Cac de luyen thi

Phương pháp giải các bài tốn diện tích tam giác
I. - Các dạng bài tốn liên quan diện tích tam giác
1/ Dạng thứ nhất, Giải trực tiêp không cần kẻ thêm đường phụ
Đây là những bài toán thuộc kiến thức cơ bản trong Chương trình của HS tiểu
học về diện tích hình tam giác S∆ = 1/2 x Chiều cao x đáy
Do đó khi chiêù cao khơng đổi, nếu đáy tăng/giảm bao nhiêu lần thì diện tích
tăng/ giảm bấy nhiêu lần; Ngược lại: Đáy không đổi mà chiều cao tăng/ giảm thì
diện tich tam giác tăng/giảm tỷ lệ thuận. Thí dụ 2 bài dưới đây

Bài 1a:
So sánh SABC với SAMC
Biết MC = MB?

ĐA:

SABC = 2SAMC

Bài 1b:
So sánh SA’B’C’ với SA’NC’
Biết 2 đường cao AH = 2NI
ĐA: SA’B’C’ = 2SA’N’C’

Bài 2
Cho tam giác ABC. Trên AB lấy E sao cho AE = 2EB. Trên AC lấy D sao cho
AD = 1/2DC. DB và CE cắt nhau tại G.
a) so sánh diện tích hai tam giác BCD và ACE.
b) so sánh diện tích tam giác BGC va diện tích tứ giác AEGD
Giải:

a/ Vì D và E đều chia 2 cạnh tương ứng của ∆ABC
theo tỉ lệ 1/3 nên:

S ∆BCD = 2/3S∆ABC

S ∆ACE = 2/3S∆ABC
è Do đó S∆BCD = S∆ACE
b/ Vì ∆BCD và ∆AEC có phần chồng lên nhau là ∆DCG nên phần còn lại của 2
tam giác DT bằng nhau là  Stứ giácAEGD = S∆BGC


Bài 3
Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy
điểm D sao cho BD = 1/3 BC. Nối A với
D, trên AD lấy điểm K sao cho AK = 1/3
AD. Tính diện tích tam giác ABC, biết
diện tích tam giác BDK là 12,3cm2.
Giải
Xét tam giác KBD và ABD có chung đỉnh
B mà AK = 1/3 AD => KD = 2/3 AB
=> S∆KBD = 2/3 S∆ABD => S∆ABD = 12,3 : 2 x 3 = 18,45 (cm2)
Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đỉnh A, đáy BD = 1/3 đáy BC
=> S∆ABD = 1/3 S∆ABC  Vậy S∆ABC = 18,45 x 3 = 55,35 (cm2) ĐS

Bài 4:
Cho tam giác ABC có góc A là góc
vng,AB = 30cm,AC=45cm.M là điểm
nằm trên cạnh AB sao cho AM=20cm.từ
M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt
AC tại điểm N.
Tính diện tích tam giác AMN
HD Giải
S(ABC) = 30 x 45 : 2 = 675 (cm2)

S(ABN) = 2/3 x S(ABC) = 2/3 x 675 = 450 (cm2)
S(AMN) = 2/3 x S(ABN) = 2/3 x 450 = 300 (cm2)  ĐS 300 cm2
Lưu ý: Thực ra với 1 số bài như bài 3, bài 4 khi cần nhìn rõ thì phải kẻ đường
cao; khi đã quen mà bài khơng phức tạp lắm thì khơng cần kẻ đường cao cũng
nhìn ra. (Những bài cần kẻ đường cao, xem phần dưới)

2/- Dạng 2: Nối 1 đoạn thẳng để làm rõ tương quan giữa các tam giác
Bài 5:
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18 cm2,
Lấy DA = 2.DB; EC = 3,EA;
MB = MC (như hình vẽ). à
Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE.
Giải: Kẻ nối AM ta có:
S.MDB = 1/3 S.ABM = 1/3 x 1/2S.ABC = 3 cm2


S.MCE = 3/4S.ACM = ¾ x 1/2S.ABC = 6,75 cm2
Do đó: S.MDB + S.MCE = 3 + 6,75 = 9,75 cm2  Đ/S: 9,75 cm2

Bài 6:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho AB=2AE; trên cạnh AC
ta lấy điểm D sao cho CD = 2 AD. Nới E với D ta được hình tam giác AED có diện
tích 5 cm2.
Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
Giải: Nối C với E
Theo đề DC = 2.AD
Nên SDCE = 2.SAED = 5 x 2 = 10 (cm2)
(đáy DC=2AD và chung đường cao kẻ từ A).
SACE = SDCE +SAED = 10 + 5 = 15 (cm2)
Theo đề lại có EB = 2EA

 Nên SECB = SACE x 2 = 15 x 2 = 30 (cm2)
 Vậy SBCDE = SDEC+ SECB = 10 + 30 = 40 (cm2)

Bài 7
Cho tam giác ABC, Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3/4 AB; trên AC lấy
điểm E sao cho AE = 2/3 AC. Nối B E v à CD cho CD và BE cắt nhau tại G.
Tính diện tích tam giác GBC theo ∆ABC
Giải
*Cách thứ nhất, Nối DE;
Theo cách dựng ta có SADC = 3/4SABC
và SEDC = 1/3SADC ÞSEDC = 1/3 x 3/4=1/4SABC
mà SBDC = 1/4SABC Þ SEDC = SBDC
Hai tam giác EDC và BDC có DC chung nên 2 đường
cao ứng với đáy DC bằng nhau.
Þ SBDG = SEDG = 1/2SBDE [1 ]
Vì ED = 1/4AD nên SBDE = 1/4SABE
Vì CE = 1/3 AC nên SABE = 2/3SABC
Do đó: SBDE = 2/3 x ¼ = 1/6SABC [2 ]
T ừ [1 ] v à [2 ] Þ SBDG = 1/6 x ½ = 1/12 SABC

SGBC = SBDC – SBDG = ¼ – 1/12 = 1/6 SABC


*Cách thứ hai, Nối AG
Từ các đỉnh A, C, D lần lượt kẻ các đường vng góc với BE là h1, h2, h3. ta thấy:
h1 = 2h3 (Vì SEBA = 2SEBC)
h1 = 4h2 (Vì SBGA = 4SBGD)
nên có h3 = 2 h2
∆BGD và ∆BGC có chung đáy BG mà h3 = 2h2
nên

SBGC = 2 SBGD = 2/3 SBCD
Mà SBCD =

¼ SABC Þ SBGC =

1/6 SABC

3/- Dạng 3: Nối các đường cao
Bài 8
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của
BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN
cắt nhau tại O . Chứng minh rằng S∆AOB =

2. SOBM
Giải: Hạ các đường cao từ A, C tới BN

S∆ABN = S∆CBN
(có AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)
Nếu xem NB là cạnh đáy thì 2 đường cao từ A và C xuống NB bằng nhau. Hai
đường cao này chính là 2 đường cao của 2 tam giác AOB và COB có chung đáy
OB.  Suy ra: S∆AOB = S∆COB. Mà SOBM = SOMC = ½ SOBC = ½ S∆AOB
(CM=MB, chung đường cao từ O). è Suy ra: S∆AOB = S∆OBM x 2.

Bài 9
Cho tam giác ABC, điểm M trên BC sao cho
BM=2 MC, điểm N trên CA sao cho CN=3 NA.
Gọi D là giao điểm của AM và BN.
Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam
giác ADN=10 cm²
Giải

Từ các đỉnh N,C, B lần lượt kẻ các đường h1, h2,
h3 vng góc với AM, ta có:


h1 = ¼ h2 (Vì AN = ¼ AC)
h3 = 2 h2 (Vì S∆ABM = 2S∆AMC)
Þ h3 = 8h1 Þ S∆ADB = 8S∆AND = 80 cm2 Vì h1 và h3 là 2 đường cao củ 2
tam giác có chung đáy AD.
Do đó: S∆BN = S∆ADB + S∆AND = 80 + 10 = 90 (cm2)
è S∆ABC = 4S∆ABN = 4 x 90 = 360 (cm2)

Bài 10
Cho tam giác ABC. Trên AB lấy E sao cho AE = 2EB. Trên AC lấy D sao cho
AD = 1/2DC. DB và CE cắt nhau tại G..
Tính diện tích của tam giác BGC biết diện
tích tam giác CGD = 400cm2
Giải:

Từ các đỉnh D, A, B kẻ các đường h1, h2, h3
vng góc với CE. Ta có:
h1 = 2/3 h3 ( vì DC = 2/3AC)
h2 = 1/2 h3 ( vì EB = 1/2AB )

Þ h2 = ¾ h1
Þ theo tỉ lệ chiều cao thi
S∆4 = 3/4 S∆3 vì 2 tam giác có chung đáy CG  S∆BGC = 300 cm2

Bài 11
Cho ΔABC với M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM = MC, N nằm trên
AC sao cho AN = 1/2 NC; MN cắt AB tại E.

Biết diện tích ΔAEN = 25 cm2.
Tính diện tích ΔABC.
Gợi ý
Bài này tương tự bài 9, kẻ các đường vng
góc như hình bên để tính.
Đáp số 225 cm2

4/ Phối hợp Dạng 3 và 4:

Bài 12


Cho tam giác ABC có D là điểm chính giữa của BC, E là điểm chính giữa của
CA, AD cắt BE ở G. Hãy chứng tỏ AG gấp đôi GD.
Giải:
* Nới CG; Kéo dài BE, kẻ các đường vng góc:
AH ^ BE; và CK ^ BE
Để dễ theo dõi gọi tắt các tam giác :
∆IBA à∆1; ∆IBD à∆2; ∆IDC à∆3;
∆IEC à∆4; ∆IAEà ∆5; nhu hình bên
* Vì D và E là điểm giữa của BC và AC nên :
S ∆1 + S ∆5 = S ∆2 + S ∆3 + S ∆4
Þ AH = CK Þ S∆1 = S∆2 + S∆3
( 2 tam giác chung đáy và chièu cao bằng
nhau)
Mà S∆2 = S∆3 (Vì cùng đỉnh và đáy bằng nhau) Þ S∆1 = 2.S∆2
Do ∆1 và ∆2 chung 1 đỉnh mà diện tich gấp đôi nhau nên AG gấp đôi GD

Bài 13:
Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một

đoạn BE = AB. Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G
a-So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC
b. Nếu BC = 9 cm thì đoạn BG = ?
Giải
a)
Nới CE.
SGBE=SGBA. Vì có AB=BE chung đường cao
kẻ từ G.
SGAD=SGDC. Vì có CD=DA chung đường cao
kẻ từ G.
Ta cũng có:
SABC=SEBC => SGAC=SGEC (1)
SDAE=SDCE => SGAE=SGEC (2)
Từ (1) và (2) ta được: SGAE=SGCA
 Vậy: SGBE=SGBA= SGAD=SGDC
b) Hai tam giác ABC và ABG có chung đường có kẻ từ A nên 2 cạnh đáy CB và
GB sẽ tỉ lệ với diện tích.
Từ kết quả câu a.-->Suy ra: SABC = SAGB x 3
Vậy: CB = 3.GB x 3  GB = 9 : 3 = 3 (cm)


Bài 14:
Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy
điểm E sao cho AE = 2/3 AB, trên cạnh
AC lấy điểm D sao cho AD= 1/3 AC
a. Nối B với D . Tính tỷ sớ diện tích hai
tam giác ABD và ABC
b. Nới E với D .Biết diện tích tam giác
AED là 8 cm2 . Tính diện tích ∆ABC
c. Nới C với E cắt BD tại G. Tính tỷ sớ độ

dài hai đoạn thẳng EG và CG.
Giải
a/ .Do AD = 1/3 AC nên SABD = 1/3SABC.
b/ Tương tự ta có SAED= 1/3SAEC  Nên SAEC = 8 x 3 = 24 (cm2)
Mà AE = 2/3AB và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.
Nên SAEC = 2/3SABC Diện tích tam giác ABC: 24 : 2 x 3 = 36 (cm2)
c).Ta có:
SEBD= 1/3 SABD = 1/3.1/3SABC = 4 (cm2)
SEBC = 12 (cm2) (1/3 của SABC); SDEC = 2/3.24 = 16 (cm2) (2/3 của SAEC)
2 tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.
 Tỉ sớ:
BH/DK = 12/16 = 3/4
Tương tự ta có: SEBG / SDEG = ¾  Suy ra SDEG = [4 : (4+3) ] x 4 = 16/7 (cm2)
SDCG = SDEC – SDEG = 16 – 16/7 = 96/7 (cm2)
Tỉ số của EG và CG là tỉ số của SDEG và SDCG=(16/7) / (96/7) = 16/96 = 1/6

Bài 15
Cho tam giác ABC. D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.
M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.
a) Hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại
sao ?
b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 .Hãy tính
diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.
Giải


a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:
BED, BME, BAM (cạnh đáy ED=ME=AM,
chung đường cao kẻ từ B)
BAE, BMD

(cạnh đáy AE=MC=2AM, chung
đường cao kẻ từ B).
b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC
chung đường cao kẻ từ E.
Nên SEBD = 2/3 SECD
SDEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm2)
*.Theo đề bài ta có
AD = ED x 3 (AM=ME=ED)
2 tam giác ABD và EBD có:
AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.
Nên SABD = SEBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm2)
Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC
Vậy SABC = SABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm2)
*.SAEC = SABC – SABD – SEDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm2)
Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2) và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:
Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ 8/10 (4/5).
Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 = 16/3 (cm2)
Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 = 20/3 (cm2)
2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích
Tỉ lệ của AN và NC là 16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5

II.-Tổng quát diện tích (S) các tam giác do chia 2 cạnh theo tỷ lệ
Bài toán tổng quát:
Cho 1 tam giác bất kì ABC có diện tích
là So; Trên cạnh AB lấy D sao cho
AD/AB = k1; trên AC lấy E sao cho
AE/AC = k2 ( k1, k2 là các tỷ lệ hay phân
số với tử và mẫu đều là số t nhiờn, thớ
d ẵ, 1/3, 2/3, ẳ).
Hỡnh bờn

Nụi BE, CD, ED; có BD cắt CE tại G.
a/*Tính diện tich các tam giác, tứ giác do
DE, BD,CE tạo ra theo So;


b/*Tính tỷ lệ các cặp tam giác tương ứng.
Bài giải:
Để dễ theo dõi, ta kí hiệu tắt diện tích các tam giác là S1, S2. S3. S4. S5 như hình
dưới đây
a/ Diện tich các tam giác theo So
Áp dụng cách tính phân sớ của 1 phân sớ ta có:
(1*)

S 1 = k 1 x k 2 x So

Từ (1*) suy ra :
(2*)

SEDBC = ( 1 – k1.k2) So

Hai tam giác ADC và ABC cùng chiều cao hạ từ C và 2 đáy tỷ lệ theo k1, nên:
(3*)

S3 + S5 = (1 – k1).So

Hai tam giác EBC và ABC cùng chiều cao hạ từ B và 2 đáy tỷ lệ theo k2, nên:
(4*)

S3 + S4 = (1 – k2).So

S2 + S4 là diện tich ∆EDC mà ∆EDC chiếm 1 phần trong ∆ADC, lấ phân ớ của
phân sớ ta có:
(5*)

S2 + S4 = k1(1 – k2).So

Tương tự, tính S2 + S5 cũng là phân số của phân số:
(6*)

S2 + S5 = k2(1 – k1).So

b/ Tỷ lệ diện tích các cặp tam giác tương ứng liên quan nhau


Từ ( 6*) và (4*) ta có tỷ lệ so sánh:

S2/S4 = [(1 –k1).k2] /( 1 – k2)

[1]

Từ ( 5*) và (3*) ta có tỷ lệ so sánh:

S2 /S5 = [(1 –k2).k1] /( 1 – k1)

[2]

S4/S5 = [(1 – k2)2.k1] /[(1 – k1)2.k2]

[3]

Từ [1] và [2] ta có tỷ lệ:

Từ [1] và hình vẽ các ∆ có chung đáy suy ra:

S5 /S3 = S2 / S4

[4]

Từ [2] và hình vẽ các ∆ có chung đáy suy ra:

S4 /S3 = S2/ S5

[5]

Từ [2] và [5] suy ra

:

S2/S3 = k1.k2

[6]

Lưu ý : Các tỷ lệ [4], [5] và [6] rất hay sử dụng !

III.-Bài tập ứng dụng
1/ Cho tam giác ABC. M là điểm chính giữa của BC. Điểm N nằm trên AC sao
cho AN=1/4 AC;MN kéo dài cắt BA kéo dài tại P. Biết diện tích tam giác
APN=8cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
2/ Cho tam giác vuông ABC . Độ dài BA=8cm ; AC=6cm.
a)Tính S tam giác ABC.

b)Biết BM=1/3 BC; AN=1/3 AC. Nới M với N.Tính S hình thang BANM.
3/ Cho tam giác ABC vng ở A, có AB=3cm,CA=4cm, BC=5cm, trên AB lấy
M sao cho AM=2cm.Trên AC lấy N sao cho AN=1cm. Trên BC lấy điểm E
sao cho BE=2,5cm. Tính diện tích tam giác MNE.
PHH Sưu tầm đề, minh hoạ & biên soạn bài giải 30/10/2015