Gui Le Thi A

Mong mọi người giúp câu 2,3
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn
(AAkhác B,,C). Kẻ AD⊥BC, (D thuộc BC) sao cho đường trịn đường kính AD
cắt AB,AC và nửa đường tròn(O) lần lượt tại E,F,G (G khác A). Đường
thẳng AG cắt BC tại H.

AD3
1)Tính BE.CF theo R và chứng minh H,E,F thẳng hàng
2) Chứng minh rằng FG.CH+GH.CF=CG.HF
3) Trên BC lấy M cố định (M khác B,C). Gọi N,P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác MAB và MAC. Xác định vị trí của A để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
1) AF.AC = AE.AB = AG.AH (=AD2) => BEFC; BEGH nội tiếp

2) Câu 2 là nội dung định lí Ptơ lê mê: Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi
AB.CD + AD.BC = AC.BD.
(Ta chứng minh phần ứng dụng cho bài tập của ta). Trên AC lấy điểm E sao cho
góc ABE = CBD => các cặp tam giác ABE và DBC; CBE và DBA đồng dạng (g.g.)
=> AB/BD = AE/CD; BC/BD = CE/AD => AB.CD = BD.AE; AD.BC = BD.CE =>
AB.CD + AD.BC = BD.AE + BD.CE = BD.(AE + CE) = AC.BD


3) Gọi I; K là hình chiếu của N; P trên BC=> I; K lần lượt là trung điểm của BM;
MC. Đặt BM = 2IM = 2a; CM = 2KM = 2b; NI = x; PK = y.. Ta có
Góc NMB + PMC = 900 – MNI + 900 – MPK = 900 – MAB + 900 – MAC = 1800 –
BAC = 1800 – 900 = 900 => Tam giác MNP vuông và các tam giác MNI và PMK
đồng dạng => MI/PK = NI/MK => x.y = a.b => 2SMNP = MN.MP =
MI 2  NI 2 . MK 2  PK 2  a 2  x 2 . b 2  y 2 ab  xy 2ab

(BĐT Bunhiacơpxki)

=> minSMNP = ab có được khi a/b = x/y và ab = xy hay a = x và b = y hay các tam
giác BNM; CPM vuông cân tại N; P hay góc BAM = CAM = 450 hay đường thẳng
MA đi qua điểm chính giữa cung BC của nửa đường trịn (O) khơng chứa A