Tài liệu dạy học môn toán lớp 9 tập 1

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

TÀI LIỆU DẠY HỌC
MƠN TỐN LỚP 9 TẬP 1

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 8 năm 2021


Website: tailieumontoan.com

1
Chương

1
Bài 1-2. CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI

HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
 Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a .
 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
x  0
 Với số a khơng âm, ta có a  x   2
.
x  a

2. So sánh hai căn bậc hai số học
 Với hai số a và b không âm, ta có a  b  a  b .
3. Căn thức bậc hai

 Với A là biểu thức đại số, ta gọi

A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức

lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.


A xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi A 0 .


 A neu A  0
A2  A  


A neu A  0.


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Hằng đẳng thức

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số

x  0
Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  x  
 2

x  a.




Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của


2

a) 121 ;

 2
b)   ;
 5 

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức:

c)

d) 1

0,25 ;

9
.
16

0, 09  7  0, 36  3  2,25 .

Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ:


9
9 


  18 ?
 1 
16 
 16

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2


Dựa vào tính chất: Với hai số a và b khơng âm, ta có a  b  a  b .

Ví dụ 4. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh 8 và

15  1 và 10 .

Ví dụ 5. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
Ví dụ 6. Với a  0 thì số nào lớn hơn trong hai số

65 .

a và

2a ?

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai
Với a  0 , ta có



x2  a  x   a ;
x  a  0  x  a2 ;



x  a  x  a2 ;



x  a  x  a2 .

Ví dụ 7. Giải phương trình: 3x 2  0, 75 .
Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 3x  12 .
Ví dụ 9. Tìm số x khơng âm, biết:
Ví dụ 10. Giải phương trình:

1
5x  10 .
2

x 2  6x  9  7x  13 .

Ví dụ 11. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức

Dạng 4: Tìm điều kiện để





x 2  25  13 .

A có nghĩa

A có nghĩa khi và chỉ khi A 0 .
A
B

có nghĩa khi và chỉ khi B  0 .


A  0
A  0
Lưu ý: A  B  0  
hoặc 
.


B  0
B 0






A  0
A  0

hoặc
.
A  B 0  





B
0
B

0




Ví dụ 12. Tìm x để các căn thức sau có nghĩa
a)

2x  6 ;

Ví dụ 13. Tìm x để căn thức

b)

5  2x ;

c)

1
x 1

.

1
có nghĩa.
x  4x  4
2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3
A2

Dạng 5: Rút gọn biểu thức có chứa


Vận dụng hằng đẳng thức:



 A neu A  0
A2  A  


A neu A  0.



Ví dụ 14. Rút gọn biểu thức A  x 2  6x  9 .
Ví dụ 15. Rút gọn biểu thức B  x 4  x 6 .
Ví dụ 16. Tính giá trị của biểu thức C  3  2 2  6  4 2 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh

26  3 và

a)

63 ;

b)

1
và
2

3 1
.
2

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a) 5 2 ;
4

b) 4 (3)6 ;

(5)8 ;

c)

d) 2 (5)6  3 (2)8 .

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau



a)

4 2



2

;

b)



3 3





2

;

c)

4  17



2

d) 2 3 

;



2 3

.
2

Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau

a) 9  4 5 



c) 4  7



2





2

5 2 ;

 23  8 7 ;

b)

9  4 5  5  2 ;

d)

23  8 7  7  4 .

Bài 5. Tìm x khơng âm, biết:
a) 5x 2  80 ;

c)

x  0;

b) 2 x  1 ;
e)

x  2 ;

c)

x  3;

f)

3x  6 .

d)

x  5;

Bài 6. Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa:
a)

2
;
9x

b)

x 2  2x  1 ;

c)

x 2  4x .

Bài 7. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
a)

9  x2 ;

1

x

1
;
x 4

c)

b)

94 5 ;

c) 3x  x 2  2x  1 .

b)

x 2  3x  2 ;

c)

b)

2

x 2



x 3

.

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
a)



3  10



2

;

Bài 9. Giải phương trình:
a)

x 2  10x  25  2 ;

4x 2  12x  9  x  7 .

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x 2  7 ;

b) x 2  2 2x  2 ;

c) x 2  13  2 13x .

Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D  4x 2  4x  1  3 .
Bài 12. Cho biểu thức: Q  2x  x 2  2x  1 .
b) Tính giá trị của x khi Q  7 .

a) Rút gọn biểu thức Q ;

Bài 13. (*) Tìm các giá trị của x sao cho
HDG: Điều kiện x  0 . Ta có

x x.

x  x  x  x 2  x  x 2  x 1  x   0

x  0
x  0


TH1: 

 0  x  1.




1x  0
x 1






x  0

x  0  x   .
TH2: 






1  x  0
x  1


Vậy với 0  x  1 thì

x x.

Bài 14. (*) Với giá trị nào của x thì biểu thức
HDG: Biểu thức

25  x 2 có nghĩa?

25  x 2 có nghĩa khi và chỉ khi 25  x 2  0  5  x 5  x  0 .




5  x  0
x   5
x  5
TH1: 


 5  x  5 .







5  x 0
x  5
x  5






5  x  0
x   5
x  5
TH2: 
 
 
 x  .
5  x  0
x   5
x   5



Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

5
Vậy với 5  x  5 thì

25  x 2 có nghĩa.

Bài 15. (*) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M  x  4  2  x có nghĩa?
HDG: Biểu thức M  x  4  2  x có nghĩa khi và chỉ khi
x  4  0
x   4
x   4
 
 
 4  x  2 .

2  x  0
x   2
x  2
Mà x là số nguyên nên x  4; 3; 2; 1; 0;1;2 .
Vậy có 7 giá trị của x thỏa yêu cầu đề bài.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

1

Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc
 Muốn khai phương một tích các số khơng âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân
các kết quả lại với nhau.
 Muốn nhân các căn bậc hai của các số khơng âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả đó.
Cụ thể: với a, b  0 , a  b  a  b .
2. Chú ý


Với hai biểu thức không âm A và B, ta có



Đặc biệt khi A 0 thì

 A

2

AB  A  B .

 A2  A .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Khai phương một tích


Dựa vào quy tắc khai phương một tích: với a, b  0 , a  b  a  b .



Nhớ chú ý điều kiện áp dụng.

Ví dụ 1. Tính:

a)

12,1  160 ;

b)

2500  4, 9  0, 9 .

Ví dụ 2. Tính:

a)

412  402 ;

b)

81  6,25  2,25  81 .

Ví dụ 3. Đẳng thức

x (1  y )  x  1  y đúng với những giá trị nào của x và y ?

Dạng 2: Nhân các căn bậc hai



Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai: với a, b  0 , a  b  a  b .

Ví dụ 4. Tính
72  50 ;

a)

b)

12, 8  0,2 .

b)

2 12
1


.
3 25 2

Ví dụ 5. Tính
40  20  4, 5 ;

a)

Ví dụ 6. Thực hiện các phép tính:
a)



20  45  5  5 ;



c)



5  3 1 



b)





12  3 



27  3 ;



5 1 .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2
Ví dụ 7. Tính
a)





2

7 3 ;

b)







2





c) 5 3  2 7  5 3  2 7 .

8 2 ;

Dạng 3: Rút gon, tính giá trị của biểu thức
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).
Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, các hằng đẳng thức
để rút gọn.
 Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ 8. Rút gọn các biểu thức sau:



a)

3x
5x

với x  0 ;
5
27

b)

x 6  (x  2)2 với x  2 .

b)

16 x 2  6x  9 .

Ví dụ 9. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

15x 3 

60
;
x









Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức M  25x 2 x  2 x  1 với 0  x  1 .
Ví dụ 11. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

42 3  3;

b)

8  2 15  3 ;

c)

94 5  5.

Ví dụ 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

x  2 x 1 ;

b)

x 22 x 1 .

Dạng 4: Viết biểu thức dưới dạng tích
Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 Đặt nhân tử chung.
 Dùng hằng đẳng thức.
 Nhóm hạng tử.
 …
Ví dụ 13. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa)
a) 3  3 ;

b) x  3 xy ;

c) x y  y x ;

d) x  x  xy  y .

Ví dụ 14. Phân tích thành nhân tử (với điều kiện các biểu thức dưới dấu căn đều có nghĩa)
a)

x 3  25 x ;

b) 9x  6 xy  y ;

c)

x 3  y3 ;

d)

x2  9  2 x  3 .

Dạng 5: Giải phương trình



Bước 1: tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bước 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hoặc các hằng đẳng thức đưa phương

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3
trình đã cho về dạng phương trình đơn giản hơn.
Chú ý: có thể đưa về dạng tích



A  0
;
A  B  0  
B  0

Ví dụ 15. Giải phương trình

25  (x  5)2  15 .

Ví dụ 16. Giải phương trình

9x 2  90x  225  6 .

Ví dụ 17. Giải phương trình

x 2  25  2 x  5 .

Ví dụ 18. Giải phương trình

x 5 

Ví dụ 19. Giải phương trình

x 

1
x



A2  0  A  0 ;



A3  0  A  0 .

1
1
9x  45 
25x  125  6 .
3
5

 2.

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Có thể dùng một trong hai cách
 Cách 1: Biến đổi tương đương.


Cách 2: với a, b  0 thì a  b  a 2  b 2 .

Ví dụ 20. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng:

5  8  6  7.

Ví dụ 21. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng

3 2  2





3 1 .

Ví dụ 22. Cho a  0 , chứng minh rằng a  9  a  3 .
Ví dụ 23. Cho a , b , c  0 . Chứng minh rằng
b) a  b  c  ab  bc  ca .

a) a  b  2 ab ;
Ví dụ 24. Cho a 

1
, chứng minh rằng
2

2a  1  a .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính
a)

10  40 ;

b)

5  45 ;

c)

52  13 ;

d)

2  162 .

Bài 2. Áp dụng quy tắc khai phương một tích hãy tính

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
a)

45  80 ;

b)

75  48 ;

90  6, 4 ;

c)

d)

2, 5  14, 4 .

Bài 3. Rút gọn rồi tính
a)

6, 82  3,22 ;

b)

21, 82  18,22 ;

117, 52  26, 52  1440 .

c)

Bài 4. Tính
a)

400  0, 81 ;

b)

5 3
 ;
27 20

(5)2  32 ;

c)

d)

 



2

2 5  2 5

.
2

Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

3  8  2 15 ;

x 12 x 2 .

b)

Bài 6. Phân tích thành nhân tử
b) a  7 với a  0 ;

a) a  5 a ;

c) a  4 a  4 ;

d)

xy  4 x  3 y  12 .

Bài 7. Giải phương trình
a)

x 5  3;

b)

x  10  2 ;

d)

4  5x  12 ;

e)

49 1  2x  x 2  35  0 ;





Bài 8. Rút gọn các biểu thức:
b)

a)



c) a 2 (a  1)2 với a  0 ;

x 3

f)

d) b 2 (b  1)2 với b  0 .





x2  9  5 x  3  0 .

4(a  3)2 với a  3 ;

a)

9(b  2)2 với b  2 ;

Bài 9. Tính:

2x  1  5 ;

c)

x 2 ;

b)

 25

49

c) 

 3  3 ;
 3
3




x y







x  y ;





d) 1  3  5 1  3  5 .





Bài 10. Tìm x và y , biết x  y  13  2 2 x  3 y .
Bài 11. (*) Rút gọn biểu thức ( 14  6) 5  21 .
HD:



14  6



5  21 



7  3  2  5  21 







7 3 

 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

7 3

 
2





7  3  10  2 21



7 3 

7  3  ...
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

5
Bài 12. (*) Chứng minh rằng
HD:

7 3 6 2.

7 3 6 2  7 2 6 3 .

Bài 13. (*) Tính giá trị của biểu thức A  7  13  7  13 .
Cách 1: vì 7  13  7  13 nên

7  13  7  13  A  0 .

Bình phương hai vế ta được kết quả rồi tìm A  2 .
Cách 2: A  7  13  7  13  2A  14  2 13  14  2 13
2A 





2

13  1 





13  1

2



13  1  13  1  2 .

A 2.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

1

Bài 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc
a
a  0,b  0 , ta có thể lần lượt khai phương số a và b ,
b
rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
 Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số dương b , ta có thể chia số
a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
 Muốn khai phương một thương

a
a
.

b

b

Cụ thể: với số a không âm và số dương b , ta có
2. Chú ý

A

B

 Với các biểu thức A, B A  0; B  0 , ta có

A
B

.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: khai phương một thương


Dùng quy tắc khai phương một thương: với số a không âm và số dương b , ta có
a
a
.

b
b

Ví dụ 1. Tính
a)

4 49
;
:
25 121

b)

36a
với a  0 .
49

b)

11
7
: 1, 44  : 1, 44 .
9
9

Ví dụ 2. Tính
a)

652  522
;
225

Ví dụ 3. Đẳng thức

x 5

x 5
đúng với những giá trị nào của x và y ?

y 2
y 2

Dạng 2: Chia các căn bậc hai


Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai: với số a khơng âm và số dương b , ta có
a
b



a
.
b

Ví dụ 4. Tính
a)

45 : 80 ;

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

b)

(2.3)5 : 23  35 .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website: tailieumontoan.com

2
Ví dụ 5. Tính
a)

54 : 2 : 3 ;

3

b)

75

52

:

117

.

Ví dụ 6. Thực hiện phép tính
b) (2 18  3 8  6 2) : 2 .

a) ( 45  125  20) : 5 ;
Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức





Tìm điều kiện của biến để biểu thức chưa căn thức có nghĩa.
Áp dụng quy tắc khai phương một thương, một tích hay quy tắc nhân, chia các căn bậc
hai để rút gọn.
Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính.
316  312

Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức

.

312  38

Ví dụ 8. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với x  6

165

2

A

Ví dụ 9. Cho biểu thức B 

x 1
y 1

:

 1242



369

y 1
x 1

x

. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức B với x  5 ,

y  10 .

Dạng 4: Giải phương trình
 Bước 1: tìm điều kiện để biểu thức chứa căn thức có nghĩa.
 Bước 2: nếu hai vế của phương trình khơng âm thì có thể bình phương hai vế để khử dấu căn.
Ví dụ 10. Giải phương trình
a)

3x  1
 2.
x 2

b)

5x  7
2x  1

 1.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính
a)

9
;
169

b)

25
;
144

c)

1

9
;
16

d)

2

7
.

81

Bài 2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3
a)

2300
23

;

b)

12, 5
0, 5

;

c)

192
12

;

d)

6
150

.

Bài 3. Tính
a)

72 : 8 ;

b) ( 28  7  112) : 7 ;

c)

49
1
: 3 ;
8
8

d)

54x : 6x

x  0 ;

e)

1
32
56
.

:
125
35
225

Bài 4. Rút gọn biểu thức
a)

c)

63y 3
7y

với y  0 ;

45mn 2
20m

b)

với m, n  0 ;

Bài 5. Cho x 

2
:
3

d)

48x 3
35

với x  0 ;

x 2 x 1
x 2 x 1

với x  0 .

3
, tính giá trị của biểu thức M  6x  5 .
2

Bài 6. Tìm x thỏa điều kiện
a)

2x  3
 2;
x 1

Bài 7. Chứng minh đẳng thức:

b)

62 5
5 1



Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

2x  3

52 6
3 2

x 1

 2.

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

1

Bài 6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B với B  0 , ta có
 A B neu A  0

A B  A B  
A B neu A  0

2

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Với hai biểu thức A, B với B  0 , ta có

2
 A B neu A  0
A B 
 A2B neu A  0

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn



Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích, trong đó có thừa số là bình phưởng của một
số hoặc một biểu thức.
Khai phương thừa số này và viết kết quả ra ngồi dấu căn theo cơng thức
 A B neu A  0

A B  A B  
A B neu A  0


2

Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a)

45 ;

b)

2400 ;

c)

147 ;

d)

1,25 .

c)

32  45 ;

d)

125  27 .

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngồi dấu căn
a)

50  6 ;

b)

14  21 ;

Ví dụ 3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a)

18x ;

b)

75x 2y ;

c)

605x 3y 2 .

Ví dụ 4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a)

128(x  y )2 ;

b)





150 4x 2  4x  1 ;

c)

x 3  6x 2  12x  8 .

Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn

2
 A B neu A  0
A B 
2
 A B neu A  0
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2
Ví dụ 5. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) 3 5 ;

b) 5 6 ;

c)

2
35 ;

7

d) 4

1
;
8

e) 0, 06 250 .

Ví dụ 6. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) x x ;

b) y

x
;
y

c)

x
y

y
.
x

Ví dụ 7. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) x

3
với x  0 ;
x

b) x

1
với x  0 .
x

b) xy

y
y
 y x 2   y xy .
x
x

Ví dụ 8. Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau:
a) x

3

7

3x 2
;
7

Dạng 3: So sánh hai số



Bước 1: Đưa thừa số bên ngoài vào trong dấu căn.
Bước 2: So sánh hai căn bậc hai

0 a b  a  b .


Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 9. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
b) 3 2

a) 5 6 và 7 3 ;

1
2
và 5 1 .
5
3

Ví dụ 10. Khơng dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
a)

5
2
2 và
7;

4
3

b) 3 11 và 2 23 .

Ví dụ 11. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a) 6 3, 7 2, 15

2
2
,9 1 ;
5
9

b)  71,

2
1
12,
21,  5 3 .
3
2

Dạng 4: Rút gọn biểu thức
Sử dụng phép biến đổi đưa thừa số ra ngoài (vào trong) để rút gọn biểu thức.
Ví dụ 12. Rút gọn các biểu thức
a) 2 125  5 45  6 20 ;
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

b) 2 75  4 27  12 .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3

16b  2 40b  90b với b  0 .

c)

Dạng 5: Tìm x
Bước 1: đặt điều kiện để biểu thức có chứa căn bậc hai có nghĩa (nếu có).
Bước 2: vận dụng phép biến đổi đưa thừa số ra ngồi (vào trong) dấu căn để tìm x .
b  0
a  b  0 a b .
a  b  
2 ;

a
b


Ví dụ 13.Tìm x , biết



a)

25x  35 ;

b)

4x  6 .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

7x 2 với x  0 ;

b)

8y 2 với y  0 ;

c)

25x 3 với x  0 ;

d)

48y 4 với y  0 ;

e)

75a 3 với a  0 ;

f)

98a 5 b 2  6b  9 .





Bài 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
b) x 13 với x  0 ;

a) x 5 với x  0 ;
c) x

11
với x  0 ;
x

29
với x  0 .
x

d) x

Bài 3. So sánh các số sau
b) 4 5 và 5 3 .

a) 3 7 và 2 15 ;
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
a)

75  48  300 ;

c)

9a  16a  49a với a  0 .

Bài 5. Chứng minh đẳng thức:

b)

x

y y x



xy

98  72  0, 5 8 ;

x y

  x  y với x, y  0 .

Bài 6. Tìm x , biết

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4
a)

25x  35 ;

b) 3 x  12 ;

c)

4x  162 ;

d) 2 x  10 .

--- HẾT ---

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

1

Bài 7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

(tiếp theo)
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

A

B

Với A, B là các biểu thức thì

AB

A  0; B  0 .

B

2. Trục căn thức ở mẫu
Với A, B, C là các biểu thức, ta có
(1)

(2)

(3)

A
B



A B
B  0 ;
B

C
A B



C
A B

C



A B
AB



C



2

 A 0; A  B


A B
AB

2

;

 A 0; B  0; A  B .




A  B và A  B được gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chú ý: hai biểu thức

Dạng 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Vận dụng công thức

A

B

AB
B

A  0; B  0 để khử mẫu.

Chú ý điều kiện để áp dụng được cơng thức.
Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

5
.
72

Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a)

11
;
27x

c)

1
;
x  3x  3x  1
3

2

b)

3x
;
5y 3

d)

1
1
 3 .
2
x

x

Dạng 2: Trục căn thức ở mẫu
Có thể sử dụng một trong hai cách sau
 Cách 1: Phân tích tử thức thành nhân tử có thừa số là căn thức ở dưới mẫu.
Chia cả tử và mẫu cho thừa số chung.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2


Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với biểu thức liên hợp của mẫu thức để làm mất
dấu căn ở mẫu thức.

Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu
a)

3 3
5 3

2

d)

3 1

;

b)

;

e)

2 2
2 1

;

3
15  4

3

c)

7

;

.

Ví dụ 4. Trục căn thức ở mẫu
a)

5 3 3 5
5 3 3 5

;

b)

2
1 2  3

.

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu
a)

1 a
1 a

với a  0 ; a  1 ;

b)

1
a  b 1

; với a  0 ; b  0 ; ab 

1
.
4

Dạng 3: Rút gọn biểu thức


Thực hiện phép biến đổi đơn giản biểu thức chưa căn bậc hai rồi thu gọn các căn thức
đồng dạng hoặc rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu.

Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau
a)

200  50  4

1
;
8

b)

3





72  4, 5  12, 5 .

Ví dụ 7. Rút gọn các biểu thức sau
 2
3 


a) 12 

;
 3
2 

b) 4

2 1
1

2
.
9 2
18

a
b
1
5
 3ab
với a, b  0 .
b
a
ab

Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức P  9ab  7
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức






Thực hiện một trong các cách sau để chứng minh đẳng thức A  B .
Cách 1: biến đổi vế trái (A) về vế phải (B).
Cách 2: biến đổi vế phải (B) về vế trái (A).
Cách 3: A  B  A  B  0 .

Ví dụ 9. Chứng minh đẳng thức:

3
5 2



Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

4
6 2



1
6 5

2 6.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3



8 a 2  2ab  b 2

a 2b
Ví dụ 10. Cho a  b  0 , chứng minh rằng
a b

4

75a b



2
6b .
15

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a)

3
;
80

b)

2
;
3

d)

3
với x  0 ;
x

e)

2
.
75

c)

x2
;
5

Bài 2. Trục căn thức ở mẫu

5 3

a)

2

;

a 2 a

b)

a 2

;

c)

13
2 3 5

;

d)

2 10  5
4  10

.

Bài 3. Trục căn thức ở mẫu

8

a)

5 3

;

b)

1
5 2 2 5

;

c)

5 7
5 7

.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau







a) 2 3  5  3  60 ;
c)

2
3 1

2



3 1



b) 5 2  2 5  5  250 ;

;

d)

Bài 5. Chứng minh đẳng thức:

x

y y x



x y
x y

x y

xy

với x , y  0 và x  y .

  x  y với x, y  0 .

Bài 6. Tính

a) 

b)

2


 ;

2  3
1

1
1 2



Bài 7. Cho x 
Bài 8. Biến đổi

1
2 3



75  12
147  48

26
10  4 3

1
3 4



1
99  100

.

. Chứng minh rằng 3x là một số nguyên.

về dạng a  b 3 . Tính tích a  b .
--- HẾT ---

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

1

Bài 8. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta có thể thực hiện theo các bước như sau
 Bước 1: Đặt điều kiện thích hợp cho ẩn để biểu thức có nghĩa (thường thì đề bài cho sẵn hoặc
có thể tìm sau khi tìm được mẫu thức chung).
 Bước 2: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung.
 Bước 3: Quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính tương tự như đối với phân thức đại số.
 Bước 4: Rút gọn tử thức và phân tích tử thức thành nhân tử (nếu có).
 Bước 5: Chia tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có) để rút gọn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ chứa cộng, trừ căn thức


Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn hoặc khử mẫu của biểu thức lấy căn rồi rút
gọn các hạng tử đồng dạng.

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

20  80  45 ;

18  50  98 .

b)

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

4, 5 

1
1
72  5 ;
2
2

b) 40

25
3
98
 10
 12
.
6
2
3

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức M  2x 16xy 3  7 25x 3y 3  3y 36x 3y với x  0 , y  0 .
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức N  1 

Ví dụ 5. Biến đổi biểu thức 5

3
3
 1
.

2
2

x y
b
a
1
z 
4

về dạng     ab , trong đó a, b  0 ;
a
b
ab
a b ab 

x , y, z   . Tính tổng x  y  z .
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia căn thức dưới dạng
phân thức đại số


Xem phần kiến thức trọng tâm.

Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức P 

y
xy  x



x
y  xy

.

 x

xy

Ví dụ 7. Rút gọn biểu thức P  
.
 3 :
 y
 x  3 xy
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2
x x  y y


Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức P  
 xy  : (x  y ) .
 x  y




x

 : x  1 .
Ví dụ 9. Rút gọn biểu thức P  1 


x  x  1 x x  1

 x 1
2 x
3 x  1  2
2

Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức P  


  .
  
1  x   x x 
 x  1
x 1

Dạng 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức hoặc rút gọn rồi tìm giá trị của biến để biểu
thức thỏa điều kiện nào đó.



Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa rồi rút gọn.
Bước 2: Thay giá trị của biến (thỏa điều kiện) vào biểu thức đã được rút gọn rồi thực hiện

phép tính.

Ví dụ 11. Cho biểu thức P 

x 1
x 2



2 x
x 2



25 x
.
4x

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với x 

2
2 3

.

 x 2
x  2 
4x


Ví dụ 12. Cho biểu thức P  
.

 :
2
 x  1
x  2 x  1 (x  1)

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P , biết | x  5 | 4 .
 2 xy
x  y 
2 x

Ví dụ 13. Cho biểu thức P  
.

 
 x  y 2 x  2 y  x  y

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P , biết

x
4
 .
y
9

 1

  2
2
1 
 : 
 .
Ví dụ 14. Cho biểu thức P  


 x  2 x  4 x  4   x  4
x  2 

a) Rút gọn P .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3
1
b) Tìm x để P   .
2

 1
 
x
3
3 x  3 

 : 
Ví dụ 15. Cho biểu thức P  


.
 x  3 x x  9 x   x  3 x  3 x 

a) Rút gọn P .
b) Tìm x để P  1 .
Dạng 4: Rút gọn biểu thức rồi chứng minh biểu thức có một tính chất khác hoặc tìm
GTLN, GTNN của biểu thức




Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu có).
Bước 2: Rút gọn biểu thức.
Bước 3: Dựa vào yêu cầu bài toán để biến đổi biểu thức đã rút gọn và đi đến điều phải
chứng minh hoặc điều phải tìm.

Lưu ý



A
là số nguyên khi và chỉ khi B là ước của A.
B
Nếu A  M thì biểu thức A có giá trị lớn nhất là M.



Nếu B  m thì biểu thức B có giá trị nhỏ nhất là m .



Biểu thức C không âm với mọi giá trị của biến khi và chỉ khi C  0 với mọi giá trị của



Phân số hay phân thức

biến. Trường hợp biểu thức dương hoặc âm hoặc khơng dương thì làm tương tự
Ví dụ 16. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau là hằng số với mọi giá trị của x và y :

2 x  y  x y  y x
x

A  

 
2
 xy  y
xy  x 
x y



Ví dụ 17. Cho biểu thức B 

x 2

x x 1



x 1
x  x 1





1
x 1

.

a) Rút gọn B .
b) Chứng minh rằng B ln ln có giá trị khơng âm với mọi giá trị thích hợp của x .
 1
  x
2

 : 
Ví dụ 18. Cho biểu thức C  

 1 .

 x  1 x x  x  x  1  x  1

a) Rút gọn C .

b) Chứng minh rằng C ln ln có giá trị âm với mọi giá trị thích hợp của x .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

4




 




x
x
x
1
6
1

 : 
.
Ví dụ 19. Cho biểu thức D  2 

 



x  1
2 x  3   2 x  3 x  1









a) Rút gọn D .
b) Chứng minh rằng D 

3
.
2

 1
x  4 
1  
 : 2 
Ví dụ 20. Cho biểu thức P  

 .
 x  1 x  1 
x  1 

a) Rút gọn P .
b) Tìm giá trị lớn nhất của P .
 x 3
x 3
14  x  3

Ví dụ 21. Cho biểu thức Q  
.


 
 x  3
2
x  3 9  x 

a) Rút gọn Q .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q .
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức


Biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức thức ba.

Ví dụ 22. Chứng minh đẳng thức sau với x  0 , y  0 và x  y .
 x  y 4 xy  x  y

 :





x
y

x
 x  y


x
x  y

.

Ví dụ 23. Chứng minh đẳng thức sau với x  0 , y  0 và x  y .
x x  y y


 : (x  y )  1  2 y .

xy


x  y
 x  y


C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

6 3

2
3
1
4
 12
;
3
2
6

b) 6 a  3 25a 3  2 36ab 2  2 9a với a, b  0 .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC