Gui cac em HSG Toan

TỔNG QUÁT TỪ MỘT BÀI TOÁN HAY
Bài tập :Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab  bc  ca 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
5



a b b c c a 2
Hướng dẫn
a

1,
b  1, c  1 có ít nhất hai số có tích khơng âm giả sử
Theo ngun tắc DIRICHLET Trong ba số

 a  1  b  1 0  ab  a  b  1 0  a  b ab 1 ab  bc  ca 1 2
1  ab
ab  bc  ca 1  c 
0
a b
Mặt khác từ
1
1
1
1
1
1
1
1 

 1
P






  a  b  2
 2 
1

ab
1

ab
a b b c c a a b b 
a b
 a 1 b 1 
c
a b
a b
Nên
Ta chứng minh
 a2
1
1
a 2 1  a 2 b2  1  b2
b2 





2


 2

2
a 2  1 b2 1
a 2 1
b2 1
 a  1 b 1 
a2
b2
a 2 b2 a  b




2
2
2
Nếu a, b dương a  1 b  1 2a 2b
a2
b2
b2 a  b


0



2
2
2b
2
Vì ab  bc  ca 1 nên chỉ có nhều nhất 1 số bằng 0 nếu a=0 a  1 b  1
1
1
a b
 2
2 
2
2
Nên suy ra a  1 b  1
1
1 
1
a b 
 1

  a  b  2
 2
  a  b  2 


2 
 a  1 b 1  a  b

Vậy a  b

1
a b  5

  a  b  2 

a

b
2

 2
Ta chứng minh
Đặt a  b t , thi : 0  t 2 Ta có
1 
t 5
1
t2 5
2  4t 2  t 3  5t
 t  2      2t   0 
0
t 
2 2
t
2 2
2t
2

 t  1  t  2  0  (dung ) Vi 0  t 2
t 3  4t 2  5t  2


0 
2t
2t
1
1
1
5



Do vai trị bình đẳng a, b, c như nhau nên: a  b b  c c  a 2
 ab  bc  ca 1

 a b 1; c 0 va cac hoan vi
(a  1)(b  1) 0
 a  b ab  1 ab  bc  ca  1 2


Dấu “=” xảy ra khi
Từ các bài tốn trên ta có bài tốn tổng qt
2
Bài tốn tổng qt : Cho a,b,c khơng âm ab  bc  ca k (k  R, k  0)
Chứng minh rằng
1
1
1
5




a  b b  c c  a 2k

Hướng dẫn
a

k
, b  k , c  k có ít nhất hai số có tích khơng âm giả sử
Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số
ab  k 2 ab  bc  ca  k 2

2k
 a  k   b  k  0  ab  ka  kb  k 2 0  a  b 
k
k


k 2  ab
ab  bc  ca k  c 
0
a b
Mặt khác từ
1
1
1
1
1
1
1
1 
 1

P






  a  b  2
 2

2
2
2
k  ab
k  ab a  b
a b b c c  a a b
b k2 
 a k
b
c
a b
a b
Nên
Ta chứng minh

1
1
a 2  k 2  a 2 b2  k 2  b2
2 
a2

b2







2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 
a k
b k
k (a  k ) k (b  k ) k  k ( a  k ) k (b  k ) 
2

a2
b2
a2
b2
a b



 3
2
2
2
2
2
2
3
3
Nếu a, b dương k (a  k ) k (b  k ) 2 k a 2 k b 2k
2
Vì ab  bc  ca k nên chỉ có nhều nhất 1 số bằng 0 giải sử a=0
a2
b2
b2
b2
a b


0



0

 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
k (a  k ) k (b  k )
k (b  k )
2 k b 2k
1
1 
1
 1
 2 a b 
  a  b  2
 2

  a  b  2 

2
2 
b  k  a b
2k 2 

 a k
k
Vậy a  b
1
 2 a b  5
  a  b  2 

2k 2  2k .Đặt a  b t , thi : 0  t 2k Ta có
k
Ta chứng minh a  b
1  2
t  5
1 2t t 2
5
2k 3  4kt 2  t 3  5k 2t
t 2 






0

0

t k
2k 3  2k
t k 2 2k 3 2 k
2k 3t

2

t 3  4kt 2  5k 2t  2k 3
t 3  2kt 2  tk 2  2kt 2  4k 2t  2k 2  t  k   t  2k 


0


0  ( dung ) Vi 0  t 6
2k 3t
2k 3t
2k 3t
1
1
1
5



Vậy a  b b  c c  a 2k
ab  bc  ca k 2

( a  k )(b  k ) 0
 a b k ; c 0 va cac hoan vi

2
2
2
k (a  b) ab  k ab  bc  ca  k 2k

a k ; b k
Dấu”=” xảy ra khi 
Các ví dụ
Ví dụ 1:Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab  bc  ca 4 . Chứng minh rằng
1
1
1
5



a b b c c a 4
Hướng dẫn
a

2,
b  2, c  2 có ít nhất hai số có tích khơng âm giả sử
Theo ngun tắc DIRICHLET Trong ba số

 a  2   b  2  0  ab  2a 

2b  4 0  a  b 

ab  4 ab  bc  ca  4

4
2
2

4  ab

0
a b
Mặt khác từ
1
1
1
1
1
1
1
1 
 1
P






  a  b  2
 2

a  b b  c c  a a  b b  4  ab c  4  ab a  b
 a 4 b 4
a b
a b
Nên
Ta chứng minh
 a 2  4  a 2 b2  4  b2  1 


1
1
a2
b2










2
2
2
2
2
2
a  4 b  4  4(a  4)
4(b  4)  2  4( a  4) 4(b  4) 
ab  bc  ca 4  c 


a2
b2
a2
b2 a  b





2
2
16
Nếu a, b dương 4(a  4) 4(b  4) 16a 16b
a2
b2
b2
a b


0


2
2
16b
16
Vì ab  bc  ca 4 nên chỉ có nhều nhất 1 số bằng 0 nếu a=0 4(a  4) 4(b  4)
1
1 
1
 1
 1 a b 
  a  b  2
 2
  a  b  



 a  4 b  4  a b
 2 16 
Vậy a  b
1
 1 a b  5
  a  b  

 2 16  4
Ta chứng minh a  b
Đặt a  b t , thi : 0  t 4 Ta có
1 1 t  5
1 t t2 5
16  8t 2  t 3  20t
t  
 0 
0
   
t  2 16  4
t 2 16 4
16t
2

 t  2   t  4  0  ( dung ) Vi 0  t 4
t 3  8t 2  20t  16

0 
16t
16t
Do vai trị bình đẳng a, b, c như nhau nên

1
1
1
5



a b b c c a 4
ab  bc  ca 4
(a  2)(b  2) 0

 a b 2; c 0 va cac hoan vi

2
a

2
b

ab

4

ab

bc

ca

4


8


Dấu “=” xảy ra khi a 2; b 2
Ví dụ 2 :Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab  bc  ca 9 . Chứng minh rằng
1
1
1
5



a b b c c a 6
Hướng dẫn
a

3,
b  3, c  3 có ít nhất hai số có tích khơng âm giả sử
Theo ngun tắc DIRICHLET Trong ba số

 a  3  b  3 0  ab  3a  3b  9 0  a  b 

ab  9 ab  bc  ca  9

6
3
3

9  ab

0
a b
Mặt khác từ
1
1
1
1
1
1
1
1 
 1
P






  a  b  2
 2

9

ab
9

ab
a b b c c a a b b 
a b

 a 9 b 9 
c
a b
a b
Nên
ab  bc  ca 9  c 

1
1
a 2  9  a 2 b2  9  b2 2 
a2
b2 








a 2  9 b 2  9 9( a 2  9)
9(b2  9)
9  9( a 2  9) 9(b 2  9) 
Ta chứng minh
a2
b2
a2
b2
a b





2
2
54
Nếu a, b dương 9(a  9) 9(b  9) 54a 54b
Vì ab  bc  ca 9 nên chỉ có nhều nhất 1 số bằng 0 nếu a=0
a2
b2
b2
b2
a b


0


0


2
2
2
9(a  9) 9(b  9)
9(b  9)
54b
54
1
1 

1
 1
 2 a b 
  a  b  2
 2
  a  b  


 a 9 b 9  a b
 9 54 
Vậy a  b
1
 2 a b  5
  a  b  

a

b
9
54

 6 .Đặt a  b t , thi : 0  t 6 Ta có
Ta chứng minh


1 2 t  5
1 2t t 2 5
54 12t 2  t 3  45t
t 
 0 

0
   
t  9 54  6
t 9 54 6
16t
2

 t  3  t  6  0  (dung ) Vi 0  t 6
t 3  12t 2  45t  54

0 
16t
16t
1
1
1
5



Do vai trị bình đẳng a, b, c như nhau nên: a  b b  c c  a 6
ab  bc  ca 9
(a  3)(b  3) 0

 a b 3; c 0 va cac hoan vi

3
a

3

b

ab

9

ab

bc

ca

9

18


Dấu “=” xảy ra khi a 3; b 3
Ví dụ 3:Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn
1
1
1


5
a b b c c  a

ab  bc  ca 

1

4 . Chứng minh rằng

Hướng dẫn
Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số 2a  1, 2b  1, 2c  1 có ít nhất hai số có tích khơng âm giả sử
4ab  1 4( ab  bc  ca)  1

1
 2a  1  2b  1 0  4ab  2a  2b 1 0  a  b 
2
2
1
 ab
1  4ab
4
ab  bc  ca 9  c 

0
a b
4(a  b )
Mặt khác từ
P
Nên

1
1
1
1
1
1
1

1 
 1






 4 a  b  2
 2 
a  b b  c c  a a  b b  1  4ab c  1  4ab a  b
 4a  1 4b  1 
4(a  b)
4(a  b)
1

Ta chứng minh



1

4a 2  1 4b 2  1



4a 2  1  4a 2 4b 2  1  4b 2

2 
4a 2  1

4b 2  1

 4a 2
4b 2 

 2

2
 4a  1 4b  1 

4a 2
4b 2
4a 2 4b 2
1



a  b
ab  bc  ca 
2
2
4 nên chỉ có nhều nhất 1 số bằng 0
Nếu a, b dương 4a  1 4b  1 4a 4b
Vì
4a 2
4b 2
4b 2
4b 2



0


0

b a  b
2
2
4b 2  1
4b
nếu a=0 4a  1 4b 1
1
1 
1
 1
 4  a  b  2
 2 
 4  a  b   2  ( a  b) 
a

b
4
a

1
4
b

1
a


b


Vậy
1
 4  a  b   2  ( a  b)  5
Ta chứng minh a  b
.Đặt a  b t , thi : 0  t 1 Ta có
1
1
1  8t 2  4t 3  5t
 4t  2  t  5   8t  4t 2  5 0 
0
t
t
t
2

 2t  1  t  1 0;(dung ) Vi 0  t 1
4t 3  8t 2  5t  1

0 
t
t
1
1
1



5
Do vai trị bình đẳng a, b, c như nhau nên a  b b  c c  a
Dấu “=” xảy ra khi
1
2 số bằng 2 , một số bằng 0
Chúc các em thành cơng trong kì thi tới ,ngày càng say mê mơn Tốn hơn .
THCS Lâm Thao- Phú Thọ