật vậy, với mọi x thuộc R
3
\S
2
,
chọn 0
2
1x


 . Khi đó, x có một lân cận mở là

;x(B ) nằm trong R
3
\S
2
.
Suy ra R
3
\S
2
là tập mở, suy ra S
2
là tập đóng.
Như vậy, S
2
là tập con đóng và bị chặn của R

3
, suy ra S
2
là tập compact.
Vậy S
2
một mặt compact.











II.3. Mặt xuyến
Ta xây dựng mặt xuyến bằng cách sau:
Gọi X là hình vuông trong R
2
xác định bởi
X = {(x, y)

R
2
| 0 1y0,1x





}
O
Hình 5a

Hình 5b
14
Xét quan hệ ~ trên X được định nghĩa như sau:
Với mọi u(x
1
, y
1
), v(x
2
, y
2
) thuộc X, u ~ v









2121
2121
2121

yy,xx
1|yy|,xx
1|xx|,yy

Dễ dàng chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên X. Từ đó X/~ là
một không gian tôpô.
Hơn nữa X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông, compact. Tức X/~ là một
mặt compact, ta gọi X/~ là mặt xuyến.
 Chú ý: Mọi không gian đồng phôi với X/~ đều được gọi là mặt
xuyến.


 Nhận xét: Không gian tích
11
SS  là mặt xuyến (tức đồng phôi với
không gian X/~ được xây dựng như trên), trong đó S
1
= {(x, y)

R
2
| x
2
+ y
2
= 1}
Để dễ hình dung, không gian X/~ được xây dựng như trên có được bằng
cách đồng nhất các cạnh đối diện của hình vuông như hình vẽ. Để thuận tiện, ta
dùng các dấu mũi tên để chỉ chiều của sự đồng nhất.

II.4. Lá Mobius
Trong mặt phẳng R
2
cho hình vuông }2y0,10x0|R)y,x{(X
2

Ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: với mọi điểm (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
) thuộc R

2

(x
1
, y
1
) ~ (x
2
, y
2
)






2121
2121
yy,xx
2yy,10xx

Khi đó không gian thương X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông và được gọi
là lá Mobius (mọi không gian đồng phôi với X/~ ta cũng gọi là lá Mobius).
Lá Mobius là một mặt không compact.
Một cách trực quan, để tạo lá Mobius, đầu tiên ta cắt một mảnh giấy hình
chữ nhật dài, hẹp. Sau đó xoắn mảnh giấy 180
0
và dán hai đầu (hẹp) với nhau.

a
a
b
b
Hình 6a
b
b
a
Hình 6c
b
a
a
b
Hình 6b
b
b
Hình 6d
Hình 6e
Hình 7
Hình 6f
15




II.5. Mặt phẳng xạ ảnh thực
Trên mặt cầu S
2
ta định nghĩa quan hệ ~ như

sau:
Với mọi u, v thuộc S
2
, u ~ v

u = -v.
Khi đó S
2
/~ là một không gian tôpô.
Xét ánh xạ p: S
2


S
2
/~
u u
~

Rõ ràng p là ánh xạ liên tục.
Do S
2
liên thông, compact nên S
2
/~ liên thông,
compact.
Bây giờ ta chứng minh S
2
/~ là đa tạp 2-chiều.
Do S

2
Hausdorff nên S
2
/~ Hausdorff.
Lấy điểm u
~
tuỳ ý thuộc S
2
/~, u
~
= p(u) với u thuộc S
2
. Chọn B

S
2
(B

D
2
)
là một lân cận mở đủ nhỏ của u sao cho trong B không chứa bất kì cặp điểm
xuyên tâm đối nào.
Ta có p|
B
là một phép đồng phôi lên p(B).
Ta lại chọn B’

B (B’


D
2
) là một lân cận mở của u, suy ra p(B’) là một lân
cận mở của u
~
và p(B’)

D
2
.
Suy ra S
2
/~ là một đa tạp 2-chiều liên thông, compact. Tức là S
2
/~ là một
mặt compact, được gọi là mặt phẳng xạ ảnh thực (hay mặt phẳng xạ ảnh), kí hiệu
là P
2
.
 Chú ý:
- Mọi không gian đồng phôi với P
2
đều được gọi là mặt phẳng xạ
ảnh.
- Không gian S
2
/~ được xây dựng như trên là không gian được tạo
thành bằng cách đồng nhất các cặp điểm xuyên tâm đối của S
2
.

 Nhận xét 1:
Đặt
2
S

= {(x, y, z)
2
S
| z
0

}
biên của
2
S

là
2
S


= {(x, y, z)
2
S
| z = 0}
Khi đó mỗi cặp điểm xuyên tâm đối của S
2
đều
có ít nhất một điểm thuộc
2

S

, nếu cả hai điểm đều
thuộc
2
S

thì chúng phải thuộc
2
S


.
Suy ra S
2
/~ đồng phôi với không gian thương
của
2
S

có được bẳng các đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên
2
S


, để đơn
giản ta vẫn kí hiệu không gian này là
2
S


/~

Mặt khác, dễ dàng chứng minh
2
S

đồng phôi với
đĩa đóng
}1yx|R)y,x{(D
222
2

. Từ đó
2
S

/~
đồng phôi với không gian thương của
2
D
có được
-u
v
u
-v
O
Hình 8
O
Hình 9
D

2
Hình 10
16
bằng cách đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên biên của
2
D
, ta vẫn kí hiệu
không gian này là
2
D
/~.




Bây giờ ta thay
2
D
bởi hình vuông
X = {(x, y)

R
2
| 0 1y0,1x




} (đồng phôi với
2

D
),
ta được
2
D
/~ đồng phôi với không gian thương của X
tạo thành bằng cách đồng nhất các điểm của trên biên
của X, tức đồng nhất các cặp cạnh đối diện của X. Để
chỉ chiều của sự đồng nhất ta dùng các dấu mũi tên.
Như vậy không gian thương của X tạo thành bằng
cách đồng nhất các điểm của trên biên của X như trên là
một mặt phẳng xạ ảnh.
Nhận xét 2: Có thể xây dựng mặt phẳng xạ ảnh bằng cách dán lá Mobius và
một đĩa D
2
dọc theo biên của chúng như sau:
Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất.
Cắt lá Mobius theo đường kín c như hình vẽ










Dán hai hình chữ nhật nhỏ theo các đường a và b

Ta thấy biên của lá Mobius chính là đường tròn d. Dán lá Mobius với đĩa D
2

ta được mặt phẳng xạ ảnh .
Như vậy, mặt phẳng xạ ảnh có được bằng cách dán lá Mobius với đĩa D
2

dọc theo biên của chúng.
a
b
b
a

Hình 11
c
a
b
b
a
Hình 12a

c
a
b
b
a
c
Hình 12b
c
c
b
b
a
a
Hình 12d
a b
c
a
b
c
Hình 12c
d
c
c
b
a
Hình 12e
17
II.6. Chai Klein
Gọi X là hình vuông trong R
2

xác định bởi
X = {(x, y)

R
2
| 0 1y0,1x




}
Khi đó không gian thương của X có được bằng cách đồng nhất các cặp cạnh
đối diện (hình vẽ) được gọi là Chai Klein.
Chai Klein là một mặt compact.








Nhận xét: Có thể xây dựng chai Klein bằng cách dán hai lá Mobius như sau
Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất.
Cắt một lá Mobius theo đường kín e (hình vẽ)

Dán chúng lại theo các đường c và d ta được một chai Klein.











a
a
b
b
Hình 13a
Hình 13b
f

f
d
c
e
d
a
b
b
a
c
Hình 14a
e
e
d
c
d
f
f
c
a
b
b
a
Hình 14b
a
b
b
a
c
f

f
d
c
d
e
e

Hình 14c
a
b
b
a
f
f
d
c
e
e
Hình 14d
18




Vậy dán hai lá Mobius theo biên của chúng ta được một chai Klein.

III. Mặt định hướng được và không định hướng được
Trước hết ta nói về đường bảo toàn hướng và đường đảo hướng.
Để dễ hình dung, ta xét mặt phẳng R
2

. Trên R
2
chọn một đường cong kín c
và một điểm x
0
trên c. Giả sử ta xuất phát từ x
0
với một hướng nhất định và đi
dọc theo đường cong c. Nếu khi trở về x
0
mà hướng của chúng ta cùng hướng với
hướng đã chọn ban đầu thì c được gọi là đường bảo toàn hướng. Nếu khi trở về
x
0
mà hướng của chúng ta ngược hướng với hướng đã chọn ban đầu thì c được
gọi là đường đảo hướng.
III.1. Định nghĩa
Một mặt mà mọi đường cong kín trên nó đều là đường bảo toàn hướng được
gọi là mặt định hướng được (hay còn gọi là mặt hai phía).
Một mặt mà có một đường cong kín trên nó là đường đảo hướng được gọi là
mặt không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía).

III.2. Ví dụ
1. Mặt phẳng R
2
, mặt cầu, mặt xuyến
Mọi đường cong kín trên R
2
, mặt cầu, mặt xuyến đều là đường bảo toàn
hướng. Do đó R

2
, mặt cầu, mặt xuyến là các mặt định hướng được (mặt hai phía).
2. Lá Mobius
Xét đường cong kín c như hình vẽ.







Đường c như trên là một đường đảo hướng và do đó lá Mobius là mặt
không định hướng được (mặt một phía).
3. Mặt phẳng xạ ảnh
Mặt phẳng xạ ảnh có một tập con là lá Mobius, mà trên lá Mobius có một
đường đảo hướng. Do đó mặt phẳng xạ ảnh cũng có một đường đảo hướng. Vậy
mặt phẳng xạ ảnh là mặt không định hướng được.







a
a
b
b
Hình 16
c

c
Hình 15
19



4. Chai Klein là mặt không định hướng được (ta sẽ chứng minh ở phần
sau).


IV. Tổng liên thông
IV.1. Định nghĩa
Cho hai mặt rời nhau S
1
và S
2
. Chọn hai tập mở D
1

S
1
, D
2

S
2
(D
1
, D
2

đồng phôi với D
2
). Đặt
'
1
S = S
1
\D
1
,
'
2
S = S
2
\D
2
.
Chọn phép đồng phôi
21
DD:f 

Khi đó không gian tạo thành nhờ phép dán
'
1
S và
'
2
S bởi ánh xạ f được gọi
là tổng liên thông của S

1
và S
2
, kí hiệu là S
1
# S
2
.
Để dễ hình dung, ta có thể hiểu tổng liên thông của hai mặt S
1
và S
2
là
không gian có được bằng cách cắt đi một lỗ tròn nhỏ trên trên mỗi mặt, sau đó
dán chúng lại dọc theo biên của hai lỗ tròn.
IV.2. Tính chất
Với mọi mặt S, S
1
, S
2
, S
3
ta có:
i. S
1
# S
2
là một mặt không phụ thuộc vào việc chọn các đĩa mở D
1
, D

2

và phép đồng phôi f.
ii. S
1
# S
2


S
2
# S
1
iii. (S
1
# S
2
) # S
3


S
1
# (S
2
# S
3
)
iv. S # S
2


S
2
# S

S
Như vậy tập hợp các lớp đồng phôi các mặt compact lập thành một vị nhóm
giao hoán với phần tử đơn vị là lớp đồng phôi với mặt cầu S
2
.
Chú ý: Tổng liên thông của hai mặt định hướng được là mặt định hướng
được, nếu một trong hai mặt không định hướng được thì tổng liên thông của
chúng không định hướng được.
IV.3. Ví dụ
1. Tổng liên thông của hai mặt xuyến

Hình 17a. Hai mặt xuyến rời nhau

Hình 17b. Hai mặt xuyến bỏ đi hai lỗ tròn
20








2. Tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh
Từ nhận xét 2 (II.5) ta suy ra mặt phẳng xạ ảnh sau khi bỏ đi một lỗ tròn thì
đồng phôi với lá Mobius (gồm cả biên). Do đó tổng liên thông của hai mặt phẳng
xạ ảnh là không gian đồng phôi với không gian tạo thành bằng cách dán hai lá
Mobius dọc theo biên của chúng. Theo nhận xét II.6, khi dán hai lá Mobius theo
biên của chúng ta được một chai Klein.
Vậy tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là một chai Klein.
Nhận xét:
Vì chai Klein là tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh, mà mặt phẳng xạ
ảnh không định hướng được. Do đó, theo chú ý IV.2 ta suy ra chai Klein không
định hướng được.

Hình 17c. Dán lại theo biên của lỗ tròn
21

CHƯƠNG III

PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MẶT COMPACT

I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông của các mặt
xuyến, tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh
I.1. Dạng chính tắc của mặt cầu
Giả sử chúng ta có một mặt cầu và chúng ta cắt nó theo 1 đường nào đó
(không kín), khi đó chúng ta hoàn toàn có thể kéo nó ra để nó nằm trên mặt
phẳng và có dạng hình 2-cạnh như hình vẽ.













Ngược lại chúng ta có thể dán 2 cạnh của hình này để được một mặt cầu
như ban đầu.

Như vậy mặt cầu có thể được biểu diễn thành không gian thương của một
hình 2-cạnh có được bằng cách đồng nhất 2 cạnh đó (dấu mũi tên chỉ chiều của
sự đồng nhất).
Hình 2-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của mặt cầu.
I.2. Dạng chính tắc của tổng liên thông các mặt xuyến
Giả sử chúng ta có hai mặt xuyến. Biểu diễn chúng bởi những hình vuông
với các cạnh đối diện được đồng nhất như hình vẽ

a
a
Hình 18b
a
O

Hình 18a
b
2
b
1
a
2a
1
22

Trên mỗi mặt xuyến chúng ta cắt đi một lỗ tròn nhỏ, để thuận tiện, ta lần
lượt cắt theo đường c
1
và c
2
.










Tiếp theo chúng ta biểu diễn mỗi mặt xuyến sau khi cắt đi một lỗ tròn nhỏ
là hình 5-cạnh

Cuối cùng, dán cạnh c
1
và c
2
lại ta được một hình 8-cạnh











b
2
a
1
a
2
b
1
c
2c
1
b
2

b
1
a
2
a
1

Hình 19b
c
2
c
1
b
2
a
1
a
2
b
1
b
2
b
1
a
2
a
1

Hình 19c

c
2
c
1
b
2
a
1
a
2
b
1
b
2
b
1
a
2
a
1

Hình 19d
23
Như vậy tổng liên thông của hai mặt xuyến có thể biểu diễn bởi hình 8-cạnh
với các cạnh được đồng nhất từng đôi như hình 19e

Hình 8-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông 2 mặt
xuyến
Tiếp tục quá trình trên, ta được dạng chính tắc của tổng liên thông 3 mặt
xuyến là hình 12-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi.














Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được dạng chính tắc của tổng liên
thông n mặt xuyến là hình 4n-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi.
I.3. Dạng chính tắc của tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh
Xem mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương của đĩa tròn có được bằng
cách đồng nhất các cặp điểm xuyên tâm đối trên biên. Chọn một cặp điểm xuyên
tâm đối cố định, khi đó ta có thể biểu diễn mặt phẳng xạ ảnh như là không gian
thương của một hình 2-cạnh có được bằng cách đồng nhất hai cạnh đó (hình vẽ)

b
1
a
1
c
1
b
1
a
1
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2

Hình 19e
a
3
b
3
a
3
b
3
b
1
b
2
a
1
a
2
b
2 a
2
b
1
a
1

Hình 20
a
a

Hình 21

24

Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng xạ ảnh, mỗi mặt được biểu diễn như hình
21. Trên mỗi mặt cắt đi một lỗ tròn, để thuận tiện, ta cắt theo các đường c
1
và c
2
.









Khi đó, mỗi mặt phẳng xạ ảnh sau khi cắt đi một lỗ tròn có thể biểu diễn
bằng một tam giác








Dán chúng lại theo c
1
, c

2
ta được một hình 4-cạnh









Như vậy tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương
của hình 4-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi.
Hình 4-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông hai mặt
phẳng xạ ảnh.
Tiếp tục quá trình trên ta được tổng liên thông của 3 mặt phẳng xạ ảnh là
không gian thương của hình 6-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi.








a
1
a
2
c

2
c
1
a
2
a
1

Hình 22a
a
1
c
1
a
1
a
2
c
2
a
2
Hình 22b
c
2
c
1
a
2
a
2

a
1
a
1
Hình 22c
a
1
a
2
a
3
a
3
a
2
a
1

H
ình

23

25

Bằng quy nạp, ta chứng minh được tổng liên thông của n mặt phẳng xạ ảnh
là không gian thương của hình 2n-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi.
Hình 2n-cạnh như vậy được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông n mặt
phẳng xạ ảnh.
II. Phép tam giác phân của mặt compact
II.1. Định nghĩa
Cho một mặt compact S. Một họ hữu hạn các tập con đóng {T
1
, T
2
,…, T
n
}
của S được gọi là một phép tam giác phân của S nếu thoả mãn các điều kiện sau:
i). ST
n
1i
i




ii). Với mỗi T
i
(i=
n,1
) luôn tồn tại phép đồng phôi
iii

T: 
, trong đó
i
 là một tam giác trong mặt phẳng R
2
. Ta gọi mỗi T
i
là một “tam giác tôpô” hay
ngắn gọn là “tam giác”. Tạo ảnh của một cạnh hay một đỉnh trong tam giác
i

vẫn được gọi là “cạnh” và “đỉnh”.
iii). Với bất kì hai tam giác phân biệt chỉ xảy ra một trong ba trường
hợp, hoặc rời nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc có toàn bộ một cạnh chung.
II.2. Ví dụ
1. Phép tam giác phân của mặt cầu S
2

Mặt cầu S
2
đồng phôi với tứ diện trong không gian R
3
(tưởng tượng là ta có
thể “bơm” hơi vào một tứ diện để nó phồng lên thành mặt cầu). Do đó mặt cầu có
một phép tam giác phân gồm 4 tam giác (có 4 đỉnh) như hình vẽ

2. Phép tam giác phân của mặt xuyến
Biểu diễn mặt xuyến bởi hình vuông với các cặp cạnh đối diện đồng nhất, ta
được một phép tam giác phân của mặt xuyến gồm 14 tam giác, có 7 đỉnh (được
đánh số từ 1 đến 7) như hình vẽ




Hình 24
1
7
5
6
4
3
2
1
14 tam giác là:

124 245 235 351 346 465
657 571 714 316 162 627
723 734