Tài liệu dạy thêm môn toán 12 ( hay)

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố1
KHỞI ĐỘNG : ĐẠO HÀM

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Địnhnghĩađạohàm
 
   
x
y
lim
x
xfxxf
limxfy
0x
00
0x
0x
0












2.Cácquytắctínhđạohàm
3.Bảngđạohàmcáchàmsốsơcấpcơbảnvàhệquả
4.Ýnghĩahìnhhọccủađạohàmvàphươngtrìnhtiếptuyến
II.BI TẬP P DỤNG
Bài 1:Tínhđạohàmcủacáchàmsố
a)
3 2
y x 3x 3x 2   
;b)
4 2
y x 4x 1  
;c)
2x 1
y
x 2



;d)
2
x 2x 3
y
x 1
 


;
e)
3
y sin (2x 1) 

; f)
y cos x.sin x
;
Bài 2.Chứngminhrằng:
a.Vớihàmsốy=x.sinx,tacĩxy–2(y’–sinx)+xy”=0;
b.Chohàmsốy=cos(2x–1).Chứngminhrằng:y”+4y=0
Bài 3.Chohàmsốy=2x
2
+16cosx–cos2x
 a.Tínhy’,y”,y’(0),y”()
 b.Giảiphươngtrìnhy”(x)=0trên[0;2]
Bài 4.Chohàmsốy=x
3
+3x(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)trongcáctrường
hợp:
 a.Tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụcOx; 
 b.Tiếptuyếnsongsongđườngthẳngy=9x+1.
Bài 5.Chohàmsốy=x
3
+3x2(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C):
 a.Tạigiaođiểmcủa(C)vàđườngthẳngy=2;
 b.Tạiđiểmcóhoànhđộx=2

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố2
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I/ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1/ Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+MXĐD=?
+Tính:y
/
=,tìmnghiệmcủaptrìnhy
/
=0
+BBT(sắpcácnghiệmcủaPTy
/
=0vàgiátrịkhôngxácđịnhcủahàmsốtừtráisang
phảităngdần)
Chú ý:y
/
>0thìhàmsốtăng;y
/

<0thìhàmsốgiảm
+Kếtluậntươngứng:hàmsốđồngbiến,nghịchbiếntrênkhoảng 
2/ Tìm m để hàm số tăng (giảm) :
1. Hàm số bậc 3:( hàm số hữu tỷ2/1)
B1:TXĐ
B2:Tínhy’


B3:



CHÚ ý:Nếu hệ số a của y’ có chứa tham số th́ xét a = 0
2. Hàm số nhất biến:
ax b
y
cx d




B1:TXĐ
B2:Tínhy’


B3:



Bài 1.Xétchiềubiếnthiêncủacáchàmsốsau:

2
a) y 1 4x x  

3 2
1
b)y x 3x 8x 2
3
   

3 2
1
c) y x 3x 8x 2
3
   

4 2
d)y x 8x 2   

Bài 2.Tìmcáckhoảngđồngbiến,nghịchbiếncủacáchàmsốsau:
2
2 2
x x 2 1 x 2x 5
a) y b) y 4x 1 c) y d) y
2 x x 1 x 1 x 4
  
     
   

Bài 3.Chứngminhrằng:
a)Hàmsố

3 2
y x x 2x 3   
tăngtrênmiềnxácđịnhcủanó.
b)Hàmsố
2
x x 1
y
x 1
 


tăngtrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó.
c)Hàmsố
3 x
y
2x 1



nghịchbiếntrêntừmgkhoảngxácđịnhcủanó.
d)Hàmsố
2
y 2x x 
nghịchbiếntrên[1;2]
e)Hàmsố
2
y x 9 
đồngbiếntrênnữakhoảng

3; )

.
HàmsốtăngtrênR
HàmsốgiảmtrnR
a 0
: y' 0, x R
0


   

 


Giảitìmm
a 0
: y ' 0, x R
0


   

 


Giảitìmm
Hàmsốtăngtrêntừngkhoảngxd

Hàmsốgiảmtrêntừngkhoảngxd 
y' 0 


y' 0 

Giảitìmm
Giảitìmm
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố3
Bài 4.Vớigiátrịnàocủam,hàmsố
m
y x 2
x 1
  

đồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnh
củanó?
Bài 5.Vớigiátrịnàocủaa,hàmsố
3 2
1
y x 2x (2a 1)x 3a 2
3
      
nghịchbiếntrênR?
Bài 6.Chohàmsố
2
f (x) 2x x 2 

CMRhàmsốfđồngbiếntrênnữakhoảng[2;+

).
Bài 7. Chohàm số
3 2

f (x) x 3mx 3(2m 1)x 1    
xác địnhmsaochohàmsố ftăngtrên
MXĐ.
Bài 8.Chohàmsố
2
2x (m 1)x 2m 1
f (x)
x 1
   



a)Xácđịnhmđểhàmsốtăngtrongtừngkhoảngxácđịnh.
b)Xácđịnhmđểhàmsốtăngtrongkhoảng(0;+

)
Bài 9Tìmmđểhàmsố:
 a)
3 2
1
y x 2x mx 2
3
   
luônluônđồngbiếntrênmiềnxácđịnhcủanó
 b)
3 2 2
y x 2x mx m 4     
luônluônnghịchbiếntrênmiềnxácđịnhcủanó
 c)
2

x mx 1
y
x 1
 


luônluônđồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó
 d)
mx 4
y
x m



luônluônđồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó
 e)
   
3
2
x
y m 1 2x m 4 x m 2
3
      
luônnghịchbiếntrênR
Bài 10Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau
 a)
1
2 x 3 khix 1
x
  

 b)
2
x
1 cosx
2
 

 c)
3
x
x sinx xkhix 0
6
   
 d)
.sin cos 1    

Bài 11TìmmđểhàmsốsauluônđồngbiếntrênR

y 3sin x 4cosx mx 1   

Bài 12Tìmmđểhàmsốsauluônđồngbiếntrên(0;+∞)

   
3 2
1
y m 2 x m 2 x mx 2
3
     

II/ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Dấu hiệu cần:Hàmf(x)đạtcựctrịtạix
0
vàcóđạohàmtạix
0
thìf
/
(x
0
)=0
2. Tìm cực trị = dấu hiệu I:
+MXĐD=?
+Tính:y
/
=,tìmnghiệmcủaPTy
/
=0.
+BBT:(sắpcácnghiệmcủaPTy
/
=0vàgiátrịkhôngxácđịnhcủahàmsốtừtráisang
phảităngdần)
+Kếtluậncựctrị?
Chú ý:
1) Nếuhàmsốluôntăng(giảm)trong(a;b)thìkhôngcócựctrịtrong(a;b).
2) Sốcựctrịcủahàmsốbằngsốnghiệmđơn(y’đổidấukhixquanghiệmđó)
củaphươngtrìnhy
/
=0.
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố4
3) x

0
làcựctrịcủahàmsố
/
( ) 0
0
/
( )




y x
y x

3. Tìm cực trị = dấu hiệu II:
+MXĐ
+Đạohàm:y
/
=?
choy
/
=0=>cácnghiệmx
1
,x
2
… .(nếucó)
+Tínhy
//
=?.y
//

(x
1
);y
//
(x
2
)…….
Nếuy
//
(x
0
)>0thìhàmsốđạtCTtạix
0
;y
CT
=?
Nếuy
//
(x
0
)<0thìhàmsốđạtCĐtạix
0
;y
CĐ
=?
Chú ý :dấuhiệuIIdùngchonhữngh/smày
/
khóxétdấu
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu:
Chohàmsốy=f(x)

*Nếu
0
0
f '(x ) 0
f "(x ) 0





thìx=x
0
làđiểmcựcđại
*Nếu
0
0
f '(x ) 0
f "(x ) 0





thìx=x
0
làđiểmcựctiểu
*Nếu
0
0
f '(x ) 0

f "(x ) 0





thìx=x
0
làđiểmcựctrị
Ghi nhớ : +Hàmbậc3cócựctrị(cócựcđại,cựctiểu):y’=0cóhainghiệmphânbiệt


a 0
0



 


+Điềukiệnđểhàmbậc4có3cựctrị: y
/
=0có3nghiệmphânbiệt.
Một số ví dụ:
1/Chohàmsốy=mx
3
2mx
2
2.Tìmmđểhàmsốđạtcựctiểutạix=1
Giải:

 TXĐD=R
 Tacóy’=3x
2
–4mx;y’’=6x–4m
 Hàmsốđạtcựctiểutạix=1
 
 
y’ 1  0
y” 1  0








3 4m 0
6 4m 0
 


 


3
m 
3
4
m

3
4
m  
2




 






2/Chứngminhrằnghàmsốy=
 

2
2
x 2x m
x 2
luônluôncómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
Giải:
Tacó
 
 
2
2
2

x 2 2 m x 4
y '
x 1
   



Choy’=0–x
2
+2(2–m)x+4=0tacó
'
=(2–m)
2
+4>0m

y
/
=0luônluôncó2
nghiệmphânbiệt.Vậyhàmsốluôncómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
3/Địnhmđểhàmsốy=
 
   
3 2 2
x 3mx 3 m m x 1
cócựcđại,cựctiểu.
Giải
TxđD=Ry
/
=3x
2

–6mx+3(m
2
–m)
Đểhàmsốcócựcđại,cựctiểu

y
/
=0có2nghiệmphânbiệt


3x
2
–6mx+3(m
2
–m)=0có2nghiệmphânbiệt
đổidấuquax
0

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố5



/
0 


9m
2
–9m

2
+9m>0


m>0
vậym>0làgiátrịcầntìm.
BÀI TẬP
Bài 1Tìmcựctrịcủacáchàmsốsau:
2
2 3 2 4 3
x 2x 2 1
a) y 1 6x x b)y 2x 3x 12x 5 c) y d) y x x 3
x 1 4
 
           


3 2 3 2 4 3 2
e) y 2x 9x 12x 3 f ) y 5x 3x 4x 5 g) y 3x 4x 24x 48x 3
             
9
h) y x 3
x 2
  


2
2 2
x 8x 24 x
m) y n) y p) y x 3 x

x 4 x 4
 
   
 

Bài 2Địnhmđểy=
   
3 2 2 2
x 3mx 3 m 1 x m 1    
đạtcựcđạitạix=1.
Bài 3Chohàmsốy=
4
2
x
ax b
2
 
.Địnha,bđểhàmsốđạtcựctrịbằng–2tạix=1
Bài 4)Xácđịnhmđểhàmsố
2
x mx 1
y
x m
 


đạtcựcđạitạix=2.
Bài 5Chohàmsốy=
   
3 2

x m 1 x m 3 x 1    
.CMRhàmsốluôncócựcđạivàcựctiểu.
Bài 6 Địnhmđểhàmsốy=2x
3
–3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1cócựcđạivàcựctiểu.
Bài 7 Xácđịnhmđểhàmsốy=mx
3
+3x
2
+5x+2đạtcựctiểutạix=2.
Bài 8 Tìmmđểhàmsốy=–m
2
x
2
+2mx–3m+2cógiátrịcựcđạibằng3,vớim

0.
Bài 9Tìmcáchệsốa,b,csaochohàmsốf(x)=x
3
+ax
2
+bx+cđạtcựctiểutạiđiểm
x=1,f(1)=–3vàđồthịhàmsốcắttrụctungtạiđiểmcótungđộlà2.
Bài 10Chứngminhhàmsố
2
2
x 2x m
y

x 2
 


luônluôncómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
Bài 11Xácđịnhmđểcáchàmsốsaucócựctrị:
2
3 2
x mx 2
a) y x 2x mx 1 b) y
x 1
 
    


Bài 12Vớigiátrịnàocủathamsốmthìhàmsố
 
3 2
y m 3 x 2mx 3   
khôngcócựctrị
Bài 13Địnhmđểhàmsốy=f(x)=x
3
–3x
2
+3mx+3m+4
a.Khôngcócựctrị.    
b.Cóđồthị(C
m
)nhậnA(0;4)làmmộtđiểmcựctrị(đạtcựctrị4khix=0).
Bài 14Dùngquitắc1đểtìmcựctrịcủahàmsốsau

 a)
3 2
y x 3x 12x 5    
 b)
3
y 2x 3x 5  
  c)
3 2
y 2x 6x 8x 1   
 
 d)
4 2
y x 2x 2  
 e)
4 2
y x 4x 5  
 f)
3
y x 3x 1   

 g)
2
y x
x 1
 

h)
 
5
y x x 1 

  i)
y x 3 x 

 
Bài 15Dùngquitắc2đểtìmcựctrịcủahàmsốsau
 a)
3 2
y x 3x 9x 7   
 b)
3 2
y x 3x 2  
 c)
y sin2x x 
trên(0;2)
 
 d)
y 2sin x cos2x 
 e)
 
2
y sin x 3 cos x,(x 0; )   
 

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố6
Bài 16Tìmmđểcáchàmsốsauđâycócựctrị
 a)
   
3 2
1 1

y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
     
 b)
 
3 2
y x 2 m 3 x mx 2    

 c)
3 2
y x 3x 3mx 1 m    
  d)
2
x 3x m
y
x 4
  



Bài 17Tìmmđểhàmsốthoảđiềukiện
 a)
 
3 2
y x mx m 1 x 1    
đạtcựcđạihoặccựctiểutạix=2
 b)
   
3 2 2 2
1

y x m 1 x 3m 1 x m 1
3
      
đạtcựcđạitạix=2
 c)
 
3 2
1
y x mx 2 5m 8 x 1
3
    
đạtcựctiểutạix=2
 d)
 
3 2 2 2
y x 3mx 3 m 1 x m 1     
đạtcựcđạitạix=1
 e)
2
x mx 1
y
x m
 


đạtcựcđạitạix=2f)
2 2
x m x 4m
y
x 1

 


đạtcựctiểutạix=1
Bài 18Tìmmđểhàmsố
 a)
3 2
y mx 3mx 3x 1   
cócựcđại,cựctiểu
 b)
 
2
x m 2 x m
y
x 1
  


cócựcđại,cựctiểu
 c)
2
x x m
y
x 1
 


cóhaicựctrịtráidấu
 d)
 

3 2
y x 6x 3 m 2 x m 6     
cóhaicựctrịcùngdấu
Bài 19Tìmavàbđểhàmsố
4
2
x
y ax b
2
  
đạtcựcđạibằng2tạix=1
Bài 20Chohmsố
2
x x m 1
y
x 1
  


.Tìmmđểhàmsố:
 a)cóhaicựctrị b)cóhaicựctrịcùngdấu
 c)Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquahaiđiểmcựcđạivàcựctiểu.
Bi 21Chohmsố
 
   
3 2 2 2
y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1       

Tìmmđểhàmsốđạtcựctrịtạihaiđiểmx
1

,x
2
thoảđiềukiện
1 2
1 2
1 1 1
(x x )
x x 2
  
(Đ/S
:m=5)
Bài 22Tìmmđểhàmsốsaucócựctrị
3 2
y x 2x mx 1   

Bài 23Chohàmsố
 
3 2
1
y x mx 2m 3 x 2
3
    

 a)Xácđịnhmđểhàmsốcócựctrị
 b)Xácđịnhmđểhàmsốđạtcựctrịtạix=2
III / GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HAM SỐ
Phương pháp giải: 
1/Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một khoảng :
-Tìm tập xác định .(nếu cho khoảng trước thì bỏ qua bước tìm TXD)
 Tàiliệutoán12

Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố7
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định nhưng tại đó hàm
số
liên tục , tính giá trị của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên

GTLN, GTNN.
2 /Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định
nhưng tại đó hàm số liên tục. Giả sử các điểm đó là x
1
, x
2
,…, x
n

-Tính các giá trị f(a), f(x
1
), f(x
2
),…., f(x
n
) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa
tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a)Tìmgiátrịlớnnhất&giátrịnhỏnhấtcủahàmsốy=

2
2x x
trên(0;2)

b)Tìmgiátrịlớnnhất&giátrịnhỏnhấtcủahàmsố b/y=
 
2
x x 1
x
trên[
1
2
;2]
Giải:
a)y
/
=


2
1 x
2x x
choy
/
=0

1–x=0

x=1

y=1
Bảngbiếnthiên
x 012
y

/
+0-
y 1
CĐ
Vậy

(0;2)
maxy 1
;
(0;2)
miny
:khôngcó
b)y
/
=

2
2
x 1
x
choy
/
=0

x
2
-1=0




 
 

 
 


 
  

 

 

1
x 1 ;2
2
1
x 1 ;2
2
Tacóy(
1
)
2
=
7
2
;y(1)=3;y(2)=
7
2


Vậy

1
[ ;2]
2
7
miny
2


1
[ ;2]
2
maxy 3

BÀI TẬP
Bài 1.TìmGTLNcủacáchàmsốsau:
2 3 4
a) y 1 8x 2x b) y 4x 3x
    

Bài 2.TìmGTNNcủacáchàmsốsau:
2
2
(x 2) 2
a) y (x 0) b) y x (x 0)
x x

    


Bài 3.TìmGTLN-GTNNcủacáchàmsốsau:
3 2 2
a) y x 6x 9x x [0;4] b) y 1 4x x x [ 1;3]
        

2
c)y x 2 x x [ 2; 2] d)y sin2x x x [ ; ]
2 2
 
        

3 2 3
e)y x 3x 9x 1 x [ 4;4] f)y x 5x 4 x [ 3;1]
        

4 2
x
g) y x 8x 16 x [ 1;3] h) y x ( 2;4]
x 2
       


2
1
m) y x 2 x (1; ) n) y x 1 x
x 1
      



Bài 4.TìmGTLN-GTNNcủacáchàmsốsau:
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố8
a)y=x–5+
2
4 x
. b)y=x
2
1 x
c)y=
2 x
1 x


trên[–3;–2]d)y=
2
x
1 x

f)y=x
2
–ln(1–2x)trên[–2;0]g)y=cos
3
x–6cos
2
x+9cosx+5;h)y=sin
3
x–cos2x+
sinx+2.
Bài 5Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủacáchàmsố

 a)
2
16
y x ,(x>0)
x
 
b)
4 3
y 3x 4x 2   
c)
2
x x 1
y
x 1
 


trênkhoảng(1;
+) 
Bài 6Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủacáchàmsố
 a)
3 2
y x 8x 16x 9   
trênđoạn[1;3](TN2007NC)
 b)
3
y x 3x 1  
trênđoạn[0;2](TN2007CB)
 c)
y x 2 cos x

 
trênđoạn[0;
2

](TN2008)
 d)
4 2
y x 2x 1  
trênđoạn[0;2](TN2008CB)
 e)
2 x
y x .e

trênđoạn[3;2]f)
y 2 cos2x 4sin x
 
trênđoạn[0;
2

]
 g)
3
4
y 2sin x sin x
3
 
trênđoạn[0;] h)
y x 2 4 x   

Bài 7Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủacáchàmsố

 a)
2
x
y
x 1


b)y=x+
4
x
trênđoạn[1;4]
 c)
2
y x 4 x  
d)
2
y x 3x 2  
trnđoạn
 
10;10

 e)y=cos
2
x+cosx
 
 f)y=
2x 1
x 3



trênđoạn[0;2]
 g)
2
y x 4x 3  
trênđoạn
 
1;2


*TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Tiệm cận ngang.
y=y
0
làtiêmcậnngangcủađồthịhàmsốy=f(x)nếutồntạiítnhấtmộttrongcác
giớihạnsauđây:
0
x
lim f (x) y


;
0
x
lim f (x) y



+ Tiệm cận đứng.
x=x

0
làtiêmcậnngangcủađồthịhàmsốy=f(x)nếutồntạiítnhấtmộttrongcác
giớihạnsauđây:
o o o o
x x x x x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)
   
   
       

IV / DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1 / Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1:TXD:D=R.
B2: Tínhy’,tìmnghiệmcủaphươngtrìnhy’=0
Kếtluậnvềtínhđơnđiệuvàcựctrịcủahàmsố.
B3:Tìm
lim
y
x


?
B4:Lậpbảngbiếnthiên



x Ghitậpxácđịnhvànghiệmcủaphươngtrìnhy
/
=0

y’ Xétdấuy
/
y Ghikhoảngtăng,giảm,cựctrịcủahàmsố

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố9
B5:Tìmđiểmđặcbiệt
B6:Vẽđồthị
Cácdạngđồthịhàmbậc3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d













y' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
a 0

y' 0 x

a 0
 










y' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
a 0

y' 0 x
a 0
 





Chú ý:Đồthịhàmbậc3luônnhậnđiểmuốnIlàmtâmđốixứng.
Cácdạngđồthịhàmtrùngphương: y = ax
4
+ bx
2
+ c











y' 0 coù 3 nghieäm phaân bieät
a 0






y' 0 coù 1 nghieäm ñôn
a 0






y' 0 coù 3 nghieäm phaân bieät
a 0







y' 0 coù 1 nghieäm ñôn
a 0

Chú ý:Đồthịhàmtrùngphươngluônnhậntrụcoylàmtrụcđốixứng.

2/ Ví dụ 1:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốy=x
3
+3x
2
–4
Giải:
°Tậpxácđịnh:D=R
°
y

=3x
2
+6x=3x(x+2),cho
   


 

   

x 0 y 4
y 0

x 2 y 0

°Giớihạn:

 
x
limy
,

 
x
limy

°Bảngbiếnthiên.
x

20+


y
/
+00+
y 0CT+




CĐ4
Hàmsốđồngbiếntrêncáckhoảng(;2);(0;+)vànghịchbiếntrênkhoảng(2;0)
HàmsốđạtCĐtạix=2;y

CĐ
=0.Hàmsốđạtcựctiểutạix=0;y
CT
=4
°Điểmđặcbiệt
x
31
y
40

°Vẽđồthịhàmsố:
Ví dụ 2:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị hàmsố:y=2x
2
–x
4
°TXĐ:D=R
°
y

=4x–4x
3
cho

y
=0

4x–4x
3
=0


x = 0 y=0
x = 1 y=1



 


°Giớihạn:

 
x
limy

2
-2
-4
x
y
14 -2
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố10
°Bảngbiếnthiên:
x

101+


y
/

+00+0
y 1CT1


CĐ0CĐ



hàmsốđồngbiếntrêncáckhoảng(

;1);(0;1)vànghịchbiếntrêncáckhoảng(1;0);
(1;+)
hàmsốđạtCĐtạix=1;y
CĐ
=1.hàmsốđạtcựctiểutạix=0;y
CT
=0

°Điểmđặcbiệt
x

2

2

y 00

°Đồthị:

3/ Bài tập:

Bài 1:Khảosátcáchàmsốsau:
a/y=x
3
–3x
2
b/y=x
3
+3x–2c/y=x
3
+3x
2
+4x-8
d/y=x
4
–6x
2
+5e/y=
1
4
x
4
+2x
2
+
9
4
f/y=x
4
+2x
2

Bài 2:
a/Chohàmsốy=x
3
–3mx
2
+4m
3
.Khảosátvẽđồthị(C)củahàmsốkhim=1.
b/Chohàmsốy=x
4
–mx
2
+4m11.Khảosátvẽđồthị(C)củahàmsốkhim=4.
2/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm 



ax b
y
cx d

B1:TXĐD=R\
 

 
 
d
c


B2:Tínhđạohàmy’=
 


2
a.d b.c
cx d

B3:Giớihạnvàtiệmcận
Tiệmcậnđứnglàx=
d
c
Tínhghạnbêntrái,phảicủaykhix


d
c

Tiệmcậnnganglà:

a
y
c



x
a
lim y
c


B4:Lậpbảngbiếnthiên.
X Ghimiềnxácđịnhcủahàmsố
y’ Xétdấuy
/
Y Ghikhoảngtănggiảmcủahàmsố
Kếtluậnvềtínhđơnđiệuvàcựctrịcủahàmsố.
B5:Điểmđặcbiệt
x 0?
y ?0



2
-2
x
y
1
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố11
x
-


–
1+


y
/

++
y +

2
2-



B6:Vẽđồthị
Dạng đồ thị hàm
y’<0
x D 
y’>0
x D 





Chú ý:ĐồthịhàmnhấtbiếnluônnhậngiaođiểmIcủahaitiệmcậnlàmtâmđốixứng.
2/ Ví dụ:Khảosáthàmsố:y=


2x 2
x 1
.
°TXĐ:D=R\
 
1


°
y

=
 

2
4
x 1
>0
 x
D.
°Giớihạnvàtiệmcận
TCĐ:x=–1

 
 
x ( 1)
lim y


 
 
x ( 1)
limy
  TCN:y=2


x
limy 2


°Bảngbiếnthiên.






Hàmsốđồngbiếntrêntừngkhỏang(-

;-1)và(-1;+

).Hàmsốkhôngcócựctrị
°Điểmđặcbiệt
x 01
y –20

°Đồthị:
Bài tập:
Bài 1: khảosátcáchàmsốsau:
a/y=
 

x 2
2x 1
b/y=


x 1
x 1

.c/y=

4
x 4

Bài 2: Chohàmsốy=
 

mx m 1
x m
khảosáthàmsốkhim=2.
Bài 1Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủacáchàmsốsau:
 a)
3 2
y x 6x 9x  
b)
3 2
y x 3x 2  
  c)
3
y x 3x 1   
 
 d)
3 2
y x 3x 4x 1    
e)
3 2
1
y x 2x 4x 1
3

   
 
Bài 2Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủacáchàmsốsau:
a)
4 2
y x 2x
 
b)
4 2
y x 2x 2   
c)
4 2
1
y x x 1
2
  
 d)
4 2
1 3
y x 2x
4 4
  

Bài 3Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủacáchàmsốsau
 a)
2x 1
y
x 1




 b)
x 1
y
x 2



 c)
2x
y
x 1


 d)
x 1
y
x 1




V / MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/Bài toán1: Sự tương giao của hai đồ thị :
2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2

-4
-6
-8
x
y
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố12
6
4
2
-2
5
x
y
 Chohàmsố:y=f(x)cóđồthị(C),y=g(x)cóđồthị(C’).Tìmgiaođiểmcủa(C)và(C’).
 Phương pháp giải:
B1:Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa(C)và(C’):f(x)=g(x)(1)
B2: Giải(1)giảsửnghiệmcủaphươngtrìnhlàx
0
,x
1
,x
2
...thìcácgiaođiểmcủa(C)và
(C’)là:M
0
(x
0
;f(x
0

));M
1
(x
1
;f(x
1
));M
2
(x
2
;f(x
2
))...
Chú ý: Sốnghiệmcủaphươngtrình(1)chínhlàsốgiaođiểmcủa(C)và(C’).
Vídụ1:Chohàmsố
3 2x
y
x 1




1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốđãcho.
2. Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốmđểđườngthẳngy=mx+2cắtđồthịcủahàm
sốđãchotạihaiđiểmphânbiệt.
Giải:
2/Đườngthẳngy=mx+2cắtđồthịtạihaiđiểmphânbiệt
Phươngtrình
3 2x
= mx+2

x 1


cóhainghiệmphânbiệt
Phươngtrìnhmx
2
–(m–4)x–5=0cóhainghiệmphânbiệt,khác1

2
2
2
m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

  






          

 
  





   




Vídụ3:CMRđườngthẳngd:y=mluôncắt(C):y=
1
1
2


x
xx
tại2điểmphânbiệtvới
mọigiátrịcủam
Giải
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
2
x x 1
x 1
  

=m(x1)
x
2
+x+1=m(x1)x

2
+(m1)x–(1+m)=0(1)
Đặtg(x)=x
2
+(m1)x–(1+m),g(1)=10
=m
2
+2m+5=(m+1)
2
+4>0m
Dođópt(1)luôncó2nghiệmphânbiệtkhác1.Vậydvà(C)luôncắtnhautai2điểmphânbiệt.
II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
 Dùngđồthịbiệnluậnsốnghiệmcủaphươngtrình(x,m)=0.
 Phương pháp giải
(đồthị(C)củahàmf(x)Thườngđãcótrongbàitoánkhảosáthàmsố)
B1:Đưaptvề:f(x)=g(m)(1)
B2:Sốnghiệmcủaphươngtrình(1)bằngsốgiaođiểmcủa2đườngy=f(x)vày=g(m).
Tùytheomdựavàosốgiaođiểmđểkếtluậnsốnghiệm.
Ví dụ:
Cho hàmsố y=x
3
 –6x
2
 + 9x(C). Dùngđồ thị(C)
biệnluậnsốnghiệmcủaphươngtrình
x
3
–6x
2
+9x–m=0

Giải:
Phươngtrìnhx
3
–6x
2
+9x–m=0

x
3
–6x
2
+9x=m
Sốnghiệmcủaphươngtrìnhlàsốgiao
điểmcủađồthị(C)vàđườngthẳngd:y=m.
dựavàođồthịtacó:
Nếum<0phươngtrìnhcó1nghiệm.
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố13
Nếum=0phươngtrìnhcó2nghiệm.
Nếu0<m<4phươngtrìnhcó3nghiệm
Nếum=4phươngtrìnhcó2nghiệm.
Nếum>4phươngtrìnhcó1nghiệm.
.Bài tập

Bài 1:a/Khảosáthàmsốy=x
4
–4x
2
+5.
b/Dùngđồthị(C)củahàmsốvừakhảosátbiệnluậntheomsốnghiệmcủa

phươngtrình:x
4
–4x
2
+5=m.
Bài 2: Chohàmsốy=x
3
3x–2cóđồthị(C)
a/Khảosátvàvẽđồthịhàmsố.
b/Dùngđồthị(C),địnhmđểphươngtrình:x
3
3x–2=mcó3nghiệmphânbiệt.

III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Chohàmsốy=f(x)cóđồthị(C).Tacầnviếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđồthị(C)trongcác
trườnghợpsau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B 1:Tìmf’(x)

f’(x
0
)
B 2:Phươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)tạiđiểm(x
0
;f(x
0

))

là:y=
/
0
f (x )
(x–x
0
)+f(x
0
)
Chú ý :
/
0
f (x )
làhệsốgóccủatiếptuyến.(d:y=ax+b:ađglhệsốgóccủađườngthẳngd)
2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x
0
:
B1:Tìmf’(x)

f’(x
0
),y
0
=f(x
0
)
B2:Phươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)tạiđiểmcóhoànhđộx
0

là:y=
/
0
f (x )
(x–x
0
)+y
0

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y
0
:
B1:Tìmf’(x).
B2:Dotungđộlày
0

f(x
0
)=y
0
.giảiphươngtrìnhnàytìmđượcx
0

f
/
(x
0
)
B3:Phươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)tạiđiểmcótungđộy
0

là:y=
/
0
f (x )
(x–x
0
)+y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1:GọiM
0
(x
0
;y
0
)làtiếpđiểm.
B2:Hệsốgóctiếptuyếnlàknên:
)(
0
xf

=k(*)
B3:Giảiphươngtrình(*)tìmx
0


y
0
=f(x
0

)

phươngtrìnhtiếptuyếny=k(xx
0
)+y
0

Chú ý:Tiếptuyếnsongsongvớiđườngthẳngy=ax+bthìcóf
/
(x
0
)=a.
 Tiếptuyếnvuônggócvớiđườngthẳngy=ax+bthìcóf
/
(x
0
).a=1

0
1
f '(x )
a



Ví dụ 1:
Chođườngcong(C)y=x
3
.Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđườngcong:
a.TạiđiểmA(1;1)b.Tạiđiểmcóhoànhđộbằng–2

c.Tạiđiểmcótungđộbằng–8d.Biếtrằnghệsốgóccủatiếptuyếnbằng3.
Giải:
Tacóy’=3.x
2

a/TiếptuyếntạiA(1;1)
( )C
có
0
0
x 1
f(x ) 1
 


 

f’(x
0
)=3.(1)
2
=3phươngtrìnhtiếp
tuyếnlà:y=f’(x
0
)(x–x
0
)+f(x
0
)=3.(x+1)+(1)
b/Tacóx

0
=2

  

 

f( 2) 8
f '( 2) 12
Ph.trìnhtiếptuyếnlày=12(x+2)–8=12x+16
c/Tacótungđộbằngy
0
=–8

f(x
0
)=8


3
0
x
=8

x
0
=2

f’(x
0

)=12

Phươngtrìnhtiếptuyếnlà:y=12(x+2)–8=12x+16
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố14
d/Hệsốgóccủatiếptuyếnbằng3

f’(x
0
)=3

3.
2
0
x
=3



x
0
=

1
vớix
0
=1

f(1)=1


Phươngtrìnhtiếptuyếnlà:y=3(x1)+1=3x2.
vớix
0
=1

f(1)=1

Phươngtrìnhtiếptuyếnlà:y=3(x+1)1=3x+2.
Bài tập
Bài 1:Chohàmsốy=x
3
3x
2
cóđồthị(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)
a/Tạicácgiaođiểmvớitrụchoành.b/Tạiđiểmcóhoànhđộ=4.
c/Biếttiếptuyếncóhệsốgóck=3.d/Biếttiếptuyếnsongsongvớiđườngthẳngy=9x
e/Biếttiếptuyếnvuônggócvớiđườngthẳngy=
1
3
x
Bài 2:Chohàmsốy=
 

2
x x
x 1
cóđồthị(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)
a/Tạicácgiaođiểmvớitrụchoành.b/Tạiđiểmcóhoànhđộ=2.
c/Tạiđiểmcótungđộy=
3

2
.d/Biếttiếptuyếncóhệsốgóck=1
VI)TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
a) CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN
B1:GọiM(x;y)làđiểmthuộcđồthịcótọađộnguyện
B2:Biếnphươngtrìnhcủađồthịvềdạngy–p(x)=
c
Q(x)

B3Q(x)làướccủactìmx
B4Tìmy
B5KL
b) ĐIỂM CỐ ĐỊNH
B1GoiM(x;y)làđiểmcốđịnh
B2BiếnđổiphươngtrìnhcủađồthịhàmsốvềdạngmA(x)+B(x;y)=0
B3Tọađộcủađiểmcốđịnhlànghiệmcủahệphươngtrình
A(x) 0
B(x) 0






Bài 1Tìmtrênđồthị(C)củahàmsố
2x 1
y
x 1




nhữngđiểmcótoạđộnguyên
Bài 2Tìmtrênđồthị(C)củahàmsố
x 1
y
x 2



nhữngđiểmcótoạđộnguyên
Bài 3Tìmcácđiểmmàhọcácđườngcongluônđiquakhimthayđổi
 a)
 
 
 
3 2 2
y x m 1 x 2m 3m 2 x 2m 2m 1       

 b)
   
3 2
y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1     

Bài 4TìmđiểmMtrênđồthị(C)củahàmsố
3 2
y x 3x
 
màtạiđótiếptuyếncủa(C)
vuônggócvớiđườngthẳngd:
1

y x
9


BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1)Chohàmsốy=x
3
–4x
2
+4xcóđồthị(C).
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽ(C).
b)Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi(C)trụcOxvà2đườngthẳngx=1vàx=3
c)Biệnluậntheoksốnghiệmcủaphươngtrình:x
3
–4x
2
+4x=k
d)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)tạiA(1;1)
Bài 2)Chohàmsốy=
3 2
1
x 2x 3x 1
3
   
cóđồthị(C)
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽ(C).
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố15
b)Tìmgiátrịcủamsaochophươngtrình
3 2

1
x 2x 3x m 0
3
   
có3nghiệmphânbiệt.
c)Tìmcáctiếptuyếncủa(C)songsongvớicácđườngthẳngy=
3
x
4

Bài 3)Chohàmsốy=f(x)=x
3
–3mx
2
+3(2m1)x+1(1)(mlàthamsố)
a)Xácđịnhmsaochohàmsố(1)tăngtrênmiềnxácđịnh.
b)Xácđịnhmsaochohàmsố(1)cómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
c)Khảosátvàvẽ(C)khim=1.
Bài 4)Chohàmsốy=
3 2
x 6x 9x 1  
cóđồthị(C)
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽ(C).
b)Tìmgiaođiểmcủa(C)vàđườngthẳngy=3.
c)ViếtPTTTcủa(C)biếthệsốgóccủatiếptuyếnbằng9
d)Tìmmđểphươngtrình
3 2
2x 12x 18x 2m
  
có1nghiệm

Bài 5)Chohàmsố
4 2
1 3
y x 3x
2 2
  

a)Khảosátvàvẽ(C):
b)ViếtPTTTcủa(C)tạiđiểmcóhoànhđộbằng3thuộc(C)
c)Biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình:x
4
+6x
2
3+2m=0
Bài 6)Chohàmsốy=f(x)=x
4
+2mx
2
2m+1(mlàthamsố)(1)
a)Biệnluậntheomsốcựctrịcủahàmsố(1)
b)Tìmmđểhàmsố(1)đạtcựctrịtạix=1
c)Khảosátvàvẽ(C)khim=5.
Bài 7)Cho(C):y=f(x)=x
4
4x
2
1
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố(C)
b)Tìmkđểpt3x
4

+12x
2
+3k=0có4nghiệmphânbiệt 
c)Viếtptttcủa(C)tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụctung
d)Giảibptf’’(x)<4x
Bài 8)Chohàmsố
x 3
y
x 1



cóđồthị(C)
a)Khảosátvàvẽ(C).
b)ViếtPTTTcủa(C)tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụctung
c)Chứngminhđườngthẳngy=2x+mluôncắt(C)tạihaiđiểmphânbiệt
Bài 9)Chohmsố(C
m
):y=
m x 1
2 x m


(1)
a) Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủathamsốm,hàmsố(1)luônđồngbiếntrênmỗi
khoảngxácđịnhcủanó
b) Xácđịnhmđểtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố(1)điquaA(1;
2
).
c)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahmsốkhim=2

d)Viếtptttcủa(C)biếtttđóvuônggócvớid:y=
6
1
x+10
Bài 10)Chohmsố(C
m
):y=
(m 1)x 2m 1
x 1
  


a)Vớigiátrịnàocủam,đồthịcủahàmsố(C
m
)điquađiểmB(0;1)
b)ĐịnhmđểtiệmcậnngangcủađồthịđiquađiểmC(
3
;3)
c)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố(C)khim=0
d)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)tạigiaođiểmcủanóvớitrụchoành
e)Tìmmđểđty=2x+mcắt(C)tạihaiđiểmphân
Bài 11)Chohmsố(C):y=
x 1
x 3



 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố16
a)Khảosátvàvẽđồthị(C)

b)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)biếthệsốgĩccủatiếptuyếnbằng4
c)CMRđườngthẳngd:y=x–2mluôncắt(C)tại2điểmphânbiệt

CHỦ ĐỀ 2: PT MŨ VÀ LOGARIT

*a>1a
x
>a
t
x>t
*0<a<1a
x
>a
t
x<t.

*0<a<b





0xba
0xba
xx
xx


 a
m

.a
n
=a
m+n
. (a
m
)
n
=a
m.n


n
m
a
a
=a
m-n
. (ab)
n
=a
n
.b
n


n
n
n
b

a
b
a







.

nnn
b.aab 
. 
k.n
n
k
aa 
.

n
n
n
b
a
b
a

.(b


0)

n.m k.m
a
n
k
a


n
kk
n
a)a( 
(m;n;kN
*
;a0;b0)
log
a
x(cơsốa:0<a1vx>0)
 y=log
a
xx=a
y
.

 Log
a
1=0;log
a

a=1.
 log
a
b>0





1;0
1;1
ba
ba
;log
a
b<0





1;10
10;1
ba
ba
.
 0<a<b<1V1<a<b






1xxlx
1x0xlx
ba
ba
oglog
oglog
.
+x=
xlog
a
a
(x>0)
+x=log
a
a
x
.(x)
+log
a
(x
1
.x
2
)=log
a
x
1
+log

a
x
2
(x
1
>0;

x
2
>
0)
+log
a
(x
1
.x
2. .
x
n
) =log
a
x
1
+ log
a
x
2
+ . . .
+log
a

x
n

(x
i
>0;i=1;2;…;n)
Nếubc>0thì:
+log
a
(b.c)=log
a
b.c=log
a
b+log
a
c.
+
2
1
a
x
x
log
=log
a
x
1
log
a
x

2
(x
1
>0
;
x
2
>0)
+
x
1
log
a
=

log
a
x(x

>0)
+log
a
x

=.log
a
x(x>0;R)
+
n
a

xlog
=
n
1
log
a
x.
+log
b
x=
blog
xlog
a
a
(x>0;0<a;b1)
(CTđổicơsố)
+log
a
b.log
b
a=1haylog
a
b=
alog
1
b
.
+




1
xlog
a
.log
a
x;
n
m
xlog
m
a
n

.log
a
x
+
clog
b
a
=
alog
b
c
.
Bài1/Giảicácphươngtrìnhsau:
a)
4 5.2 4 0 


x x
;  
b)
1
4 2.2 3 0

  
x x

c) 25
x
–7.5
x
+6=0
d)
1 2
4 2 3 0.
 
  
x x

e)
2 1
3 9.3 6 0

  
x x

f)
2 2

2 9.2 2 0

  
x x

g)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
 
  
x x

h)
1 1
3 3 10
 
 
x x

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố17
i) 3
x
+3
x+1
+3
x+2
=351 
j) 4
x

+10
x
=2.25
x
;
k) 4.9
x
+12
x
–3.16
x
=0;
l) 4
x
–6.2
x+1
+32=0 
m)
093283
22
122

 xxxx
.

n)
43232 















xx

o)
   
0221212 
xx

p)
   
6223223 
tgxtgx

Bài2/Giảicácphươngtrìnhsau:
a) lg
2
x–lgx
3
+2=0 ; 
b)

2
3
3
log log 9 9 
x x
;
c)
2
2 4
log 6log 4 
x x

d)
2 2
log ( 3) log ( 1) 3   
x x
; 
e)
2
3
2 2
4 0
log log
  
x x
;
f)
16 17.4 16 0  
x x


g)
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1

  
x x
; 
h)
4 2
log log (4 ) 5 
x x
  
i)
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5   
x x

j) 
 
9 3
log log 4 5 
x x
;  
k)
3 3 1
2
log ( 1) log (2 1) log 16 0    
x x


l)
 
xlog
x
 145
5
; 
m)
2 4
log log ( 3) 2  
x x

n)
x x 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 12

  
;

o)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 6

  
x x

p) log
3

 
3 1
x
.log
3
 
1
3 3


x
=6;
 
q)
2 2
2 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0    
x x

Bài3/Giảicácbấtphươngtrìnhsau:
a)
2
0,2 0,2
log log 6 0  
x x
;  
b) log(x
2
–x-2)<2log(3-x);
c)

log ( 3) log ( 2) 1
2 2
   
x x

d) log
x
(log
3
(9
x
-72))1;
 
e)
11252
5

x
logxlog

f)
0,5
2 1
2
5
log



x

x
;  
g) log
3
 
2
x

log
9
 
2
x

h)
2 2
2 2
log 5 3log 
x x

i)
2
0,5 0,5
log log 2 0  
x x
; 
j)
2
8
log 4 3 1

 
  
 
x x
4
7
log 2 log 0
6
  
x
x
  
k)
 
3
8
2
4
1 xlogxlog
1;
 
l) 
 
4
3
16
13
13
4
14




x
x
loglog
;
 
m) 
n)
   
12lg
2
1
3lg
22
 xxx
;
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố18
o)
 
06log1log2log
2
4
1
2
1

xx

2 3
3 2 3 2
log log (8 ).log log 0  
x x x x
;
  
p)
   
xxx
2.32log44log
12
2
1
2
1



Bài4/Giảicácbấtphươngtrìnhsau:
a)
1
4 3.2 8 0

  
x x
;  b)
2
2 3
3 4
4 3


 

 
 
x x
;  c)
2
3
2 9
1
3 25

 

 
 
x x
  
d)
   
06140252
1


,,,
xx
 e)
2
4 6

1 1
3 27
 
 

 
 
x x
 f)2.14
x
+3.49
x
-4
x
0

Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố19
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.
NGUYÊN HÀM
Tính chất của nguyên hàm
*Tínhchất1:
   
'
f x dx f x C 


*Tínhchất2:
   
kf x dx k f x dx


 
(klhằngsốkhc0)
*Tínhchất3:
   
 
   
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

BẢNGCÁCNGUYÊNHÀM
Nguyênhàmcủahàmsốsơcấp Nguyênhàmmởrộng
0
dx C


dx x C 


 
1
1
1
x
x dx C






   



 
1
ln 0
dx x C x
x
  


x x
e dx e C 


 
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
   


cos sin
xdx x C 



sin cos
xdx x C  


2
1
tan
cos
dx x C
x
 


2
1
cot
sin
dx x C
x
  




 
 
 
1

1
1
1
ax b
ax b dx C
a






    



1 1
ln
dx ax b C
ax b a
  



1
ax b ax b
e dx e C
a
 
 



 
1
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a a
 
 


   


   
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
   


   
1
sin cos
ax b dx ax b C

a
    


 
 
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
  



 
 
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
   



Phương pháp tính nguyên hàm
*Phương pháp đổi biến số

-Định lý 1:Nếu
   
f u du F u C 

v
 
u u x

làhàmsốcóđạohàmliêntụcthì
 
 
   
 
'
f u x u x dx F u x C 


*Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
-Định lý 2:Nếuhaihmsố
 
u u x

v
 
v v x

cóđạohàmliêntụctrênKthì
           
' '
u x v x dx u x v x u x v x dx

 
 

hay   
udv uv vdu
 
 

Phân tích các hàm số để đặt u và dv
Dạng 1:
 
sin
cos
ax
ax
f x ax dx
e
 
 
 
 
 

 với
 
f x
làđathức
Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố20
Đặt

   
'
sin sin
cos cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v ax dx
e e
  
 
   
 

 
   
 
 
   
 
   
   
 


Dạng 2:
   
ln
f x ax b dx




Đặt
 
 
 
ln
a
du dx
u ax b
ax b
dv f x dx
v f x dx


 

 


 








Dạng 3:

sin
cos
ax
ax
e dx
ax
 
 
 


Đặt
ax
u e
rồithựchiệntừngphầnhailần.
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
Bài 1.Tìmnguyênhàmcủacáchàmsốsau:
1/
 
4 3
4 3 1x x x dx
  

 2/


3 2
4 2x x dx
 


 3/
5
3
1
x x
dx
x
 


4/
1
1
x
x
e
e dx
x

 

 

 

  5/
 
2 1
5 .3 .2
x x x

dx


  6/
1
1 3
dx
x



7/
2
1
1
dx
x


   8/
2
1
2 1
dx
x x
 

  9/
2
3 4

2
x x
dx
x
 



10/
2
3 2 1
4
x x
dx
x
 


  11/
2
3
2 1
x
dx
x x

 

  12/
 

3 4 1 5
4
x x
e dx
 



13/
2 2
1
sin .cos
dx
x x

  14/
cos3 cos5
x xdx

  15/
2
cot
xdx

  
16/
3 2
x
x
dx

e


   17/
 
2
2 3
x x
dx


  18/
2
1 cos 2
cos
x
dx
x


 
Bài 2.Tínhcácnguyênhàmsaubằngphươngphápđổibiếnsố:
1/
1
2 1
dx
x 

  2/
1

1
x
dx
e


   3/
2
2 1
1
x
dx
x x

 



4/
2
3
x
dx
x 

  5/
1
x x
dx
e e




  6/
2
sin2
1 cos
x
dx
x


 
7/
1
x
x
e
dx
e


   8/
3
2 3
1
x x dx


  9/

2
x
xe dx



10/
 
1
1
dx
x x


  11/
2
1 1
sin .
dx
x x

  12/
 
2
ln 1x
dx
x




13/
1
1
dx
x


  14/
3
2
sin
cos
x
dx
x

  15/
4
cos sin
x xdx


16/
cos sin
sin cos
x x
dx
x x




 17/
cos
2 sin
x
xdx

  18/
 
7
5
x x dx



Bài 3Dùngphươngpháptínhnguyênhàmtừngphần,hãytính:
1/
 
1 2
x
x e dx


  2/
x
xe dx


   3/
 

1 4 ln
x xdx



Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố21
4/
 
2 3 sin
x xdx


  5/
 
ln 4 1x dx


  6/
 
2 2x
x x e dx




7/
 
2 3
x

x dx


  8/
   
1 cos 3 2
x x dx
 

 9/
1 3
cos .
x
x e dx



10/
2
sin
x
dx
x

  11/
 
2
ln sin
cos
x

dx
x

  12/
2
sin
x xdx


13/
2
ln
x xdx

  14/
3 x
x e dx

   15/
2
cos
x x dx


TÍCH PHÂN
Định nghĩa:
       
b
b
a

a
F x dx F x F b F a
  


Cc tính chất
*Tính chất 1:
   
b b
a a
kf x dx k f x dx

 
 (klhằngsố)
*Tính chất 2:
       
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
   
 
  

*Tính chất 3:
     
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 
  


 
a c b 

Phương pháp tính tích phân
*Phương pháp đổi biến số
Dạng 1:Tính
   
'
b
a
I f u x u x dx
  
 


Đặt
   
'
t u x dt u x dx
  

Đổicận
 
 
x a t u a
x b t u b
  



  



     
 
 
'
b u b
a u a
I f u x u x dx f t dt
  
 
 
 

Dạng 2:Tính
 
b
a
I f x dx



Đặt
   
'
x u t dx u t dt
  


Đổicận
 
 
a u t t
b u t t


  



  



   
 
 
'
b
a
I f x dx f u t u t dt


  
 

Ch ý:Dạng2thườngápdụngchocáctíchphâncóchứa:
2 2
a x

;
2 2
1
a x
tađặt
sinx a t

2 2
x a
;
2 2
1
x a

tađặt
cos
a
x
t


2 2
a x
;
2 2
1
a x
tađặt
tanx a t


* Phương pháp tích phân từng phần
Nếu
   
,
u u x v v x
 
làhaihàmsốcóđạohàmliêntụctrên
 
;a b
thì
.
b b
b
a
a a
I udv u v vdu
  
 

Chú ý:Dấuhiệunhậnbiếtđặtuvàdvtươngtựnhưnguyênhàm.

BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1Tínhcáctíchphânsau:
1/
 
1
3 2
0
3 1x x dx
 


  2/
2
4
1
1 2
x dx
x
x
 
 
 
 

 3/
 
2
0
2cos sin2
x x dx




Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố22
4/
 
1
0

3 2
x x
dx


  5/
2
2
1x dx



  6/
3
2
1
3 2x x dx
 


7/
 
3
2
1 2
x x dx

  

 8/

 
2
1
5
0
2 . 3 .4
x
x x
dx

 9/
1
1 3
0
x
e dx



10/
2
1
0
2 7 4
2 1
x x
dx
x
 



  11/
4
2
3
1
3 2
dx
x x
 

  12/
1
2
0
2 6
11 28
x
dx
x x

 


13/
2
2
0
cos 4
x dx



  14/
2
2
sin2 .sin 7
x xdx




 15/
2
2
0
sin2
4 cos
x
dx
x




Bài2Dùngphươngphápđổibiếnsố,hãytính:
1/
 
5
2
1

1
x x dx


  2/
1
2
1
2 1
1
x
dx
x x


 

  3/
ln 2
0
1
x
e dx



4/
2
2
4

1
1 x
dx
x


  5/
2
1
3 2
0
3 2
1
x x
dx
x x

 

  6/
2
2
1
1
2
x
dx
x



 
 

 


7/
1
34 5
0
1x x dx


  8/
1
2
0
4
x dx


  9/
4
2
0
1
16
dx
x



10/
5
4
sin cos
1 sin2
x x
dx
x





 11/
1
0
1
1
x
dx
e


  12/
ln10
3
ln3
2
x

x
e
dx
e 


13/
4
1
1 ln
e
x
dx
x


  14/
 
1
sin ln
e
x
dx
x

  15/
 
2
2
2

0
sin2
1 cos
x
dx
x




16/
4
0
tan
x dx


   17/
 
2
cos
0
cos cos
x
e x x dx



 18/
 

2
3 sin
0
sin cos
x
x e x dx




Bài 3.Dùngphươngpháptíchphântừngphần,hãytính:
1/
2
0
cos2
x x dx


  2/
ln 2
2
0
x
xe dx


   3/
 
1
0

ln 2 1
x dx



4/
 
2
2
0
sin cos
x x xdx



 5/
3
1
ln
e
x
dx
x

   6/
   
3
2
ln 1 ln 1
x x dx

  
 
 


7/
 
1
2
0
ln 3
x x dx


  8/
3
0
sin
x x dx


  9/
 
2
1
3 2 ln
x x dx




10/
1
1 ln
e
x
x x
e dx
x


  11/
0
sin
x
e x dx


  12/
2
2
1
1
ln 1
x dx
x
 

 
 



ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. Diện tích hình phẳng
*Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
 
y f x

,trụchoành
 
0
y

,
x a
,
x b
l:

 
b
a
S f x dx



*Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
   
1 2
,
y f x y f x

 
,
,
x a x b 
l:
Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố23
   
   
1 2
b
a
S f x f x dx
 


B.Thểtíchkhốitrònxoay
1/Thểtíchkhốitrònxoaydohìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
 
y f x

,trụchoành
 
0
y

,
x a
,
x b

quayxungquanhtrụcOx:
   
 
2
b
a
V f x dx

  
 


2/Thểtíchkhốitrònxoaydohìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngx=g(y),trụctung(x=0),y=c,y=
dquayxungquanhtrụcOy:
   


d
c
dyygv
2
)]([


3/Thểtíchkhốitrònxoaydohìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
   
1 2
,
y f x y f x
 

,
,
x a x b 

quayxungquanhtrụcOx:
   
   
2 2
1 2
b
a
V f x f x dx

 


BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường:
1/
2
2 ,
y x x y x  
    2/
2
1, 3
y x x y
   

3/
2

4 , 0
y x x y
  
   4/
ln , 0,
y x y x e  

5/
4 2
5 3 3, 0, 0, 1y x x y x x     
 6/
3
1, , 8
y x y x
  

7/
  
1 2 , 0
y x x x y
   
   8/
4, 0, 1, 3
xy y x x
   

9/
3 2
12 ,
y x x y x  

   10/
3
, 2, 0
y x x y x
   

11/
2 2
2 2, 3y x x y x x      
  12/
 
2
2
6 , 6
y x y x x   

13/
, , 1
x x
y e y e x

  
   14/
, 0, 1, 2
x
y xe y x x
    

15/
2

.ln , 0, 1,
y x x y x x e   
  16/
sin , 0, 0, 2
y x y x x

   

17/
cos , 0, ,
2
y x y x x


    
  18/
2
sin , 0, 0,y x y x x

   

19/Tínhdthpgiớihạnbởi
 
2
: 2 2
P y x x
  
,tiếptuyếnvới
 
P

tạiđiểm
 
3;5
M
vàtrụctung.
20/Tínhdthpgiớihạnbởi
 
2
: 6 8P y x x   
,tiếptuyếntạiđỉnhcủa
 
P
vớitrụctung.
21/Tínhdthpgiớihạnbởiđườngcong
3
3y x x 
,tiếptuyếncủanótạiđiểmcóhoànhđộ
1
2
x
 
.
22/Tínhdthpgiớihạnbởi
 
2
: 4 3P y x x   
vàcáctiếptuyếncủanótạicácđiểm
   
1 2
0; 3 , 3;0

M M
.
Bài 2TínhthểtíchcủavậtthểtrònxoaysinhrabởihìnhphẳngGHbởicácđườngsaukhinóquay
xungquanhtrụcOx:
1/
2
1 , 0
y x y
  
    2/
3
1, 0, 0, 1y x y x x    

3/
4
, 0, 1, 4
y y x x
x
   
   4/
cos , 0, 0,
4
y x y x x

   

5/
sin , 0, 0,
4
y x y x x


   
  6/
2
sin , 0, 0,y x y x x

   

Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố24
7/
1
2 2
, 0, 1, 2
x
y x e y x x
   
  8/
2
, 0, 0, 1
x
y xe y x x   

9/
ln , 0, 1, 2
y x y x x
   
  10/
2 3
2 ,

y x y x 

CHỦ ĐỀ 4 : SỐ PHỨC
Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,…
Chohaisốphứca+bivc+di.
1)a+bi=c+dia=c;b=d.2)môđunsốphức
2 2
z a bi a b
   

3)sốphứclinhiệpz=a+bil
z
=abi.
*z+
z
=2a;z.
z
=
2
2 2
z a b
 

4)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
5)(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.
6))(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i
7)z=
c di 1
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2

a bi
a b





Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.
Chophươngtrìnhax
2
+bx+c=0.với=b
2
4ac.
Nếu=0thìphươngtrìnhcónghiệpkp
b
x x
1 2
2a
  
(nghiệmthực)
Nếu>0thìphươngtrìnhcóhainghiệmthực:
b
x
2a
  
 
Nếu<0thìphươngtrìnhcóhainghiệmphức
b i
x
2a

  


Bài tập: Số phức
Dạng 1:Sử dụng các phếp toán trên tập số phức
Bài1:Thựchiệncácphéptínhsau:
a.(2-i)+
1
2i
3

 
 
 
  b.
 
2 5
2 3i i
3 4
  
 
 
 

c.
1 3 1
3 i 2i i
3 2 2
    
   

   
   
d.
3 1 5 3 4
i i 3 i
4 5 4 5 5
      
     
     
     

Bài 2:Thựchiệncácphéptínhsau:
 a.(2-3i)(3+i) b.(3+4i)
2
  b.
3
1
3i
2

 
 
 

Bài 3:Thựchiệncácphéptínhsau:
 a.
1 i
2 i



 b.
2 3i
4 5i


 c.
3
5 i
 d.
  
2 3i
4 i 2 2i

 

Bài 4:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
 a.
 
4 5i z 2 i  
 b.
   
2
3 2i z i 3i  
c.
1 1
z 3 i 3 i
2 2
  
 
 

 
 d.
3 5i
2 4i
z

 

Bài 5:Chohaisốphứcz,w.chứngminh:z.w=0
z 0
w 0






Dạng 2 Tìm Quỹ tích của số phức
Câu 1:TìmtậphợpcácđiểmMthỏađiềukiện
 a.
z 3 1 
  b.
z i z 2 3i   

Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố25
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau
Ví dụ :
Tìmcănbậchaicủasốphức

z 4i 


Gọix+iylàcănbậchaicủasốphức
z 4i 
,tacó:

2 2
x y
2
x y 0
(x iy) 4i
2xy 4
2xy 4


 
 
    
 
 
 



hoặc
x y
2xy 4

 


 



x y
2
2x 4





 


(loại)hoặc
x y
2
2x 4

 


  


x y
x 2;y 2
2

x 2;y 2
x 2
 
 
   
 


  






Vậysốphứccóhaicănbậchai:
z 2 i 2 , z 2 i 2
1 2
    


Câu 1:Tìmcănbậchaicủacácsốphứcsau
 a.–5  b.2i  c.18i  d.
4 5
i
3 2
 

Dạng 2: Giải Phương trình bậc hai
Ví dụ: Giảiphươngtrình

2
x 4x 7 0  
trêntậpsốphức
Giải:
2
' 3 3i
   

Phươngtrìnhcóhainghiệm:
x 2 i 3 , x 2 i 3
1 2
   

Câu 1:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
 a.x
2
+7=0 b.x
2
–3x+3=0 c.x
2
+2(1+i)x+4+2i=0
 d.x
2
–2(2–i)x+18+4i=0  e.ix
2
+4x+4–i=0
 g.x
2
+(2–3i)x=0
Câu 2:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức

 a.
 
 
2
z 3i z 2z 5 0   
 b.
  
2 2
z 9 z z 1 0   

 c.
3 2
2z 3z 5z 3i 3 0    

Câu 3:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
a.z
2
+5=0  b.z
2
+2z+2=0   c.z
2
+4z+10=0
d.z
2
–5z+9=0  e.–2z
2
+3z–1=0
Câu 4:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
a.(z+i)(z
2

–2z+2)=0  b.(z
2
+2z)–6(z
2
+2z)–16=0
c.(z+5i)(z–3)(z
2
+z+3)=0 d.z
3
–(1+i)z
2
+(3+i)z–3i=0
Câu 5:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
a.(z+2i)
2
+2(z+2i)–3=0  b.
2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
 
  
 
 
 
 

CHỦ ĐỀ 5 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Tọa độ vectơ_tọa độ điểm
*Cho

   
 
1 2 3 1 2 3
a a ;a ;a ,b b ;b ;b

+
 
 

 
 
 
 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a b = = a b -a b ;a b - a b ;a b -a b
b b b b b b
; ;
.