Đề cương giữa kì 1 môn toán lớp 9

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

ĐỀ CƯƠNG
GIỮA KÌ 1 MƠN TỐN LỚP 9

Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021


Website: tailieumontoan.com

1

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
Mơn: TỐN 9
Năm học: 2021 – 2022
Phạm vi ơn tập
*Đại số: Tồn bộ chương I.
*Hình học: Tồn bộ chương I.
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
A. Đại số:
 Với số a không âm, ta có

x  0
.
a  x   2
x  a


 Với a, b  0 thì a  b  a  b .

A có nghĩa khi và chỉ khi A 0 .



 Với mọi số thực a, b thì a  b  3 a  3 b .
 Các công thức biến đổi căn thức
(1)

A2  A ;

(3)

A

B

A
B

(với A  0; B  0 );

(5) A B  A2B (với A  0; B  0 );

A

(7)

B



A B
(với B  0 );
B

C

(9)

A B



(2)

AB  A  B (với A  0; B  0 );

(4)

A2B | A |  B (với B  0 );

(6)

A
AB
(với AB  0 và B  0 );

B
|B |

(8)

C
A B



C ( A  B)
(với A 0 và A  B 2 );
2
AB

C( A  B)
(với A  0; B  0; A  B ).
AB

B. Hình học:
Từ hình vẽ bên, ta có


Cạnh góc vuông: AB, AC .



Cạnh huyền: BC .



Đường cao: AH .



HA là hình chiếu của AB trên cạnh BC .
HC là hình chiếu của AC trên cạnh BC .




2
Định lý Py-ta-go: BC
=
AB 2 + AC 2

1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vng và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2

 Trong tam giác vng, bình phương mỗi cạnh góc vng bằng tích của cạnh huyền và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền.
2
BA
=
BH ⋅ BC hay c 2= c '⋅ a ;

2
=
CA
CH ⋅ CB hay b 2= b '⋅ a .
2. Hệ thức liên quan đến đường cao
Trong một tam giác vng
 Bình phương độ dài đường cao bằng tích hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.
2
AH=
HB ⋅ HC hay h 2= b '⋅ c ' .
 Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng tích độ dài hai cạnh góc vng.
AH ⋅ BC = AB ⋅ AC hay a ⋅ h = b ⋅ c .

 Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh
góc vuông.

1
1
1
1
1 1
+ .
=
+
hay =
2
2
2
2
h

a 2 b2
AH
AB
AC
3. Tỉ số lượng giác của gióc ngọn
 Với α là góc nhọn trong tam giác vng ta có
 sin α =

canh doi
;
canh huyen

 cos α =

canh ke
;
canh huyen

 tan α =

canh doi
;
canh ke

canh ke
.
canh doi
2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản
 Với hai góc nhọn α , β và α + β = 90° thì
 cot α =

=
sin α cos
=
β ; cos α sin
=
β ; tan α tan
=
β ; cot α cot β .
Với góc nhọn α ( 0° < α < 90° ) , ta có
 0 < sin α < 1;0 < cos α < 1 .
 Nếu α tăng thì sin α và tan α tăng; cịn cos α và cot α giảm.
 tan α =

sin α
;
cos α

 tan α ⋅ cot α =
1;
 cot α =

cos α
;
sin α

 sin 2 α + cos 2 α =
1.
4. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vng
Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3

 Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cơ-sin của góc kề.
 Tích của cạnh góc vng kia với tang góc đối hoặc cơ-tang góc kề.
Trong hình bên, ta có

b=
a ⋅ sin B =
a ⋅ cos C ;
c=
c ⋅ sin C =
a ⋅ cos B;
b=
c ⋅ tan B =
c ⋅ cot C ;
c=
b ⋅ tan C =
b ⋅ cot B.

2. Giải tam giác vuông
 Giải tam giác vng là tìm tất cả các cạnh và các góc cịn lại của tam giác vng đó khi biết
trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

A. Đại số
Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định (hay có nghĩa)
Với A, B là các biểu thức, ta có


A có nghĩa khi và chỉ khi A 0 .



A
có nghĩa khi và chỉ khi B  0 .
B



A
B

có nghĩa khi và chỉ khi B  0 .

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của x để các căn thức sau xác định
a)

3x  5 ;

b)

1  2x ;

c)

5
.
x 2

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
a)

2x  4 

1
x 1

;

b)

x 3
.
2x  1

Dạng 2: Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thức




Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
Áp dụng các công thức biến đổi căn thức, quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức
đại số để rút gọn biểu thức.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau
a)

9 25
49
1
:

: 3 ;
16 36
8
8

b)

45, 82  44,22  6 ( 2  1)2  ( 2  1)2  .



Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau
a)

b)

1 1652  1242
32
;
4
2
34
164
176  1122

5( 6  1)
6 1



2 3
2 3

.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức P 

Ví dụ 6. Cho biểu thức P 

2 x 9
x 5 x 6

2 x

x 3





x 1
x 3



x 3
x 2



2 x 1
3 x

.

3  11 x
.
9x

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với x 

74 3
.

4

 1
5
6 
6
 :
Ví dụ 7. Cho biểu thức P  
.


 x  3
x  3 9  x  x  2

a) Rút gọn P .
b) Tính các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Dạng 3: Chứng minh biểu thức có một tính chất nào đó



Trước tiên tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Rút gọn biểu thức rồi kết luận.

x  3
1 
x
 :

Ví dụ 8. Cho biểu thức P  
.

 x  9
x  3  x  3
a) Rút gọn P .
b) Chứng minh rằng P 

1
.
3

Ví dụ 9. Cho biểu thức P 

1
x 1  x



1
x 1  x



x x x
x 1

.

a) Rút gọn P .
b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn luôn không âm với mọi giá trị của x làm P xác định.
 1
x 


Ví dụ 10. Cho biểu thức P 
:

 .
x  x  x
x  1
x

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

5
a) Rút gọn P .
b) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Dạng 4: Giải phương trình




Tìm điều kiện để hai vế của phương trình có nghĩa (nếu cần).
Áp dụng công thức biến đổi căn thức để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
Nếu hai vế đều khơng âm thì ta có thể bình phương hai vế để khử dấu căn.

Ví dụ 11. Giải phương trình
a)

25(3x  1)2  10 ;

b)

x 3
x 3



x 5
x 2

.

Ví dụ 12. Giải phương trình
a) 5x  (2x  1)2  2 ;

b)

x  2 x 1  x .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức
A. x  15 .

C. x  15 .

B. x  15 .

Câu 2. Tìm x để biểu thức
A. x  2 .

1
(x  2)2

C. x  2 .

B. x  2 .

A. a 2 .
Câu 5. Cho

D. x  2 .

x 1
1
 .
x 2
2

B. x  3 .

Câu 4. Cho a  0 , rút gọn biểu thức

D. x  15 .

có nghĩa.

Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình
A. x  2 .

x  15 là

C. x  6 .

a3
a

D. x  1 .

ta được kết quả
C. a .

B. a .

D. a .

13  4 3  a 3  b với a , b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức

T  a 3  b3 .

A. T  9 .

C. T  9 .

B. T  7 .

Câu 6. Kết quả của phép tính



2 5



2

D. T  7 .

 5 là

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

6
B. 2 .

A. 2 5  2 .

Câu 7. Điều kiện để biểu thức
A. x  2 .

D. 2  2 5 .

C. 2 .

4  2x xác định là
C. x  2 .

B. x  2 .

D. x  2 .

Câu 8. Cho biểu thức P  ( 3  1)2  (1  3)2 . Khẳng định nào sau đây đúng.
A. P  2 .

B. P  2  2 3 .

Câu 9. Tìm điều kiện của x để biểu thức

C. P  2  3 .

D. P  2 3 .

x 2  5x  6 có nghĩa.

A. x  2 .

B. x  2 hoặc x  3 .

C. 2  x  3 .

D. x  3 .

Câu 10. Tìm điều kiện của x để đẳng thức

x 2

x 3

B. x  2 .

A. x  2 .

Câu 11. Giá trị của x thỏa mãn
3
A. x   .
2

x 2
x 3

đúng.

C. x  3 .

D. x  3 .

8  4x  2 là

B. x  1 .

C. x  1 .

D. x 

3
.
2

Câu 12. Cho K  a  a 2  4a  4 với a  2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
B. K  2 .

A. K  2 .

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn

C. K  2a  2 .

D. K  2a  2 .

(2x  1)2  9.

A. x  5 , x  4 .

B. x  5 , x  4 .

C. x  5 , x  4 .

D. x  5 , x  4 .

Câu 14. Chọn khẳng định \textbf{đúng} trong các khẳng định sau



 



 



 4

A. 4 3  7
B. 4 3  7
C. 4 3  7

2019

2019

2018



 4 3  7 .



 4 3  7 .



 74 3.

4 3 7

4 3 7
3 7

2018

2018

2019

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

7



D. 4 3  7

 4
2018

3 7



2019

 4 3 7.

Câu 15. Kết quả rút gọn biểu thức

A.

13  17
.
2

B.

1



13  15

17  13
.
2

C.

1
15  17

là

17  13 .

D.

17  13
.
2

Câu 16. Cho A  3 9a 6  6a 3 , với a  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A  3a 3 .

C. A  3a 3 .

B. A  0 .

Câu 17. Tìm các giá trị của a sao cho

a 1
a

B. 0  a  1 .

A. a  0 .

D. A  15a 3 .

 0.
C. a  1 .

D. 0  a  1 .

Câu 18. Cho Q  4a  a 2  4a  4 , với a  2 . Khẳng định nào sau đây?
A. Q  5a  2 .

B. Q  3a  2 .

Câu 19. Kết quả rút gọn biểu thức A 

x m
x n

C. Q  3a  2 .

D. Q  5a  2 .

1
1
x


với x  0 , x  4 có dạng
x 4
x 2
x 2

. Tính giá trị của m  n .

A. m  n  2 .

B. m  n  4 .

C. m  n  4 .

D. m  n  2 .

1
Câu 20. Rút gọn biểu thức Q  4(1  6x  9x 2 ) với x   .
3
A. Q  2(1  3x ) .

B. Q  2(1  3x ) .

C. Q  2(1  3x ) .

D. Q  2(1  3x ) .


1   1
2 
 a
Câu 21. Kết quả rút gọn của biểu thức K  


 : 
 (với a  0 ,

 a  1 a  a   a  1 a  1

a  1 ) có dạng

ma  n

A. m 2  n 2  10 .

a

. Tính giá trị m 2  n 2 .

B. m 2  n 2  2 .

Câu 22. Giá trị của biểu thức

49 

C. m 2  n 2  1 .

D. m 2  n 2  5 .

225
bằng
16

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website: tailieumontoan.com

8
A. 

13
.
4

B.

13
.
4

C. 

43
.
4

D.

43
.
4

Câu 23. Đẳng thức nào dưới đây đúng?







A. x 2  7  (x  7)(x  7) .

B. x 2  7 

C. x 2  7  (7  x )(7  x ) .

D. x 2  7  x  7 x  7 .

7 x



7 x .





Câu 24. Tính M  4  16.
A. M  6 .

B. M  2 5 .

C. M  5 2 .

Câu 25. Điều kiện của x để

4  x có nghĩa là

A. x  4 .

1
.
4

B. x 

C. x 

Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức
A. x  2 .

B. x  2 .

1
.
4

D. M  20 .

D. x  4 .

x  2 có nghĩa.

C. x  2 .

D. x  0 .

Câu 27. Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi x  0 ?
A.

9x 2  3x .

B.

9x 2  3x .

C.

9x 2  9x .

D.

9x 2  9x .

Câu 28. Cho P  4a 2  6a . Khẳng định nào dưới đây đúng.
A. P  4a .
Câu 29. Tính M 
A. M  4 .

B. P  4 | a | .

12
3

C. P  2a  6 | a | .

D. P  2 | a | 6a .

C. M  1 .

D. M  2 .

.

B. M  3 .

Câu 30. Cho biểu thức P  a 2 với a  0 . Khi đó biểu thức P bằng
A.

2a .

B.  2a .

C.

2a 2 .

D.  2a 2 .

Câu 31. Tính M  9. 4 .
A. M  6 .

B. M  5 .

C. M  13 .

D. M  36 .

Câu 32. Cho M  3 (a  1)3  3 (a  1)3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M  2a .

B. M  1  a .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. M  a .

D. M  a  2 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

9
II. PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau

b) B  x 2  10x  25  x với x  0 .

a) A  9  4 5  9  4 5 ;
Bài 2. Tính
a) ( 8  18  5)( 50  5) ;

Bài 3. Giải phương trình

4 x 2
7 x 2

3 1
3  2 2 3 1
.


2
3
4

b)



2
.
3

 x 1
2   x
1 

Bài 4. Cho biểu thức P  


 : 

 .
x
x  1  2
2 x 


a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P khi x  3  2 2 .
c) Tìm x để P  1.
Bài 5. Cho biểu thức P 

 x
x 1
1 
x
 
 


.
x  x  x
x
x  1 x  x  1

3

a) Rút gọn P .
b) Tìm các giá trị của x để P  10 .
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 6. Rút gọn biểu thức P  75  3 .

Bài 7.
a) So sánh 2 3  27 và

74 .

 1
1  x  4
 
b) Chứng minh đẳng thức 

 1 , với x  0 và x  4 .
 x  2
4
x  2 

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức A  5





20  5  1 .

Bài 9. Rút gọn biểu thức 2 75  3 48  4 27.
Bài 10. So sánh 5 và 2 6 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website: tailieumontoan.com

10
Bài 11. Rút gọn biểu thức A  2 5  3 45 .

a

Bài 12. Cho biểu thức B 

a 3

3



a 3



a 2
với a  0, a  9 .
a 9

a) Rút gọn B .
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.
Bài 13. Cho biểu thức

 1
1 
 :


A  
 x  x
x  1

x 1





x 1

2

, v?i x  0, x  1.

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A  9 x .
Bài 14.

x 4

Cho hai biểu thức A 

3 x 1

và B 

x 1

x 2 x 3



2
x 3

với x0 , x  1 .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .
b) Chứng minh B 

1
x 1

c) Tìm tất cả giá trị của x để

.
A x
  5.
B 4

Bài 15. Rút gọn biểu thức A 





6  2  2  16  12 .

Bài 16. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

15  12

A

Bài 17. Cho biểu thức A 

5 2



1
2 3

.


x
x 
 , với x  0 .

: 


x 4 x 4 x 2 x
x  2 
x 1

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 

1
3 x

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

.

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

11
Bài 18. Rút gọn biểu thức sau


1
1  x  1
 
với x  0, x  1, x  .
B  2 

4
x  1 2 x  1

Bài 19. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A 

1
2 3

1
12 .
2

Bài 20. Tính giá trị của biểu thức A  4  2 3 

Bài 21. Cho a  0, a  4. Chứng minh

a
a 2



.

2( a  2)
 1.
a 4

Bài 22.
Cho biểu thức A 

x
x 3



2 x
x 3



3x  9
(với x  0 và x  9 ).
x 9

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
 1
 x  16
Bài 23. Cho biểu thức Q  
.
 3 
 3 x  11
 x  4

a) Tính Q khi x  25 .
b) Rút gọn biểu thức Q đã cho ở trên.
Bài 24. Các đẳng thức sau đúng hay sai, giải thích?
a)

(3)2  3 .

b)

x y
x  y

 x  y với x  0, y  0 .

Bài 25. Tính H  81  16 .
Bài 26. Tìm điều kiện của x để

x  2 có nghĩa.

Bài 27. Rút gọn biểu thức A  2 20  3 45  4 80 .
Bài 28. Rút gọn: A  12  3 .
Bài 29. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A  36  5 ;

b) B 



11  5

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038



2

 5;



 



c) C  3  3  2  3 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

12
Bài 30. Rút gọn biểu thức A  9  4 5 

1
5 2

.

Bài 31. Rút gọn biểu thức: P  3 5  20 .
Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức
a) M  36  25 .



5 1  5 .



3  1  1.

b) N 



2

Bài 33.
a) Tính giá trị biểu thức A  3 27  2 12  4 48 .
b) Rút gọn biểu thức B  7  4 3 

Bài 34. Rút gọn các biểu thức A  2
Bài 35. Rút gọn biểu thức P  3



1
2 3

.

1 1

8  6 3.
2 2



12  3  27.

Bài 36. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A  16  9  2 .

b) B 



2

Bài 37. Rút gọn biểu thức
a) A  45  20  2 5 .

b) B 

Bài 38. Rút gọn biểu thức P  16  3 8 

12
3

a 2 a
a 2



a 4
a 2

, (với a  0; a  4 ).

.

 1

1 
x
 

Bài 39. Cho biểu thức A  
, với x  0 .
 x  x
x  1 x  2 x  1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các giá trị của x để A 

1
.
2

Bài 40.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

13

 4x
x  2  x  1

Cho biểu thức M  

, với x  0 , x  1 , x  4 .


 x  1 x  3 x  2 
x2

a) Rút gọn M .
b) Tìm x để M  4 .
Bài 41. Cho biểu thức P  1 

x x
x 1

, với x  0 và x  1 .

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các giá trị của x , biết P  3 .
Bài 42. Cho biểu thức A 

1
x



a) Tính giá trị biểu thức A với x 

x
x 1

.

4
.
9

b) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
c) Tìm x để A 

3
.
2

Bài 43.
 x 6
1
1
2 x  6 

Cho biểu thức P  


:
 với x  0 , x  9 .
x  1 
x
x 3
 x  3 x

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x để P  1 .

Bài 44. Tìm x biết 2 x  3 .
Bài 45.
a) Rút gọn biểu thức T  3  27  4 3.

 1
1  2 x
 :

với x  0, x  16 .
b) Rút gọn biểu thức A  
 x  4
x  4  x  16
c) Giải phương trình

x 2  8x  16  2 .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

14
B. Hình học
Dạng 1: Giải tam giác vng

 Vận dụng các cơng thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vng để tìm cạnh.
 Vận dụng cơng thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng để tìm cạnh.
 Vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.

Lưu ý:
 Nếu cho trước 1 góc nhọn thì nên tìm góc nhọn cịn lại.
 Nếu cho trước hai cạnh thì dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai.
Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB = 3,5 và AC = 4, 2 .
Lời giải
Ta có tan=
B

AC 4, 2
=
≈ tan 50°12′ .
AB 3,5

Suy ra Bˆ ≈ 50°12′ mà Bˆ + Cˆ =
90°
nên Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 50°12′ = 39° 48′ .
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có

BC =

AB 2 + AC 2 =

3,52 + 4, 22 ≈ 5,5.

Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết AB = 3, 0 và BC = 4,5 .
Lời giải
AB 3, 0
=
≈ sin 41° 49′ suy ra
BC 4,5

Do giả thiết ta có sin=
C

Cˆ = 41° 49′ .
90° nên Bˆ = 90° − Cˆ = 90° − 41° 49′ = 48°11′ .
Mà Bˆ + Cˆ =
Mặt khác theo định lí Py-ta-go
BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇔ AC 2 = BC 2 − AB 2 .

suy ra AC =

BC 2 − AB 2 =

4,52 − 3, 02 ≈ 3, 4.

Ví dụ 3. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết Bˆ = 50° và
AB = 3, 7 .
Lời giải

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

15
Ta có Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 50° = 40° .
Mặt khác AC =AB ⋅ tan B =

3, 7 ⋅ tan 50° ≈ 4, 4 .
Tương tự=
BC

AB
3, 7
=
≈ 5,8 .
cos B cos 50°

Ví dụ 4. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết Bˆ = 57° và BC = 4,5 .
Lời giải
Ta có Cˆ = 90° − 57° = 33° .
Mặt khác AB =
BC ⋅ cos B =
4,5 ⋅ cos 57° ≈ 2,5
và AC =BC ⋅ sin B =4,5 ⋅ sin 57° ≈ 3,8 .

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB = 2,5 , BH = 1,5 . Tính Bˆ , Cˆ
và AC .
Lời giải
Xét tam giác ABH vng tại H , ta có
cos=
B

BH 1,5
=
≈ cos 53°8′ suy ra Bˆ ≈ 53°8′ .
AB 2,5

90° nên Cˆ =90° − 53°8′ =36°52′ .
Mà Bˆ + Cˆ =
Xét ABC vng tại A , ta có
AC =AB ⋅ tan B =
2,5 ⋅ tan 53°8′ ≈ 3,3 .
Dạng 2: Giải tam giác nhọn
 Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
 Bước 2: Tính đường cao rồi tính các độ dài cạnh hay góc trong tam giác đã cho.
Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính các độ dài cạnh hoặc số đo góc.
 Nếu tam giác cho trước một cạnh (hoặc một góc) thì khi vẽ đường cao khơng thể chia đơi
cạnh đó (hoặc góc đó) vì như vậy sẽ khó khăn cho việc tính tốn.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có Bˆ = 65° , Cˆ = 45° và AB = 2,8cm . Tính các góc và cạnh cịn lại của
tam giác đó (gọi là giải tam giác ABC ).

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

16
Lời giải
°
70° .
Ta có Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ= 180° − 65° − 45=

Kẻ đường cao AH . Xét ABH vng tại H , ta có
AH =AB ⋅ sin B =2,8 ⋅ sin 65° ≈ 2,54( cm ) .

Tương tự BH =
2,8 ⋅ cos 65° ≈ 1,18( cm ) .
AB ⋅ cos B =
Mặt khác, do giả thiết suy ra tam giác HAC vuông cân tại H nên HA = HC .
3, 7( cm ) .
BC ≈ 2,54 + 1,18 =

Do đó

Xét AHC vng tại H , ta có
HA
2,54
≈
≈ 3, 6( cm ) .
AC =
sin C sin 45°

Ví dụ 7. Giải tam giác ABC biết Bˆ = 65° , Cˆ = 40° và BC = 4, 2cm .
Lời giải
°
75° .
Ta có Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ= 180° − 65° − 40=

Kẻ đường cao BH . Xét BCH vng tại H , ta có
BH =BC ⋅ sin C =4, 2 ⋅ sin 40° ≈ 2, 70( cm ) .

Tương tự, xét ABH vng tại H , ta có
=
AB

BH
2, 70
=
≈ 2,8( cm ) .
sin A sin 75°

Mặt khác, ta có
AC

= AH + CH = BH ⋅ ( cot A + cot C )

(

)

≈ 2, 70 ⋅ cot 75° + cot 40° ≈ 3,9( cm )
Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn ABC biết AB = 2,1 , AC = 3,8 và Bˆ = 70° .
Lời giải
Vẽ AH ⊥ BC . Xét ABH vng tại H , ta có
AH =
AB ⋅ sin B =
2,1 ⋅ sin 70° ≈ 1,97 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

17
Tương tự, xét BH =
AB ⋅ cos B =
2,1 ⋅ cos 70° ≈ 0, 72 .
Mặt khác, xét AHC vng tại H , ta có sin C =

(

AH 1,97
°
°
′.
′ do đó Cˆ ≈ 3114
≈
≈ sin 3114
AC 3,8

)

°
′ = 78° 46′ .
Mà Aˆ = 180° − 70° + 3114

°
′ ≈ 3, 25 .
Ta có HC =AC ⋅ cos C ≈ 3,80 ⋅ cos 3114

Mà BC = BH + HC = 0, 72 + 3, 25 = 3,97 .
Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác


Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào cơng thức tính diện tích và thực hiện phép tính.

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có diện
1
tích là S = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α .
2

Lời giải
Vẽ đường cao BH của tam giác ABC .

AB ⋅ sin A =
c ⋅ sin α .
Xét ABH vng tại H , ta có BH =
Do đó diện tích S của tam giác ABC là S =

1
1
⋅ AC ⋅ BH = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α .
2
2

Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website: tailieumontoan.com

18
Ví dụ 10. Tứ giác ABCD như hình vẽ phía dưới. Biết
AC = 3,8 , BD = 5, 0 và α = 65° . Tính diện tích của tứ giác đó.
Lời giải

= OA ⋅ sin α .
Vẽ AH ⊥ BD và CK ⊥ BD . Xét OAH ta có AH
= OC ⋅ sin α .
Tương tự, xét OCK ta có CK
1
1
Mà S ABD = ⋅ BD ⋅ AH = ⋅ BD ⋅ OA ⋅ sin α .
2
2
1
1
Tương tự SBCD = ⋅ BD ⋅ CK = ⋅ BD ⋅ OC ⋅ sin α .
2
2

Gọi S là diện tích tứ giác ABCD ta có

=
S S=
 ABD + S BCD

1
1

⋅ BD ⋅ OA ⋅ sin α + ⋅ BD ⋅ OC ⋅ sin α
2
2

1
= ⋅ BD ⋅ sin α ⋅ ( OA + OC )
2
1
1
= ⋅ BD ⋅ AC ⋅ sin α = ⋅ 5, 0 ⋅ 3,8 ⋅ sin 65° ≈ 8, 6 .
2
2
Ví dụ 11. Tam giác ABC có Bˆ + Cˆ =
60° , AB = 3 , AC = 6 . Tính độ dài đường phân giác AD .
Lời giải
 = 180° − 60° = 120° .
60° nên BAC
Do giả thiết Bˆ + Cˆ =


Mà AD là đường phân giác nên BAD
= CAD
= 60° .
Mà
S ABC =

1
 = 1 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ sin120° = 18 ⋅ sin 60° .
⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin BAC
2

2
2

Mặt khác
1
 =1 ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin 60°
S ABD = ⋅ AB ⋅ AD ⋅ sin BAD
2
2
1
 =1 ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin 60°
và S ACD = ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin DAC
2
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

19

Ví dụ 12. Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5 , Dˆ = 50° . Tính diện tích của hình
bình hành.
Lời giải
Xét ADC vng tại A , ta có
AC =
AD ⋅ tan 

ADC =
3,5 ⋅ tan 50° .

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành ABCD , ta
có
S = AD ⋅ AC = 3,5 ⋅ 3,5 ⋅ tan 50° ≈ 14, 6.
Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác vng



Vẽ lại hình vẽ theo u cầu bài tốn (chú ý tạo ra tam giác vng).
Xác định các yếu tố cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác
hoặc sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc.

Ví dụ 13. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trên
một bờ hồ nước sâu, biết Cˆ = 58° , CB = 13m ,
CH = 44m như hình bên.

Lời giải
Xét HAC vng tại H , ta có
AC
=

HC
44
=
≈ 83( m ) .
cos C cos 58°

Mà AB = AC − BC ≈ 83 − 13 = 70( m ) .

Ví dụ 14. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng AB của con sông, biết OC = 47m , 
AOC = 74° ,
 = 23° .
BOC

Lời giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

20

Xét AOC vng ở C , ta có AC
= OC ⋅ tan 74° và BC
= OC ⋅ tan 23° .
Do đó
AB =

AC − BC = OC ⋅ tan 74° − OC ⋅ tan 23°

(

=OC ⋅ tan 74° − tan 23°

)

)

(

=47 ⋅ tan 74° − tan 23° ≈ 144, 0( m ) .

Vậy AB bằng 144, 0m .
Ví dụ 15. Khoảng cách giữa hai chân tháp AB và MN là a như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh A của
tháp AB nhìn lên đỉnh M của tháp MN ta được góc α . Từ đỉnh A nhìn xuống chân N của tháp
MN ta được góc β (so với phương nằm ngang AH ). Hãy tìm chiều cao MN nếu a = 120m ,

α = 30° , β = 20° .
Lời giải

= AH ⋅ tan α .
Xét MAH vuông tại H , ta có HM
Tương tự, xét MAH vng tại H , ta có HN
= AH ⋅ tan β .
Mà

MN

=

HM + HN = AH ⋅ tan α + AH ⋅ tan β

= AH ⋅ ( tan α + tan β )

(

)

=120 ⋅ tan 30° + tan 20° ≈ 113, 0( m ) .
Vậy chiều cao MN là 113, 0m .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
a) AB = 2, 7 và AC = 4,5 ;

b) AC = 4, 0 và BC = 4,8 .

Lời giải
a) Xét ABC vng ở A , ta có
tan=
B

AC 4,5
=
≈ tan 59°04′
AB 2, 7

90° nên
Suy ra Bˆ ≈ 59°04′ mà Bˆ + Cˆ =
Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 59°04′ = 30°56′.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

21
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có

BC =

AB 2 + AC 2 =

2, 7 2 + 4,52 ≈ 5, 25.

b) Xét ABC vng ở A , ta có
sin=
B

AC 4, 0
=
≈ sin 56° 44′
BC 4,8

90° nên
Suy ra Bˆ ≈ 56° 44′ mà Bˆ + Cˆ =

Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 56° 44′ = 33°16′.
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có

AB =

BC 2 − AC 2 =

4,82 − 4, 02 ≈ 2, 65.

Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết
b) AB = 3,1 và Bˆ = 65° .

a) BC = 4,5 và Cˆ = 35° ;
Lời giải
a) Xét ABC vuông ở A ,
ta có AB =BC ⋅ sin C =4,5 ⋅ sin 35° ≈ 2,58 .

Tương tự, AC =
≈ 3, 69 .
BC ⋅ cos C =
4,5 ⋅ cos 35° =
Do Bˆ + Cˆ =
90° nên

Bˆ = 90° − Cˆ = 90° − 35° = 55°.
b) Xét ABC vng ở A , ta có
BC
=

AB
3,1
=
≈ 7,34 .
cos B cos 65°

Tương tự, AC =
AB ⋅ tan B =
3,1 ⋅ tan 65° =
≈ 6, 65 .

90° nên
Do Bˆ + Cˆ =
Cˆ = 90° − Bˆ = 90° − 65° = 25°.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao BH . Biết Aˆ = 50° , BH = 2,3 . Tính chu vi của

∆ABC .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

22
Lời giải
Do giả thiết suy ra Bˆ = Cˆ nên

(

) (

)

1
1
°
Cˆ
180° − =
Aˆ

180° − 50=
65°. Xét AHB vuông tại H , ta
=
2
2
có

=
AH =
BH ⋅ cot HAB
2,3 ⋅ cot 50° ≈ 1,92.

Tương tự, xét CHB vuông tại H , ta có
=
CH =
BH ⋅ cot HCB
2,3 ⋅ cot 65° ≈ 1, 07.

và
BC
=

BH
2,3
=
≈ 2,54 .
°

sin HCB sin 65

Mà AC = AH + HC ≈ 1,92 + 1, 07 = 2,99 . Do đó chu vi tam giác ABC bằng
AB + BC + CA ≈ 2 ⋅ 2,99 + 2,54 =
8,52.

ˆ Dˆ= 90° . Biết AB = 2, 6 , CD = 4, 7 và Cˆ = 35° . Tính diện tích
Bài 4. Hình thang ABCD có A=
hình thang.
Lời giải
Vẽ BH ⊥ CD , do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ nhật nên =
AB DH
= 2, 6 .
Mà CD = DH + HC ⇔ HC = DC − DH = 4, 7 − 2, 6 = 2,1 .
Xét BHC vuông tại H , ta có
 =⋅
BH =
HC ⋅ tan BCH
2,1 tan 35° ≈ 1,5.

Gọi S là diện tích hình thang ABCD .
Ta có S
=

+ CD ) ⋅ BH ( 2, 6 + 4, 7 ) ⋅1,5
( AB
=
≈ 5,5.
2

2

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC , AB > AC , đường cao AH và đường trung tuyến AM . Gọi α là
.
số đo góc HAM

2 HM ;
a) Chứng minh rằng HB − HC =

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

23
b) Chứng minh rằng tan α =

cot B − cot C
.
2

Lời giải
a) Do giả thiết AM là trung tuyến nên BM = MC .
Mà HB − HC =
2 MH .
( HM + BM ) − ( MC − MH ) =⋅
b) Đặt AH = h , xét AHB , ta có HB =
AH ⋅ cot 
ABH =
h ⋅ cot 

ABH .
Tương tự, xét AHC , ta có HC =
AH ⋅ cot 
ACH =
h ⋅ cot 
ACH .

(

)

h cot 
ABH − cot 
ACH hay 2 HM =
Suy ra HB − HC =⋅
h ⋅ ( cot B − cot C ) .

(1)

=
Mặt khác, xét AMH vng tại H , ta có HM =
h ⋅ tan MAH
h ⋅ tan α
hay 2 HM= 2h ⋅ tan α .

(2)

cot B − cot C
Từ (1) và (2) suy ra 2h ⋅ tan α =
.

h ⋅ ( cot B − cot C ) ⇔ tan α =
2

Bài 6. Giải tam giác nhọn ABC biết Bˆ = 60° , AB = 3, 0 và BC = 4,5 .
Lời giải
Kẻ đường cao AH ⊥ BC . Xét ABH vng tại H , ta có
AH =AB ⋅ sin B =
3, 0 ⋅ sin 60° ≈ 2, 6 .
Tương tự, xét BH =
AB ⋅ cos B =
3, 0 ⋅ cos 60° =
1,5 .
Mà HC = BC − BH = 4,5 − 1,5 = 3, 0 .
Theo định lí Py-ta-go ta có AB 2 = BH 2 + AH 2 = 3, 02 + 2, 62 = 15, 76 suy =
ra AB
Xét AHC vng tại H ta có tan 
ACH =

(

15, 76 ≈ 4, 0 .

AH 2, 6
≈
≈ tan 40°55′ .
HC 3, 0

)

Do Aˆ= 180° − Bˆ − Cˆ ≈ 180° − 60° + 40°55′= 79°5′ .

Bài 7. Hình thang ABCD ( AB  CD ) có Dˆ = 90° , Cˆ = 38° ,
AB = 3,5 , AD = 3,1 . Tính diện tích hình thang đó.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

24
Lời giải

Vẽ BH ⊥ CD , do giả thiết suy ra ABHD là hình chữ nhật. Do đó BH = 3,1 , DH = 3,5 .
Xét BHC vuông tại H , ta có
HC =
BH ⋅ cot C =
3,1 ⋅ cot 38° ≈ 4, 0.
Mà CD = DH + HC = 3,5 + 4, 0 = 7,5 .
Gọi S là diện tích hình thang ABCD khi đó
=
S

+ CD ) ⋅ BH ( 3,5 + 7,5 ) ⋅ 3,1
( AB
= =
2

2

17,1.

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 8. Các cạnh của một tam giác vng có độ dài 4cm; 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của
tam giác đó.
Bài 9. Tam giác ABC vng tại A có AB = 21 cm, Cˆ = 40° . Hãy tính các độ dài
a) AC ;

b) BC ;

c) Phân giác BD .

= AC
= 8 cm, CD = 6 cm,
Bài 10. Cho hình bên, biết: AB
 = 34° và CAD
 = 42° . Hãy tính
BAC
a) Độ dài cạnh BC ;
b) 
ADC ;
c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD .
Bài 11. Trong một tam giác ABC có AB = 11 cm, 
ABC = 38° ,

ACB = 30° , N là chân đường vng góc kẻ từ A đến BC . Hãy tính AN , AC .
Bài 12. Tìm x và y trong các hình sau

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC