Đề cương học kì 1 môn Toán lớp 12

1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2011 – 2012
A. GIẢI TÍCH
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ:
1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Hàm số, tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một
hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của nó.
1.2 Điểm cực trị của hàm số. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng, một đoạn.
1.4 Đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị.
1.5 Các bước khảo
sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số. Tương giao của hai đồ thị.
2. Các dạng toán cần luyện tập:
2.1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm
c
ấp một. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng
minh bất đẳng thức.
2.2 Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số; tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương trình,
b
ất phương trình.
2.3 Tìm
đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2.4 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a  0); y = ax
4

+ bx
2
+ c (a  0);
 
ax
0 và d 0
x
b
y c a bc
c d

   

.
2.5 Dùng đồ thị của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
2.6 Vi
ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
3. Các bài tập tham khảo:
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 6x
2
+ 9x b/ y = x
4
– 2x
2
c/ y =
3 2x
x 7



d/ y =
2
x 5x 3
x 2
 

f/ y =
2
2x x

Bài 2: Tìm cực trị các hàm số sau:
a/ y = x
3
– 3x
2
– 24x + 7 b/ y = x
4
– 5x
2
+ 4 c/ y =
2
x 3x 3
x 2
 

d/ y =
2
x x 1

 
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a/
2

ln x
y
x
trên
3
[1;e ]
b/ y = 2sin
2
x – cosx + 1
c/ y =
2 x
1 x


trên [-3; -2] d/ y =
2
25 x

trên [-4; 4]
Bài 4: Dùng tính đơn điệu của hàm số chứng minh:
x
1 x 1 ; x 0
2
    
Bài 5: Cho hàm số

3 2
1 3
3 1
2 4
y x x x
   
(1) có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
2
a. Tiếp tuyến đó tiếp xúc với (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy.
b. Tiếp tuyến đó tiếp xúc với (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng
: 4
d y

.
c. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
1
: 3 3
d y x
  
.
d. Tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
3. Tìm tập giá trị tham số thực m để phương trình
3 2
2 3 12
x x x m
  
có ba nghiệm phân
biệt.

4. Tìm tập các giá trị của tham số thực m để đường thẳng
: 1
m
d y mx
 
cắt đồ thị (C) tại 3
điểm phân biệt.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3 4 3 2
y x x x m
     
(1) có đồ thị (C
m
) (m là tham số thực).
1. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm có hoành độ
1
x
 
song song với
đường thẳng


: 6 1
m
d y m x
  
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với

m vừa tìm được.
3. Biện luận theo tham số thực k số nghiệm của phương trình
3 2
3 4
x x x k
  
.
4. Tìm tập giá trị của m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Bài 7: Cho hàm số


4 2
2 1 3
y x m x m
    (1) có đồ thị (C
m
) (m là tham số thực).
1. Tìm tập giá trị của m để (C
m
) cắt trục tung tại điểm


0; 3
A

, khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số (1)





y f x

khi đó.
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
4 2
4 3 0
x x k
  
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình


'' 0
f x

khi m=1
4. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Bài 8: Cho hàm số
3 1
2
x
y
x
 


(1) có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
a. Tiếp tuyến đó tiếp xúc với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox.
b. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
: 5 6 0
d y x
  
.
c. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1
:5 4 5 0
d y x
  
3. Tìm tập giá trị thực của tham số m để đường thẳng
: 4
m
d y mx
 
cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
4. Tìm các điểm trên (C) sao cho hoành độ và tung độ của nó là các số nguyên.
5. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm




0 0 0
;
M x y C


đến các đường tiệm cận
của (C) là một hằng số.
6. Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C).
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT:
1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên của số thực; lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa có số mũ
thực của số thực dương.
1.2 Logarit cơ số a của một số dương (a > 0, a
 1). Các tính chất cơ bản của logarit. Logarit
thập phân, số e và logarit tự nhiên.
1.3 Hàm s
ố lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số logarit (Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị).
1.4 Phương tr
ình, bất phương trình mũ và Logarit.
3
2. Các dạng toán cần luyện tập:
Giải một số phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng các phương pháp đưa về cùng cơ
số, đặt ẩn số phụ, logarit hóa, mũ hóa và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
3. Các bài tập tham khảo:
Bài 9:: Tìm tập xác định của các hàm số:
a)
 
1
3 2
4
3 2
  
y x x x
b)
2 5

3 1

 
x
y c)
2
1
5
4 3
y log (x x )
  
d)
0 4
3 2
1
,
x
y log
x



e)
2
3
5 6
y log ( x x )
   
f)
2

1
3
2
 
y log ( x x)
Bài 10:
Tính đạo hàm của các hàm số:
a,
2
2


x
y x.e
b,


2 1
  
x
y x.e ln x c,
2

y xlog x
tại x=4
Bài 11: Giải các phương trình sau:
a) 3
2x – 1
+ 3
2x

= 108 b) 3
x + 1
+ 3
x – 2
- 3
x – 3
+ 3
x – 4
= 750
c)
2 7
1
1
6
6
1
4 8
2
x
x
x
.

 

 
 
d)
2
5 6 3

5 2
x x x
  

Bài 12: Giải các phương trình sau:
a) 3.4
x
– 2.6
x
= 9
x
b)




2 3 2 3 4
x x
   
c) 2.16
x
– 17.4
x
+ 8 = 0 d) 4.9
x
+ 12
x
– 3.16
x
= 0

Bài 13: Giải các phương trình sau:
a) lg(x – 1) – lg(2x – 11) = lg2 b) log
2
(x – 5) + log
2
(x + 2) = 3
c) lg(x
2
– 6x + 7) = lg(x – 3) d) lg
4
x + log
2
4x = 5
Bài 14: Giải các phương trình sau:
a)
2
1 1
5 5
2 5
   
lg(x x ) lg x lg
x
b)
2
1
4 1 8 4
2
   
lg(x x ) lg x lg x
c)

4 8
2
4 13
log x log x log x
  
d)
2
2
16 64 3
x
x
log log
 
Bài 15: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3
2 4
x x 

b)
2
2 3
7 9
9 7
x x
 

 
 

c) 3
x + 2
+ 3
x – 1

28 d) 2
2x – 1
+ 2
2x – 2
+ 2
2x – 3

448
e)
2
6
3 1
x x 

f)
2
4 15 13
3 4
1
2
2
x x
x
 


 

 
 
Bài 16: Giải các bất phương trình sau:
a) 4
x
– 3.2
x
+ 2 > 0 b) (0,4)
x
– (2,5)
x + 1
> 1,5
c) 9
x
– 5.3
x
+ 6 < 0 d) 16
x
– 4
x
– 6

0
Bài 17: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1
2 2
2 3 3 1

log ( x ) log ( x )
  
b) log
8
(4 – 2x)

2
c)
2
3 3
5 6 0
log x log x
  
d) log
0,2
x – log
5
(x – 2) < log
0,2
3
4
B. HÌNH HỌC
1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1.1 Khối lăng trụ, khối chóp, chóp cụt, đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
1.2 Khối đa diện đều, 5 loại khối đa diện đều: tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị
diện đều và nhị thập diện đều.
1.3 Thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Công thức thể tích khối lăng trụ, khối
chóp và khối chóp cụt.
2. Các dạng toán cần luyện tập: Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
3. Các bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết:
a. Cạnh bên bằng
3
a
.
b. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
.
c. Các mặt bên tạo với đáy một góc 30
0
.
d. Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45
0
.
Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết
a. Cạnh bên bằng
2
a
.
b. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
.
c. Các mặt bên tạo với đáy một góc 30
0
.
d. Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45
0
.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh a. SA vuông góc với đáy.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết cạnh bên

3
SB a

.
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết (SBC) tạo với đáy góc 60
0
.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông
góc với đáy và tam giác SAB cân tại S. Tính thể tích khối chóp biết
a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 60
0
.
b. Mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 45
0
.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh a. SA vuông góc với
đáy
3
SA a

. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC.Tính thể tích khối
chóp S.ADE
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABCD, gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng chứa AM
và song song với BD. Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai
phần đó.
Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C

’
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A
’
cách đều A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo
với đáy một góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mp qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính th
ể tích của khối chóp S.DBC.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,

C
= 60
0
,
đường chéo BC
’
của mặt bên (BCC

’
B
’
) hợp với mặt bên (ACC
’
A
’
) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài cạnh AC
’
b) Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc

A
= 60
0
. Chân đường
vuông góc hạ từ B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB

’
= a.
a) Tính góc gi
ữa cạnh bên và đáy.
b) Tính th
ể tích hình hộp.
HẾT
Chúc các em đạt kết quả tốt trong kì thi này!