De thi

UBND THÀNH PHỐ BIÊN HÒA
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2011 – 2012
MƠN TỐN LỚP 9 ( ĐỀ II )
Ngày 10 tháng 01 năm 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài : 90 phút

Bài 1 :
Rút gọn biểu thức
2 3
2  2 3



2
2

3
2

3

Bài 2 :
Cho S =

x6  y 6

2

2

và x  y 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của S ?

Bài 3 :
Giải hệ phương trình
3
2
3

 x  xy  y 1(1)

4
4

 4 x  y 4 x  y (2)

Bài 4:
0
Tính cos 36 mà khơng dùng bảng số và máy tính

Bài 5 :
Cho tam giác ABC cân tại C có AB = 3 , đường cao CH = 2 . Gọi N và M lần lượt là
trung điểm của BC và HB , K là giao điểm của AN và CM
a) Chứng minh AN = CM
AK
2
b) Chứng minh KM

............HẾT...........


ĐÁP ÁN

( ĐỀ II )

Bài 1:
Nhân tử và mẫu mỗi số hạng với 2
2(2  3)
2

42 3



2(2 
2

3)

4 2 3

2(2  3)
2(2  3)

3 3
3 3
(2 2  6)(3 
6

3)



(2 2 

6)(3  3)
 2
6

Bài 2 :
2

2

4

4

2

2

4

4

2

2

2

2 2

2

2

2

S = ( x  y ) ( x  y  x y ) x  y  x y ( x  y )  3x y 1  3x y

x2  y 2
1
1
3
xy 
 xy   x 2 y 2    3x 2 y 2 
2
2
4
4
Vì
Vậy

1  3x 2 y 2 

1

1
4 suy ra gtnn ( S ) = 4
2
 x  y 
2

Bài 3 :
Từ ( 1) và ( 2) suy ra
4 x 4  y 4 ( x 3  xy 2  y 3 )(4 x  y )  xy ( x 2  4 xy  3 y 2 ) 0
 xy ( x  y )( x  3 y ) 0
+TH 1
+TH 2
+TH 3

3

y
1  y 1 thỏa mãn ( 2 )
x = 0 . Khi đó ( 1)
3
y = 0 Khi đó ( 1 )  x 1  x 1 thỏa mãn ( 2 )
3
x= y .Khi đó ( 1 )  x 1  x 1  y 1 thỏa mãn ( 2 )

5
33 5
 25 y 1  y 
 x
5
5 thỏa mãn ( 2 )

x= 3y . Khi đó ( 1 )
3

3

+TH 4
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm :

 33 5 3 5 
( x; y ) (0;1), (1; 0), (1;1), 
;

5 
 5

Bài 4 :
0

Xét tam giác ABC cân tại A có BC = 1 và BAC = 36

2


Ký hiệu BD là đường phân giác của góc B
Hạ DE  AB ( E  AB )
1800  A
720

B C
2

Ta thấy = =
0


Suy ra DBC = DBA = 36
Từ đó tam giác DAB BCD tương ứng cân tại D ; B
Suy ra AD = DB = BC = 1
Đặt AB = AC = 2 x ( x > 0 )
Vì BD là đường phân giác cuả góc B nên

A

E

DA BA
1
2x
1 5
1 5


  (4 x  1) 2 5  x 
DC BC
2x  1 1
4 ; x = 4 ( loại )
AE x 1  5

cos 360 cos EAD

 

AD 1
4
Vậy

D

B

C

Bài 5 :
Kẻ KI  AB tại I , ta có MN là đường trung bình của tam giác BHC
 MN 

C

CH
2

2
2 và MN  AB tại M

3 3
35
 AN 
4 ;
AM = AH + HM = 4
3
CH  2 và HM = 4 suy ra CM =

35
4

K

A

Do đó AN = CM
KI
AK
Tam giác AKI vng tại I  sin
sin KMI
KI
AK


KM
sin KAI
Tam giác MKI vuông tại I  sin KMI = KM
KAI 

MN
2 35 2 2

:

35
Mà sin KAI = AN 2 4
CH
35 4 2

 2:

CM
4
35
Sin KMI =

;

sin KMI
sin KAI = 2

AK
2
Vậy KM

H

N

I

B
M